钢筋混凝土拱肋破坏过程中的模态变化

蒋友宝^{1, 2}，刘扬²，张建仁²

(1. 长沙理工大学 公路工程省部共建教育部重点实验室，湖南 长沙，410004；

2. 长沙理工大学 土木与建筑学院，湖南 长沙，410004)

摘要：对一服役28 a旧桥中的2根钢筋混凝土拱肋进行加载过程中的模态试验。基于试验结果和理论分析研究钢筋混凝土拱肋破坏过程中的模态变化规律。通过对损伤进行一致损伤模式与复合损伤模式的划分，解释结构模态频率在受荷初期可能会增大的原因，分析塑性铰位置对拱肋模态频率的影响；采用曲线拟合方法研究拱肋破坏过程中一阶模态频率与所受荷载之间的函数关系。结果表明：该函数近似为二次函数。这为应用模态频率值来预测钢筋混凝土拱肋的极限荷载提供了参考。

关键词：桥梁工程；钢筋混凝土拱肋；模态频率；损伤；塑性铰

中图分类号：U446          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)01-0338-08

Modal changes in failure process for reinforced concrete arch rib

JIANG You-bao^{1, 2}, LIU Yang², ZHANG Jian-ren²

 (1. Key Laboratory of Highway Engineering, Ministry of Education,

Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China;

2. School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science and Technology,

Changsha 410004, China)

Abstract: Two reinforced concrete arch ribs, which were in service for 28 a, were removed to the laboratory. Modal experiments were performed during its loading process. Based on the experimental results and theoretical analysis, the modal changes were researched in failure process. A supposition that the structural damage can be divided into consistent damage mode and complex damage mode was given, the reason why the modal frequency increases possibly during its early loading period was explained. Then, the effect of location of plastic hinge on modal frequency was analyzed. Finally, the function between the first modal frequency and loading level in failure process was studied with the curve fitting method. The results show that the function is approximately quadratic function. This provides some suggestions for evaluation of ultimate load of the existing concrete arch rib with the application of modal frequency.

Key words: bridge engineering; reinforced concrete arch rib; modal frequency; damage; plastic hinge

钢筋混凝土桥梁在多年运营过程中，由于荷载与不良环境的共同作用，会出现各种形式的损伤，导致承载能力降低，因此，开展对既有桥梁承载能力的评定十分重要^[1]。目前，公路行业广泛应用的旧桥承载能力评定方法是一种基于荷载试验的评定方法^[2]，该方法主要验算旧桥的当前状况是否满足现行设计规范的要求，而不是给出桥梁的整体承载能力数值。针对此不足，研究者提出了一些改进方法，如在现场进行非破坏性荷载试验，根据测得的响应反推算出结构参数，然后进行结构分析来估计承载能力^[3-5]；或者通过现场实测出影响桥梁承载能力各因素的量值，如钢筋锈蚀程度等，按照模糊数学和层次分析方法来推算承载能力^[6-7]。以上2种评估方法均属于直接求得承载能力的方法，不同的是由于前者测得的响应反映了结构的整体工作性能，因而较后者合理一些。但前者需获得评估状态的较精确结构模型，然后考虑混凝土结构的受力特性和破坏机理，以此计算出结构的承载能力。由于各种损伤信息很难全面考虑，且较精确地模拟混凝土结构的非线性受力行为往往需耗费较多机时，致使分析难度较大，一般工程人员不易掌握，因而这种方法的实用性仍需进一步提高。另外还有一种间接求得承载能力的方法，如依据结构破坏过程中模态频率随荷载等级的变化趋势来预测出承载能力^[8-9]。这种方法操作简单，较为实用，且具有较高精度。但目前的研究^[8-9]或是针对受力较简单的梁式构件，或是对钢筋混凝土拱破坏过程中模态频率的变化，考虑较为简单(假定模态频率的变化可仅由弹性模量的变化来描述，与实际情形有差异)，因此，完善基于模态频率的承载能力评定方法需进一步研究。基于此，本文作者以钢筋混凝土拱肋为研究对象，对其破坏过程中模态参数如何变化的问题进行分析，以期为应用模态参数来预测钢筋混凝土拱桥的承载能力提供参考。

