具有随机时滞和丢包的非线性网络控制系统的H∞滤波器设计
赵立英，窦立亚
(北京科技大学 数理学院，北京，100083)
摘要：对于一类具有混合随机时滞和丢包的离散非线性网络控制系统，研究其H∞滤波问题。这里混合随机时滞包括网络诱导时滞和离散无限的分布时滞。网络诱导时滞取值于一个有限的集合
，每个时滞
(i=1，2，…，q)的发生概率已知。通过构造一个新的Lyapunov泛函，给出保证系统均方渐近稳定并满足一定的H∞性能的滤波器存在的充分性条件，以及使系统镇定的滤波器设计程序。最后通过数值算例仿真，证明本文给出的滤波器设计的有效性。
关键词：离散非线性系统；H∞滤波器；混合随机时滞；网络控制系统；丢包
中图分类号：TP13 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2014)12-4224-08
H∞ filter design for networked nonlinear systems with random delay and packet dropouts
ZHAO Liying, DOU Liya
(School of Mathematics and Physics, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)
Abstract: The H∞ filtering problem of discrete networked nonlinear systems with mixed random time delays and packet dropouts were investigated. The mixed random time-delays consist of network induced time delay and discrete infinite distributed delays. The network induced time delay dk takes values in a finite set, that is , the occurrence probabilities of the delays (i=1, 2, …, q), are known. By introducing a novel Lyapunov functional, sufficient conditions for the existence of an admissible filter are established, which ensure the asymptotical mean-square stability as well as a prescribed H∞ performance. And the filtering process is also presented. Finally, simulation results show the effectiveness of the proposed filter.
Key words: discrete-time nonlinear systems; H∞ filter; mixed random delays; networked control systems; packet dropouts
滤波已经成为控制和信号处理过程的关键问题。对于一个给定的带有测量误差的系统，滤波用来估计无法测得的状态变量[1-2]。滤波系统通过网络传输信号被称为基于网络的滤波系统。基于网络的系统有很多优点，例如成本低，易于安装维护，可实现远程操作和控制，灵活性高等，受到了广泛的关注[3-4]。然而，传输网络通常是不可靠的，会出现数据包丢失和网络诱导时滞等现象，这将明显降低系统的性能，所以，需研究更准确地建模以及进行量化估计[5-8]。近年来，基于网络系统的滤波问题已取得一些研究成果，大部分成果是通过Kalman滤波方法得到的。Kalman滤波方法是目前处理状态估计问题应用最广泛、有效的方法，但它要求系统模型是精确的，并且外部噪声的统计信息准确已知，这些假设在实际应用中不易达到。H∞滤波不要求精确的外部扰动信息，并能保证一定的噪声衰减率及对噪声的鲁棒性，对网络控制系统的H∞滤波问题的研究逐渐出现[9-17]。对带有时滞、丢包和模型不确定性的连续网络控制系统，Yang等[5]给出了其H∞滤波器设计过程。Yue等[10]研究了带有多重随机丢包的离散网络控制系统的H∞滤波问题，滤波误差系统被描述成一个离散的马尔可夫系统。本文作者研究的网络控制系统是带有非线性项的离散非线性网络控制系统。在网络控制系统中，由于信号在网络中传输可能发生数据拥堵现象，网络诱导时滞可能是变化的，考虑的网络诱导时滞取值于一个有限的集合
，每个时滞
，i=1，2，…，q的发生概率已知，也考虑了丢包以及分布时滞对系统的影响[5]，并对滤波误差系统进行建模，构造Lyapunov泛函，设计出使系统稳定的H∞滤波器。
1 问题描述
考虑以下带有混合随机时滞和丢包的离散非线性网络系统：
；
；
；
(1)
式中：
为状态向量，
为系统输出，
为要估计的信号；
为外部扰动且属于
；
，
为非线性函数；初始条件为
。
假设离散时滞dk取值于一个有限的集合，即，
相互独立且分布情况相同，发生概率如下：
(2)
其中：
为1个正的标量，且
。
注1：网络控制系统由网络将传感器、控制器和执行器连接组成分散式闭环反馈控制系统，一般用于实现远程操作和控制。远距离网络传输有可能受到外部一些非线性因素的影响，所以，系统(1)中引入了非线性项
，
和
。系统(1)的测量输出模型考虑了测量丢失的情况，当
，且实际信号被丢失时，此时系统输出只包含噪声，在实际应用中目标跟踪就是这种情况。
注2：很多已有研究离散时间时滞系统的文献都建立在以下假设下：
(3)
假设(2)与假设(3)有很大不同，并且具有有一些优点。假设dk在{1，3}中取值，若利用假设(3)，此时dm=1，dM=3，这就相当于假设dk也可以取值为dk=2，这就造成对系统的实际时滞描述不精确[3]。
常数
，满足以下收敛条件：
，
(4)
条件(4)是为了保证式(1)以及Lyapunov泛函中的
是收敛的。
注3：系统(1)包含无限分布时滞项
，它可以看成积分项
的离散化形式[5]。该项的引入可以研究分布时滞对网络控制系统的影响。
式(1)中随机变量
，
，
是相互独立的，并符合Bernoulli分布的序列，满足以下分布规则：
