基于分流均衡要求的行星传动基本构件浮动量分析

陆俊华，朱如鹏，靳广虎

(南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京，210016)

摘  要：根据从动力学角度建立的行星传动系统计算模型，考虑系统的误差、工况条件、构件的支承刚度对基本构件浮动量的影响，推导行星传动的动力学方程；计算在载荷分流均衡要求下基本构件的浮动量；分析系统主要设计参数对浮动量的影响，为行星齿轮传动系统的均载结构设计提供依据。研究结果表明：系统的浮动量随着对载荷均衡要求、转速、系统行星轮个数、基本构件支承刚度和系统构件误差的增加而增大，各构件的误差对系统浮动量的影响有累加作用；系统的误差、工况条件、构件的尺寸参数和支承刚度等因素均影响系统的浮动量，在实际分析中要予以考虑。

关键词：行星传动；分流均衡；动力学；浮动量

中图分类号：TH132.4         文献标识码：A         文章编号：1672-7207(2008)01-0143-06

Basic-components’ offset analysis of planetary gearing in need of loading sharing

LU Jun-hua, ZHU Ru-peng, JIN Guang-hu

(College of Mechanical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract: According to the calculative model with the dynamic way, and the influence of the system errors, work conditions, supporting rigid of components on the offset of basic parts, the dynamic equation of planetary gearing was presented. The offset of basic parts in need of load sharing was calculated. The influence of the main designed parameters on offset was analyzed, which was supplied for designing of load sharing structure of planetary gearing train. The results show that the offset increases with the increase of require of load sharing, the system rotate speed, the supporting rigid, the number of the planetary and the system errors. The component errors have cumulative influence upon offset. The system errors, work conditions and size of components and supporting rigid all have certain influence upon the system offset, so they have to be considered when the offset is calculated.

Key words: planetary transmission; loading sharing; dynamic; offset

行星传动系统一般由多个行星轮形成功率分流。由于其结构紧凑、质量小、承载能力强，广泛应用于对体积、质量有较高要求的航空发动机体内减速器和直升机主减速器中。理论上，多个行星轮共同分担载荷；实际上，由于制造和安装误差，载荷在各路传动上的分配很难均匀，而误差是不可避免的。若结构布置选择不当，不但外廓结构和质量方面的优点得不到发挥，甚至可能得到不利于使用的传动^[1-3]。最常用的方法是依靠基本构件的浮动，而达到载荷分流均衡的目的。

20世纪90年代，美国国家航空航天局(NASA)开始对齿轮传动的动力学性能开始进行研究^[4-5]，主要研究系统条件发生变化时齿轮传动的动力学问题；袁茹等^[6]研究了浮动构件的支承刚度对行星齿轮功率分流动态均衡性的影响；方宗德等^[7-9]研究了行星减速器的动态特性，进而提出了非线性动力学模型。在载荷分流均衡要求下，陈纯等^[10-12]对行星传动浮动构件的浮动量计算仅限于几何分析，没有考虑系统的工况情况和构件的弹性变形。本文作者从系统构件的几何误差、构件的弹性变形及系统的工况情况等方面综合考虑，从动力学角度计算基本构件的浮动量，分析系统主要设计参数对各构件浮动量的影响，以便为行星齿轮传动的浮动量的确定提供参考，对浮动机构的设计提供依据。

1  系统的等效计算模型

图1所示为行星传动装置的传动简图,输入功率经太阳轮Z_s分流给行星轮Z_pi(i=1, 2, …, N)，经行星架C输出。

图1  行星传动简图

Fig.1  Sketch map of planetary transmission

图2所示为系统的计算模型。将行星齿轮机构的各构件看作刚体，太阳轮和内齿圈为基本浮动构件，啮合副、回转副及支承处的弹性变形用等效弹簧刚度表示，其中K_sp为太阳轮和行星轮之间的轮齿啮合刚度；K_pI为行星轮和内齿圈之间的等效轮齿啮合刚度，即它们相应的等效弹簧刚度；K_s，K_c，K_p和K_I分别为太阳轮，行星架，行星轮和内齿轮支承处的等效弹簧刚度；K_o为行星架的扭转刚度。轮齿的啮合刚度参照文献[13]中所述方法进行计算，等效弹簧刚度参照文献[14]中所述方法进行计算。

