DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2020.09.018

深埋隧道应变软化弹塑性解的强度准则效应

高永涛^{1, 2}，梁鹏^{1, 2}，周喻^{1, 2}

(1. 北京科技大学 土木与资源工程学院，北京，100083；

2. 北京科技大学 金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京，100083)

摘要：为了探究强度准则效应对应变软化隧道围岩稳定性的影响，总结隧道围岩分析中常用强度准则表达式，归纳出常用强度准则的统一方程，并结合应变软化模型与非关联流动法则，推导出隧道围岩应力场、塑性区范围及位移的计算方法。研究结果表明：应变软化隧道围岩的强度准则效应显著，内角点外接圆DP(Drucker-Prager)准则、内切圆DP准则、等面积圆DP准则、匹配圆DP准则及Mohr-Coulomb准则对应的结果普遍偏于保守；统一强度理论(b=1)与外角点外接圆DP准则所得结果相对偏于危险；不考虑岩体剪胀特性时会导致所得结果偏于危险。工程应用中，建议优先采用Mogi-Coulomb准则或统一强度理论(b=1/2)，并合理考虑围岩剪胀特性，以更好地揭示围岩稳定性问题。

关键词：应变软化；强度准则效应；圆形隧道；弹塑性分析；剪胀角

中图分类号：TU452            文献标志码：A               开放科学(资源服务)标识码(OSID)

文章编号：1672-7207（2020）09-2525-13

Strength criterion effect on elasto-plastic solution of deep tunnels considering strain softening characteristics

GAO　Yongtao^{1, 2}, LIANG　Peng^{1, 2}, ZHOU　Yu^{1, 2}

(1. School of Civil and Resource Engineering, University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083, China;

2. Key Laboratory of Ministry of Education for Efficient Mining and Safety of Metal Mine, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Abstract: In order to explore the effect of strength criterion on the stability of the surrounding rock of strain softening tunnel, the expressions of the common strength criteria in the analysis of the tunnel surrounding rock were summarized, and the unified equation of common strength criteria was proposed. Combined with the strain softening model and non-associated flow rule, the calculation method of the stress field, plastic zone and displacement of the surrounding rock of the tunnel was derived. The results show that the strength criterion effect of the surrounding rock in strain softening tunnel is significant. The calculation results of the inner corner circumscribed circle DP(Drucker-Prager) criterion, inscribed circle DP criterion, equivalent area circle DP criterion, matching circle DP criterion and Mohr-Coulomb criterion are generally conservative. The calculation results of unified strength theory with parameter b=1 and external corner circumscribed circle DP criterion are relatively dangerous. Without considering dilatancy characteristics can result in dangerous calculation results. In engineering applications, the Mogi-Coulomb criterion or unified strength theory with parameter b=1/2 should be preferentially adopted, and the dilatancy characteristics of surrounding rock should be considered reasonably to reveal the stability of surrounding rocks.

Key words: strain softening behavior; strength criterion effect; circular tunnels; elasto-plastic analysis; dilatancy angle

