DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2021.02.008
非线性多因素作用高速轴承转子系统动力学模型
郝丽娜1, 2, 3，邓松1, 2, 3，钱东升4，华林1, 2, 3
(1. 武汉理工大学 现代汽车零部件技术湖北省重点实验室，湖北 武汉，430070；
2. 武汉理工大学 汽车零部件技术湖北省协同创新中心，湖北 武汉，430070；
3. 武汉理工大学 湖北省新能源与智能网联车工程技术研究中心，湖北 武汉，430070；
4. 武汉理工大学 材料科学与工程学院，湖北 武汉，430070)
摘要：为了建立符合工程实际的高转速轴承转子系统动力学模型，综合考虑油膜时变刚度和油膜时变阻尼、钢球与滚道时变接触刚度、时变接触角和时变接触力等非线性因素，建立油膜时变刚度和油膜时变阻尼模型，确定轴承时变刚度和时变阻尼计算方法；基于服役状态，计算轴承转子系统时变位移和摩擦力矩，结合JONES的高速球轴承动力学模型建立非线性多因素耦合的高转速轴承转子系统动力学模型，证明本文高转速轴承转子系统非线性动力学模型有效性和可靠性。研究结果表明：本文轴承时变刚度和时变阻尼计算模型有效、可靠；润滑油膜和摩擦力矩是高转速轴承转子系统非线性动力学研究不可忽视的影响因素。
关键词：高速轴承转子系统；时变刚度；时变位移；时变接触力；摩擦力矩
中图分类号：TH132 文献标志码：A
文章编号：1672-7207（2021）02-0400-10
Dynamic model of nonlinear multi-factor high speed bearing rotor system
HAO Lina1, 2, 3, DENG Song1, 2, 3, QIAN Dongsheng4, HUA Lin1, 2, 3
(1. Hubei Key Laboratory of Advanced Technology for Automotive Components, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China;
2. Hubei Collaborative Innovation Center for Automotive Components Technology, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China;
3. Hubei Research Center for New Energy & Intelligent Connected Vehicle, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China;
4. School of Materials Science and Engineering, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)
Abstract: To establish a dynamics model of high-speed bearing rotor system, nonlinear factors such as time-varying stiffness and time-varying damping of oil film, time-varying contact stiffness, time-varying contact angle and time-varying contact force between steel ball and raceway were considered comprehensively according to the engineering practice. Time-varying stiffness and time-varying damping models of oil film were developed, and the calculation method of time-varying stiffness and time-varying damping for the high-speed bearings was determined. Under the service conditions, time-varying displacement and friction torque of the bearing rotor system were calculated. Then, combining with JONES' high speed bearing dynamic model, the dynamic model of nonlinear multi-factor high speed bearing rotor system was established. The nonlinear multi-factor dynamic model was proved to be reliable. The results show that the calculation model of the bearing time-varying stiffness and time-varying damping is effective and reliable. Lubricating oil film and friction moment are also inevitable for the nonlinear dynamics study of high-speed bearing rotor system.