图2  行星齿轮传动动力学计算模型

Fig.2  Dynamic analysis model of planetary transmission

2  位移向量的计算和设计

令P_spi和P_piI分别为第i(i =1，2，…，N)个行星轮与太阳轮和内齿圈在啮合线上的动载荷，则

令D_spi和D_piI分别为第i(i =1，2，…，N)个行星轮与太阳轮和内齿圈在啮合线上的啮合振动阻尼力，则

根据Lagrange方程，代入式(1)~(4)，推导得系统的运动微分方程，其矩阵形式为：

已知系统的结构参数、传动参数以及各构件的误差值，根据方程组(5)可以求出行星齿轮传动系统的均载系数。基于载荷分流均衡性能要求设计浮动构件的浮动量，即给定系统的结构参数、传动参数及均载系数，求出浮动构件的误差值，以满足给定的系统均载系数的要求。

浮动构件的浮动量均对系统均载系数有影响，而且求解均载系数的方程组(5)中含有的变量多，采用最优化方法进行分析研究^[15]，相应的优化设计的数学模型如下。

在给定结构参数的情况下，计算均载系数B的独立变量只有浮动构件的浮动量，所以设计变量可以取为太阳轮的浮动量x₁和内齿圈的浮动量x₂，即设计变量X为：

X=[x₁  x₂ ]^T 。                        (7)

由于系统的结构尺寸已知，所以约束仅为设计变量即各浮动量的上下界约束，即

y_1i≤x_i≤y_2i 。               (8)

式中：i=1, 2；y_1i和y_2i分别为各浮动量的上下限，为常量，根据实际条件给定。

这样给定浮动量的上下限，就可以求出最接近给定均载系数B的各浮动量，从而据此采取措施以满足系统的载荷分流均衡要求。

3  系统参数对浮动量的影响分析

表1所示为根据文献[16]给出的行星传动的主要参数，各长度误差均为6 ?m。计算出的太阳轮和内齿轮的浮动量分别为0.002 mm和0.023 mm。其运动轨迹如图3所示，说明浮动构件因浮动而引起的转动中心随着齿轮的转动而变化。