1  既有拱肋的模态分析

这里对一服役28 a旧桥中的2根钢筋混凝土拱肋破坏过程中的模态变化问题进行试验研究。

1.1  试验背景

2根拱肋的跨度均为20 m，净矢高为3.15 m，横截面尺寸和钢筋布置相同，如图1所示。

为了模拟原拱脚的固支边界条件，专门设计和制造了如图2所示的钢拱座。

拱肋安装好后，应用全站仪测量拱轴线形。2根拱肋轴线在横向有一定的偏移，最大横向偏移为45.9 mm，且北拱肋轴线的水平投影呈“S”形，南拱肋呈双“S”形；而在竖向，拱肋偏离原设计轴线的最大偏差为68.1 mm，即具有一定的不对称性。通过刻度放大镜观测发现两拱肋的初始裂缝主要分布在拱脚和1/4跨径之间。对于北拱肋，最大竖向裂缝长为120 mm，宽为1.2 mm；而对于南拱肋，最大竖向裂缝长为72.5 mm，宽为0.15 mm。

图1  安装好的拱肋及其截面布置

Fig.1  Fixed two arch ribs and cross section

图2  特制的钢拱座

Fig.2  Special steel abutment

由于2根拱肋相似，因而，以下研究工作主要是针对其中之一的南拱肋而展开。

1.2  静载试验

采用千斤顶-反力架系统在正位安装的南拱肋的L/4，L/2和3L/4(L为跨度) 3处同步静力加载，如图3所示(图中P为加载力)。

图3  南拱肋加载节点

Fig.3  Loading points of south arch rib

试验结果表明：南拱肋由于存在着拱轴线几何偏差、混凝土开裂等损伤现象，导致出现非对称的破坏模式。当结构破坏时，西拱脚处混凝土已大部分失效，截面上只靠钢筋在起支承作用；然后L/8和7L/8与东拱脚处截面也出现较大的失效区域，拱肋最终破坏，其中典型失效截面如图4所示，测得南拱肋破坏荷载为65.0 kN。在整个试验过程中，拱脚变形极小，这说明特制的拱座能够满足固支要求。

图4  南拱肋的最终破坏形态

Fig.4  Final failure modes for south arch rib

需说明的是：虽然试验拱肋存在着竖向和横向几何偏差，但由于加载系统与试验拱肋之间存在着摩擦力，即不会发生平面外失稳。在整个试验过程中，拱肋横向位移均较小的现象证明了这点；另外，试验拱肋为无铰拱，即使按截面出铰后为三铰拱计算，纵向(平面内)稳定承载能力仍较高，安全系数约为2.0，因而，可知试验过程中发生的是强度破坏。

1.3  模态测试

模态测试分别在拱肋的初始状态和静载试验各阶段的卸载之后(不同的损伤程度)进行。采用带力传感器的激振锤对结构实施瞬态激励，多点激励单点测响应，激励点共设置33个，竖向锤击激振。测试系统如图5所示。

图5  模态测量系统

Fig.5  Modal test system

模态参数用DASP软件分析得到。图6所示为南拱肋在破坏之前采集到的前4阶模态。

1.4  有限元分析

为与试验结果对比，建立了南拱肋损伤后的有限元模型。有限元分析选用ANSYS软件，采用solid65单元模拟混凝土，link8单元模拟钢筋，考虑材料与几何非线性的影响。有限元模型中损伤参数参考文献[10]取值，其中经多个钻芯取样平均后混凝土的本构关系如图7(a)所示，而钢筋的本构关系如图7(b)所示，拱脚按固结支座考虑。

根据无损检测结果，在两拱脚附近将钢筋单元的有效面积折减5%，L/8附近折减3%；混凝土的极限抗拉强度取为极限抗压强度的10%。另外在模型中对存在初始竖向裂缝的混凝土单元，认为混凝土抗压能力仍然不变，而不存在抗拉能力。由于拱肋初始裂缝宽度普遍较小，假设可以闭合，抗剪修正系数取为0.75。有限元分析时不考虑混凝土单元和钢筋单元间的滑移。

计算得到的南拱肋极限荷载为68.3 kN，稍大于试验结果65.0 kN。原因在于实际拱肋中的损伤很难完全观察得到，因而有限元模型中的损伤情况可能考虑得不够。表1所示为有限元计算结果与试验结果对比。

