一种简化的模拟移动床过程建模方法
李凌1，袁德成1，井元伟2，范英凯1
(1. 沈阳化工大学 信息工程学院，辽宁 沈阳，110142；
2. 东北大学 信息科学与工程学院，辽宁 沈阳，110004)
摘要：在平衡扩散模型下，通过对真实移动床的合理假设，得到了模拟移动床的近似模型。通过选取状态变量获得稳态模拟移动床的线性离散时间模型，通过仿真验证了这种简化的模拟移动床建模方法的可行性，对基于模型的控制器设计具有一定的指导意义。
关键词：真实移动床；模拟移动床；平衡扩散模型；线性离散模型
中图分类号：TP29 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2011)S1-0964-05
A simple modeling method of simulated moving bed process
LI Ling1, YUAN De-cheng1, JING Yuan-wei2, FAN Ying-kai1
(1. Department of Information Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang 110142, China;
2. College of Information Science and Engineering, Northeastern University, Shenyang 110004, China)
Abstract: The approximate model of simulated moving bed(SMB) was proposed through reasonable assumptions based on the balance diffusion model firstly. Then the linear discrete time model of the steady state SMB was obtained through selecting state variables. Finally the validity of the simple modeling method was confirmed through simulations. These are helpful to the model based controller design.
Key words: true moving bed; simulated moving bed; balance diffusion model; linear discrete model
模拟移动床(simulated moving bed, SMB)色谱分离技术是20世纪60年代由Broughton等提出并申请专利之后不断发展起来的一种现代化分离技术，具有分离能力强、设备体积小、投资成本低并特别有利于分离热敏性高及难分离的物系等优点，并且具有连续化、总柱效高、流动相耗量小等特点[1]。它的兴起被一些化工专家认为是化工技术中的一次革新，其应用范围也不断扩大，遍及石油、精细化工、生物发酵、医药食品等许多生产领域，尤其是在同系化合物、手性异构体药物、糖类、有机酸和氨基酸等混合物的分离中显示了其独特性能[2-6]。
模拟移动床过程模型是由一组带有周期性边界条件的对流扩散模型组成，其中初始条件具有切换特性。该物理模型的解，即为浓度特性是时变的，并且产物的特性是由浓度特性的位置和运动决定的。要想得到实际模拟移动床过程的物理模型的解析很困难[7]。一个很好的解决办法就是用真实移动床(TMB)代替模拟移动床(SMB)。因为当SMB过程有8个以上的色谱柱时，SMB的浓度特性与TMB过程很类似。在一些关于SMB过程的文献中，有很多都是利用这种类似性，用TMB代替SMB的过程特性[8-9]。
本文作者提出了一种新的SMB过程建模方法，用TMB代替SMB，从而得到一个简化模型。具体思路为：将对流扩散方程作为实际过程模型，用显式TMB模型的稳态解描述SMB波形的特性，以波形的形式、传播以及位置3个关键参数作为状态变量， 可以导出线性时变离散时间动态特性的参数动态模型,并进行仿真验证。
1 模拟移动床过程模型的建立
由于真正的逆流在实际中实现困难，因此，采用在色谱柱组成的回路中不断地移动进出料口的位置来模拟逆流运动。然而，真正逆流运动的真实移动床与模拟移动床有很多相似之处，因此，真实移动床可以用来解决模拟移动床过程建模以及控制问题。
1.1 真实移动床过程模型
假设内部液相解析剂中存在对流和扩散，以及在洗脱剂和吸附剂表面可以建立局部吸附平衡，可以用平衡扩散模型作为实际模型。
单柱色谱分离过程平衡扩散方程表述如下：
(1)
边界条件：对任意的时间t，
(2a)
(2b)
初始条件：对任意的位置z，
(3)
其中：L为色谱柱长度；
，为组分的浓度，i为组分A和B；u为内部液相解吸剂的流速；D为轴
向扩散系数；
为权重系数，
；
为固相吸附剂体积Vs与液相解吸剂体积Vm之比；用q*代表固液相达到平衡时固相中的浓度，且吸附等温
线方程可以写成q*=q*(cA, cB)，则
。若考虑
线性吸附等温线，则Hi和对每一组分都为常数。
假设单柱色谱中，如图1所示，进料口位于柱的中间位置。由于组分的吸附系数不同，强吸附组分A随着固相吸附剂流动，而弱吸附组分B随着液相解吸剂流动，这样经过一段时间的作用，两组分将最终分离。若用cA和cB分别表示液相解吸剂中A和B组分的浓度，在稳态时，两浓度曲线波形将不随时间变化，即cA=cA(z)，cB=cB(z)。