Key words: high-speed bearing rotor system; time-varying stiffness; time-varying displacement; time-varying contact force; friction torque
高速轴承作为转子系统关键支撑部件，被广泛用于航空发动机、高速列车、高速机床等重大装备中，其动态稳定性、可靠性和精度等显著影响轴承转子系统的综合性能。在高速下，轴承因时变刚度、时变阻尼、时变接触角和时变接触力等非线性因素作用而产生振动，导致轴承转子系统运转稳定性和安全性下降。许多学者研究了滚动轴承转子系统动力学行为和振动特性。LIU[1]针对低速工况采用时不变刚度和阻尼，建立了考虑缺陷激励的轴承转子动力学模型，研究了转速、钢球载荷和缺陷尺寸等因素对轴承附加激励区域和系统动力学行为的影响；QIN等[2]综合考虑了离心力、陀螺力矩和时变接触角等因素，建立了高速球轴承动力学模型，但该模型忽视了高速状态油膜刚度和阻尼实时变化对轴承振动响应的影响；BABU等[3]将油膜和赫兹接触的刚度和阻尼等效为经验值，建立了轴承转子系统模型；LIU等[4]考虑载荷诱导摩擦力矩、润滑诱导摩擦力矩、时变位移和线性轴承刚度和阻尼，建立了滚动轴承转子系统模型；LIN等[5]假设热力作用下接触角不变，接触刚度认为是常值，建立了滚动轴承转子系统热力耦合模型；张强等[6]研究了高速轴承刚度和阻尼推导方式，分析了轴承刚度和阻尼变化与钢球位置角的关系，揭示了阻尼系数变化对轴承-转子系统动力学特性的影响规律；李昌等[7]考虑了游隙、径向载荷和轴承力等非线性变化因素，建立了高速滚动轴承转子系统非线性动力学方程，研究了阻尼和转速共同影响下系统的非线性振动位移变化规律，确定了有效改善系统稳定状态的阻尼和转速选择方式；叶鹏[8]研究了高速轴承转子系统在不同转速、载荷和安装状态下轴承刚度和阻尼变化规律，揭示了高速轴承刚度和阻尼对轴承转子系统运动稳定性的作用机理；黄其祥等[9]考虑了转速提高引起轴承刚度降低和“软化”现象，建立了轴向预紧力作用的高速轴承-转子系统动力学模型，分析了不同预紧力作用下该轴承转子系统动力学行为变化规律；洪杰等[10]建立了轴承支承结构约束特性与转子力学特性关联力学模型，研究了支承轴承结构特征参数对转子刚度特性、振动特性等力学特性的影响，提出了支承轴承约束特性与转子力学特性一体化设计方法；ZHANG等[11]研究了滚动轴承弹流动力润滑接触的动力学行为，采用瞬态弹流动力润滑接触理论，结合Reynolds方程、油膜厚度方程和自由振动方程，建立了滚动轴承弹流动力润滑接触模型；ZHANG等[12]基于弹流动力润滑理论，建立了油膜时变刚度和阻尼模型研究滚动轴承转子系统动力学行为；ZHOU等[13]综合考虑时变啮合刚度、间隙等因素建立了1种十六自由度齿轮转子轴承传动系统动力学模型；WANG等[14]建立了包含离心力及润滑等复杂情况的模型，研究了弹流润滑对高速滚动轴承动态特性的影响；HAO等[15]根据变形相容原理，采用冈本纯三轴承变形分步计算方法研究了高速球轴承动力学模型初值准确预测方法，分析了轴承转速和几何结构对陀螺力矩的影响规律；ZHENG等[16]考虑时变接触角对高速轴承热变形的作用，研究了轴承动力学行为和热生成机理，揭示了润滑、结构约束和装配关系对轴承温度场分布规律的影响规律；SERVAIS等[17]计算了横向滑移速度场来等效高速轴承陀螺力矩，进而建立了转速显著影响滚道接触区横向载荷的高速球轴承动力学模型。上述研究考虑了一些非线性影响因素建立轴承转子动力学模型，相关的时变模型可为本文研究提供借鉴。为研究高速工况轴承转子系统动力学行为，需要开发符合工程实际的高转速轴承转子系统动力学模型。为此，本文作者综合考虑油膜时变刚度和时变阻尼、钢球与滚道时变接触刚度、时变接触角和时变接触力等非线性因素，建立高速轴承转子系统非线性动力学模型，通过与其他学者研究结论对比证明该模型有效性和可靠性。
1 高速球轴承动力学模型
为了准确建立轴承离心力、陀螺力矩、时变接触角、时变刚度和时变阻尼等非线性因素作用的高速轴承转子系统动力学模型，必须建立高速球轴承动力学模型。当轴承高速运转时，在径轴向载荷作用下钢球与内外滚道之间的接触角、接触变形实时变化，改变了钢球中心与内外滚道曲率中心的位置关系。轴承高速旋转时，内圈产生径向位移、轴向位移和角位移｛δa，δr，θ｝。无载时，在任意位置角θj处钢球中心和滚道曲率中心共线。在高速状态，钢球与内外滚道接触变形｛δij，δoj｝引起轴承接触角产生较大变化，导致任意位置角θj处钢球中心和滚道曲率中心不再共线，如图1所示。