由表1中数据可知有限元计算结果与试验结果基本一致，最大计算误差仅为8.5%。

图6  南拱肋临近破坏时的前4阶测试模态

Fig.6  First four modes near failure for south arch rib

图7  材料的本构关系

Fig.7  Constitutive equations of materials

表1  有限元计算结果与试验结果对比

Table 1  Comparison of frequencies between tested and calculated results               Hz

对数据进行分析得知随着荷载的继续增加，模态频率基本上逐步降低。这是由于损伤程度加深导致结构刚度不断下降引起的。但与没有损伤的情况相比，各阶模态频率的下降程度有一定差异。以试验结果为例，当达到极限荷载时，第1阶模态频率下降了29.2%，第2阶模态频率下降了29.1%，第3阶模态频率下降了26.9%，第4阶模态频率下降了34.4%。

2  无几何缺陷拱肋的模态分析

由于几何偏差对拱肋承载能力有一定影响^[10]，因而为进一步揭示拱肋在破坏过程中模态变化的规律，采用有限元技术对无几何缺陷的拱肋在不同损伤模式下进行分析。分析时拱肋跨度、矢高、截面布置及钢筋、混凝土本构模型仍与试验拱肋的相同。

2.1  损伤模式的分类

叶见曙等^[11]在对预应力混凝土连续箱梁开裂后的刚度进行分析时发现由于荷载-挠度曲线不很光滑，曲线对应的切线刚度会有数据振荡的现象。认为产生这种现象的原因在于桥梁并不是只承受单调荷载作用，而是受自重作用、活载的反复作用及其他各种因素(温度等)的作用，所以，箱梁的实际刚度是振荡变化的。

基于这种认识，从理论上分析，似乎可以把结构的损伤划分为2类：一类本文称之为一致损伤模式，即初始损伤与其所受单调荷载下出现的损伤相一致；另一类称之为复合损伤模式，即初始损伤与其所受单调荷载下出现的损伤不一致。可以预见在第一类损伤模式下，刚度是持续下降的；而在第二类损伤模式下，刚度可能会出现振荡变化的特征。

如文献[11]分析，实际桥梁中的损伤是各种荷载与不良环境共同作用导致的结果，因而工程结构中的损伤模式大多属于复合损伤模式的情况。本文试验的2片拱肋已经受了多年的自重、反复车载与环境作用，并出现了多处损伤，然后在实验室按图3所示进行一致加载，显然这属于复合损伤模式的情况，因此，也会出现刚度振荡变化的特征。

2.2  一致损伤模式

由于这种一致性，因而在研究破坏过程中模态变化的规律时只需对无损伤的拱肋在所受荷载下进行单调加载的全过程分析即可。

首先考虑对称加载情况，即采用L/4，L/2和3L/4 3处同步加载。表2所示为各阶段模态变化的情况。从表2可以看出：各阶模态频率随着荷载的增大持续降低；当接近破坏时，拱肋的第1阶频率下降了31.2%，第2阶频率下降了30.7%，第3阶频率下降了21.7%，第4阶频率下降了20.6%。

表2  对称加载下拱肋破坏过程中的模态频率变化

Table 2  Modal frequencies in failure process under symmetrical loads for arch rib           Hz

再考虑非对称加载的情况，即采用L/4和L/2 2处同步加载。表3所示为各阶段模态变化的情况。

从表3可以看出：各阶模态频率也随着荷载的增大持续降低。当接近破坏时，各阶频率的下降程度为：第1阶频率下降了34.8%，第2阶频率下降了30.2%，第3阶频率下降了19.7%，第4阶频率下降了22.6%。

表3 非对称加载下拱肋破坏过程中的模态频率变化

Table 3  Modal frequencies in failure process under asymmetrical loads for arch rib         Hz

2.3  复合损伤模式

由于复合损伤模式很难精确模拟，此处只考虑2种较为简单的复合损伤模式，即考虑拱肋在对称加载下出现初始损伤，然后承受非对称荷载的情况；或者拱肋在非对称加载下出现初始损伤，然后承受对称荷载的情况。为叙述方便，称前者为复合损伤模式1，后者为复合损伤模式2。计算时初始损伤考虑为与该损伤对应一致的极限荷载的60％作用下出现的损伤。计算结果如表4所示。

