刚性承台群桩沉降简化计算方法

吴  鹏¹，龚维明²，任伟新¹

(1. 中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙，410075；

2. 东南大学 土木工程学院，江苏 南京，210096)

摘  要：基于考虑桩土滑移和桩顶整体刚度动态调整的群桩计算方法，分析平均端阻比与荷载水平、桩土刚度比、桩长、桩径、桩距、桩数以及桩侧、桩端荷载传递函数等因素影响规律，用统计方法拟合端阻比与上述参数的近似表达式。参考等代实体基础计算模式，提出考虑了桩身压缩量和桩端刺入变形的群桩沉降简化计算模式，该方法考虑了沉降与荷载非线性关系。最后，通过离心模型试验验证实用简化计算方法的准确性。研究结果表明：采用简化计算方法所得结果与精确计算方法所得结果以及试验结果均吻合；桩身压缩量和桩端刺入变形不能忽略。

关键词：刚性承台；超长群桩；等代实体基础；端阻比；荷载水平

中图分类号：TU473         文献标识码：A         文章编号：1672-7207(2008)06-1319-06

A practical method for analyzing settlement of pile group with rigid cap

WU Peng¹, GONG Wei-ming², REN Wei-xin¹

(1. School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2. College of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)

Abstract: Based on the calculating method which considered slip of pile and soil and whole stiffness dynamic adjusting, the reason why average tip resistance ration is affected by load level, stiffness ratio of pile to soil, pile length, pile diameter, pile spacing, pile number and soil mechanical parameters were analyzed. Approximate formula of tip resistance ratio was fitted by statistical method. Referring to equivalent pier method, a simple method of settlement calculating for pile group which considered compression of pile body and stab of pile tip was presented. A centrifuge model test was given to verify the simple method. The results show that the method can consider nonlinear relation between settlement and load. The results agree with those of accuracy method and the test. Compression of pile body and stab of pile tip can’t be ignored.

Key words: rigid cap; super-long pile group; equivalent pier; tip resistance ration; load level

群桩基础是一种运用非常广泛的基础形式，但人们对基于超长大直径钻孔灌注桩组成的超大群桩基础的理论研究不深入。目前，计算群桩沉降的方法有等代墩基法^[1-4]、原位测试估算法^[4-5]、沉降比法^[6-7]、弹性理论法^[8-9]、有限元法^[10]、混和法^[11]等。其中，等代墩基法计算简便，在工程实践中应用最多。

我国通常采用群桩桩顶外围按φ/4(其中，φ为土内摩擦角)向下扩散与假想实体基础底平面相交的面积作为实体基础的底面积，以考虑群桩外围侧面剪应力的扩散作用。然后，对桩端面以下按分层总和法计算沉降即位群桩沉降，这忽略了桩间土的变形、桩土滑移等诸因素的影响。这对自身压缩量大、桩土滑移量大的超长桩组成的群桩基础来说，是不合适的。为了考虑桩间土存在压缩变形，将假想实体基础底面置于桩端平面以上L_c。但是，假想基底位置上升的幅度与土性、桩距、桩长、荷载水平等诸因素有关，简单地将上移高度L_c定为某定值存在一定的局限性。在此，本文作者基于群桩基础沉降简化计算的现状，并据考虑桩土滑移和整体刚度动态变化的精确群桩分析方法^[12-13]得出群桩应力传递规律，建立方便设计和使用的群桩实用计算模型。

1  精确方法原理

1.1  基本假定

a. 土为弹性体，具有确定的弹性模量E和泊松比υ_s。

b. 承台为绝对刚性，即各桩桩顶位移相等，且承台脱空，即承台不承受土反力。

c. 桩为弹性体，具有确定的弹性模量E_p和泊松比υ_p。

d. 单桩桩侧荷载传递函数已知，即桩侧摩阻力与桩土相对位移的关系已知，假定：

。                 (1)

式中：a和b为参数；s为桩土相对位移。

e. 单桩桩端荷载传递函数已知，即桩端阻力与刺入变形的关系已知，假定：

        (2)