通过轴承组件协调变形和载荷平衡分析，得到以下平衡方程[18]：
图1 载荷作用前后角位置
处钢球中心和曲率中心的位置
Fig. 1 Position of rolling body center and center of curvature at angular position before and after loading
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
式中：下标
和
分别表示内滚道和外滚道；下标
表示第个钢球；
为沟曲率系数；k为赫兹接触刚度系数；α为钢球时变接触角；D为钢球的直径；
为钢球初始接触角；Ri为内滚道曲率中心轨迹半径；A1j为内外滚道曲率中心之间的轴向距离；A2j为内外滚道曲率中心之间的径向距离；X1j为钢球中心最终位置的轴向距离，X2j为钢球中心最终位置的径向距离；B=
。
由图1可知，在任意钢球位置，钢球与滚道时变接触角可以用下式来表示：
(7)
(8)
(9)
(10)
根据JONES提出的外滚道控制理论[19]，可求第j个钢球的离心力Fcj、陀螺力矩Mgj和姿态角βj。当外圈固定时，内圈受力平衡方程如下所示：
(11)
(12)
(13)
式中：
；
为轴承所受轴向力；
为轴承所受径向力；
为轴承所受力矩；n为滚动体个数；
；
。
求解上述方程即可得到钢球和内外滚道之间的时变接触角和时变接触载荷。
2 轴承时变刚度和时变阻尼模型
2.1 油膜时变刚度和时变阻尼模型
ZHANG等[11]研究了轴承弹流动力润滑接触的动力学行为，针对钢球与滚道之间的弹流动力润滑油膜，将该油膜考虑为1个弹簧和1个阻尼(如图2所示)，采用瞬态弹流动力润滑接触理论，结合Reynolds方程、油膜厚度方程和自由振动方程建立了滚动轴承弹流动力润滑接触模型。本文采用ZHANG等[11]的研究成果来建立球轴承的油膜时变刚度和油膜时变阻尼方程。
图2 润滑油膜的弹簧阻尼模型
Fig. 2 Spring damping model of lubricant film
油膜时变刚度拟合公式为：
(14)
式中：下标s表示油膜，ksj表示第j个球的油膜刚度。
油膜时变阻尼c拟合公式为
(15)
(16)
(17)
(18)
式中：L和M为与卷吸速度和接触载荷有关的参变量；
；
为润滑剂黏压系数；
为等效弹性模量。
在油膜刚度和阻尼拟合公式(14)和(15)中，通过高速球轴承动力学模型计算钢球和滚道的卷吸速度和接触载荷等时变参量，卷吸速度公式如下：
(19)
(20)
式中：
和
分别为接触椭圆区x和y轴等效半径；
；
，
参考黏度，取0.1；
为润滑油黏度；
为转轴转速；
为球公转速度；
为球与滚道之间的卷吸速度；
为球与滚道接触的长半轴长度；
为轴承节圆直径；
和
分别为内滚道和外滚道受压表面等效曲率半径；
；
；
为滚动体自转速度；β为姿态角。
2.2 钢球与滚道接触时变刚度模型
通过高速球轴承动力学模型计算钢球与滚道之间的接触载荷与接触变形量即可计算钢球与滚道接触时变刚度，如下式所示：
(21)
(22)
式中：下标p表示接触，于是kpi和kpo分别表示内圈和外圈接触时变刚度。
2.3 轴承时变刚度和时变阻尼确定
在轴承刚度-阻尼等效模型中，油膜时变刚度和钢球-滚道接触时变刚度串联形成钢球与滚道之间的弹簧刚度，所以，第j个钢球与滚道之间的耦合时变刚度表达如下：
(23)
相对于钢球与滚道之间的结构阻尼，油膜润滑阻尼显著影响轴承的振动特性，该研究仅考虑油膜润滑时变阻尼(式(15))表示钢球与滚道的时变阻尼。
为证明轴承时变刚度模型有效性，以7308C轴承为对象，分析轴承时变刚度变化规律并与其他学者的研究结论进行对比来验证该轴承时变刚度模型有效性。7308C轴承结构、载荷和润滑参数如表1所示。
表1 7308C轴承结构、载荷和润滑参数
Table 1 Bearing structure, load and lubrication parameters of 7308C
