DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.034
非达西渗流与变渗透系数下的大变形固结分析
李刚1, 2，张金利1, 2，杨庆1, 2，蒋明镜3
(1. 大连理工大学 土木工程学院，辽宁 大连，116024；
2. 大连理工大学 海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁 大连，116024；
3. 同济大学 地下建筑与工程系，上海，200092)
摘要：基于大变形固结理论，考虑非Darcy渗流与渗透系数变化的耦合作用，建立平面固结问题的控制方程与有限元方程。采用所编制的计算程序，对某一黏性土体固结过程进行数值计算。通过变动参数，探讨非Darcy渗流与渗透系数变化的影响。研究结果表明：固结初期，渗透系数变化可引起浅部土层超孔压消散滞后，固结中后期，整个土层均存在超孔压滞后现象，且随参数αc的增大而更加明显。参数m对固结过程的影响与参数αc相似，而参数iL的影响则相对较小。当考虑参数αc与m共同影响时，固结度降低与超孔压滞后更加显著。
关键词：大变形；非Darcy渗流；变渗透系数；固结度；超孔压
中图分类号：TU43 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2016)03-0977-07
Analysis of large-strain consolidation with non-Darcy flow and variable permeability coefficient
LI Gang1, 2, ZHANG Jinli1, 2, YANG Qing1, 2, JIANG Mingjing3
(1. School of Civil Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China;
2. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China;
3. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)
Abstract: The finite element equations and governing equations of plane consolidation were deduced with non-Darcy flow and variable permeability coefficient based on large-strain consolidation theory. The consolidation process of clay foundation was analyzed by the program developed by the finite element equations. The influence of non-Darcy flow and variable permeability coefficient on consolidation was studied by parameters changing. The results indicate that variable permeability coefficient delays the dissipation of excess pore water pressure in shallow soil layers in the early stage of consolidation, and then the phenomenon exists in the whole soil layers in the middle and later stage. The effect on consolidation is more obvious with the increase of αc. The influence of m on consolidation process is the same as αc, whereas iL is smaller than them. The decrease of degree of consolidation and the lag of excess pore water pressure are more obvious when the influence of αc and m in the meantime is considered.
Key words: large-strain; non-Darcy flow; variable permeability coefficient; degree of consolidation; excess pore water pressure
Biot固结理论是在诸多假设的基础上利用平衡方程与连续方程推导而来的，其中假设水在土中的渗流遵循Darcy定律。试验研究表明[1-4]，黏土中的渗流在水力梯度较小时，可能为非线性渗流。HANSBO[5-6]认为黏土中的渗流具有临界水力梯度。刘忠玉等[7-8]用有限体积法对基于Hansbo非Darcy渗流的Terzaghi固结方程进行了求解，研究了非Darcy渗流参数对固结过程的影响。刘加才等[9]基于Hansbo渗流模型，采用Galerkin加权残值法推导了半透水边界条件下一维非Darcy渗流固结方程，并对固结特性进行了分析。李传勋等[10]采用Hansbo非Darcy渗流模型，考虑施工中变荷载的影响，对成层地基一维固结问题进行了数值求解与分析。以上研究结果表明，非Darcy渗流延缓了孔隙水压力的消散，使固结速率比Darcy渗流时的小。土体在固结过程中，孔隙比降低，密度增加，进而渗透系数随之降低。吕卫清等[11]考虑先期固结压力的影响，推导了正常固结黏土渗透系数与固结应力的关系表达式，并与室内试验结果进行了对比。李又云等[12]基于试验结果给出了原状土与重塑土的渗透系数与孔隙比的关系式。谢新宇等[13]基于大变形固结理论，研究了渗透系数变化对一维固结性状的影响。