图1 单柱色谱分离过程示意图
Fig.1 Scheme of separation column
考虑两组分混合物的TMB过程建模，每区两组分浓度cA, j(t, z)和cB, j(t, z)的平衡扩散模型为：
(4)
其中：z
[z0, j, z1, j]；j=1, 2, 3, 4，表示TMB的4个区的区号，vi, j(i=A, B)为相对液相流速；uj表示液相流 速，us表示固相吸附剂的流速，则有：
(5)
对给定的初始和边界条件，方程(4)有唯一的解存在。在TMB过程的稳态操作模式下，各区各组分的浓度将不随时间变化，即：
即式(4)中
，式(4)可以写成以下二阶常微分方程形式：
(6)
式中：z[z0, j, z1, j]。则方程(6)的解的形式如式(7)所示：
(7)
其中：常数r*, j和s*, j取决于边界条件。
这里将TMB过程分为4个区，每区的解吸剂流速不同。TMB过程的出入口位置和各区范围如表1所示。
表1 TMB过程的出入口位置与各区范围
Table 1 Port place and range of TMB process
式(7)的解可以分区表示如下。
1区：
：
(8a)
2区：
：
(8b)
3区：
：
(8c)
4区：
：
(8d)
图2所示为TMB过程稳态时的两组分浓度曲线。
1.2 模拟移动床过程模型
由于在实际中固相吸附剂的运动很难实现，因此真正的逆流必须经过模拟来实现。模拟移动床就是采用在色谱柱组成的回路中不断地移动进出料口的位置来模拟逆流运动的。在这个过程中由于各出入口的运动是连续的，逆流运动也可以认为是连续的，类似于真实移动床。
图2 TMB周期稳态图
Fig.2 Steady-state curves for TMB process
为了实现出入口的运动，模拟移动床至少由4个色谱柱组成，每次切换各出入口沿着固相吸附剂方向同步向前前进一个色谱柱长度。切换发生在离散时间点t=kTsw，其中k代表切换的次数，Tsw代表两次切换之间的时间间隔。由于出入口的不断转换，模拟移动床相当于真实移动床的离散实施过程，而且组成模拟移动床过程的色谱柱数越多，用真实移动床近似模拟移动床的程度就越好。
假设待分离组分为A, B。cA，cB分别为两待分离组分在液相解吸剂中的浓度。经过出入口若干次的切换后，模拟移动床过程达到周期性稳态，此时cA，cB不仅是位置的函数，而且还是时间的函数，即：
与真实移动床过程类似，根据各进出料口的位置，将模拟移动床过程分成4个区，j=1, 2, 3, 4。模拟移动床过程的操作参数为切换时间Tsw以及内部各区解吸剂的质量流量mj(j=1, 2, 3, 4)。若液相解吸剂的密度为常数，则质量流量可以用体积流量Qj(j=1, 2, 3, 4)来代替。根据节点平衡方程，内部各区液相流量Qj可以通过外部流量QA，QB，QA+B和QS加以调整，即：
(9)
其中：QA和QB分别表示产物A和B的物料出口流量，QA+B和QS分别表示进料流量以及解吸剂入口流量。
将单柱的平衡扩散模型应用到模拟移动床过程中，则有
(10)
其中：z[z0, j, z1, j]。
模拟移动床过程存在关于时间t和空间z的周期稳态解。但到目前为止，还没有文献报道过基于平衡扩散方程的模拟移动床过程模型的解析解。这里借助真实移动床模型的稳态解给出描述模拟移动床浓度曲线的一种新方法。其基本思想是利用真实移动床模型的稳态解去近似浓度特性的形式，然后，将其解进一步扩展以描述模拟移动床浓度曲线的运动。
假设模拟移动床浓度曲线的形状在切换周期内不随时间变化，并且传播速度为常数，模拟移动床浓度曲线可以用波形曲线来描述。
应用稳态真实移动床过程解的形式，如式(8)所示，可以得出模拟移动床波模型表达式如下。
1区：
：
(11a)
2区：
：
(11b)
3区：
：
(11c)
4区：
：
(11d)
由式(11a)~(11d)可知，模拟移动床波模型的描述属于同一类函数形式，因此在
范围内，用式(12)表示：
(12)
在式(12)中，由于sj非常小，为了简便起见，可以忽略，并设
，其中
，方程(12)可以写成如下形式：
(13)
式(13)可以作为模拟移动床波模型在稳态操作模式下的一种近似描述。对式(13)进一步作变换
，可得到关于波浓度cj的显函数描述形式:
(14)
其中：参数bj，vw, j和z0, j决定了浓度cj的形状、传播速度和τ=0的初始位置。这些参数在一个切换周期内都为常数，但如果模拟移动床过程处于暂态时，经过每一个出入口切换后，这些参数都会有一个动态变化过程，即：
(15)
假设
的动态特性仅取决于当前时刻初始位置
、当前的传播速度
以及切换周期Tsw，则有
(16)
进一步假设，在一个过渡过程中，模拟移动床过程只偏离给定操作点很小，所以，可以假设参数bj, vw, j都为常数，即：
(17)
上述参数bj, vw, j和z0, j都是未知参数，必须从浓度测量中获得，在模拟移动床过程中只有两柱之间的进出口处浓度可测，因此，需要通过设计状态观测器来完成对各点浓度的估计，于是，以这些参数作为动态系统的状态变量，有：
(18)
即
(19)
将式(18)~(19)代入式(14)中可以得到波模型以xj(k)作为自变量的显函数描述形式：
(20)
将式(16)~(20)写成状态空间模型形式：
(21)
(22)
式(21)~(22)为模拟移动床过程波模型的状态空间表达式，显然，该表达式为线性离散状态空间模型。
2 仿真研究
将所设计的观测器应用到8个色谱柱、4个区、每区2个柱的SMB过程中，以验证所建立模型的有效性。选择如下不同的测量时间：