从表4可以看出：由于初始损伤模式与后续施加的荷载不一致，因而，在加载过程中模态的变化情况与表2和表3所示的变化情况有一定的差异。

另外需注意的一个现象是：当后续施加的荷载较小时，模态频率反而较初始损伤时的要大一些。这是因为在复合损伤模式下，初始损伤并非由后续荷载所引发，若后续荷载较小，一部分原初始裂缝可能将闭合，因而，会增大结构刚度；随后，当后续荷载继续增大时，将会出现较多的新裂缝，模态频率才降低。这个现象也在既有拱肋的试验过程中得到了证实。在试验过程中发现当加载至26.5 kN时，测得的第2阶频率(7.754 Hz)反而高于不加载时的2阶频率(7.632 Hz)，随后继续加载时第2阶频率才逐步降低。这也与文献[11]中分析结果相符。

需说明的是：表4中计算结果对应的复合损伤模式仅考虑了全跨四分点加载和半跨四分点加载的情况，实际工程中的复合损伤模式远比此复杂；此外，在复合损伤模式1和2中，若初始损伤程度不同，则表4中的计算结果也会发生变化。

表4 复合损伤模式下拱肋破坏过程中的模态频率变化

Table 4  Modal frequencies in failure process with complex damage mode for arch rib            Hz

3  模态变化的研究

3.1  振型的变化

在本文考虑的参数范围内，无论是在一致损伤模式下还是在复合损伤模式下，分析表明整个加载过程中拱肋的前3阶模态振动形式近似相同，即第1阶模态为2个半波的反对称形式，第2阶模态为3个半波的正对称形式，第3阶模态为4个半波的反对称形式，且这3阶模态的排序不变。

但第4阶模态的振动形式则会随着损伤模式的不同而发生局部改变。图8所示为一致损伤模式下第4阶振动模态(加载过程中该振型保持不变)，与图6中复合损伤模式下的第4阶振动模态相比有较大的差异。这说明结构在服役期间，由于复合损伤模式的复杂性，高阶模态的振动特性将会发生改变；而低阶模态无论是在一致损伤模式下还是在复合损伤模式下，损伤前后振动形式基本相同，这与文献[12]中的研究结论相符。

图8  一致损伤模式下拱肋的第4阶振动模态

Fig.8  Fourth modal shape for arch rib with consistent damage mode

3.2  塑性铰位置的影响

加载过程中刚度变化主要是由塑性铰和裂缝而引起的。此处主要讨论塑性铰的影响，即只考虑塑性铰的位置对破坏状态时拱肋频率的影响。

由于无铰拱为3次超静定结构，破坏时需出齐4个塑性铰。在两拱脚处一般会出现塑性铰，剩余2个塑性铰位置则与拱肋损伤模式有关。试验表明，后2个塑性铰出现时对应的荷载值较为接近，因而研究模态变化时可只考虑出现前3个塑性铰。假定这3个塑性铰的位置2个在拱脚，另一个的位置不确定。若定义模态频率的改变量v_f为

            (1)

式中：f_per为拱肋在无损伤情况下的频率，应在桥梁竣工运营初期实测获得。当第3个塑性铰位置变化时，前3阶模态频率的改变如图9所示。计算时塑性铰处截面抗弯刚度按折减90%考虑。

图9  前3阶模态频率改变量随塑性铰位置的变化

Fig.9  First three modal frequencies vary with location of plastic hinge

从图9可看出：不同模态的频率改变量有较大的差异，且模态频率改变量随塑性铰位置的变化曲线类似于该阶模态的振动形式。例如第1阶模态频率改变量随塑性铰的位置变化呈2个半波的变化，这恰与第1阶模态的振动形式相似。根据这个规律，当已知塑性铰的位置时，可大概判断出前3阶模态频率的下降程度。但在定量层次上，由于没有考虑裂缝的影响，因而结果会有差别。

例如对于一致损伤模式下的拱肋，有限元分析表明加载过程中第3个塑性铰的位置在L/4截面附近，这也与文献[13]中的分析结论一致。这样，依据图9中模态频率的变化规律可知：第1阶模态频率下降最多，第3阶模态频率下降最少。这也与表2和表3中的计算结果吻合。而对于试验的南拱肋，在加载过程中，塑性铰的位置是在L/8截面，这样，依据图9中模态频率的变化规律可知，第1和2阶模态频率下降程度接近，而第3阶模态频率下降则稍小，这也与表1中的计算结果吻合。这说明利用塑性铰的位置来大致判断前3阶模态的下降程度是可行的。