式中：σ_b为桩端应力；k_b1和k_b2为桩端刚度系数；s₀为桩端界限刺入变形量；s_b为桩端刺入变形量。

1.2  精确方法原理

为方便书写，定义表示；表示。

对于群桩，有

。             (3)

式中：[Δ_h]为随荷载动态变化的柔度系数矩阵；[p_h]为桩顶荷载矩阵；[w_h]为桩顶位移矩阵。

式(3)中，对应于每一确定的荷载矩阵[p_h]，柔度系数矩阵[Δ_h]是确定的。下面讨论给定荷载[p_h]时[Δ_h]的确定方法。

用荷载传递法进行单桩分析，确定单桩的应力状态和位移状态。

一旦桩m的应力和位移状态确定，桩m的j单元对土的荷载引起群桩中其他桩处土的位移为

。               (4)

式中：为桩m的j单元在其他桩的i节点引起土的位移；α_ij为影响系数，即j点单位力在i点引起土的位移，根据Mindlin解得出；为桩m的j节点土作用力。

根据弹性理论中的叠加原理，有

。            (5)

式中：为桩m在i节点引起的土的位移。

同样，根据弹性理论中的叠加原理，对某p排q列桩的i单元，将其他桩的所有作用力影响全部叠加即可：

。      (6)

受影响后的桩处的土与桩相互作用，平衡方程为：

。       (7)

式中：L为桩长；n₁为单桩的单元数；{τ}为单桩侧阻力向量；[K_s]为单桩周围的土单元刚度矩阵；{w_s}为单桩周围的土单元协调后竖向位移向量；{w₀}为单桩周围的土单元初始竖向位移向量。

经过程序计算可以得到受影响的所有桩的应力状态{τ}和位移状态。

桩m对其他桩产生影响后的初始应力和位移状态已经得出。但是，除桩m外，某桩l由桩m引起的初始应力状态也会对包括桩m在内的其他桩引起应力和位移：

。            (8)

式中：为桩l在i节点引起的位移；为桩l的j点的桩土作用力增量。

采用同样的方法可以得出。

相互作用引起的附加沉降又会对其他桩产生相互作用力，再引起附加沉降，如此一直迭代，直到满足

              (9)

为止。式中，δ为给定的相对精度。

此时，得出了给定荷载下的各桩桩顶位移，即得出式(3)所示的柔度系数矩阵。

根据本文的假定可知，对应不同的桩顶荷载，桩单元的桩侧阻力或者是桩端阻力均不是呈线性关系。因此，必然导致柔度矩阵的变化，即不同的桩顶荷载矩阵[p_h]对应于不同的柔度系数矩阵[Δ_h]。

可见，对于每一个确定的荷载矩阵[p_h]，都有确定的柔度系数矩阵[Δ_h]。首先给定一个适当的荷载矩阵，则有

。           (10)

根据刚性承台假定，可以得出桩顶位移矩阵[w_h]中的每一个值均相等。因此，可以给定某一各元素相等的位移矩阵，然后，根据

           (11)

得出桩顶荷载矩阵。以为初值，计算柔度系数，得出。根据

           (12)

得出桩顶荷载列向量。如此迭代，直到满足

             (13)

为止。式(13)中，ε为设定的允许误差。

在计算荷载位移的程序具体实现过程中，采用牛顿－拉普森法，以提高收敛速度。

2  简化方法

2.1  基本计算模式

如图1所示，群桩的总沉降s_T可以表示为：

。            (14)

