行波输入下双单自由度体系结构的最大振动相对位移
周光伟1，李建中2，陈昌萍1
(1. 厦门理工学院 土木工程与建筑系，福建 厦门，361024；
2. 同济大学 土木工程学院，上海，200092)
摘要：在地震行波输入下，双单自由度体系结构由于行波激励引起的不同向振动会导致较大的相对位移。基于随机振动理论方法，首先推导行波输入下双单自由度体系结构最大振动的相对位移公式，然后分析该结构的结构动力特性对相关系数的影响。研究结果表明：结构的相关系数及其幅值会随着两相邻结构基本周期数值的接近而增大，相关系数会随着结构阻尼比的增大而增大。然后在相关系数的幅值特性进行研究和参数分析结果的基础上提出了最小周期比限值拟合曲线，结果表明当双单自由度体系结构的最小周期比小于最小周期比限值时，系统的最大振动相对位移计算公式中可以忽略相关系数的影响，从而使计算大为简化。最后通过工程实例描述最大振动相对位移计算公式的工程应用。研究结果对该类体系结构在实际工程中的应用具有一定的理论和指导意义。
关键词：双单自由度体系结构；振动相对位移；行波；相关系数；地震
中图分类号：U448 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2013)08-3512-08
Dynamic relative displacement for two single-degree-of-freedom systems under earthquake excitation of traveling waves
ZHOU Guangwei1, LI Jianzhong2, CHEN Changping1
(1. Department of Civil Engineering, Xiamen University of Technology, Xiamen 361024, China;
2. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)
Abstract: In the traveling seismic wave input, a greater relative displacement of two single-degree-of-freedom systems were caused due to different vibrations. Based on the theory of random vibration method, the maximum vibration displacement formula was deduced and the correlation coefficient was studied. Analysis results show that when the two adjacent structure natural periods are more close, the correlation coefficient and its amplitude are bigger, and when the difference of natural periods is great, correlation coefficient is small; The damping ratio is higher when the correlation coefficients is larger. Based on the correlation coefficient amplitude characteristic research and the results of parameter analysis, the curve fitting of minimal period ratio Limit value was put forward. When the minimal period ratio of the two single degree of freedom systems is less than its limit value, the maximum vibration displacement calculation formula may can ignore the effect of correlation coefficient. Finally, through an example the engineering application of the maximum vibration displacement formula was demonstrated. The results of this study have certain theoretical significance and guidance on the application in actual project.
