简介概要

塑性硬化材料亚耦联系统的变分原理及其在塑性加工中的应用

来源期刊：中国有色金属学报2001年第5期

论文作者：潘景升任运来

文章页码：875 - 880

关键词：塑性硬化材料；亚耦联系统；变分原理；塑性加工

Key words：plastic hardening material; sub-coupling system; variational principle; plastic forming

摘要：为降低金属塑性成形模拟试验的成本和难度，针对塑性加工中最常见的塑性硬化材料，给出了塑性成形模拟中原型与模型的定义，以及位移亚耦联系统和载荷亚耦联系统的定义，并建立了塑性硬化材料位移亚耦联系统和载荷亚耦联系统的变分原理，从而建立了有不同本构方程的两种材料的变形关系，克服了目前只有本构方程相同的两种材料才可以进行塑性变形模拟的理论限制。利用建立的变分原理，分析了铝、钢两种材料镦粗的变形关系。

Abstract: To decrease the cost and difficulty of simulating in plastic deformation, in view of the most common plastic hardening materials, the model and the prototype in the simulating test of plastic deformation, the displacement sub-coupling system of the plastic hardening material as well as load sub-coupling system, were all defined. The principle of potential energy and surplus energy of this displacement as well as the load sub-coupling system were found, then the deformation relation between the materials which have different stress-strain relation was set, overcoming the theoretical limit that the simulating test can only be applied to two kinds of materials with the same stress-strain relation. By means of the principle of potential energy of load sub-coupling system, the compressing forming relation between the aluminum column and steel column are analyzed.

DOI:10.19476/j.ysxb.1004.0609.2001.05.028

塑性硬化材料亚耦联系统的变分原理及其在塑性加工中的应用

潘景升任运来

燕山大学机械工程学院

燕山大学机械工程学院秦皇岛066004

摘要：

为降低金属塑性成形模拟试验的成本和难度 , 针对塑性加工中最常见的塑性硬化材料 , 给出了塑性成形模拟中原型与模型的定义 , 以及位移亚耦联系统和载荷亚耦联系统的定义 , 并建立了塑性硬化材料位移亚耦联系统和载荷亚耦联系统的变分原理 , 从而建立了有不同本构方程的两种材料的变形关系 , 克服了目前只有本构方程相同的两种材料才可以进行塑性变形模拟的理论限制。利用建立的变分原理 , 分析了铝、钢两种材料镦粗的变形关系

关键词：

塑性硬化材料;亚耦联系统;变分原理;塑性加工;

中图分类号： TG301

收稿日期：2001-01-15

Variational principle on sub-coupling system of plastic hardening material

Abstract：

To decrease the cost and difficulty of simulating in plastic deformation, in view of the most common plastic hardening materials, the model and the prototype in the simulating test of plastic deformation, the displacement sub coupling system of the plastic hardening material as well as load sub coupling system, were all defined. The principle of potential energy and surplus energy of this displacement as well as the load sub coupling system were found, then the deformation relation between the materials which have different stress strain relation was set, overcoming the theoretical limit that the simulating test can only be applied to two kinds of materials with the same stress strain relation. By means of the principle of potential energy of load sub coupling system, the compressing forming relation between the aluminum column and steel column are analyzed.

Keyword：

plastic hardening material; sub coupling system; variational principle; plastic forming;

Received： 2001-01-15

金属塑性变形模拟是现代成形领域里的前沿技术之一, 模拟理论与模拟方法研究是众所关注的问题 ^[1,2,3,4] 。目前, 金属塑性变形的模拟理论一般要求原形和模型除满足几何尺寸、边界条件、加载路线相同外, 还要求原形和模型有相同的本构方程 ^[5,6] 。选择两种本构方程相同的材料在生产实际中是十分困难的, 文献 [ 7, 8] 建立了塑性硬化材料的耦联系统和变分原理, 为塑性变形模拟提供了新理论和新方法。然而塑性硬化材料耦联系统仍要求原形和模型之间有相同的位移边界条件和力边界条件。在多数情况下, 两塑性变形体要么位移边界相同而力边界条件不一定相同, 要么力边界相同而位移边界条件不一定相同, 针对这种更广泛存在的塑性变形体之间的关系, 作者建立了塑性硬化材料的亚耦联系统和变分原理。

1基本方程及塑性硬化材料亚耦联系统

1.1基本方程

对于小变形, 有下述基本方程 ^[9]

σ_{ij, j}=0 (x_i∈V) (1)

