高层剪力墙结构动力模型建立及地震响应

刘彦辉^1,2，周福霖^1,2，谭平¹，杜永峰³，闫维明²

(1. 广州大学 减震控制与结构安全国家重点实验室(培育)，广东 广州，510405；

2. 北京工业大学 工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京，100124；

3. 兰州理工大学 西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心，甘肃 兰州，730050)

摘要：用连续—离散化方法建立地震作用下高层剪力墙结构动力模型，通过分布参数建立剪力墙运动方程，楼层集中质量的影响通过边界条件引入，从而推导出高层剪力墙结构频率方程，然后通过数值方法求得频率及振型。通过应用Betti定律，推导出具有集中分布参数高层剪力墙结构的振型正交条件。建立每层剪力墙与楼层集中质量地震作用下的运动方程，通过引入推导的振型正交条件，进行运动方程的解耦，从而得到广义质量及广义荷载，然后通过振型叠加的方法求得结构的地震响应。通过Simulink对一幢16层剪力墙结构进行动力特性及地震作用下的仿真分析。结果表明：应用本文建立的动力模型及动力响应求解方法进行高层剪力墙结构动力特性与动力响应分析的结果与有限元分析结果基本一致，在不同连梁刚度、不同剪力墙高宽比情况下，本文动力模型及动力响应求解方法计算结构动力特性及地震响应的误差较小，满足应用的要求。

关键词：高层结构；剪力墙；动力模型；地震响应；振型叠加法

中图分类号：TU352.1          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)08-3187-08

Construction of dynamic model and seismic response for tall shear-wall building

LIU Yan-hui^{1, 2}, ZHOU Fu-lin^{1, 2}, TAN Ping¹, DU Yong-feng³, YAN Wei-ming²

(1. State Key Laboratory for Seismic Reduction /Control & Structural Safety (Cultivation),

Guangzhou University, Guangdong 510405, China;

2. Beijing Key Laboratory of Earthquake Engineering and Structural Retrofit,

Beijing University of Technology, Beijing 100124, China;

3. Northwest Center for Disaster Mitigation in Civil Engineering, Ministry of Education,

Lanzhou University Technology, Lanzhou 730050, China)

Abstract: The dynamic model for tall shear-wall building was presented by continuous-discrete method and the frequency equation of tall shear-wall building was obtained by the vibration theory of system with distributed parameters and introducing the boundary conditions of concentrated parameters, then frequency and mode shape were obtained by the numerical method. On the basis of the Betti law, the orthogonal conditions of modes of tall shear-wall building with concentrated and distributed parameters were deduced. Founding the motion equations of shear wall in each story and concentrated mass of each story under earthquake, the motion equations of tall shear-wall building were decoupled by orthogonal conditions and generalized mass and stiffness were obtained, then the responses of structure under earthquake excitation were solved by the mode superposition method. In order to validate the correctness of constructed dynamic model and the method of solving seismic response for tall shear-wall building, a sixteen-story shear wall building was chosen to analyze dynamic character and seismic response by Simulink simulation. Simulation results show that dynamic characteristic and seismic response obtained by constructed dynamic model and the method of solving seismic response are basically consistent with finite element, and the errors of dynamic character and seismic response obtained by constructed dynamic model and the method of solving seismic response are analyzed in the case of different stiffness of linking beam and different depth-width ratio of shear wall, which can meet the demand of application.

Key words: tall building; shear wall; dynamic model; seismic response; mode superposition method

