渐开线齿轮啮合碰撞力仿真

黄中华^1,2，张晓建²，周玉军²

(1. 湖南工程学院 机械工程学院，湖南 湘潭，411101；

2. 中南大学 机电工程学院，湖南 长沙，410083)

摘要：为获得渐开线齿轮啮合传动时轮齿碰撞力的变化规律，提出基于动力学仿真的渐开线轮齿碰撞力计算方法。建立一对渐开线齿轮啮合传动的动力学模型，给出基于Hertz接触理论的齿轮啮合传动时轮齿碰撞力的计算方法。对齿轮啮合传动时的轮齿碰撞力、x向碰撞力和y向碰撞力的变化规律及其频谱特征进行仿真研究。仿真结果表明：齿轮啮合传动时碰撞力的幅值波动显著，轮齿从啮入到啮出，碰撞力从0 kN增加到最大碰撞力后又减小至0 kN，具有明显的周期性；碰撞力频谱中会出现齿轮啮合频率的1倍频和2倍频；x向碰撞力和y向碰撞力幅值波动显著，具有相同的频谱特征，相位相差约90°；频谱中出现齿轮的旋转频率和啮合频率，存在明显的调制现象，其中载波为齿轮的啮合频率，调制波为齿轮的旋转频率。

关键词：碰撞力；齿轮啮合；仿真

中图分类号：TH132.41；TP391.9          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)02-0379-05

Simulation of contact force of involute gear meshing

HUANG Zhong-hua^1,2, ZHANG Xiao-jian², ZHOU Yu-jun²

(1. College of Mechanical Engineering, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411101, China;

2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: In order to obtain the changing pattern of contact force of involute gear meshing, a computation method based on dynamic simulation was proposed. The dynamic model of involute gear meshing was established and the computation method for contact force of gear meshing based on Hertz theory was also introduced. With the dynamic model, the contact force and the frequency spectrum of gear meshing, x direction and y direction were simulated. The simulation results show that the amplitude of the contact force of gear meshing changes obviously. From the moment of meshing approach and meshing recess, the experience of contact force is from 0 kN to maximum and from maximum to 0 kN. Frequency multiplication of 1 and 2 of meshing frequency are in the frequency spectrum of contact force. The contact force of gear meshing of x direction and y direction changes obviously with explicit frequency modulation, and the frequency of rotation and frequency of meshing are in the frequency spectrum. The carrier wave is the meshing frequency of gear and the modulation wave is the rotary frequency of gear. The contact force of gear meshing of x direction and y direction has the same frequency spectrum and phase difference of 90°.

Key words: contact force; gear meshing; simulation

渐开线齿轮是机械设备中广泛应用的一种传动装置。齿轮的强度、刚度和疲劳寿命与齿轮啮合传动时的碰撞力密切相关^[1-3]。传统的机械设计通常把齿轮啮合传动过程中轮齿产生的碰撞力视为恒力。由于结构的原因，齿轮在啮合传动过程中啮合刚度会发生周期性变化，导致轮齿碰撞力发生相应变化，进而引起齿轮的冲击和振动^[4-7]。为了掌握渐开线齿轮啮合传动时的动力学行为，有必要对齿轮啮合传动时轮齿产生的碰撞力进行研究，以获取轮齿碰撞力的变化规律，为齿轮系统的设计提供相关的技术参数。由于齿轮啮合时轮齿碰撞力波动幅度大、齿轮处于旋转运动状态，导致齿轮啮合传动时轮齿碰撞力的实验测取存在许多困难。随着计算机仿真技术和虚拟样机技术的发展，通过建立齿轮啮合传动的虚拟样机模型，运用动力学仿真方法获取齿轮啮合传动时碰撞力已成为现     实^{[2, 8-11]}。本文作者拟建立齿轮啮合传动的虚拟样机模型，通过仿真研究获取齿轮啮合传动时轮齿碰撞力的变化规律。

1  仿真模型

图1所示为1对渐开线直齿齿轮啮合传动的动力学仿真模型。在2个齿轮的几何中心施加了旋转运动副，确保2个齿轮在运动时绕轴心旋转，2个齿轮的中心距等于2个齿轮分度圆直径之和的一半，两齿轮的轮齿之间定义了实体对实体的接触力。齿轮材料均为45钢，具体结构参数如表1所示。

图1  齿轮啮合传动动力学仿真模型

Fig.1  Dynamic simulation model of gear meshing

表1  齿轮结构参数

Table 1  Structural parameters of gears

2  碰撞力计算方法

齿轮在啮合过程中，轮齿因接触产生碰撞力。对于相互接触的2个轮齿，设轮齿间的距离为x，忽略齿轮的弹性波动和运动副的间隙，当x≥0时，两齿轮不发生接触，碰撞力为0 kN；当x＜0时，轮齿发生接触，接触力f与轮齿的啮合刚度、接触变形量、非线性指数、阻尼系数和穿入深度有关，具体计算方法如下：

, x＜0       (1)

式中：K为啮合刚度；e为非线性指数；F_s为Step函数；C为阻尼系数；d为最大穿入深度。

从式(1)可知：接触力由弹性分量Kx^e和阻尼分量F_x(x,0,0,d,C)2部分构成。

K定义如下：

               (2)

