非正交面齿轮传动系统的耦合振动分析
李晓贞，朱如鹏，李政民卿，靳广虎
(南京航空航天大学 江苏省精密与微细制造技术重点实验室，江苏 南京，210016)
摘要：为研究非正交面齿轮传动系统的非线性动力学特性，基于集中参数理论，建立包含齿侧间隙、传动误差、时变啮合刚度、啮合阻尼、支撑刚度、支撑阻尼和激励频率等参数的弯－扭耦合非线性动力学模型。采用龙格库塔数值积分方法对系统的动力学方程进行求解，分析不同的激励频率对非正交面齿轮传动系统的动态响应的影响。通过对时间历程图、平面相图、Poincare截面图和FFT频谱图的分析和比较，传动系统会出现简谐响应、2周期次谐波响应、拟周期响应及混沌响应。
关键词：非正交面齿轮；耦合振动；动态响应；混沌振动
中图分类号：TH132.4 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2013)06-2274-07
Analysis of coupled vibration of face gear drive with non-orthogonal intersection
LI Xiaozhen, ZHU Rupeng, LI Zhengminqing, JIN Guanghu
(Jiangsu Key Laboratory of Precision and Micro-Manufacturing Technology,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)
Abstract: In order to study the nonlinear dynamic characteristics of face gear drive with non-orthogonal intersection, a nonlinear dynamic model was presented by the concentrated parameters, which includes gear clearances, general transmission error, time-varying meshing stiffness, meshing damping,brace stiffness, support damping and exciting frequency, etc. The Runge-Kutta numerical integral method was used to solve the dynamic differential equations. When the excitation frequency is changed, harmonic, sub-harmonic, quasi-periodic and chaotic responses are shown by the time histories, phase plane plots, Poincare maps and Fourier spectra.
Key words: non-orthogonal face gear; coupling vibration; dynamic response; chaotic vibration
面齿轮传动是圆柱齿轮与圆锥齿轮相啮合的新型齿轮传动，当圆柱齿轮与圆锥齿轮的轴线夹角为90°时，锥齿轮的轮齿分布在一个平面上，因此称为面齿轮。面齿轮是采用渐开线齿轮刀具通过包络原理经范成加工而成。面齿轮传动具有很多独特的优点和几何现象，并于2011年在AH-64DApache武装直升机传动系统中成功应用，据国外文献报道，采用面齿轮传动的直升机传动系统比传统的直升机传动系统质量减小了40%[1-2]；面齿轮传动中小齿轮采用渐开线圆柱齿轮，其轴向移动产生的误差对传动性能影响微小，无需防错位设计；小齿轮上无轴向力，可以简化支撑；面齿轮传动的重合度较大，在空载时即可达到1.6~1.8；同时啮合齿对的公法线相同，这对传动极为有利[3-6]。面齿轮传动的这些优点非常适合要求质量轻、噪声低、振动小的直升机传动，因此国内外对面齿轮传动的研究比较重视，在啮合原理、齿面接触强度、轮齿弯曲强度、切齿和磨齿加工等方面做了相关的研究工作[7-9]，但对于面齿轮传动的振动特性研究较少，还处于起步阶段，朱如鹏等[9-11]建立了含传动误差的正交面齿轮振动模型，分析了传动误差、支撑刚度对正交面齿轮传动系统动态特性的影响。目前，非正交面齿轮传动系统动态特性研究的相关文献很少，为此，本文作者基于集中参数理论，建立非正交面齿轮传动系统的多自由度耦合振动模型，模型中考虑了齿侧间隙、传动误差、时变啮合刚度、啮合阻尼、支撑刚度、支撑阻尼和激励频率等参数，通过龙格库塔数值积分法，求解非正交面齿轮传动系统的动力学方程，得到系统的动态响应特性，为非正交面齿轮传动系统的优化设计提供理论依据。