隧道是地下工程结构的重要组成部分，地下隧道施工扰动导致围岩应力状态改变，应力超出岩体弹性极限时围岩发生塑性屈服。为准确判断隧道结构受力状态及进行隧道合理支护，需对隧道围岩展开弹塑性受力分析。按照岩体屈服破坏时应力-应变曲线形态划分，岩体材料的力学模型一般可分为理想弹塑性、弹-脆-塑性及弹塑性应变软化模型^[1-2]。而对于处在深埋高地应力环境下的隧道来说，围岩在发生塑性屈服时常表现出应变软化特性^[3-4]。围岩屈服时受应变软化的影响，承载力出现明显下降，是深埋隧道大变形及破坏的重要引起因素之一。针对应变软化圆形隧道围岩的力学特性，众多学者从多方面进行了大量的研究工作。ALONSO等^[5]基于Tresca屈服准则、Mohr-Coulomb与Hoek-Brown屈服准则，假定软化区岩体的强度参数与塑性剪切应变间呈线性关系，计算出了隧道围岩特征曲线。郑俊杰等^[6]采用Hoek-Brown强度准则，把隧道围岩塑性区分为多层，并通过有限差分方法分析了隧道应力应变场分布与剪胀特性。LEE等^[7]针对深埋圆形隧道提出了一种数值差分方法，并基于Mohr-Coulomb及广义Hoek-Brown强度准则对应变软化隧道围岩展开了弹塑性求解研究。王风云等^[8]采用应变软化模型，基于统一强度理论和非相关性流动法则，提出一种考虑中间主应力的有限差分计算方法，并详细探讨了各参数对剪胀角的作用效果。CUI等^[9]采用回归分析法求解了应变软化岩体中圆形隧道的变形，并建立了考虑地质强度指标(GSI)、地应力和支护压力的隧道围岩变形数值计算方法。此外，工程实践表明，选择合适的强度准则，使对隧道围岩的力学特性分析更加准确且接近实际是至关重要的，不仅会影响支护方案设计，更会影响经济效益。长期以来，在隧道设计评估及围岩弹塑性求解研究中，Mohr-Coulomb强度准则(MC)的应用最为普遍，但其忽略了中间主应力的作用效果。大量理论和实践表明，岩土材料强度和中主应力密切相关^[10]，忽略岩体强度的中间主应力效应将导致工程设计产生偏差。因此，考虑中间主应力影响的强度准则被逐渐应用于隧道围岩及相关岩石工程的研究中，主要有：Mogi-Coulomb强度准则(MO)^[11]、Drucker-Prager系列强度准则(DP)^[12]和统一强度理论(UST)^[13]。研究表明，岩体的强度准则对岩石工程结构的强度分析有显著的影响，由于采用强度准则不同而造成结构计算结果间的差异，称为结构的强度准则(理论)效应^[14-16]。然而，当前已有研究中，大多采用某种或少数几种强度准则进行隧道围岩求解分析，并未全面考虑多种强度准则间对于研究结果影响的相互差异，特别是对于应变软化岩体隧道的分析，没有形成统一的围岩弹塑性求解方法。针对以上问题，本文作者基于已有研究成果，以应变软化围岩中的深埋隧道为研究对象，对工程实践中常用的强度准则进行总结，得到常用强度准则平面应变条件下的统一方程；综合考虑岩体应变软化特性与非关联流动法则，获取多强度准则下圆形隧道围岩的统一弹塑性解；通过算例探究相关屈服准则及参数对分析结果的影响，揭示不同强度准则对于应变软化隧道围岩力学特性的表征效果。研究结果可为相关隧道围岩支护设计及安全性评价提供有效理论参考。

1  常用强度准则统一方程

1.1　中主应力系数

岩石力学中常采用中间主应力系数m表明最大、最小和中间主应力的关系，其中以压应力为正，可由下式定义^[17]：

(1)

式中：σ_z，σ_r和σ_θ分别为隧道轴向、径向及切向应力，且σ_θ≥σ_z≥σ_r；m的取值范围为0≤m≤1。本文中，m=1/2。

1.2　MC强度准则

Mohr-Coulomb强度准则是一种经验准则，其在岩土工程中应用最为普遍，表达式^[18]为

(2)

式中：；；c为黏聚力；φ为内摩擦角。

1.3　MO强度准则

AL-AJMI等^[19]在Mogi八面体屈服准则的基础上提出了Mogi-Coulomb强度准则，其表达式为

(3)

式中：；和为Mogi-Coulomb准则参数，，。

联立式(1)和(3)可得平面应变状态下的Mogi-Coulomb强度准则：

(4)

式中：；。

1.4　DP系列强度准则

Drucker-Prager准则由Drucker和Prager提出，表达式如下：

(5)

式中：α和k为DP强度准则参数；当α＝0时，式(5)即为Mises准则；I₁为应力张量第一不变量；J₂为应力偏量第二不变量，表达式分别为和]。

结合式(1)及式(5)可得出平面应变条件下DP系列强度准则表达式为

(6)

式中：；。

图1所示为DP系列准则在偏平面(或π平面)上包络线形状。根据π平面上，MC准则与DP准则相对位置关系，DP准则分别对应：MC外角点外接圆(DP1准则)、MC内角点外接圆(DP2准则)、MC内切圆(DP3准则)、MC等面积圆(DP4准则)、MC匹配DP圆(DP5准则)，可得DP准则参数α和k对应的5种常用表达方程，详见文献[20]。