本文作者基于大变形固结理论[14-15]，考虑Hansbo非Darcy渗流与渗透系数随固结过程变化的影响，用加权残值法推导了平面固结有限元方程，通过数值计算探讨了非Darcy渗流与渗透系数变化对固结过程的影响。
1 非线性渗流下固结控制方程
1.1 考虑渗透系数变化的非Darcy渗流方程
大量试验结果表明，对于黏性土，在较小水力梯度下，渗流不符合Darcy定律。HANSBO[5-6]基于试验给出渗流速度v与水力梯度i之间关系式
(1)
式中：c和k分别为曲线段与直线段的渗透系数；m为试验常数，取值范围为1.2~1.5；i0为计算起始水力梯度；iL为线性渗流起始水力梯度，取值范围为4~10。
正常固结土的孔隙比e与平均有效应力
的关系可表示为
(2)
式中：e0为初始孔隙比；Cc为压缩指数；
为初始平均有效应力。
由式(2)可知，e随的增大而减小。而黏性土的渗透系数与孔隙比有关，因此，在固结过程中渗透系数是不断变化的而非常数。TAYLOR[16]基于试验结果得出渗透系数k与孔隙比e具有以下关系
(3)
式中：k0为初始渗透系数；e0为初始孔隙比；Ck为渗透系数变化指数。对于黏性土，TAVENAS等[17]建议当e0＜2.5时，取Ck=0.5e0。将式(2)代入式(3)得
(4)
式中：
，取值范围为0.5~1.5。
利用式(1)在分界点处的连续条件，可以求得参数c与i0，将式(4)代入式(1)得到考虑渗透系数变化的非Darcy渗流方程为
(5)
1.2 平衡方程
在静荷载下(惯性力为0)，平面问题的平衡方程写成矩阵形式为
(6)
式中：L为微分算子矩阵，
；S为Kirchhoff应力矩阵，
；f0为体力荷载矩阵，
。
1.3 有效应力原理
饱和土的有效应力原理写成矩阵形式为
(7)
式中：
为有效应力矩阵，
；T为选项矢量，
；pow为孔隙水压力。
1.4 大变形下的几何方程
大变形几何方程要考虑几何非线性效应，其矩阵形式为
(8)
式中：E为Green应变矩阵，
；EL为几何线性应变矩阵，
；EN为几何非线性应变矩阵，
。其中矩阵L的定义与小变形时相同，矩阵A与
的表达形式见文献[14]。
1.5 本构方程
建立在物质构形上的弹性本构方程可表示为
(9)
式中：D为本构矩阵，在平面应变下，
，
，
。
1.6 连续方程
在饱和土中，单元体内水量的变化率在数值上等于土体积的变化率，即
(10)
式中：vx和vy分别为x与y方向的渗流速度；u和v分别为x与y方向的位移。式(5)可表示为
(11)
式中：下标ψ可取x或y；当水力梯度方向与微元体正方向相同时，Sψ为1；方向相反时，Sψ为-1。将式(11)对ψ求导得
(12)
式中：
；
；
；
；
。
式(12)也可表示为
(13)
其中：
(14)
将式(13)代入式(10)中得到
(15)
写成矩阵形式为
(16)
式中：H为渗流控制矩阵，
；k0为初始渗透系数矩阵，
。
2 非线性渗流下固结有限元方程
2.1 位移与孔压模式选取
平面八结点等参单元如图1所示，对于平面固结问题，选取八结点四边形等参单元进行离散，其中位移结点为8个，孔压结点为4个。单元的位移函数与孔压函数为
(17)
式中：
，
和
分别为单元内任一点的x方向位移、y方向位移和孔压近似值；ui，vi和pj分别为结点x方向位移、y方向位移和孔压；Ni与Nj分别为位移与孔压形函数。
(18)
(19)
图1 平面八结点等参单元
Fig.1 Plane eight-node isoparametric element
式中：
；
。
2.2 平衡方程离散
将有效应力原理和本构方程代入平衡方程中，结合几何方程得到离散后的平衡方程为[18]
(20)
式中：
为刚度矩阵；
为耦合矩阵；
为等效结点荷载矢量；
为等效结点力矢量；
和
分别为单元的结点位移与超孔压增量，
；
；
；
；
；
。
2.3 连续方程离散
采用Galerkin加权残值法与差分法分别对连续方程进行空间与时域离散，得到离散后的连续方程为[18]
(21)
式中：θ为差分系数，取值范围为0.5~1.0，若取θ=0.5，则属中心差分格式；
为渗流矩阵；
为边界流量等效结点力矢量。具体计算式如下：
，
；
，
。
3 非线性渗流的数值实现
由前述的有限元方程可知，在考虑非线性渗流时，渗流矩阵KSP中增加了一项渗流控制矩阵H，计算时需要根据应力与孔压来更新控制矩阵H。为计算KSP，在计算的初始时步，设H为单位阵，在随后的计算中，通过前一时步得到的有效应力与结点孔压来计算H，由此得到KSP。
为计算水力梯度iψ，在局部坐标系下(如图1所示)，设j时刻结点孔压为
(i表示结点，j表示时刻)，则j+1时刻的水力梯度
可按下式计算：
(22)
当水力梯度iψ确定后，
即可求得，而
可按下式计算：
(23)
4 计算结果与分析
基于所建立的考虑非Darcy渗流与渗透系数变化下的大变形固结有限元方程，采用所编制的计算程序，针对厚度为20 m的黏性土体在不同荷载下的固结过程进行计算[19-20]。该黏性土的压缩模量Es=0.6 MPa，泊松比
=0.4，初始渗透系数k0=0.1 μm/s；计算模型采用上排水条件。均布荷载瞬时施加，荷载分别为50 kPa与100 kPa。