高层剪力墙结构是高层建筑中常用的结构体系。目前，在进行地震作用计算时，为了便于分析通常根据高层剪力墙的变形特点进行力学模型的简化，一种是竖向串联多自由度模型或称为层模型^[1-3]，该模型假定建筑结构每层质量只集中在相应的楼板及屋面处，由于该模型具有较少的自由度，因而被研究者广泛应用，该模型对于每层剪力墙较少，楼层质量较大的结构能得到较好的计算结果，而对于高层剪力墙结构每层剪力墙布置较多时计算误差将增大；另一种是把高层剪力墙视为悬臂梁^[4-8]，各楼层的集中质量平均分配到剪力墙上，该模型计算结构自振特性及动力响应比较简单，该模型对于每层剪力墙较多，楼层质量较小的结构能得到较好的计算结果，但对于高层剪力墙结构每层楼层质量较大时计算误差将增大；同时在进行高层建筑结构控制时，由于现有商业有限元软件无振动控制分析功能，如果通过有限元进行高层剪力墙结构的振动控制，需要编制有限元分析程序，而对于高层建筑来说，则会相当繁琐，有时甚至实现不了。目前主要是通过上述2种简化模型进行高层剪力墙结构的控制系统设计^[9-11]，对受控结构而言，控制效果与简化模型对实际结构的反应程度相当敏感，如果简化模型不合适，有时甚至会出现负控制现象。因此有必要进行建立高层剪力墙结构更精确的动力分析模型，进行地震作用下动力响应的求解与为实现高层剪力墙结构振动控制打下基础。在此，本文作者综合上述2种模型的优点，用连续—离散化方法建立高层剪力墙结构动力模型，每层剪力墙简化为具有连续参数分布特性的梁，每楼层的质量用离散的质量描述，建立每层剪力墙的运动方程，通过边界条件引入楼层集中质量的影响及进行运动方程的组装，推导出高层剪力墙结构频率方程，然后通过数值方法求得频率及振型。通过应用Betti定律，推导出具有集中分布参数高层剪力墙结构的振型正交条件。建立每层剪力墙与楼层集中质量地震作用下的运动方程，通过引入推导的振型正交条件，进行运动方程的解耦，从而得到广义质量及广义荷载，然后通过振型叠加的方法求得结构的地震响应。最后进行分析不同连梁刚度、不同剪力墙高宽比情况下本文动力模型及动力响应求解方法计算结构动力特性及地震响应的误差。

1  动力模型的建立

在地震作用下，由于每层剪力墙质量为分布参数，惯性力与质量有关，因此惯性力及弹性恢复力分布在每层；每层楼层质量为集中参数，惯性力作用在每一楼层处，弹性恢复力由剪力墙提供；同时采用以下基本假定：(1) 楼盖在平面内的刚度无限大，平面外刚度为0 N/m²；(2) 房屋在水平荷载作用下没有绕竖轴的扭转；(3) 由于高层剪力墙结构每片剪力墙高宽比较大，忽略剪切变形的影响；(4) 忽略各构件的轴向变形。

根据以上分析可得到高层剪力墙的动力分析模型简图如图1所示，图中，E_iI_i与l_i分别为第i层剪力墙的单位长度的平均质量、等效抗弯刚度与层高，对于每一层的整体墙、开口剪力墙(除壁式框架外)取整片墙的等效抗弯刚度，在每片剪力墙的等效抗弯刚度计算见文献[5，12]；m_i为第i层的楼层质量；n为结构的层数。

图1  高层剪力墙结构动力模型

Fig.1  Dynamic model of tall shear-wall structure

2  高层剪力墙结构自振特性分析

分别建立第i层剪力墙的局部坐标系为x_io_iv_i与整体坐标系为xov，如图1所示，整体坐标系坐标原点同第1层剪力墙的局部坐标系的坐标原点，设剪力墙在整体坐标系中的横向位移为v(x，t)，其形式可表示为^[13]：

               (1)

由于整个集中分布参数体系形状函数f(x)为分段函数，设第i层剪力墙的系形状函数为f_i(x)，则第i层剪力墙的横向位移为：

             (2)

式中：x_i为局部坐标系中的坐标，第i层剪力墙的自由振动方程为：

       (3)

把式(2)代入式(3)，通过变量的分离可解得

      (4)

           (5)

                (6)

式中：表示对时间t求导；ω为整个高层剪力墙结构的自振频率；常数A_in决定剪力墙振动的形状和振幅，通过剪力墙边界条件的引入进行求解。

在x₁=0处，

               (7)

             (8)

在x_i=l_i处，

        (9)

  (10)

              (11)

              (12)

在x_n=l_n处，

               (13)

          (14)