图1　π平面上DP强度准则包络线

Fig. 1　Limit loci of DP strength criterions in π plane

1.5　统一强度理论

俞茂宏^[21]提出的统一强度理论(unified strength theory, UST准则)充分考虑了中间主应力效应，且可应用于不同材料，表达式为

(7)

式中：F和F′均为强度理论函数；σ₁，σ₂和σ₃分别为最大、中间与最小主应力；b为UST准则参数，体现中间主应力的影响，其取值范围为0≤b≤1，当b=0时对应MC准则，b=1对应双剪应力准则，0≤b≤1对应多种新的强度准则。本文取b为0，0.5和1，分别得到UST₀(MC)、UST_1/2和UST₁准则，进行分析。统一强度理论在偏平面(或π平面)上包络线形状如图2所示。

图2　π平面上统一强度理论包络线

Fig. 2　Limit loci of unified strength theories in π plane

由式(1)可知：σ₂=(σ₁+σ₃)/2，结合式(7)可以得到平面应变状态下统一强度理论为

(8)

式中：；。

1.6　强度准则统一方程

通过对以上强度准则进行归纳总结，可得平面应变状态下常用强度准则统一方程如下：

(9)

式(9)中P(φ)和Q(c，φ)表示MC，MO，DP和UST强度准则中的参数，通过式(9)构建应变软化围岩隧道弹塑性解答的统一方程，并对强度准则效应展开分析研究。

2  应变软化隧道弹塑性统一解

2.1　隧道力学模型

将隧道开挖力学模型假定为轴对称平面应变模型，假设隧道断面为圆形，围岩均质、各向同性，满足应变软化材料特性，且隧道深埋、有足够的长度，不考虑重力梯度的作用，隧道围岩处于静水压力中。

p₀为初始地应力，p_i为支护压力，在地应力作用下隧道周边围岩由“塑性软化区”与“塑性残余区”构成。深埋隧道半径为R₀，围岩软化区及残余区半径分别为R_p和R_s。弹塑性区相接位置切向及径向应力分别为σ_θp和σ_rp；软化和残余区相接位置切向及径向应力分别为σ_θs和σ_rs。简化的开挖力学模型如图3所示。

图3　圆形隧道开挖力学模型

Fig. 3　Mechanical model of circular tunnel

2.2　统一方程应变软化模型

围岩的塑性变形可由强度准则f与塑性势函数g表示。对于应变软化隧道围岩，f和g由应力张量σ_ij及塑性软化系数η共同控制^[22-23]：

(10)

因此，应变软化模型围岩中，强度准则统一方程可由下式表达：

(11)

式(11)中，强度参数c(η)和φ(η)受η影响。

η与c(η)和φ(η)的关系函数为

(12)

式中：η*为围岩软化区范围到残余区范围的临界系数，当η=η*时，r=R_s；ω^p对应准则统一方程中的峰值强度参数c^p和φ^p；ω^r对应准则统一方程中的残余阶段强度参数c^r和φ^r。

2.3　统一方程应变软化模型下的解

2.3.1　弹性区域　

圆形隧道围岩弹性区的应力和位移为

(13)

式中：G为剪切模量；E为弹性模量；v为泊松比。三者间存在关系式：。

围岩弹塑性区相接位置的应力满足式(13)，结合式(11)与式(13)可得到相接位置径向应力σ_rp的求解公式如下：

(14)

2.3.2　塑性区域　

在应变软化特性围岩中，塑性区各强度参数随塑性软化系数变化，无法得到显式解析解。因此，本文参照文献[7-8]中采用方法，对塑性区应力场进行求解。如图4所示，将围岩塑性区分为n个有限圆环。第i个圆环的内外边界应力分量分别为σ_r(i)、σ_θ(i)与σ_r(i-1)、σ_θ(i-1)。在弹塑性区相接界面处r₍₀₎=R_p，在隧道开挖洞壁处r_(n)=R₀。弹塑性区相接位置的切向及径向应力分别为σ_θ(0)和σ_r(0)；隧道洞壁位置的切向及径向应力分别为σ_θ(n)和σ_r(n)。

图4　塑性区分层示意图

Fig. 4　Schematic diagram for layers of plastic zone

定义每个圆环内外边界的围岩径向应力之差Δσ_r=σ_r(i)-σ_r(i-1)为定值，且

(15)

第i个圆环处的径向与切向应力为

(16)