(a) 太阳轮；(b) 内齿圈

图3  太阳轮和内齿圈的运动轨迹

Fig.3  Paths of sun gear and ring gear

表1  行星传动主要参数

Table 1  Primary data of planetary gearing

3.1  输入转速对浮动量的影响

当其他参数不变，改变输入转速，中心轮浮动量随输入转速的增大而增大，如图4所示。

图4  输入转速与内齿圈浮动量的关系

Fig.4  Relationship between input rotate speed and offset of ring gear

3.2  误差对浮动量的影响

系统的各项误差中的某一项单独变化，其余各项误差均不为0，内齿圈浮动量发生变化，其值随误差的增大而线性增大，如图5中虚线所示。

1—某一误差单独变化且其余误差为0；2—某一误差单独变化且其余误差不为0

图5  太阳轮偏心误差与内齿圈浮动量的关系

Fig.5  Relationship between sun run out error and offset of ring gear

系统的各项误差中的某一项单独变化，其余各项误差均为0，内齿圈浮动量发生变化，其值随误差的增大而线性增大，如图5中实线所示。

由图5分析可得，系统误差中的某一项误差单独变化，其他误差均不为0时，内齿圈的浮动量比其他误差均为0时要大，说明各构件的误差对内齿圈浮动量的影响有累积作用。

其他系统条件不变，使系统每个构件误差同时从0开始以步长5 μm增加，中心轮浮动量发生变化，随误差的增大而增大，结果如图6所示。

图6  系统误差与内齿圈浮动量的关系

Fig.6  Relationship between system error andoffset of ring gear

3.3  行星轮个数对浮动量的影响

增加行星轮的个数，其他条件不变，内齿圈浮动量随星轮个数的增加而增大，如图7所示，且随着行星轮个数的增加，浮动量递增越来越缓慢。

图7  行星轮个数与内齿圈浮动量的关系

Fig.7  Relationship between planetary number and offset of ring gear

3.4  齿宽对浮动量的影响

其他条件不变，内齿圈浮动量随着齿宽增加而增加，结果如图8所示。可见，当齿轮的其他参数不变，齿宽增加，即齿轮的质量增加，转动惯量增加；另一方面，齿轮偏载的可能性增加，要求浮动构件的浮动量增加。

图8  齿宽与内齿圈浮动量的关系

Fig.8  Relationship between bear breadth and offset of ring gear

3.5  太阳轮支承刚度对浮动量的影响

其他条件不变，内齿圈浮动量随着太阳轮支承刚度的增加而增加，结果如图9所示。可见，太阳轮支承刚度越大，越不容易均载，对浮动的要求越高。当太阳轮刚度很大时，太阳轮相当于刚体，所以，它对浮动量几乎没有影响。

图9  太阳轮支承刚度与内齿圈浮动量的关系

Fig.9  Relationship between sun supporting rigid and offset of ring gear

太阳轮的浮动量与内齿圈浮动量基本趋势一致，不过在相同条件下，太阳轮的浮动量比内齿圈的小。这说明在相同的浮动量作用下，太阳轮浮动的均载效果比内齿圈的好。另一方面，太阳轮质量较小，容易浮动，所以，在工程中，太阳轮浮动是常用的均载方法之一。

3.6  浮动量对系统均载系数的影响

其他参数不变，改变中心轮的浮动量，系统的均载系数如图10所示。可以看出，随着中心轮浮动量的增大，系统的均载系数变小，即中心轮浮动可显著改善系统的均载情况。

图10  太阳轮浮动量与系统均载系数的关系

Fig.10  Relationship between offset of sun and system load sharing coefficient

在与上述算例中提供的误差条件下，李春风等^[17]用几何分析的方法所得结果为太阳轮和内齿轮的浮动量均为7.9 μm。这说明行星传动时的工作条件、齿轮的几何参数及构件的弹性变形等均影响中心轮的浮动量，在实际设计分析时应予以考虑。

4  结  论

a. 根据建立的系统动力学模型，计算了在给定均载系数要求下浮动构件的浮动量，分析了系统主要参数对浮动量的影响，对行星齿轮传动浮动装置的设计具有参考价值。

b. 太阳轮和内齿圈的浮动对系统的均载性能影响很大，它们又以太阳轮的浮动效果更为明显。

c. 主要构件的制造和安装误差共同对系统的性能起作用，单方面降低某一误差，达不到均载效果，也是不合适的。

d. 浮动量随着系统转速的增加而增加，随着系统误差的增加而增加；各构件的误差对系统浮动量的影响有累加作用，随着齿宽的增加而增加，随着行星轮个数的增多而增加，随着太阳轮支承刚度的增大而增加，随着对载荷分流均衡要求的增加而增加。

参考文献：

[1] 渐开线齿轮行星传动的设计与制造编委会. 渐开线齿轮行星传动的设计与制造[M]. 北京: 机械工业出版社, 1987: 1-6.

Editorial Board of Design and Manufacture of Involve Planetary Gear Transmission. Design and manufacture of involve planetary gear transmission[M]. Beijing: China Machine Press, 1987: 1-6.

[2] Kahraman A. Static load sharing characteristics of transmission planetary gear sets: Model and experiment[R]. Detroit: Society of Automotive Engineers, 1999: 1954-1962.

[3] Krantz T L. A method to analyze and optimize the load sharing of split path transmissions[R]. San Diego: NASA Technical Memorandum 107201, 1996: 1-10.

[4] Krantz T L, Delgado I R. Experimental study of split-path transmission load sharing[R]. San Diego: NASA Technical Memorandum 107202, 1996: 1-9.