图3所示为轴承转速增加时油膜刚度和耦合刚度变化规律。由图3可知：随着轴承转速增加，本文得出的耦合时变刚度和ZHANG[11]得出的油膜时变刚度逐渐减小，并具有相同的变化趋势。此外，本文得出的耦合时变刚度显著小于ZHANG得出的油膜时变刚度，这是因为耦合时变刚度是接触时变刚度和润滑时变刚度串联形成的钢球与滚道的综合时变刚度，这种耦合时变刚度小于单一接触时变刚度和润滑时变刚度，因此，本文的轴承时变刚度模型有效、可靠。为了建立符合实际工况的轴承时变刚度模型，必须同时考虑赫兹接触刚度和油膜刚度的综合作用。
图3 油膜刚度和耦合刚度变化规律
Fig. 3 Variations law of oil film stiffness and coupling stiffness
3 高速轴承转子系统非线性动力学模型
在高速工况下，必须考虑钢球离心力、时变接触角、时变刚度和时变阻尼等非线性因素对滚动轴承转子系统的振动特性影响，本文基于高速球轴承动力学模型建立六自由度滚动轴承转子系统非线性动力学模型，如图4所示。2套7308C轴承背对背安装，将钢球与滚道接触模拟成弹簧-阻尼系统，外圈固定，内圈与转子固定旋转。该轴承转子系统沿x，y和z轴平动，并且绕x，y和z轴转动。重力方向沿着x轴负方向。
图4 滚动轴承转子系统简化模型
Fig. 4 Simplified model of rolling bearing rotor system
3.1 时变位移计算
在工况条件下，轴承时变接触角导致任意角位置
处钢球与滚道之间变形不同，钢球位移实时变化。根据BABU等[3]的研究成果得出轴承转子系统两端轴承钢球时变位移公式如下：
(24)
(25)
式中：δ为钢球位移，下标L和R表示左侧和右侧轴承；XL，YL和ZL分别为左端轴承内圈沿x，y和z方向的位移，XR，YR和ZR分别为右端轴承内圈沿x，y和z方向的位移；
，
和
分别为转子绕x，y和z方向的转动角度；δep为轴向预紧力诱导接触变形量；
为预载荷引起的接触角；
。
3.2 摩擦力矩计算
文献[20]指出考虑摩擦力矩的轴承动力学模型更加适用轴承转子系统高速工况研究。载荷摩擦力矩计算公式如下：
(26)
式中：
为与轴承结构和载荷相关的系数；和分别为轴承所受的径向力和轴向力。
润滑摩擦力矩计算公式如下：
(27)
式中：
为与轴承类型相关的系数；
为润滑油运动黏度；
为轴转速。
总的摩擦力矩计算公式如下：
(28)
3.3 滚动轴承转子系统动力学方程组
在轴承载荷和转速作用下，钢球与滚道的时变接触力计算公式如下：
(29)
式中：
为轴承时变阻尼，可由式(15)计算；
等为轴承时变刚度，用式(23)计算；
用式(24)和(25)计算；
为的导数。
在运动控制方程推导中，综合考虑了钢球与滚道的时变接触力、摩擦力矩以及外加载荷Fx，Fy和Fz。轴承转子系统非线性动力学方程为
(30)
式中：
为转子质量；
，
和
分别为转子在x，y和z方向上的转动惯量；
，
和
分别为系统所受沿x，y和z方向的载荷；
为左侧轴承距离转子质心的距离；
为右侧轴承距离转子质心的距离；
为施加载荷位置与左侧轴承位置之间的距离。轴承转子系统非线性动力学模型求解流程如图5所示。
图5 滚动轴承转子系统动力学模型求解流程
Fig. 5 Flow chart for solving dynamic model of rolling bearing rotor system
4 模型有效性验证
为了分析高速和低速状态下滚动轴承转子系统非线性动力学模型有效性，将无油膜和有油膜作用的2种情况滚动轴承转子系统振动特性对比分析。无油膜时，轴承阻尼与赫兹接触刚度之比为2.5×10-6~2.5×10-5。采用表1中7308C轴承参数，建立的轴承转子系统参数如表2所示。
表2 轴承转子系统参数
Table 2 Bearing rotor system parameters
图6 转速为1 000 r/min和10 000 r/min时x方向振动速度频谱
Fig. 6 Frequency spectrum of x-direction vibration speed at 1 000 r/min and 10 000 r/min