式中：c_(i-1)和φ_(i-1)为第i环外边界的强度准则参数，可根据式(12)计算。当i=0时，η₍₀₎=0，c₍₀₎=c^p，φ₍₀₎=φ^p。

在弹塑性区相接位置处(i=0)，应力分量为

(17)

相邻圆环的切向应力之差为，则根据广义虎克定律，弹性应变增量为

(18)

在弹塑性区相接位置处(i=0)，应变分量为

(19)

平面应变条件下，第i环应变分量可由下式表示：

(20)

式中：和分别为径向和切向塑性应变增量。

由非关联流动法则可知：

(21)

式中：K_ψ为围岩的剪胀系数，可根据关系式计算；为围岩剪胀角。

结合式(20)与式(21)，可得：

(22)

参照文献[8]，令，结合式(22)，可得：

(23)

第i个圆环内外边界半径的比值d_(i)可由下式表示

(24)

式中：；

应变满足相容方程：

(25)

利用有限差分法，第i环满足的相容方程为

(26)

结合式(23)和式(26)，可得第i环径向及切向应变：

(27)

第i环的径向和切向塑性应变增量与为

(28)

岩体中软化系数η由岩体塑性剪切应变决定，表达式如下：

(29)

据此，可得第i环的塑性软化系数为

(30)

若塑性区围岩在第f环时产生塑性残余破坏，则有η_(f)=η*。可得围岩中软化区和残余区域相接位置的径向应力σ_rs=σ_r(f)。

围岩的受力平衡方程为

(31)

应变与径向位移关系为

(32)

结合式(9)、式(11)及式(31)，推导得到塑性残余区围岩平衡方程，即

(33)

结合式(33)及边界条件，，推导出围岩中残余区半径R_s为

(34)

将n个式(24)相叠乘可得

(35)

由式(35)，可得塑性区半径R_p为

(36)

由此可得第i环半径r_(i)为

(37)

根据式(27)及式(37)，以及可求得围岩中第i环的径向位移。

以上计算流程可归纳如下：

1) 根据工程需求，选定所用强度准则，由隧道工程地质参数及式(16)，计算每一环的σ_θ(i)和σ_r(i)；

2) 根据式(18)，计算每一环的弹性应变增量和；

3) 根据式(24)，计算d_(i)；

4) 根据式(27)，计算每一环应变分量和；

5) 根据式(28)，计算每一环的和，再根据式(30)计算每一环的η_(i)；

6) 判断η_(i)与η*是否相等；若相等，则根据式(34)计算R_s；再根据式(36)计算R_p；最后根据关系式计算每一环围岩位移。为保证精度，计算时取n=5 000。

3  算例与参数影响分析

为进一步探讨强度准则效应对于应变软化隧道围岩稳定性的影响，选取文献[7，24]中的算例参数，展开分析。其中算例A来自于文献[7]，算例B~D来自于文献[24]，各个算例的详细围岩参数如表1所示。

表1　不同算例下围岩基本参数

Table 1　Parameters of rock masses for different cases

在计算过程中发现，对于算例A~D，所得结果具有相似的变化规律。限于篇幅，此处不对所有算例进行全面讨论，仅列出对于算例A的详细分析过程。

3.1　围岩应力分析

各个强度准则下围岩的应力计算结果如图5所示。对于围岩径向应力，DP系列准则对应的围岩应力差别较大，DP1准则对应径向应力最大，显著大于DP2、DP3与DP4准则所得结果；DP3准则对应径向应力最小，且和MC准则所得结果相接近，低估了围岩中径向应力。MO准则的径向应力与UST₁准则的径向应力基本相同，UST_1/2准则的径向应力略小于UST₁准则的径向应力。整体上，隧道围岩径向应力从大到小顺序为：DP1，UST₁，MO，UST_1/2，DP4，DP2，MC=DP5，DP3。表2所示为不同强度准则下各分区相接位置的径向应力σ_rp和σ_rs。