[5] Kahramn A. Load sharing characteristics of planetary transmissions[J]. Mech Mach Theory, 1994, 29(8): 1151-1165.

[6] 袁 茹, 王三民, 沈允文. 行星齿轮传动的功率分流动态均衡优化设计[J]. 航天动力学报, 2000, 15(4): 410-412.
YUAN Ru, WANG San-min, SHEN Yun-wen. Dynamic optimum design of power shared out equally among the planetary gears[J]. Journal of Aerospace Power, 2000, 15(4): 410-412.

[7] 方宗德, 沈允文, 黄镇东. 2K－H行星减速器的动态特性[J]. 西北工业大学学报, 1990, 10(4): 361-371.
FANG Zong-de, SHEN Yun-wen, HUANG Zhen-dong. Dynamic characteristics of 2K-H planetary gearing[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 1990, 10(4): 361-371.

[8] 方宗德, 沈允文, 黄镇东. 三路功率分流恒星式减速器的动态特性[J]. 航空学报, 1990, 11(7): 341-350.
FANG Zong-de, SHEN Yun-wen, HUANG Zhen-dong. The dynamic behaving of star gearing with there branches[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Siniea, 1990, 11(7): 341-350.

[9] 孙智民, 沈允文, 李素有. 封闭行星齿轮传动系统的动态特性研究[J]. 机械工程学报, 2002, 38(2): 44-52.
SUN Zhi-min, SHEN Yun-wen, LI Su-you. Study on dynamic behavior of encased differential gear train[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2002, 38(2): 44-52.

[10] 陈 纯. 行星齿轮传动均载构件移量的计算[J]. 机械设计与制造, 2001, 6(3): 52-53.
CHEN Chun. Calculate on the offset of floating component in planetary transmission[J]. Machinery Design & Manufacture, 2001, 6(3): 52-53.

[11] 杨廷栋. 渐开线齿轮行星齿轮传动[M]. 成都: 成都科技大学出版社, 1986.

YANG Ting-dong. Involve planetary transmission[M]. Chengdu: Chengdu Scientific and Technical University Press, 1986.

[12] 叶克明. 齿轮手册: 上册[M]. 北京: 机械工业出版社, 1994.

YE Ke-ming. Gear handbook: Volume one[M]. Beijing: China Machine Press, 1994.

[13] 马从谦, 张文照. 渐开线行星齿轮传动设计[M]. 北京: 机械工业出版社, 1987.

MA Cong-qian, ZHANG Wen-zhao. Design of involute planet gear train[M]. Beijing: China Machine Press, 1987.

[14] 刘鸿文. 材料力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992.
LIU Hong-wen. Material mechanics[M]. Beijing: Higher Education Press, 1992.

[15] 孙元骁. 圆柱齿轮减速器优化设计[M]. 北京: 机械工业出版社, 1988.

SUN Yuan-xiao. Optimized design on cylindrical reduction gear[M]. Beijing: China Machine Press, 1988.

[16] HIDAKA T, SUGIMOTO N, ISHIDA T. Effects of errors of elements on load distribution in planetary gears with various load equalizing mechanisms[C]//Japanese Mechanical Academic Society Collection(C). 1986: 2200-2206.

[17] 李春风, 樊秀芹, 姜艳华. 行星传动基本构件的浮动量分析[J]. 煤矿机械, 1998(6): 19-21.
LI Chun-feng, FAN Xiu-qin, JIANG Yan-hua. Analysis on the offset of basic components in planetary transmission[J]. Coal Mine Machinery, 1998(6): 19-21.

收稿日期：2007-04-20；修回日期：2007-07-05

基金项目：航空科学基金资助项目(03C52021)；“十五”预研计划项目(2004-051-001)

作者简介：陆俊华(1971-)，女，江苏靖江人，讲师，博士研究生，从事机械强度、机械传动研究

通信作者：陆俊华，女，博士研究生；电话：025-84892501；E-mail: meejhlu@nuaa.edu.cn