$σ_{i j} n_{j} = \overset{—}{p}_{i} ? ? (x_{i} \in s_{p}) ? ? ? (2)$

$e_{i j} = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i}) ? ? (x_{j} \in V) ? ? ? (3)$

或者

$\frac{? B (σ)}{? σ_{i j}} e_{i j} ? ? ? (5)$

式中 s_p为应力表面, s_u为位移表面, 式 (1) 中略去体积力。

1.2变分法预备定理

根据文献 [ 10] 变分法的预备定理可以描述为:

如果函数F (x) 在线段 (α, β) 上连续, 且对于满足某些一般条件的任选函数δy (x) , 有

∫ $_{α}^{β}$ F (x) δ_y (x) dx=0

则在线段 (α, β) 的任意点上, 有

F (x) =0 α≤x≤β

δy (x) 的一般条件为: δy (x) 一阶或若干阶可微, δy (x) 或δy′ (x) 有界。

该定理一般可以推广到二维和三维问题。

1.3塑性硬化材料亚耦联系统的定义

塑性硬化材料亚耦联系统可分为位移亚耦联系统和载荷亚耦联系统, 分别定义如下:

设变形体Q₁和Q₂由塑性硬化材料构成, 它们符合Mises准则强化加载曲面, 泊松系数μ=0.5, 满足单一曲线假设

$\overset{—}{σ} = σ_{s 1} + A_{1} \overset{—}{e}^{n_{1}}$

$\overset{—}{σ} = σ_{s 2} + A_{2} \overset{—}{e}^{n_{2}}$

式中 σ_s1, σ_s2, A₁, A₂, n₁, n₂分别表示Q₁和Q₂初始屈服应力、材料常数和硬化指数。若Q₁和Q₂的几何尺寸相同, 位移边界条件相同, 加载路径相同, 则称Q₁和Q₂为塑性硬化材料位移亚耦联系统。若Q₁和Q₂的几何尺寸相同, 力边界条件相同, 加载路径相同, 则称Q₁和Q₂为塑性硬化材料载荷亚耦联系统。

1.4差功原理

设有一位移 (或载荷) 亚耦联系统, 它们的状态分别为σ_1ij, e_2ij, u_1ij和σ_2ij, e_2ij, u_2i, 应用式 (1) 于此位移 (或载荷) 亚耦联系统

$\begin{array}{l} \underset{V}{\int \int \int} (σ_{2 i j, j} - σ_{1 i j, j}) (u_{2 i} - u_{1 i}) d V = \\ \underset{V}{\int \int \int} {[(σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) (u_{2 i} - u_{1 i j})] - (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) \\ (e_{2 i j} - e_{1 i j})} d V = 0 ? ? ? (6) \end{array}$

由Green公式 ^[8]

$\begin{array}{l} \underset{V}{\int \int \int} [(σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) (u_{2 i} - u_{1 i j})] d V = \\ \underset{s_{p} + s_{u}}{\int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) n_{j} (u_{2 i} - u_{1 i}) d s \end{array}$

式 (6) 可以写成

$\underset{s_{p} + s_{u}}{\int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) n_{j} (u_{2 i} - u_{1 i}) d s - \underset{V}{\int \int \int} [(σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) (e_{2 i j} - e_{1 i j})] d V = 0 ? ? ? (7)$

对于位移亚耦联系统, 在s_u面上, $\overset{—}{u}_{2 i} = \overset{—}{u}_{1 i}$ , 式 (7) 成为

$\underset{s_{p} + s_{u}}{\int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) n_{j} (u_{2 i} - u_{1 i}) d s = \underset{V}{\int \int \int} [(σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) (e_{2 i j} - e_{1 i j}) d V ? ? ? (8)$

由式 $(2) σ_{2 i j} n_{j} = \overset{—}{p}_{2 i} = σ_{1 i j} n_{j} = \overset{—}{p}_{1 i}$ , 式 (7) 成为

$\begin{array}{l} \underset{s_{p}}{\int \int} (\overset{—}{p}_{2 i} - \overset{—}{p}_{1 i}) (u_{2 i} - u_{1 i}) d s = \underset{V}{\int \int \int} (σ_{2 i j} - \\ σ_{1 i j}) (e_{2 i j} - e_{1 i j}) d V ? ? ? (9) \end{array}$

式 (9) 表示, 对于位移亚耦联系统, 力边界上外载荷之差与相应位移之差的积等于变形体内应力之差与应变之差的积。文献 [ 11] 称之为位移亚耦联系统的差功原理。