Key words: two single-degree-of-freedom system; dynamic relative displacement; traveling waves; correlation coefficients; earthquake
目前，各国学者对大跨超长或大空间结构的行波效应进行了大量研究[1-6]，认为行波效应是影响结构地震反应性能的一个重要影响因素，地震行波效应可能使结构地震反应明显增大，如采用一致输入会使设计偏于不安全。对于多联多跨梁桥，地震动的行波效应可能引起相邻结构的不同向运动，造成伸缩缝处相邻梁体较大的相对位移，从而增加了桥梁上部梁体落梁或碰撞发生的可能性[7-11]。因此，评估地震行波输入下伸缩缝处相邻梁体相对位移具有极其重要的意义，但其前提是要解决相邻结构最大相对位移的计算问题，而相关研究较少。规则梁式桥纵桥向抗震分析时可以近似为单自由度体系，相邻联梁体相对位移计算则可简化为双单自由度体系结构。双单自由度体系结构在地震行波输入下产生拟静力相对位移和振动相对位移，本文作者结合我国多联多跨梁桥的结构特点，主要探讨双单自由度体系结构最大振动相对位移的计算方法及其特点。
1 双单自由度体系结构最大振动相对位移公式
双单自由度体系结构如图1所示，为了对最大振动相对位移进行一般性的讨论，假定地震动输入是一白噪声的平稳随机过程，采用随机振动理论探讨行波输入下该结构最大振动相对位移的计算方法。
图1 双单自由度体系结构
Fig. 1 Two single-degree-of-freedom systems
在延时为τ的地震行波输入下，双单自由度体系结构的运动方程：
(1)
式中：uA(t)和uB(t)分别为质点mA和mB相对于基础的动力反应位移，它们频率分别为ωA和ωB，对应的阻尼比为ζA和ζB。则质点mA和mB振动相对位移uREL,s,AB(t)为：
(2)
振动相对位移uREL,s,AB(t)的二阶矩可表示为：
(3)
定义相关系数ρAB为：
(4)
假定地震动输入是一白噪声的平稳随机过程，利用Chakravorty(1972)围道积分的结论[12]可得：
(5)
(6)
式中：
；
；
；
一般用位移的均方根值来表示它的位移峰值，于是可以得到双单自由度体系结构的最大振动相对位移公式：
(7)
式中：uA,max和uB,max分别为两自由度体系各自最大地震反应位移。由式(7)可知：振动相对位移的行波效应主要通过相关系数ρAB来反映。
2 结构动力特性对相关系数的影响
由相关系数的表达式可知：两自由度系统振动反应的相关系数ρAB不但与结构本身的动力特性有关，还取决于行波的时间延时τ，下面主要探讨结构动力特性对相关系数的影响。
2.1 相邻结构周期比对相关系数的影响
为了探讨两相邻结构周期比对相关系数的影响，取结构B的基本周期TB=1.8 s，阻尼比取0.05，以周期比TA/TB为变量(TA为结构A的基本周期)，取值范围为0.1~1.0，同时考虑到行波输入具有方向性， 分别对ρAB和ρBA进行计算，其中ρAB表示地震行波输入的方向为A到B，而ρBA表示地震行波输入的方向为B到A，分析结果如图2所示。
从图2的分析结果可以看出：
(1) 当两相邻结构基本周期越接近，相关系数越大，而当基本周期相差越大时，相关系数较小；当周期比小于0.2时，相关系数小于0.1。
图2 不同周期比相邻结构的相关系数随延时τ的变化
Fig. 2 Correlation coefficient of adjacent structures with different period ratios
(2) 从较长周期结构方向输入时，相关系数ρBA较大，随延时τ的变化平缓，相关系数的幅值衰减慢。当从较短周期结构方向输入时，相关系数ρBA较小，随延时τ变化剧烈，相关系数的幅值衰减快。
(3) 相关系数ρAB随延时τ的增大呈周期函数衰减，随着延时的增加相关系数ρAB越来越小，当延时τ趋向无穷大时，相关系数ρAB也趋向于零。
2.2 结构阻尼比对相关系数的影响
为了探讨结构阻尼比对相关系数的影响，取结构B的基本周期TB=1.8 s，假定两单自由度结构的阻尼比相同，取阻尼比分别为ζ=0.01，ζ=0.05和ζ=0.1，周期比TA/TB取0.2，0.5和0.7 3种情况，同时考虑到行波输入具有方向性，分别对ρAB和ρBA进行计算，分析结果如图3所示。
从图3可以看出：地震行波无论是从左边到右边输入还是从右边到左边输入，阻尼比越大时相关系数越大；同时阻尼比较大时相关系数ρBA随延时τ变化剧烈，相关系数的幅值衰减快，反之，当阻尼比较小时，相关系数ρBA随延时τ变化平缓，相关系数的幅值衰减慢。
图3 不同阻尼比相邻结构的相关系数随延时τ的变化
Fig. 3 Correlation coefficient of adjacent structures with different damping ratios
3 相关系数幅值特性
将式(6)写成如下单项形式：
(8)
式中：
由式(8)可知：弱阻尼的相关系数ρAB(τ)是以ωd,A为圆频率，振幅
关于延时τ的周期性衰减函数，其曲线如图4所示。弱阻尼下ζ2的值与1相比很小，故有ωd,A≈ωA。若用An表示某一延时τ的幅值，An+1表示经过一个周期Td,A后的幅值，则有