当转速为1 000 r/min 和10 000 r/min时，x方向振动速度频谱如图6所示。由图6可知，在无润滑状态下，转速为1 000 r/min时，系统外圈通过频率为51.726 Hz，10 000 r/min时，系统外圈通过频率为517.26 Hz；在油膜润滑状态、1 000 r/min时，系统外圈通过频率为51.99 Hz，10 000 r/min时，系统外圈通过频率为519.9 Hz。该模型研究结论与BABU模型[3]和LIU模型[4]的研究结论相符合，因为采用常值设置油膜刚度和阻尼建立轴承转子系统模型获得的系统外圈通过频率与理论计算结果一致。其次，无润滑状态系统振动幅度大于油膜润滑状态系统振动幅度，这与文献[21]中结论一致。因此，可以推断本文滚动轴承转子系统非线性动力学模型有效、可靠。与低速状态系统振幅比较，高速状态系统振幅增加了2个数量级，这说明系统转速对滚动轴承转子系统动态行为有显著影响。
图7 转速为1 000 r/min 和10 000 r/min时x方向振动速度频谱图
Fig. 7 Spectrum of x-direction vibration velocity at 1 000 r/min and 10 000 r/min
图7所示为转速1 000 r/min和10 000 r/min时x方向振动速度频谱图。由图7可知：在低速(1 000 r/min)和高速(10 000 r/min)状态，润滑摩擦力矩作用时系统振动幅度明显大于无摩擦力矩作用时系统振动幅度，总摩擦力矩作用时系统振动幅度也明显大于润滑摩擦力矩作用时系统振动幅度。这是因为轴承赫兹接触力和油膜厚度瞬态变化导致轴承摩擦力矩发生变化，摩擦力矩变化显著提高滚动轴承转子系统振动幅度，这与BABU等[3]的研究结果一致。因此，考虑时变摩擦力矩建立高速轴承转子系统动力性模型至关重要。
5 结论
1) 采用瞬态弹流动力润滑接触理论，结合Reynolds方程、油膜厚度方程和自由振动方程建立了钢球与滚道的油膜时变刚度和时变阻尼模型，结合钢球与滚道的时变接触刚度模型确定了轴承时变刚度和时变阻尼计算方法，证明了该轴承时变刚度和时变阻尼计算方法适用于轴承高转速工况。
2) 确定了高速轴承转子系统时变位移和摩擦力矩计算方法，结合高速球轴承动力学模型建立了非线性多因素耦合的高转速轴承转子系统动力学模型。本文所建立的滚动轴承转子系统非线性动力学模型有效、可靠。
3) 高速时系统振幅相对低速时系统振幅增加了2个数量级，这说明系统转速对滚动轴承转子系统动态行为具有显著影响。此外，轴承摩擦力矩显著提高了滚动轴承转子系统振动幅度，这说明建立符合工程实际的高速滚动轴承转子系统非线性动力学模型时，摩擦力矩是一个不可忽视的影响因素。
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(编辑 秦明阳)
收稿日期： 2020 -03 -14; 修回日期： 2020 -06 -02
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51605354)；湖北省技术创新专项重大项目(2018AAA030) (Project(51605354) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2018AAA030) supported by the Major Program of Science and Technology Program of Hubei Province)
通信作者：邓松，博士，副教授，从事高速轴承设计与动力学研究；E-mail: guoheng0722@126.com
引用格式： 郝丽娜, 邓松, 钱东升, 等. 非线性多因素作用高速轴承转子系统动力学模型[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2021, 52(2): 400-409.
Citation: HAO Lina, DENG Song, QIAN Dongsheng, et al. Dynamic model of nonlinear multi-factor high speed bearing rotor system[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2021, 52(2): 400-409.