1区，τm1, 1=60 s，τm2, 1=115 s；
2区，τm1, 2=60 s，τm2, 2=115 s；
3区，τm1, 3=5 s，τm2, 3=60 s；
4区，τm1, 4=5 s，τm2, 4=60 s。
在Intel Pentium Ⅳ 1.8 GHz下采用文献[10]联萘酚对映体分离参数进行仿真。在实验参数和模型参数已知的前提下，建立了系统的平衡扩散模型，并通过选取状态变量得到系统状态方程。达到循环稳态时，提取液出口处组分A的纯度不低于99.9%，如图3所示；提余液出口处组分B的纯度不低于98%，图4所示。
图3 提取液出口处组分A的纯度变化
Fig.3 Purity of component A in output extract
图4 提余液出口处组分B的纯度变化
Fig.4 Purity of component B in output raffinate
3 结论
在平衡扩散模型下，提出了一种新的SMB过程建模方法。用TMB代替SMB，用显式TMB模型的稳态解描述SMB波形的特性，以波形的形式、传播以及位置3个关键参数作为状态变量，从而得到一个简化模型。通过仿真验证了该方法的有效性和可行性。
参考文献：
[1] 林炳昌. 模拟移动床色谱技术[M]. 北京: 化学工业出版社, 2008: 88-96.
LIN Bing-chang. Simulated moving bed chromatography technology[M]. Beijing: Chemical Industry Press, 2008: 88-96.
[2] Juza M, Mazzotti M, Morbidelli M. Simulated moving bed chromatography and application to chirotechnology[J]. Trends Biotechnol, 2000(8): 108-117.
[3] Francotte E, Richert J. Application of simulated moving bed chromatography to the separation of the enantiomers of chiral drugs[J]. J Chromatogr A, 1997(769): 101-102.
[4] Imamoglu S. Simulated moving bed chromatography(SMB) for application in bioseparation[J]. Adv Biochem Eng Biotechno, 2002(76): 211-220.
[5] Stinson C S. Chiral pharmaceuticals[J]. Chemical and Engineering News, 2001, 10: 79-97.
[6] Migliorini C, Mazzotti M, Zenoni G, et al. Shortcut experimental method for designing chiral SMB separations[J]. AIChE J, 2002(48): 69-77.
[7] Guiochon G, Golshan-Shirazi S. A retrospective on the solution of the ideal model of chromatography[J]. J Chromatorgr A, 1994, 658: 173-177.
[8] Schramm H, Gruner S, Kienle A. Optimal operation of simulated moving bed chromatographic processes by means of simple feedback control[J]. Journal of Chromatography A, 2003, 1006(1/2): 3-13.
[9] Schramm H, Grunner S, Kienle A, et al. Control of moving bed chromatographic processes[C]//Proceedings of the European Control Conference ECC. Porto, Portugal, 2001.
[10] Pais L S, Loureiro J. Modeling, simulation and operation of a simulated moving bed continuous chromatographic separation of 1, 1’-bi-2-naphthol enantiomers[J]. J Chromatograms A, 1997(769): 25-35.
(编辑 李向群)
收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15
基金项目：国家自然科学基金资助项目(60874057)；国家高技术研究发展计划(“863”计划)项目(2008AA042902)
通信作者：李凌(1972-)，女，内蒙古鄂伦春旗人，博士，副教授，从事复杂系统建模、优化以及先进控制方法研究；电话：13889268971；E-mail: lengleng0604@163.com