式中：Δh₂为桩端平面以下0~h₂深度范围内土的整体压缩量；s为桩端贯入量；Δs为桩身压缩量。

图1  群桩沉降示意图

Fig.1  Sketch of settlement of pile group

要计算桩身压缩量和桩端刺入量，关键是了解在不同荷载水平下桩身轴力和桩端阻力的变化规律。

2.2  端阻力变化规律

为分析方便，定义荷载水平系数为

定义端阻比为

为了具体分析端阻比的变化规律，对影响其变化规律的因素如桩土刚度比、桩长、桩径、桩数以及桩侧、桩端荷载传递函数等参数进行计算，结果见表1(在分析某参数时，其他参数取表1中第3行的数据)。

a. 从表1可知：桩土模量比越大(土模量越小)，端阻比越大，当荷载水平低于0.8时，端阻比变化平缓；桩距越大，端阻比越大，且荷载水平约为0.8时，端阻比变化平缓。需要说明的是，由于桩的布置方式有很多种，这里只以按正方形规则排列的群桩为例进行具体研究，对不规则排列的群桩可以采用等效桩距分析。

表1  计算参数取值

Table 1  Values of calculating parameters

b. 桩长越长，端阻比越小，且在荷载水平小于0.8时，端阻比变化平缓。

c. 桩径越大，端阻比越大，且在荷载水平小于0.8时，端阻比变化平缓。

d. 桩数越多，端阻比越大，且在荷载水平小于0.8时，端阻比变化平缓。

e. 参数a越大，即桩侧阻力初始刚度越大，端阻比越大，且在荷载水平小于0.8时，端阻比变化平缓。

f. 参数b越大，即极限摩阻力越小，端阻比越大，且在荷载水平小于0.8时，端阻比变化平缓。

g. 参数k_b1越大，即端阻初始刚度越大，端阻比越大，且在荷载水平小于0.8时，端阻比变化平缓。

h. 参数k_b2对端阻比的影响较小，可以认为参数k_b2不影响端阻比。

i. 桩端界限刺入量s₀对端阻比的影响在荷载水平低于0.8时很小，但对极限端阻比的影响较大。

从这些分析可以发现，在荷载水平小于0.8时，端阻比基本上变化很小，可以认为是定值，在荷载水平大于0.8时，端阻比近似呈线性变化，如图2所示。其结果与超长摩擦桩承载性状有关。在荷载水平较低时，端阻和侧阻几乎同比例增加荷载，但接近承载能力极限状态时，桩侧摩阻力先达到极限，荷载增量主要转移到桩端，这就导致端阻比在荷载水平大于0.8时急剧增加。

图2  端阻比拟合模型示意图

Fig.2  Model of tip resistance ratio

可见，只需拟合荷载水平小于0.8时的端阻比以及极限端阻比就可以确定端阻比。

端阻比的拟合表达式为：

通过最小二乘法，可以拟合得出：c₁ = 0.151 23；c₂ = 0.352 29；k₁ = 4.523 5×10^-5；k₂ = -2.015 0×10^-2；k₃=-7.442 1×10^-2；k₄=6.393 8×10^-2；k₅=1.624 6×10^-3；k₆ = 8.117 0× 10⁴；k₇ = 6.719 6×10^-3；k₈ = -0.154 13；k₉ = 7.091 1×10^-2；k₁₀ = 7.129 6×10³；k₁₁ = 1.911×10^-2；k₁₂ = 0.561 03。

经比较发现，在常规工程条件参数下，按最小二乘法拟合后的端阻比与实际计算出来的端阻比相吻合，拟合效果很好。

2.3  轴力的变化规律

桩身轴力随荷载的变化规律与很多因素有关，其中主要与桩土刚度比、桩长、桩径、桩数以及桩侧、桩端荷载传递函数有关。

采用同样的方法，分析桩侧摩阻力分布规律，得出：摩阻力大致符合图3所示的分布规律，并且沉降越大，就越趋向于均匀分布。经过比较发现，将桩身摩阻力简化处理为均匀分布的误差是很小的。