4.1 数值解与近似解析解的对比分析
为验证本文建立的有限元方程及计算程序的可靠性，令渗流控制矩阵H为单位阵，则可退化为线性渗流下的大变形固结问题。图2所示为近似解析解[19-20]与数值解的对比。由图2可见：在不同荷载下，数值解与近似解析解的沉降随时间变化曲线吻合较好，表明本文所建立的有限元方程及程序可信。
图2 数值解与近似解析解的比较
Fig. 2 Comparison between numerical solutions and approximate analytic solutions
4.2 非Darcy渗流对固结的影响分析
针对前述所建立的计算模型，为分析非Darcy渗流对固结的影响，当P0=100 kPa，αc=0时，对2种工况进行具体分析：工况1) m=1.2， iL分别为4，7，10；工况2) iL=4，m分别为1.2，1.3，1.4。计算结果分别如图3和图4所示。在渗透系数不变，仅考虑非Darcy渗流时，为达到线性渗流需要较大的水力梯度。因此，当土层中的水力梯度较小时，渗流具有非线性性质，导致其渗流速度降低，由图3(a)可见：与Darcy渗流相比，在达到相同平均固结度时，非Darcy渗流所需时间较长。且随iL增大所需固结时间略有增加，但影响不大。由图3(b)可见：非Darcy渗流延迟了超孔压的消散，且随iL的增加延迟作用越明显，这与文献[7-9]的结论一致。当t=10 d时，在土层的中间部位，非Darcy渗流引起的超孔压消散滞后现象明显。随固结时间的延长，非Darcy渗流引起的超孔压消散滞后现象扩展到整个土层。
由图4(a)可见：参数m对平均固结度的影响与iL相似，与Darcy渗流相比，随m的增大，土层达到相同固结度时所需时间有所增加，且参数m较iL对固结的影响略大。由图4(b)可见：在固结初期，参数m对超孔压的影响规律与iL基本接近。在固结中后期，参数m对超孔压消散具有较大的滞后作用，且随m的增加效果越来越明显。
4.3 渗透系数变化对固结的影响分析
在常规的固结分析中，通常忽略渗透系数随固结发生变化。为分析固结过程中渗透系数变化的影响，在iL=4.0，m=1.0，P0=100 kPa，参数αc分别为0.5，1.0，1.5，探讨αc对平均固结度与超孔压的影响，计算结果如图5所示。由图5(a)可见：随着αc的增加，土层渗透系数降低，导致渗流量下降，超孔压消散缓慢，与不考虑渗透系数变化情况相比，土层达到相同固结度的时间增加。由图5(b)可见：在固结初期，由于土层上部接近排水面，因有效应力增加较快，引起该处土层渗透系数降低，导致超孔压消散滞后。随着固结时间的增加，整个土层有效应力均不同程度增大，导致渗透系数相应下降，引起整个土层超孔压消散滞后。由此可见，在土体固结分析时，应考虑渗透系数随固结降低特性对固结过程的影响。
图3 iL对固结的影响
Fig. 3 Influence of iL on consolidation
图4 m对固结的影响
Fig. 4 Influence of m on consolidation
图5 αc对固结的影响
Fig. 5 Influence of αc on consolidation
4.4 非Darcy渗流与渗透系数变化对固结的影响
为分析非Darcy渗流与渗透系数随固结变化的耦合影响，针对以下5种工况进行计算：1) iL=4，m=1.2，αc=0.5；2) iL=4，m=1.5，αc=0.5；3) iL=10，m=1.2，αc=0.5；4) iL=4，m=1.2，αc=1.5；5) iL=4，m=1.5，αc=1.5。计算结果如图6所示。由图6(a)可见：当考虑非Darcy渗流与渗透系数随固结而变化的耦合影响时，土层达到相同固结度所需时间较忽略两者影响时显著增加，且随参数m，iL和αc的增大而增加。其中，参数m与αc变化对土层固结影响较大，而参数iL的影响相对较小。因此，在黏性土的固结分析时，应考虑上述2种机制的耦合影响。由图6(b)可见：当考虑非Darcy渗流与渗透系数变化的耦合影响时，在固结初期，浅部土层的超孔压滞后现象较为明显，主要由渗透系数降低引起。在固结中后期，超孔压滞后现象更加明显，且随参数m和αc的增加而增大。
图6 非Darcy渗流与变渗透系数对固结的影响
Fig. 6 Influence of non-Darcy flow and variable permeability coefficient on consolidation
5 结论
1) 在土体固结初期，渗透系数随固结而降低，引起浅部土层超孔压消散滞后，固结度降低，而在土体固结中后期，整个土层均存在超孔压消散滞后现象，且随参数αc的增大而更加明显。
2) 在非Darcy渗流下，在土体固结中后期，参数m同样可引起超孔压滞后，且随m的增大滞后效应越明显，而参数iL的影响相对较小。
3) 在进行黏性土固结分析时，考虑非Darcy渗流与渗透系数随固结变化的耦合影响下，超孔压消散显著滞后，且随参数m与αc的增大滞后现象越来越明显。
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(编辑 赵俊)
收稿日期：2015-03-07；修回日期：2015-05-15
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(41572252) (Project(41572252) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：杨庆，博士，教授，从事岩土工程及工程地质的研究；E-mail:qyang@dlut.edu.cn