(9)
图4 相关系数ρAB随延时τ的变化曲线
Fig. 4 Correlation coefficient curve
式(9)表明：当延时相隔一个周期后的2个幅值之比为一常数，即相关系数的幅值是按等比级数递减的。结构阻尼比越大，振幅衰减越快。
取ζA=ζB=ζ，ωA=ωd,A，ωB=ωd,B，并令周期比为：
对式(7)中的幅值A进行变换，则相关系数幅值可以表示成如下形式：
(10)
为了探讨相关系数幅值A与周期比和阻尼比的关系，在两相邻结构取不同阻尼比时，分别计算各周期比情况下的相关系数幅值A，其中阻尼比分别取0.02，0.05，0.08，0.10，0.15和0.20共6种工况，计算结果如图5所示。
从图5可以看出：当两相邻结构周期比较接近时，相关系数幅值较大，而当两相邻结构周期相隔较远时，则幅值A趋向于零，从而相关系数ρ也趋向于零。
4 最小周期比限值γmin拟合曲线
相关系数计算较为复杂，但在特定情况下可以忽略相关系数的影响，从而使最大振动相对位移计算简化。一般认为[13]：当ρ＜0.1时，可以认为式(7)中的2ρABuA,maxuB,max项接近于零，从而可以忽略该项的影响。取相关系数幅值A=0.1，可以求得各阻尼比情况下与之相应的周期比。定义最小周期比限值γmin为两相邻结构中较短周期与较长周期的比，进而可以得到不同结构阻尼比的最小周期比限值，计算结果如表1所示。
表1 最小周期比限值
Table 1 Limit value of minimal period ratio
由表1可以看出：考虑行波效应的双单自由度体系结构，要使相关系数的幅值A＜0.1，对于不同的阻尼比，最小周期比限值γmin一般由它的最大周期比γAB,max控制。根据各阻尼比的参数分析结果，相关系数幅值小于0.1对应的最小周期比限值γmin可以拟合成如下计算公式：
(11)
因此可以根据式(11)由结构阻尼比很方便的求出最小周期比限值γmin，当相邻结构周期比小于该值时，可以忽略相关系数项的影响，从而使双单自由度体系结构最大振动相对位移计算大大简化。这时最大相对位移式(7)可以简化为：
(12)
图5 相关系数ρAB随延时τ的变化曲线
Fig. 5 Correlation coefficient with time delay changes
图6 最小周期比限值γmin拟合曲线
Fig. 6 Fitting curve of limit value of minimal period ratio
5 工程应用实例
图7所示为两联多跨连续梁桥。如图7所示，某2联多跨预应力混凝土连续梁桥，第1联等效成单自由度集中质量为2 500 t，跨径为4×25 m，固定支座墩抗推刚度为3.26×105 kN/m，第2联等效成单自由度集中质量为3 580 t，跨径为4×40 m， 固定支座墩抗推刚度为5.18×104 kN/m，忽略滑动摩阻系数的影响，Ⅲ类场地，设计地震动加速度为0.2g，该桥抗震设防类别为C类，假定结构阻尼比为0.03，考虑行波效应的影响，求在E1地震作用下伸缩缝处最大振动相对位移。
对于多跨连续梁桥，由于桥梁的主要质量集中在上部，固定墩自身的质量相对较小，根据文献[14-15]的研究结论，两相邻联最大振动相对位移可以简化为双单自由度体系结构来进行计算。
图7 两联多跨连续梁桥
Fig. 7 Two of the continuous beam bridge
第1联和第2联基本周期分别为：
s
s
由《公路桥梁抗震设计细则》[14]可分别求得到第1联和第2联的最大振动位移：
u1,max=3.4 mm；u2,max=9.7 mm
最小周期比限值为：
两相邻结构最小周期比为：
因此可以不考虑相关系数的影响，最大振动相对位移时可以按式(12)进行计算，则
6 结论
(1) 推导了地震行波输入下双单自由度体系结构的最大振动相对位移公式，最大振动相对位移不但与各单自由度结构独立的最大振动位移有关，还与它们的相关系数有关。
(2) 当两相邻结构基本周期越接近，相关系数越大，而当基本周期相差越大时，相关系数较小；阻尼比越大时相关系数越大，且相关系数的幅值衰减较快。
(3) 相关系数的幅值随延时按等比级数递减，结构阻尼比越大，衰减越快。当两相邻结构周期比较接近时，相关系数幅值较大，而当两相邻结构周期相隔较远时，则幅值较小。
(4) 提出了最小周期比限值拟和曲线，当双单自由度体系结构最小周期比小于最小周期比限值时，最大振动相对位移计算公式可以不考虑相关系数的影响，使计算大为简化。
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(编辑 陈爱华)
收稿日期：2012-10-08；修回日期：2012-12-29
基金项目：国家自然科学基金资助项目(50578118)；福建省教育厅A类科技项目(JA11237)
通信作者：周光伟(1972-) 男，湖南汨罗人，博士，讲师，从事桥梁抗震研究；电话：13950141690；E-mail：gwzhou@xmut.edu.cn