1 非正交面齿轮传动系统的振动模型
非正交面齿轮传动系统的模型如图1所示，参考McDonnell-Douglas公司设计的含面齿轮传动的直升机主减速器方案，模型中圆柱齿轮与面齿轮的轴交角γm取72°，在该模型中建立2个坐标系，分别为固定在非正交面齿轮上的坐标系S1-X1Y1Z1和与直齿圆柱齿轮固定的坐标系S2-X2Y2Z2，两坐标系共同的坐标原点在两齿轮轴线的交点O处(如图1所示)，非正交面齿轮轴线在坐标轴OZ1上，直齿圆柱齿轮的轴线在坐标轴OX2上，坐标轴OY1与OY2重合，坐标系S2-X2Y2Z2由坐标系S1-X1Y1Z1绕O1Y1转过角度γ=18°得到。
图1 非正交面齿轮传动系统模型
Fig. 1 Model of non-orthogonal face gear transmission system
根据非正交面齿轮传动的特点，啮合力在直齿圆柱齿轮上只能分解为沿Y2和Z2方向的力，而没有沿X2方向的轴向力，因此与锥齿轮传动相比，承载与支撑结构简单，振动自由度减少，对OX2方向的安装误差不敏感，无需防错位设计；非正交面齿轮受到的啮合力可分解为沿X1，Y1和Z1 3个方向的力，根据受力情况建立了弹性支撑下的非正交面齿轮传动系统动力学模型(如图2所示)。模型中，ks表示啮合刚度，cs表示啮合阻尼，b表示齿轮副的齿测间隙，e表示齿轮副的综合传动误差，kij表示支撑刚度，cij表示支撑阻尼，其中i=1，2，j=x，y，z。该模型是一个集中参数模型，非正交面齿轮与圆柱齿轮均采用集中质量和集中转动惯量模拟；为定性的分析系统的非线性动力学特性，齿轮轴采用无质量的刚体模拟；轴承、支座等为弹性支撑，采用无质量的弹簧和阻尼器模拟[9-10]。
图2 非正交面齿轮传动系统的非线性动力学模型
Fig. 2 Nonlinear dynamic model of non-orthogonal face gear transmission system
设主动圆柱齿轮所受的扭矩为T2，从动非正交面齿轮所受扭矩为T1，则整个传动系统共有7个自由度，分别为非正交面齿轮沿X1，Y1和Z1 3个方向的位移x1，y1和z1，圆柱齿轮沿Y2和Z2 2个方向的位移y2和z2，两齿轮绕各自轴线的扭转振动角度θ1和θ1，即：
(1)
2 非正交面齿轮传动系统的非线性动力学方程
非正交面齿轮与圆柱齿轮的啮合点处因承受载荷作用，将沿啮合线方向产生弯曲、振动，综合考虑误差因素，则啮合点在啮合线方向的相对位移Xn的表达式为
(2)
式中：αn为啮合角；r1和r2为两齿轮啮合点到各自轴线的距离；e(t)为齿轮副的法向静态传动误差，如基节偏差、齿距偏差、齿形误差、齿距累积误差等误差的综合，其表达式为
(3)
式中：e0为齿轮副综合传动误差的常量；Ae为综合传动误差的幅值；ω0为齿轮副的啮合角频率；φe为初相位。
齿轮副在啮合时啮合线方向的动载荷及其沿各坐标轴方向的分力分别为
(4)
式中：k(t)为啮合齿轮副时变啮合刚度；f(Xn)为间隙函数。
非正交面齿轮传动的重合度一般不为整数，故在一个啮合周期内存在单齿啮合区和双齿啮合区，在单齿啮合区与双齿啮合区的交界处，齿轮副的啮合刚度会产生阶跃性突变，所以时变啮合刚度是以啮合周期为周期的阶跃函数[12-15]。面齿轮传动的重合度较大，且在加载后会进一步增大，因此可将面齿轮传动的时变啮合刚度视为在一个平均值上微小波动，其表达式为
(5)
式中：km为啮合刚度的平均值；Ak为时变啮合刚度的波动幅值；φk为初相位。
间隙函数f(Xn)可表示为
(6)
式中：bm为齿轮副齿测间隙b的一半。
则图2所示的非正交面齿轮传动系统模型的振动微分方程为
(7)
式中：m1，m2和I1，I2分别为非正交面齿轮和圆柱齿轮的集中质量和集中转动惯量；T1和T2为两齿轮所受的扭矩。