对于载荷亚耦联系统, 在s_p面上, $\overset{—}{p}_{2 i} = \overset{—}{p}_{1 i}$ , 式 (7) 成为:

$\begin{array}{l} \underset{s_{u}}{\int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) n_{j} (\overset{—}{u}_{2 i} - \overset{—}{u}_{1 i}) d s = \underset{V}{\int \int \int} (σ_{2 i j} - \\ σ_{1 i j}) (e_{2 i j} - e_{1 i j}) d V ? ? ? (10) \end{array}$

式 (10) 表示, 对于载荷亚耦联系统, 位移边界上的位移之差与相应外载荷之差的积等于变形体内应力之差与应变之差的积。文献 [ 11] 称之为载荷亚耦联系统的差功原理。

2塑性硬化材料位移亚耦联系统的变分原理

设塑性变形体Q₁和Q₂是塑性硬化材料位移亚耦联系统, 它们的状态分别为σ_1ij, e_1ij, u_ij和σ_2ij, e_2ij, u_2i, 并且Q₁的状态是已知的。

2.1塑性硬化材料位移亚耦联系统的势能原理

式 (8) 对变形体Q₂的位移变分

$δ [\underset{V}{\int \int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) (e_{2 i j} - e_{1 i j}) d V - \underset{s_{p}}{\int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) n_{j} (u_{2 i} - u_{1 i}) d s] = \underset{V}{\int \int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) δ e_{2 i j} d V - \underset{s_{p}}{\int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) (n_{j} - u_{2 i}) d s ? ? ? (11)$

对于塑性材料与式 (11) 相应的泛函为

$\begin{array}{l} π = \underset{V}{\int \int \int} [E (e_{2 i j}) - σ_{1 i j} e_{2 i j}] d V - \\ \underset{s_{p}}{\int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) n_{j} u_{2 i} d s ? ? ? (12) \end{array}$

对式 (12) 变分, 并注意到在s_u面上, δu_2i=0, 得

$\begin{array}{l} δ π = \underset{s_{p}}{\int \int} (\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} - σ_{2 i j}) n_{j} δ u_{2 j} d s - \\ \underset{V}{\int \int \int} \frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} - σ_{1 i j}) n_{} j δ u_{2 i} d V ? ? ? (13) \end{array}$

式 (13) 取驻值, 考虑到变形体Q₁的状态是已知的, 再根据变分法预备定理 ^[3] 在变形体内

$\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} = 0 ? ? (x_{i} \in V)$

在s_p上, $σ_{2 i j} n_{j} = \overset{—}{p}_{2 i}$ , 所以

$\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} n_{j} = \overset{—}{p}_{2 i} ? ? (x_{i} \in s_{p})$

考查约束条件得

$σ_{2 i j} = \frac{? E (e)}{? e_{2 i j}}$

对于刚塑性硬化材料的本构方程 ^[10] 为

$e_{i j} = \frac{3}{2} \frac{\overset{—}{e}}{\overset{—}{σ}} S_{i j}$

$E (e_{i j}) = \int_{0}^{e_{i j}} σ_{i j} d e_{i j} = \int_{0}^{e_{i j}} S_{i j} d e_{i j} = \int_{0}^{\overset{?}{e}} \overset{—}{σ} d \overset{—}{e}$

将 $\overset{—}{σ} = σ_{s} + A \overset{—}{e}^{n}$ 代入上式, 并注意到e_ijσ_ij=0和 $\overset{—}{e} = \sqrt{\frac{2}{3} e_{i j} e_{i j}}$ , 则

$\begin{array}{l} E (e_{i j}) = \int_{0}^{\overset{?}{e}} (σ_{s} + A \overset{—}{e}^{n}) d \overset{—}{e} \\ = σ_{s} \overset{—}{e} + \frac{1}{n + 1} A \overset{—}{e}^{n + 1} \\ = (σ_{s} + \frac{A}{n + 1} \overset{—}{e}^{n}) \overset{—}{e} ? ? ? (14) \end{array}$

$\frac{? E}{? e_{i j}} = \frac{A}{n + 1} n \overset{—}{e}^{n} \frac{? \overset{—}{e}}{? e_{i j}} + (σ_{s} + \frac{A}{n + 1} \overset{—}{e}^{n}) \frac{? \overset{—}{e}}{? e_{i j}}$

$\frac{? \overset{—}{e}}{? e_{i j}} = \frac{2}{3} \frac{? e_{i j}}{? \overset{—}{e}}$