图5　强度准则对围岩应力的影响

Fig. 5　Influence of strength criteria on stress of surrounding rock

表2　各分区相接位置径向应力

Table 2　Radial stress at joint position of each zone

对于围岩中切向应力，因其受塑性区界限的影响，在弹、塑性范围内的分布规律差别较明显。在围岩塑性区内，靠近隧道洞壁位置处，切向应力的整体分布与径向应力分布规律相同；在围岩弹性区内，切向与径向应力的整体分布规律相反。各个准则下的切向应力峰值分别为35.05 MPa(DP1)，32.54 MPa(MO)，32.41 MPa(UST₁)，31.85 MPa(UST_1/2)，31.57 MPa(DP4)，30.86 MPa(MC)，30.75 MPa(DP2)和30.43 MPa(DP3)，由此可见，除DP1准则的切向应力峰值较大外，其他准则对应的切向应力峰值变化范围较小，即强度准则效应对于切向应力峰值的影响较弱。

3.2　塑性区位移分析

各强度准则对应的塑性区围岩位移u与半径r的关系如图6所示。由图6可以看出：不同的强度准则所得的塑性区位移区别较为显著，其中DP3准则与DP1准则分别对应最大及最小塑性区位移。特别是对于隧道壁位移，DP3准则相比MC准则与DP1准则分别增大了2.07 cm和11.32 cm。DP2，DP4及DP5准则对应的位移处于中间水平，DP2与DP4准则相比MC准则隧道壁位移分别减小了1.20 cm和3.40 cm；DP5准则与MC准则精准匹配，2个准则在相同条件下得到的塑性区位移曲线重合一致。总体上，DP系列准则与MC准则对于围岩塑性区位移的影响从大到小的顺序为DP3，DP5(MC)，DP2，DP4，DP1(DP5与MC对围岩塑性区的影响相同)。

当采用统一强度理论(UST准则)与MO准则时，围岩塑性区位移明显小于MC准则下塑性区位移，MO准则与UST₁准则对应位移较为接近，UST_1/2，UST₁，MO准则相对于MC准则隧道壁位移分别减小了5.30 cm，6.97 cm和6.53 cm，原因是MC准则没有反映出中间主应力σ₂对于围岩变形的作用，围岩塑性区位移分布从大到小分别为DP4，UST_1/2，MO，UST₁，DP1。且对于统一强度理论，随准则参数b增大，位移逐渐减小，UST₁准则的位移最小；由此可见，统一强度理论中的b越大，其中间主应力的作用效果越为显著；在b=1时，UST准则会高估岩体的中间主应力作用效果，因而会低估围岩变形。

图6　强度准则对塑性区位移影响

Fig. 6　Influence of strength criteria on plastic zone displacement

3.3　塑性区范围分析

图7所示为考虑不同强度准则作用时塑性区范围内R_p及R_s与支护压力P_i之间的联系。从图7可以看出：随支护压力的增加，R_p和R_s均逐渐降低。此外，图7(a)及图7(c)中曲线与纵坐标轴线的交点为σ_rp，即弹塑性区相接位置的围岩径向应力。当支护压力与σ_rp相等时，隧道周围将无塑性区出现。图7(b)及图7(d)中曲线与纵坐标轴线的交点为σ_rs，即残余区和软化区相接位置的围岩径向应力。由图7(b)和7(d)可知：当支护压力与σ_rs相等时，围岩塑性区域范围内无残余区出现，只有在塑性软化区(即R_s=R₀)，当p_i小于σ_rs时才出现残余区。这同样表明，增加支护压力p_i能够有效抑制塑性区范围的扩大。

图7　塑性区范围随p_i变化曲线

Fig. 7　Distributions of plastic radius versus p_i

由图7(a)和7(b)可以看出：在支护压力p_i相同时，DP1准则的R_p和R_s明显小于其他准则对应结果。DP3准则最大且无支护状态下R_p和R_s相比DP1准则分别增大了8.066 m和4.702 m。此外，DP5准则和MC准则所得结果完全一致，DP2与DP5准则所得结果几乎相等。对于R_p和R_s，MC准则与DP系列准则从大到小总体规律为DP3，DP5(MC)，DP2，DP4，DP1(DP5准则与MC准则所得结果相同)。由图7(c)和7(d)可知：在相同支护压力下，R_p和R_s总体从大到小均表现为DP4，UST_1/2，MO，UST₁，DP1。UST₁准则与MO准则对应的R_p和R_s最为接近。对于UST准则，随着b增加，R_p和R_s逐渐减小；特别在无支护力的条件下，b=1下的R_s与R_p较b=0时分别减小了36.64%和32.76%，说明UST准则中b的存在能够削减塑性区范围，也说明中间主应力能有效抑制塑性区的发展；此外，当隧道洞壁处支护压力减弱时，中间主应力对于围岩塑性区范围的抑制作用显著增强。