将啮合线方向的位移Xn作为新的自由度，对振动方程中的扭转振动方程进行合并处理得
(8)
式中：a1=sin αn；a2=cos αn；F为齿轮所受的载荷力；me为齿轮副的等效质量，其表达式为
(9)
将传动系统的振动方程组进行无量纲化处理可得
(10)
式中：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
；i=1，2；j=x，y，z。
3 非线性振动方程的求解
方程组(10)是一个变参数、非线性二阶微分方程组，解析法很难求解，本文采用变步长自适应步长的Runge-Kutta数值积分法，引入状态变量v(τ)进行求解，得到非正交面齿轮传动系统的振动相应，用量纲一化的形式表示，传动系统的主要的主要参数如表1所示。
计算得到的系统响应以量纲一化的形式给出，结果中xn表示量纲一化位移；dxn表示量纲一化速度。对于不同的激励频率，非正交面齿轮传动系统的动态响应会出现简谐响应、2周期次谐波响应、拟周期响应和混沌响应4种稳态响应。
当ω0=0.327 4时，系统振动响应如图3所示，呈现单周期简谐振动响应，响应的时间－位移曲线为标准的简谐波型，相平面图为非圆、非椭圆的闭合曲线，对应的Ponicare映射图为1个离散点，而相应的频谱图上则只出现1个尖峰，表示单周期振动。
当ω0=0.446 5时，系统响应如图4所示，系统为2周期振动响应，相平面图为不规则闭合曲线，对应的Ponicare截面图为2个离散点，其相应的频谱图曲的谱线则出现2个尖峰，表示2周期谐波响应。
当ω0=0.773 9时，系统呈现出拟周期响应的特征，如图5所示，时间－位移曲线为近似的周期运动，是多个周期运动的合成运动，系统的轨迹线充满一个稳定的超环面，其Ponicare截面图为由一系列离散点构成的闭合曲线环。
当ω0=0.922 7时，系统出现混沌响应，如图6所示，系统的运动为非周期运动，相平面由相互缠绕和交叉但不重复、不封闭的曲线组成，其Ponicare截面图为在有限区间内的离散点的集合，对应的频谱图谱线为具有较大带宽的一系列尖峰组成。
表1 齿轮系统参数
Table 1 Parameters value of system
图3 ω0=0.327 4时简谐振动响应
Fig. 3 Simple harmonic response when ω0=0.327 4
图4 ω0=0.446 5时倍周期次谐波响应
Fig. 4 Two-period sub harmonic response when ω0=0.446 5
图5 ω0=0.773 9时简谐振动响应
Fig. 5 Quasi-periodicity response when ω0=0.773 9
图6 ω0=0.922 7时简谐振动响应
Fig. 6 Chaotic response when ω0=0.922 7
4 结论
(1) 建立非正交面齿轮传动系统的振动模型，在考虑啮合传动的齿侧间隙、支撑刚度、支撑阻尼、时变啮合刚度和传动误差的情况下，求解系统的非线性振动方程，获得系统的动态响应。
(2) 在不同的转速下，非正交面齿轮传动系统的动态响应会出现简谐响应、次谐响应、拟周期响应和混沌响应四种稳态响应。
(3) 非正交面齿轮传动系统的动态响应非常复杂，与支撑刚度、支撑阻尼、齿侧间隙、激励频率等因素有直接关系，通过系统动态响应的分析，将系统震动控制在周期窗口内，对提高系统可靠性、延长系统寿命和系统的减震降噪有重要意义。
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(编辑 杨幼平)
收稿日期：2012-06-17；修回日期：2012-09-25
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51105194)；南京航空航天大学直升机专项基金资助项目(NP2011025，NP2011026)；南京航空航天大学青年创新基金资助项目(NS2010129)；江苏省高校优势学科建设工程资助项目(2012—2013年)
通信作者：朱如鹏(1959-)，男，江苏建湖人，教授，博士生导师，从事机械传动、结构强度、机械CAD及自动化研究；电话：025-84892500；E-mail：rpzhu@nuaa.edu.cn