$\begin{array}{l} \frac{? E}{? e_{i j}} = \frac{A}{n + 1} n \overset{—}{e}^{n} \frac{2}{3} \frac{? e_{i j}}{? \overset{—}{e}} + (σ_{s} + \\ ? \frac{A}{n + 1} \overset{—}{e}^{n}) \frac{2}{3} \frac{? e_{i j}}{? \overset{—}{e}} \\ = \frac{2}{3} \frac{e_{i j}}{\overset{—}{e}} (\frac{A}{n + 1} n \overset{—}{e}^{n} + σ_{s} + \frac{A}{n + 1} \overset{—}{e}^{n} \\ = \frac{2}{3} \frac{? e_{i j}}{? \overset{—}{e}} (σ_{s} + A \overset{—}{e}^{n}) = \frac{2}{3} \frac{\overset{—}{σ}}{\overset{—}{e}} e_{i j} = S_{i j} \end{array}$

上式表明对于刚塑性硬化材料, 一定存在势函数E (_eij) , 使

$σ_{i j} = \frac{? E}{? e_{i j}} ? ? ? (15)$

2.2塑性硬化材料位移亚耦联系统的余能原理

将式 (8) 对变形体Q₂的应力变分

$δ [\underset{V}{\int \int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) (e_{2 i j} - e_{1 i j})] d V - \underset{s_{p}}{\int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) n_{j} (u_{2 i} - u_{1 i}) d s] = \underset{V}{\int \int \int} (e_{2 i j} - e_{1 i j}) δ σ_{2 i j} d V - \underset{s_{p}}{\int \int} (u_{2 i} - u_{1 i}) n_{j} δ σ_{2 i j} d s ? ? ? (16)$

与式 (16) 对应的泛函为

$\begin{array}{l} π = \underset{V}{\int \int \int} [B (σ_{2 i j}) - e_{1 i j} σ_{2 i j}] d V - \\ \underset{s_{p}}{\int \int} (u_{2 i} - u_{1 i}) n_{j} σ_{2 i j} d s ? ? ? (17) \end{array}$

对式 (17) 变分

$\begin{array}{l} δ π = \underset{V}{\int \int \int} (\frac{? E (σ)}{? σ_{2 i j}} - e_{1 i j}) δ σ_{2 i j} d V - \\ \underset{s_{p}}{\int \int} (u_{2 i} - u_{1 i}) n_{j} δ σ_{2 i j} d s ? ? ? (18) \end{array}$

由于变形体Q₂的应力场是静力学容许的, 所以

$\begin{array}{l} \underset{V}{\int \int \int} [u_{1 i} δ σ_{2 i j, j}] d V = \underset{s_{u} + s_{p}}{\int \int} u_{1 i} δ σ_{2 i j} n_{j} d s - \\ \underset{V}{\int \int \int} \frac{1}{2} (u_{1 i, j} + \\ u_{1 j, i}) δ σ_{2 i j} d V ? ? ? (19) \end{array}$

$\begin{array}{l} \underset{V}{\int \int \int} [u_{2 i} δ σ_{2 i j, j}] d V = \underset{s_{u}}{\int \int} u_{2 i} δ σ_{2 i j} n_{j} d s - \\ \underset{V}{\int \int \int} \frac{1}{2} (u_{2 i, j} + \\ u_{2 j, i}) δ σ_{2 i j} d V ? ? ? (20) \end{array}$

将式 (18) 与 (19) 相减再与式 (20) 相加, 得

$\begin{array}{l} δ π = \underset{V}{\int \int \int} {[\frac{? B (σ)}{? σ_{2 i j}} - \frac{1}{2} (u_{2 i, j} + u_{2 j, i})] - \\ [e_{i j} - \frac{1}{2} (u_{1 i, j} + u_{1 j, i})]} δ σ_{2 i j} d V + \\ \underset{s_{u}}{\int \int} (u_{2 i} - u_{1 i}) δ σ_{2 i j} n_{j} d s ? ? ? (21) \end{array}$

式 (21) 取驻值, 由于变形体Q₁的状态是已知的, 再根据变分法预备定理在变形体内有

$\frac{? B (σ)}{? σ_{2 i j}} - \frac{1}{2} (u_{2 i, j} - u_{2 j, i}) = 0 ? ? (x_{i} \in V)$

在s_u面上

$u_{2 i} = u_{1 i} = \overset{—}{u}_{1 i} = \overset{—}{u}_{2 i} ? ? (x_{i} \in s_{u})$