3.4　围岩特性曲线分析

隧道围岩位移特性曲线(ground reaction curve, GRC)反映了洞壁内支护压力p_i与径向位移u₀间的关系，作为约束收敛方法(convergence confinement method, CCM)的重要组成部分，与隧道支护结构设计相关^[25]。图8所示为不同强度准则下的围岩位移特性曲线。由图8可以看出：当支护压力较大时，各个强度准则对应的围岩特性曲线基本重合，此时强度准则效应不明显，这是由于支护压力较大时围岩变形较小，强度准则对于围岩的收敛作用不明显。随支护压力p_i减小，u₀明显增大，不同强度准则下特性曲线差异较显著。在不存在支护力条件下，DP3准则对应的u₀最大，为13.96 cm，然而，通过DP1准则所得的u₀仅为2.64 cm。在支护压力较小的情况下，对于不同的强度准则，在同等支护压力条件下，隧道洞壁位移从大到小顺序为DP3，DP5(MC)，DP2，DP4，UST_1/2，MO，UST₁，DP1(DP5准则与MC准则所得隧道洞壁位移相同)。DP2与DP5所得隧道洞壁位移较为接近，MO与UST₁所得隧道洞壁位移较为接近。对于UST准则，随参数b增大，u₀逐渐减小，表明中间主应力能够起到抑制围岩位移发展的作用。由此可见，工程实际中，适当考虑中间主应力能够增强隧道结构的承载能力。采用DP2，DP3，DP4，MC和DP5准则所得位移普遍偏大，设计的支护结构刚度较大、偏于保守，在支护设计中会导致支护材料浪费。UST₁准则低估围岩变形，DP1准则会严重低估围岩变形，设计支护结构刚度较低，容易导致支护结构变形破坏及隧道坍塌。因此，在应变软化隧道围岩的支护结构设计过程中，为安全起见，应谨慎使用DP1，DP2，DP3，DP4，MC，DP5和UST₁准则，避免出现低估或高估隧道围岩位移变形的不良后果。

图8　强度准则对围岩特性曲线影响

Fig. 8　Influence of strength criteria on ground reaction curve

综上所述，应变软化下深埋圆形隧道围岩的强度准则效应较为明显(如图5～8所示)，选择合适的屈服准则对隧道结构设计与优化具有重要意义。导致以上结果的主要原因在于，不同强度准则对中间主应力σ₂的考量程度存在较大差异。DP2，DP3，DP4，MC和DP5准则低估了岩石材料强度，较偏于保守；UST₁和DP1准则由于高估了岩石材料强度而使设计不安全；UST_1/2和MO准则虽在中间主应力处理方式上存在不同，但二者产生的中间主应力影响处于适当水平，在实际意义上解释了中间主应力的作用效果。此外，MC准则忽略了中间主应力影响，低压状态下能够近似合理地表征岩石破坏特性，但在描述高应力条件下岩石强度特性时存在明显不足。DP系列准则综合考虑到中间主应力σ₂和静水压力的作用，强度参数可用MC准则的参数(c，φ)表示，且主应力空间内的强度包络面是光滑圆锥面，便于软件编程和数值计算。但众多岩石真三轴试验的结果表明^{[19, 26]}，σ₂对岩体强度的提高效果不如最小主应力σ₃的明显。DP准则视σ₂与σ₃对岩体强度的作用效果相同，且未考虑应力洛德角(Lode angle)的影响，因此在分析较复杂的岩体工程问题时存在较大误差^[27]。统一强度理论充分考虑了σ₂效应，而且可以表征多种新的准则，如Tresca准则、MC准则、双剪应力准则等。但UST₁准则会高估中间主应力效应，从而使计算结果偏于危险。应优先选用合理考虑σ₂效应的广义MO准则或UST_1/2准则，以更好地揭示围岩稳定性问题。