方程(7)~(14)中的右上标“′”表示对x的导数。将形状函数表达式(5)和它的导数代入方程(7)~(14)可得：

(15)

式中：j=n+1；，

，

B₁=；

B₂=；

B₃=；

B₄=；

C₁=；

C₂=；

C₃=；

C₄=。

为了使系数不全为0，式(15)中方阵的行列式必须为0，即可得到体系的频率方程，用数值的方法求出ω之后，代入式(15)，即可求解出系数A_i，从而得到与ω相对应的形状函数f(x)。

3  地震作用下高层剪力墙结构动力响应求解

3.1  振型正交条件

参照文献[14-15]的推导方法，对高层剪力墙结构第m和第r个不同振型模式应用Betti定律，第m振型的惯性力在第r个振型模式上做的功等于第振型的惯性力在第m个振型模式上做的功，可得到高层剪力墙结构振型第1个正交条件：

  (16)

然后，由振型第1个正交条件，以及无阻尼剪力墙和楼层集中参数运动方程，可得第2个正交条件：

 (17)

3.2  动力响应的求解

地震作用下，第i层剪力墙有阻尼影响的运动方程为：

    (18)

第i楼层集中参数有阻尼影响的运动方程为：

        (19)

体系顶部第n个集中参数有阻尼影响的运动方程为：

 (20)

式中：c_i(x_i)和c_Ji(x_i)分别为第i层剪力墙在局部坐标x_i处水平、扭转速度的阻尼系数。假定阻尼效应和质量及刚度性质成正比^[11]，即

，，

(i=1，2，…，n)             (21)

由于每层剪力墙阻尼特性相同，a_i和a_si沿竖向相同。把几何位移坐标变换为正规坐标，即

          (22)

式(22)代入式(18)~(20)，然后引用正交关系式(16)和式(17)得到坐标方程

    (23)

式中：

ξ_m为第m振型阻尼比，其值为

            (24)

求解出标准单自由度体系动力响应之后，代入式(25)即可得到整个体系的动力响应，由于高阶振型对结构响应的贡献比较小，因此用前几阶振型响应的叠加即能得到精确的结构响应，对于规则高层剪力墙可取前三阶振型响应的叠加求解总的地震响应^[16]。

4  数值仿真及参数分析

4.1  地震作用下Simulink仿真分析

为了验证本文建立的高层剪力墙结构动力模型的准确性及推导求解地震响应方法的正确性，现以一栋16层剪力墙结构建筑的横向为例进行分析，建筑物层高3.3 m，总高52.8 m，结构的平面尺寸纵向为25 m、横向为14.5 m，材料弹性模量3.0×10¹⁰ N·m^-2，经分析横向每片剪力墙为洞口较小整体墙，每层剪力墙等效惯性矩489.08 m⁴，每一楼层的集中荷载为1 779 kN，每层剪力墙的平均线质量为108 t/m。为了分析外激励对动力响应计算结果的影响，外激励取2条地震波，其中一条以低频成分为主，另一条以高频成分为主，低频地震波(EI Centro)主要频率为0.5~3.0 Hz，高频地震波(迁安波(南北向))主要频率成分为5~20 Hz，地震波峰值为0.70 m/s²。用有限元软件SAP2000直接积分法对其地震响应进行求解。