由几何方程得

$e_{2 i j} = \frac{1}{2} (u_{2 i, j} + u_{2 j, i})$

$\frac{? B (σ)}{? σ_{2 i j}} = e_{2 i j}$

对于刚塑性硬化材料, 一定存在势函数B (σ_ij) , 使 $\frac{? B (σ)}{? σ_{2 i j}} = e_{2 i j}$ 成立。事实上,

$\overset{—}{σ} = σ_{s} + A \overset{—}{e}^{n}$

$\begin{array}{l} B (σ_{i j}) = \int_{0}^{σ_{i j}} e_{i j} d σ_{i j} \\ = \int_{0}^{\overset{—}{σ}} \overset{—}{e} d \overset{—}{σ} \\ = (\frac{1}{A})^{\frac{1}{n}} \frac{n}{n + 1} [(\overset{—}{σ} - σ s)^{\frac{n + 1}{n}} - σ_{s}^{\frac{n + 1}{n}} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{? B}{? σ_{i j}} = (\frac{1}{A})^{\frac{1}{n}} \frac{n}{n + 1} [\frac{n + 1}{n} (\overset{—}{σ} - σ_{s})^{\frac{1}{n}}] \frac{? \overset{—}{σ}}{? σ_{i j}} \\ = (\frac{\overset{—}{σ} - σ_{s}}{A})^{\frac{1}{n}} \frac{? \overset{—}{σ}}{? σ_{i j}} \end{array}$

注意到 $\overset{—}{σ} = \sqrt{\frac{3}{2} (S_{i j} S_{i j})}$ 和 $\overset{—}{e} = (\frac{\overset{—}{σ} - σ_{s}}{A})^{\frac{1}{n}}$

$\frac{? \overset{—}{σ}}{? σ_{i j}} = \frac{3}{2} \frac{S_{i j}}{σ}$

且

$\frac{? \overset{—}{σ}}{? σ_{i j}} = \frac{3}{2} \frac{\overset{—}{e}}{\overset{—}{σ}} S_{i j} = e_{i j}$

3塑性硬化材料载荷亚耦联系统的变分原理

设变形体Q₁和Q₂构成一个塑性硬化材料载荷亚耦联系统, 它们的状态分别为σ_1ij, e_1ij, u_1i, σ_2ij, e_2ij, u_2i, 并且塑性硬化材料变形体Q₁的状态是已知的。

3.1塑性硬化材料载荷亚耦联系统的势能原理

式 (10) 对Q₂的位移u_2i变分 ^[12]

$δ [\underset{V}{\int \int \int} σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) (e_{2 i j} - e_{1 i j}) d V - \underset{s_{u}}{\int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) n_{j} (\overset{—}{u}_{2 i} - \overset{—}{u}_{1 i}) d s] = \underset{V}{\int \int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) δ e_{2 i j} d V ? ? ? (22)$

与式 (22) 对应的泛函为

$π = \underset{V}{\int \int \int} (E (e) - σ_{1 i j} e_{2 i j}) d V ? ? ? (23)$

对式 (23) 变分

$\begin{array}{l} δ π = \underset{V}{\int \int \int} (\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} - σ_{1 i j}) δ e_{2 i j} d V \\ = \underset{V}{\int \int \int} (\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} - σ_{1 i j}) δ u_{2 i j} d V \\ = \underset{s_{p} + s_{u}}{\int \int} (\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} - σ_{1 i j}) n j δ u_{2 i} d s - \\ ? \underset{V}{\int \int \int} [\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} - σ_{1 i j, j}] δ u_{2 i} d V \\ = \underset{s_{p} + s_{u}}{\int \int} (\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} - σ_{1 i j}) n j δ u_{2 i} d s - \\ ? \underset{V}{\int \int \int} [\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} - σ_{1 i j, j}] δ u_{2 i} d V ? ? ? (24) \end{array}$

式 (24) 取驻值, 由变分法预备定理得

$\frac{? E (e)}{? e_{2 i j, j}} = 0 ? ? (x_{i} \in V)$

$\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} n_{j} = σ_{1 i j} n_{j} = \overset{—}{p}_{2} i ? ? (x_{i} \in s_{p})$

由约束条件得

$\frac{? E (e)}{? e_{2 i j}} = σ_{2 i j} ? ? ? (25)$

3.2塑性硬化材料载荷亚耦联系统的余能原理

将式 (10) 对变形体Q₂的应力σ_2ij变分 ^[13]