3.3  一阶频率变化的近似函数

前面的分析表明，低阶模态在加载过程中振动形式不会发生改变，因而对应的频率不会发生不连续的变化。另外，结构的第1阶频率测试精度最高，因而，以下分析拱肋第1阶频率的变化规律。

采用无量纲的参数f_per/f和P/P_u(其中：P_u为拱肋在初始损伤情况下的极限荷载，f为在荷载P阶段时测得的频率)。例如对于表4中损伤模式2的情况，f_per=5.898。对表2中的数据(数据点1)和表4中复合损伤模式2的数据(数据点2)进行拟合，发现用1个二次方程式来描述模态频率与荷载之间的量化关系具有较高精度，如图10所示。

      (2)

式中：a₁，a₂和a₃为待定参数，它们具有一定的力学意义。例如a₂表征了复合损伤模式下整个破坏过程中拱肋频率的变化情况(表征在P＞0区间内是否有振荡现象)；a₃表征了无损伤拱肋与初始损伤拱肋的模态频率之比。根据此函数模型可推知：在复合损伤模式下，若a₁＞0，则当P＜-a₂P_u/(2a₁)时，模态频率随着荷载的增加反而增大；当P＞-a₂P_u/(2a₁)时，模态频率随着荷载的增加才会减小。这与前面的结论一致。

图10  模态频率与荷载之间的函数曲线

Fig.10  Approximate quadratic function between modal frequency and load

文献[14]中应用2根拱肋的实测数据对上述二次方程模型进行了验证，具有较好的效果。另外，对表3中的数据和表4中损伤模式1的数据采用二次方程形式进行拟合也具有较好的效果。由此可知：对于具有因荷载和不良环境导致损伤的既有拱肋，二次方程模型仍具有较高的精度。

3.4  结果讨论与说明

拱肋在受荷过程中，刚度会发生变化，因此，模态频率也将发生改变。而刚度的变化显然与荷载 (P/P_u)、加载方式和初始损伤模式等因素有关。为此，本文分析了不同损伤模式与加载方式下，模态频率随P/P_u的变化情形(共计36个数据点)，得到了如式(2)所示的模型，其中系数a₁，a₂和a₃表征了损伤模式与加载方式等因素的影响。限于影响因素较多，因而，上述二次函数模型还需通过较多的试验数据来进行进一步验证。

对于实际钢筋混凝土拱桥，除主拱外，一般还有拱上建筑。若拱上建筑与主拱的联合作用较弱，即可视拱上建筑为附加在主拱上的质量块，则主拱的一阶模态频率值可由相应拱桥模态频率值考虑质量因素后经换算得到；若拱上建筑与主拱的联合作用较强，则拱桥的振动模态不单单表现为主拱的振动模态，此时，可利用模态分离法^[15]来获取主拱的一阶模态频率。在得到主拱的一阶模态频率后，可参考文献[14]中的方法来推算出拱桥的极限荷载。

4  结论

(1) 拱肋处于破坏状态时其模态频率会下降，但各阶模态频率的下降程度相差较大。

(2) 损伤模式可分为一致损伤模式与复合损伤模式。在2种损伤模式下，拱肋低阶模态的振动特性基本相同。但在复合损伤模式下，模态频率可能会在加载初期反而增大。

(3) 在本文分析参数范围内，拱肋破坏过程中第1阶模态频率与所受荷载之间的关系可近似用1个二次方程来描述。

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(编辑 杨幼平)

收稿日期：2010-12-03；修回日期：2011-03-03

基金项目：国家自然科学基金资助项目(11102029，51178060)；长沙理工大学公路工程省部共建教育部重点实验室开放基金资助项目(kfj100106)；长沙理工大学桥隧重点学科创新基金资助项目(qs03-2010)

通信作者：蒋友宝(1982-)，男，湖南永州人，博士，副教授，从事桥梁结构可靠性评估研究；电话：13755198993；E-mail: jiangybseu@163.com