用本文建立的动力分析模型、独立悬臂梁模型和有限元分析模型所得的固有频率见表1。从表1可以看出：本文建立的动力分析模型的第一频率与独立悬臂梁模型相比较更接近于有限元分析模型得到的第一频率，随着振型的增加，本文建立的动力分析模型频率结算误差增大，但计算精度要优于独立悬臂梁模型计算结果。随振型的增加，频率计算结果的误差越来越大，主要原因有以下2方面：第一，在进行模型简化时没有考虑剪切变形的影响，剪切变形对高阶振型的影响较大；第二，主要是把剪力墙看为整体墙进行考虑，也就是说对于开洞剪力墙考虑联梁的刚度比较大，连梁的刚度对高阶振型影响也比较大(除壁式框架外)。本文为了分析连梁刚度对高层剪力墙结构自振特性，进行结构设计时设计连梁刚度相对每个墙趾的刚度较小，连梁高0.8 m，跨度2.5 m，当刚度梁刚度增大时，本文动力模型计算结果会精确些。对于结构的地震响应主要是低阶振型起控制作用，因此通过应用本文建立的动力模型进行地震响应分析也能得到较精确的结果。图2所示为本文建立动力模型的前三阶振型图，图3所示为有限元模型的第一、第三阶振型图。从图2和3可以看出：2种动力模型的振型图基本一致，连梁刚度对低阶振型基本没有影响，连梁与墙趾转动一致，但到高阶振型时，由于连梁相对墙趾刚度较小，与墙趾转动不一致，使整片墙模态刚度降低，因此，随着振型的增加本文计算结果相比有限元分析结果差别会越来越大，这也正是连梁的刚度对高阶振型影响也比较大的原因。

通过Matlab/Simulink仿真模块建立本文算法模块化求解平台，取结构的前三阶振型叠加求解结构的地震响应。图4和5所示分别为El-Centro波和迁安波(南北向)作用下本文动力模型及地震响应求解方法、悬臂梁模型与有限元法得到的结构顶部绝对加速度时程曲线和相对位移时程曲线，由图4可知，当低频地震波输入时，本文建立的动力模型及地震响应求解方法得到的结构加速度响应与有限元法计算的结果基本一致，优于悬臂梁模型，与有限元模型得到的位移响应相比，本文建立的动力分析模型和悬臂梁模型最大位移计算误差分别为10.80%和20.48%；由图5可知，当为高频地震波输入时，本文建立的动力模型及地震响应求解方法得到的结构加速度响应与有限元法计算的结果有一定的差别，但是计算结果优于悬臂梁模型；对于位移响应，本文建立的动力分析模型及求解方法与有限元模型计算结果基本一致。由于结构的内力主要与结构的位移有关，而本文动力模型及求解方法无论是高频地震波还是低频地震波，结构的位移响应计算结果明显优于悬臂梁模型计算结果，同时与有限元计算结果误差在合理的范围之内，因此本文模型与计算方法可以用于实际工程计算。

4.2  连梁刚度对计算结果的影响

为了分析连梁刚度对简化动力模型计算结果的影响，进行有限元分析时分别考虑连梁高度为0.8，1.65和2.5 m与整体墙4种工况进行分析，各种计算方法及模型所得的固有频率见表2。从表2可以看出，随着连梁刚度的增加，本文建立简化动力分析模型的计算结果误差越来越小；而对于高阶振型，虽然计算结果误差越来越小，但高阶振型计算误差仍然较大，这主要是简化模型没有考虑剪力墙的剪切变形，但是在4种工况下，建立的动力简化模型计算精度优于悬臂梁模型。图6所示为低频地震波作用下各层横墙为整体墙时本文动力模型及地震响应求解算法、悬臂梁模型和有限元法得到的结构顶部相对位移时程曲线。从图6可以看出：当结构模型为整体剪力墙时，本文建立动力分析模型及求解地震响应的方法与有限元模型计算的结果基本一致，计算结果的最大位移误差为0.4%，悬臂梁模型计算结果的最大位移误差为10.5%。同时可以看出：随着连梁刚度的增加，当低频地震波作用时，本文计算结构动力响应的误差将越来越小。在本文分析中当连梁高度为0.8 m时，连梁刚度相对于剪力墙刚度较小，计算的最大位移误差为10.80%，在工程设计可接受的范围内，因此连梁刚度对本文动力模型分析及求解高层剪力墙(除壁式框架外)地震响应不大。

表1  结构的自振频率

Table 1  Natural frequency of structure

图2  本文模型前三阶振型

Fig.2  First three mode of this paper model

图3  有限元模型第一、三阶振型

Fig.3  The first and third mode of FEM

图4  El-Centro波作用下结构顶部响应时程曲线

Fig.4  Response at top of structure under El-Centro

图5  迁安波作用下结构顶部响应时程曲线

Fig.5  Response at top of structure under Qian’an

表2  连梁刚度对结构自振频率的影响

Table 2  Effect of linking beam stiffness for natural frequency of structure                Hz