图3  摩阻力沿深度分布示意图

Fig.3  Sketch of side resistance along pile axis

2.4  桩端平面以下土的应力扩散规律

桩端平面以下土的应力扩散规律可用Mindlin解或者Boussinesq解进行计算，但会导致计算较复杂，而查表也不便于机器运算。

根据国外的研究成果^[14]，一般对实体基础的应力扩散按1?2的扩散角进行应力扩散。采用这种方法所得解与Boussinesq解很相近。

2.5  沉降计算

对于群桩内部的应力分布情况，定义群桩荷载中心所在的水平线为力心水平面，如图4所示。

图4  应力扩散示意图

Fig.4  Sketch of stress diffusion

式中：U为单桩周长；τ_i(z)为第i根桩深度z处桩身摩阻力；σ_Ri为第根桩桩端阻力；A_p为桩身截面积。

按侧阻力沿桩侧可以近似处理为均匀分布以及端阻比的定义，式(18)可简化为

在给定荷载P时，首先计算单桩平均荷载：

桩端贯入量可以根据桩端荷载传递函数得出。根据本文桩端荷载传递函数可得：

以力心水平线为起算点，1?2的角度往下扩散，而压缩起算点从桩端平面开始。用分层总和法计算Δh₂，即 

式中：m_s为沉降计算经验系数；n₁为计算分层数；A为群桩外围竖向投影长边边长；B为群桩外围竖向投影短边边长；h_i为计算分层土第i层土厚度；E_si为计算分层土第i层土压缩模量。

综合式(4)，(21)~(23)可以得群桩沉降计算公式为

3  实例分析

某18桩离心试验模型实际桩长为90 m，桩径为2.0 m，模型比例尺为160?1。模型平面见图5。

图5  离心试验模型平面图

Fig.5  Plan sketch of centrifuge test model

根据该试验条件类似的离心单桩模型，经试验得到计算参数a=2.5×10^{-7 m2}/N，b=1.89×10^{-5 m2}/N，s₀=200 mm，k_b1=9×10⁷ N/m³， E_p=3.3×10¹⁰ N/m²，E=3.3×10⁷ N/m²。按本文方法与文献[12]中的方法计算所得的荷载位移曲线与试验曲线对比结果见图6，各部分沉降占总沉降的比例见图7。

由图6可以看出，采用简化方法、精确方法所得结果与试验结果相吻合；由图7可以看出，不考虑桩身压缩和刺入变形的群桩沉降计算方法有很大缺陷，所得结果相对误差达到10%以上，当荷载较大时，相对误差甚至达30%。

需指出的是，一般的群桩沉降简化计算方法完全基于弹性基础，因此，其荷载位移曲线呈线性，而群桩沉降规律事实上呈曲线变化，因此，这种不区别荷载水平的沉降计算方法有明显的局限性。采用本文的简化计算方法得出的群桩沉降-位移曲线为曲线，可 灵活地用于各种情况下的群桩沉降计算，且所得计算精度较高。

1—简化方法结果；2—精确方法结果；3—模拟实验结果

图6  简化方法与精确方法计算结果对比

Fig.6  Results comparison between simple method and precise method

1—桩身压缩量；2—刺入变形量；3—桩端以下压缩量

图7  各部分沉降量占总沉降量比例η与荷载水平关系

Fig.7  Relationship between rate of each part of settlement to total settlement and load level

4  结  论

a. 分析了目前桩基计算中的等代实体基础法存在的缺陷，基于考虑桩土滑移和桩顶整体刚度动态调整的群桩计算方法，提出了适合超长桩组成的群桩沉降计算方法。该方法考虑了桩身压缩量和桩端刺入变形。

b. 当荷载水平小于0.8时，端阻比变化较小，大于0.8时，端阻比明显增加，这反映了摩擦型群桩的承载性状。

c. 采用本文的实用简化计算方法所得结果与精确计算方法所得计算结果相吻合。该方法考虑了沉降与荷载的非线性关系。

d.  不考虑桩身压缩量和桩端刺入量在超大群桩沉降计算中很不合理。

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收稿日期：2008-03-10；修回日期：2008-05-18

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50708115)；中国博士后科学基金资助项目(20070410308)；中南大学博士后科学基金资助项目(2007年)

通信作者：吴  鹏(1980-)，男，湖南衡阳人，博士后，副教授，从事基础工程的研究；电话：0731-2656540；E-mail: wupeng008@eyou.com