(5)
由于网络的复杂性，在实际测量时会有一些外部噪声，引入随机变量，和用来建立离散时滞、分布时滞以及系统输出的概率模型。
根据系统输出y(k)估计z(k)，本文考虑的滤波器是线性的，形式如下：
(6)
其中：
为滤波器状态；
为估计的输出；Af，Bf和Lf为待决定的合适维数的滤波器矩阵。
引入函数
，
，可以
得到
，其中，j=1， 2，…，q。
系统(1)可以写成
(7)
定义矩阵
则式(7)可以变换为如下形式：
(8)
其中：
定义
，
，可以得到滤波误差系统：
(9)
其中：
；
；
，
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
。
注4：本文考虑的离散时滞取值于一个有限的集合，并对应于一定的发生概率，相比文献[5]，描述实际系统更精确。对系统变换时出现
，相比于文献[5]包含更多的信息。
定义1：当v(k)=0时，滤波误差系统(9)是均方渐近稳定的，对于任意初始条件，下式成立：
(10)
定义2：给定标量γ＞0，滤波误差系统(9)是均方渐近稳定的，满足H∞性能γ，在零初始条件下，对于一切非零的
，它是渐近稳定的，并且滤波误差e(k)满足
(11)
引理1[5]：设
是半正定矩阵，
，ai≥0(i=1，2，…)。若相关序列是收敛的，则以下不等式成立：
(12)
为得到主要结果，对非线性函数f(·)，g(·)和h(·)进行以下假设。
假设1：f(·)，g(·)和h(·)向量有界，且
假设2：非线性向量赋值函数f，g和h是连续的，且对于
，有
；
；
(13)
式中：L1，L2，Y1，Y2，V1和V2为常矩阵。
2 H∞滤波性能分析
在这部分，首先分析当v(k)=0时系统(9)的稳定性。
定理1：对于离散网络控制系统(1)，假定式(6)中Af，Bf和Lf是已知的，则当v(k)=0时，滤波误差系统(9)是均方渐近稳定的，如果存在正定矩阵P，Qj和Zj， (j=1，2，…，q)，使得：
(14)
式中：
；
；
；
；
；
；
；
；
。
证明：构造Lyapunov泛函如下：
；
；
；
；
(15)
当v(k)=0时，沿着系统(9)的解求V(k)的导数并取其数学期望，得到
；
(16)
式(16)可以写成：
。
。
(17)
(18)
(19)
(20)
由假设1和假设2可直接得到
；
；
(21)
式中：
；
；
。
令
·
联合式(17)~(20)得
(22)
由式(14)和(22)得
根据Lyapunov稳定性定理，对给定的滤波器参数，系统(9)是均方渐近稳定的。
下面对系统(9)进行H∞性能分析。
定理2 给定参数Af，Bf和Lf，设γ是一个正常数，且当v(k)=0时滤波误差系统(9)是均方渐近稳定的，则在零初始条件下，对于任意非零的
，滤波误差e(k)满足式(11)，如果存在正定矩阵P，Qj，Zj(j=1，2，…，q)，R，使得：
(23)
其中：
；
；
；φ22，φ33，φ44，φ55和φ66由式(11)给出。
证明 易证明当
时
，由定理1得，当v(k)=0时滤波误差系统(9)是均方渐近稳定的。为研究其在零初始条件下的H∞性能，引入性能指标：
(24)
构造与定理1相同的Lyapunov泛函，进行类似的处理，可得
(25)
则由(24)和(25)可得
其中：
。
根据式(23)，可推出J(n)≤0，则n→∞时可得。 证毕。
3 滤波器设计
为得到满足性能条件的滤波器，需要确定滤波器的参数Af，Bf和Lf，定理3给出了滤波器的设计过程。
定理3 对于离散网络控制系统(1)，给定常数γ＞0，如果存在矩阵P＞0，R＞0，Qj＞0，Zj＞0，j=1，2，…，q，X和Lf，满足：
(26)
其中：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
则存在一个滤波器(6)使得滤波误差系统(9)在v(k)=0时是均方渐近稳定的，且在零初始条件下，对于任意非零的，滤波误差e(k)满足式(11)。
若以上条件有可行解，则满足条件的H∞滤波器的参数可由X和Lf得到，
(27)
证明 对定理(2)中的(23)式中的
可写成
，其他几项可进行类似变换。
令
；
；
则式(23)等价于
应用Schur补定理，得
其中：
；
；
。
定理2中的参数可以写成以下形式：
。由此可推得式(26)和(27)。
证毕。
4 数值仿真
设系统(1)参数如下：
图1 当v(k)=0时的估计误差
Fig. 1 Estimation error when v(k)=0
假设
，概率分别为0.5，0.4，0.1，
，
，随机变量，和满足
。
令γ=0.9，非线性向量赋值函数：
易验证
；
当v(k)=0时，应用定理3，得到H∞滤波器的参数：
；
；
。
设置初始条件为
，
，
图1显示估计误差趋近于0。
假设零初始条件下，外部扰动v(k)为
图2显示此时的估计误差e(k)，网络诱导时滞dk在各采样时刻的取值如图3所示，Bernouli序列α(k)，β(k)和θ(k)如图4所示。
图2 估计误差
Fig. 2 Estimation error
图3 时滞dk的分布
Fig. 3 Distribution of the time delay dk
图4 Bernoulli序列α(k)，β(k)和θ(k)
Fig. 4 Bernoulli sequencesα(k), β(k) and θ(k)
5 结论
1) 解决了非线性网络控制系统的H∞滤波问题，网络诱导时滞在一种新的假设下，能更加准确、合理地描述时滞。
2) 应用Lyapunov方法和线性矩阵不等式进行了H∞滤波性能分析，得到了使得系统均方渐近稳定的充分条件，并给出H∞滤波器设计步骤。数值仿真算例证明了本文提出算法的有效性。
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(编辑 陈爱华)
收稿日期：2014-03-22；修回日期：2014-06-22
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61174209)(Project (61174209) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：赵立英(1965-)，女，内蒙古包头人，教授，从事鲁棒控制、网络控制等的研究；电话：13691563139；E-mail：liyingzhao@ustb.edu.cn