图6  El-Centro波作用下结构顶部位移(整体剪力墙)

Fig.6  Displacement at top of structure under El-Centro (integral shear wall)

4.3  不同剪力墙高宽比对计算结果的影响

为了分析剪力墙高宽比对简化动力模型计算结果的影响，由于高层建筑为10层以上的建筑，因此在原模型的基础上分别考虑结构为10~22层，相应的剪力墙高宽比2.275~5.007，图7和图8所示分别为本文简化模型与悬臂梁模型计算10~22层建筑结构的第一、第二频率误差。从图7和图8可知：本文简化模型计算结构第一频率当层数较少时，计算误差相对较大，但随着层数的增加，计算误差急剧减小，当结构为13层时即剪力墙高宽比为2.958 6，计算误差为13%，当结构为22层时即剪力墙高宽比为5.007，计算误差为0.05%，对于简化模型来说，误差在可接受的范围内；本文简化模型计算结构高阶频率时计算误差比较大，层数越少，误差越大，但对于结构地震响应主要是低阶振型为主，高层剪力墙层数较多，因此，本文模型进行自振特性分析及求解地震响应仍能得到较好的结果。出现上述计算误差主要是因为当结构层数较低时，连梁对墙趾的约束作用较小，随着层数的增加，约束作用加强，另一个原因就是剪力墙高宽比较小时，剪切变形对计算结果影响比较显著。从图7和图8还可以看出：对于不同剪力墙高宽比，本文模型计算误差均小于悬臂梁模型。当结构为10层及22层时，在EI-Centro地震波作用下本文模型计算结构位移响应误差分别为10.1%与0.982 4%，并且随着层数的增加，位移计算误差越来越小。

图7  第一频率误差曲线

Fig.7  Error curve of the first frequency

图8  第二频率误差曲线

Fig.8  Error curve of the second frequency

5  结论

(1) 通过连续-离散化方法建立的高层剪力墙结构动力模型及推导的动力响应求解方法，可以较好地求解高层剪力墙结构的自振特性及地震响应，与有限元法计算的结果能够很好的吻合。由于本文建立的动力分析模型及动力响应求解方法从结构整体进行分析，不需要进行有限元的离散，因此在进行求解结构自振频率、振型及通过振型叠加求解地震响应时降低了计算的工作量，虽然与有限元法相比计算结果的准确性较低，但本文建立的动力分析模型及动力响应求解方法计算精度满足工程的需要。

(2) 通过对高层剪力墙结构进行自振特性及地震响应仿真分析，本文的动力分析模型计算精度优于悬臂梁模型，层数越少，计算精度越优于悬臂梁模型，且本文模型的计算工作量与悬臂梁模型基本相当。

(3) 剪力墙连梁刚度对本文建立的动力模型的自振特性及地震响应的计算精度有一些影响，但影响不大，对于工程设计在可接受的范围内，且随着层数的增加，连梁对墙趾的约束作用加强，连梁刚度对本文建立的动力模型及地震响应计算方法的求解精度影响将越来越小。

(4) 当剪力墙高宽比较小时，本文建立的动力模型计算误差较大，随着剪力墙高宽比的增大，计算误差迅速减小。当高宽比接近3时，自振频率计算误差为13%，剪力墙高宽比为5.007时，自振频率计算误差为0.05%，而对于高层剪力墙结构来说，每片剪力墙高宽比一般在3以上，因此可以应用本文建立的动力模型及地震响应的计算方法进行高层剪力墙结构自振特性分析及地震响应的求解。

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(编辑 赵俊)

收稿日期：2011-09-09；修回日期：2011-12-25

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51008009)；国家自然科学基金重大研究计划资助项目(90815027)；中国博士后科学基金特别资助项目(201104044)

通信作者：刘彦辉(1980-)，男，河南扶沟人，博士，从事结构抗震与减震方面的研究；电话：18924237856；E-mail：Liuyanhui2012@163.com