式中：；R₁和R₂分别为2个齿轮接触点的当量半径，考虑到齿轮啮合传动时轮齿变形很小，在本文中R₁和R₂取为齿轮的分度圆半径。

E*定义如下：

         (3)

式中：E*为综合弹性模量；ν₁和ν₂分别为2个齿轮材料的泊松比；E₁和E₂分别为2个齿轮材料的弹性模量。

函数F_s定义如下：

  (4)

式中：a=h₁-h₀；；x为函数自变量；x₀，h₀，x₁和h₁均为实数；x₀为Step函数自变量的初始值；h₀为Step函数的初始值；x₁为Step函数结束时自变量值；h₁为Step函数结束时的函数值。

齿轮啮合变形主要发生在轮齿的接触区。由Hertz接触理论可知，互相接触的2个旋转体接触点的距离x可采用如下公式计算^[11-14]：

              (5)

式中：p为施加在物体上的载荷。

由式(1)~(5)可知：轮齿碰撞力的计算需要确定轮齿的啮合刚度、非线性指数、阻尼系数和最大阻尼时的穿入深度等参数。

3  仿真分析

仿真条件：给小齿轮施加1 r/min的转速。齿轮的弹性模量E₁=E₂=2×10⁵ N/mm²，泊松比ν₁=ν₂=0.285，根据式(2)可得K=7.5×10⁵ N/mm²，根据文献[15-17]可知，碰撞力指数e=1.5，阻尼系数C=10 N?s/mm。

图2所示为齿轮啮合传动时轮齿碰撞力的变化，共给出了5个齿轮接触力的变化曲线。从图2可以看出：轮齿碰撞力变化显著，具有明显的周期性。从轮齿的啮入到啮出，碰撞力经历了一个从0 kN到最大碰撞力再回到0 kN的过程。碰撞力的变化周期大约为0.04 s，与设定的小齿轮转速相对应。

图2  轮齿碰撞力随时间的变化

Fig.2  Variation of gear teeth contact force with time

图3所示为齿轮啮合传动时轮齿x向碰撞力的变化。从图3可以看出：x向碰撞力变化显著，波动幅度为0~9.2 kN，碰撞力存在明显的调制现象。图4所示为x向碰撞力的频谱。从图4可以看出有2条幅值突出的谱线：一条是频率为1 Hz的谱线，它对应于小齿轮的旋转频率，另一条是频率为24 Hz的谱线，它对应于小齿轮的啮合频率。由此可见：x向碰撞力的载波频率为齿轮的啮合频率，调制频率为齿轮的旋转频率。

图5所示为齿轮啮合传动时轮齿y向碰撞力的变化。从图5可以看出：y向碰撞力变化显著，波动幅度为0~9.6 kN，碰撞力存在明显的调制现象。图6所示为y向碰撞力的频谱。从图6可以看出有2条幅值突出的谱线：一条是频率为1 Hz的谱线，它对应于小齿轮的旋转频率；另一条是频率为24 Hz的谱线，它对应于小齿轮的啮合频率。对比图3和图5可知：x向碰撞力和y向碰撞力的幅值基本相当，频谱特性相同，区别在于两者存在大约90°的相位差。

图7所示为齿轮啮合传动时齿轮碰撞力的变化。从图7中可以看出：碰撞力变化显著，波动幅度为0~9.6 kN。图8所示为齿轮碰撞力的频谱。从图8可以看出：在24 Hz处有1条幅值突出的谱线，它对应于齿轮对的啮合频率，在48 Hz处还出现了啮合频率的2倍频。由此可见：齿轮啮合传动时，轮齿碰撞力的频谱特征为频谱图中出现的齿轮啮合频率的1倍频和2倍频。

图3  齿轮x向碰撞力随时间的变化

Fig.3  Variation of gear contact force in x direction with time

图4  齿轮x向碰撞力频谱

Fig.4  Frequency spectrum of gear contact force in x direction

图5  齿轮y向碰撞力随时间的变化

Fig.5  Variation of gear contact force in y direction with time

图6  齿轮y向碰撞力频谱

Fig.6  Frequency spectrum of gear contact force in y direction

图7  齿轮碰撞力随时间的变化

Fig.7  Variation of gear contact force with time

图8  齿轮碰撞力频谱

Fig.8  Frequency spectrum of gear contact force

4  结论

(1) 建立了齿轮啮合传动动力学模型，给出了轮齿碰撞力的计算方法，并对齿轮啮合传动时的碰撞力进行了仿真研究。

(2)齿轮啮合传动时碰撞力的幅值波动显著，频谱中会出现齿轮啮合频率的1倍频和2倍频；x向碰撞力和y向碰撞力存在明显的调制现象，具有相同的频谱特征，相位相差约90°。

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(编辑 陈爱华)

收稿日期：2009-12-07；修回日期：2010-03-05

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50804054)；湖南省自然科学基金资助项目(08JJ4011)

通信作者：黄中华(1979-)，男，湖南娄底人，博士，副教授，从事机电一体化研究；电话：15616273368；E-mail：csu707@163.com