$\begin{array}{l} δ = \underset{V}{\int \int \int} (σ_{2 i j} - σ_{1 i j}) (e_{2 i j} - e_{1 i j}) d V - \underset{s_{u}}{\int \int} σ_{2 i j} - \\ ? σ_{1 i j}) n_{j} (\overset{—}{u}_{2 i} - \overset{—}{u}_{1 i}) d s] \\ = \underset{V}{\int \int \int} (e_{2 i j} - e_{1 i j}) δ σ_{2 i j} d V - \\ ? \underset{s_{u}}{\int \int} (\overset{—}{u}_{2 i} - \overset{—}{u}_{1 i}) n_{j} δ σ_{2 i j} d s ? ? ? (26) \end{array}$

与式 (26) 对应的泛函为

$\begin{array}{l} π = \underset{V}{\int \int \int} [B (σ_{2 i j}) - e_{1 i j} σ_{2 i j}] d V - \\ \underset{s_{u}}{\int \int} (\overset{—}{u}_{2 i} - \overset{—}{u}_{1 i}) n_{j} δ σ_{2 i j} d s ? ? ? (27) \end{array}$

式 (27) 两边对Q₂的应力σ_2ij变分

$\begin{array}{l} δ π = \underset{V}{\int \int \int} (\frac{? B (σ)}{? σ_{2 i j}} - e_{1 i j}) δ σ_{2 i j} d V - \\ \underset{s_{u}}{\int \int} (\overset{—}{u}_{2 i} - \overset{—}{u}_{1 i}) n_{j} δ σ_{2 i j} d s ? ? ? (28) \end{array}$

由于变形体Q₂的应力场σ_2ij是静力学容许的, 因而有

$\begin{array}{l} \underset{V}{\int \int \int} u_{1 i} δ σ_{2 i j, j} d V = \underset{s_{u}}{\int \int} u_{1 i} n_{j} δ σ_{2 i j} d s - \\ \underset{V}{\int \int \int} \frac{1}{2} (u_{1 i, j} + \\ u_{1 j, i}) δ σ_{2 i j} d s ? ? ? (29) \end{array}$

$\begin{array}{l} \underset{V}{\int \int \int} u_{2 i} δ σ_{2 i j, j} d V = \underset{s_{u}}{\int \int} u_{2 i} n_{j} δ σ_{2 i j} d s - \\ \underset{V}{\int \int \int} \frac{1}{2} (u_{2 i, j} + \\ u_{1 j, i}) δ σ_{2 i j} d s ? ? ? (30) \end{array}$

综合式 (28) , (29) 和 (30) 得

$\begin{array}{l} δ π = \underset{V}{\int \int \int} {[(\frac{? B (σ)}{? σ_{2 i j}} - \frac{1}{2} (u_{2 i, j} + u_{2 j, i})] - \\ [e_{1 i j} - \frac{1}{2} (u_{1 i, j} + u_{1 j, i})]} δ σ_{2 i j} d V + \\ \underset{s_{u}}{\int \int} (u_{2 i} - \overset{—}{u}) n_{j} δ σ_{2 i j} d s - \\ \underset{s_{u}}{\int \int} (u_{1 i} - \overset{—}{u}_{1 i}) n_{j} δ σ_{2 i j} d s ? ? ? (31) \end{array}$

式 (31) 取驻值, 考虑到变形体Q₁的状态是已知的, 根据变分法预备定理得

$\frac{? B (σ)}{? σ_{2 i j, j}} - \frac{1}{2} (u_{2 i, j} - u_{2 j, i}) = 0 ? ? (x_{i} \in V)$

u_2i=u_1ix_i∈x_u

由几何方程和约束条件有

$e_{2 i j} = \frac{1}{2} (u_{2 i, j} + u_{2 j, i})$

$\frac{? B (σ)}{? σ_{2 i j, j}} = e_{2 j, i}$

4应用

镦粗变形是塑性加工中最基本的变形工序, 分析镦粗变形具有重要代表意义。图1中是一铝园柱和一钢圆柱, 它们的原始几何尺寸相同, 在上端面受相同的均布载荷p的作用, p>p_s1, p>p_s2, 且加载路径相同。铝的硬化规律为 $\overset{—}{σ} = σ_{s 1} + A_{1} \overset{—}{e}^{n_{1}}$ , 钢的硬化规律为 $\overset{—}{σ} = σ_{s 2} + A_{1} \overset{—}{e}^{n_{2}}$ 。由前述可知, 铝柱和钢柱构成一塑性硬化材料载荷亚耦联系统。设铝柱的状态是已知的, 求钢柱的变形。