3.5　剪胀角影响分析

岩体的破坏与其扩容机制密切相关，对隧道围岩扩容机理的研究可以从岩体破坏的本质了解围岩失稳的力学机制。在围岩的弹塑性分析中，一般采用剪胀角表征岩石受载后的扩容特性。HOEK等^[1]基于大量工程实际经验，建议质量较好、中等质量及质量较差的岩体，其剪胀角可以分别取岩体峰值摩擦角的1/4倍，1/8倍与0；由此，本文设置4种恒定剪胀角(0，φ^p/4，φ^p/8和φ^p/2)，并选取代表性强度准则，得到围岩塑性区范围和位移u与剪胀角ψ之间的关系，如图9所示。

图9　剪胀角对塑性区范围及位移的作用

Fig. 9　Influence of dilatancy angle on range and displacement of plastic zone

由图9可以看到：剪胀角ψ变化对于围岩位移u影响作用较为明显。位移u随剪胀角ψ的增加呈增大趋势，当ψ为0时，其对应的位移u最小，即不考虑剪胀效应时会低估围岩变形，容易使支护设计偏于危险。同时，塑性区位移曲线斜率随剪胀角增加明显增大，表明剪胀角越大，塑性区位移变化受其影响越显著。不同剪胀角情况时弹塑性区相接位置处围岩位移近乎相等。此外，不同强度准则下，随剪胀角由0增加到φ^p/2，隧道洞壁位移分别增加了171.42% (MC)，109.14% (MO)，143.20% (DP4)，121.44% (UST_1/2)；塑性软化区半径分别增加了4.85% (MC)，4.74% (MO)，4.90%(DP4)，4.36% (UST_1/2)，塑性残余区半径分别增加了21.77% (MC)，19.90% (MO)，21.13% (DP4)，19.99% (UST_1/2)。由此表明，剪胀特性对各强度准则下围岩变形的作用程度显著不同，对MC准则的影响最为明显，对UST_1/2准则的影响程度相对较小；剪胀特性对各强度准则下围岩软化区与残余区范围作用程度差异较小。因此，在应变软化隧道支护结构设计时，需综合考虑强度准则、围岩剪胀属性等因素对围岩变形与破坏的控制作用。

3.6  展望

本文建立的深埋应变软化隧道统一弹塑性解是在各向等压模型的前提下推导出来的，在后续的研究中，将探索求解侧压力影响下的应变软化隧道弹塑性问题。此外，将深入研究推导渗流力、锚杆等因素作用下的应变软化隧道统一弹塑性解。并将所得结果与工程实践进行对比分析验证。

4  结论

1) 应变软化岩体中隧道围岩的受力与变形特性的强度准则效应显著。同等的支护压力作用下，DP1准则与DP3准则分别对应最大、最小径向应力；DP3准则和MC准则均低估了围岩径向应力。强度准则效应对于切向应力峰值的影响较弱，且DP1准则对应的切向应力峰值最大。

2) 随UST准则中参数b的增加，围岩塑性区位移减小，参数b=1时高估了中间主应力效应；DP3，MC和DP5准则对应的塑性区位移u普遍偏大，DP1准则所得塑性区位移u最小；DP2，DP4和DP5准则对应的塑性区位移处于中间水平。

3) 对于塑性区半径R_p与残余区半径R_s，DP3准则对应最大R_p以及R_s，DP1准则所得R_p以及R_s最小；UST₁准则与MO准则对应的R_p与R_s计算结果相接近；UST准则中b能够有效抑制塑性区域范围的发展，且支护压力越小，b对塑性区范围的抑制作用越明显。

4) 合理考虑中间主应力能够提升围岩的承载能力，不考虑剪胀特性时会低估围岩变形；剪胀角ψ增高，塑性区围岩位移u受ψ的作用程度显著增强；剪胀特性对各强度准则下u的影响程度显著不同，而对各准则下塑性区范围的影响程度差异较小。在应变软化围岩稳定性分析中，需谨慎采用DP1，DP2，DP3，DP4，MC，DP5和UST₁准则，应优先选用能够有效表征σ₂效应的广义MO准则与UST_1/2准则，并合理考虑围岩剪胀特性。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期： 2020 -03 -13; 修回日期： 2020 -05 -20

基金项目(Foundation item)：国家青年科学基金资助项目(51504016)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(FRF-TP-18-016A3) (Project(51504016) supported by the National Science Foundation for Young Scholars of China; Project(FRF-TP-18-016A3) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

通信作者：梁鹏，博士研究生，从事岩土工程和采矿工程稳定性分析研究；E-mail：leung_0122@163.com