基于改进广义极值分布的核管道最大腐蚀深度预测

周国强^{1, 2}，王雪青¹，刘锐³

(1. 天津大学 管理与经济学部，天津，300072；

2. 交通运输部 规划研究院，北京，100028；

3. 环境保护部 核与辐射安全中心，北京，100082)

摘要：针对核管道腐蚀的环境复杂性和过程随机性问题以及极值分布模型选择不当所引起的拟合误差问题，采用广义极值分布模型预测核管道腐蚀深度的发展规律，并提出基于免疫遗传算法参数优化的核管道最大腐蚀深度预测及评估方法：对核管道取样管段上腐蚀深度进行统计分析，计算相应的累计概率；利用免疫遗传算法优化广义极值分布函数的统计参数，得到核管道最大腐蚀深度的概率分布函数；由小样本腐蚀深度预测整条管道的最大腐蚀深度y_di，并评估超过最大腐蚀深度y_di的概率。利用不同核管道腐蚀深度进行计算机预测仿真。研究结果表明：改进后的广义极值分布模型不会受限于样本极值数据的具体分布，具有较好的通用性，且模型参数寻优过程收敛速度快，拟合效果较理想。

关键词：广义极值分布；免疫遗传算法；核管道；腐蚀深度；预测

中图分类号：TP18; TU991.38      文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)05-1926-06

A modified generalized extreme value distribution methodology to predict the maximum corrosion depth of nuclear pipes

ZHOU Guoqiang^{1, 2}, WANG Xueqing¹, LIU Rui²

(1. College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China;

2. Transport Planning and Research Institute, Ministry of Transport, Beijing 100028, China;

3. Nuclear and Radiation Safety Center, Ministry of Environmental Protection, Beijing 100082, China)

Abstract: Considering the complexity of corrosion environment, randomness of corrosion process, and the fitting error caused by improper selection of extreme value distribution, the generalized extreme value distribution model was applied to predict the development law of corrosion depth, and a method based on the immune genetic algorithm for parameter optimization in maximum corrosion depth of nuclear pipes was presented. Firstly, the statistical analysis of corrosion depth from the samples of nuclear pipes was made to calculate the corresponding cumulative probability; secondly, by using immune genetic algorithm to optimize the statistical parameters of generalized extreme value distribution model, the probability distribution function was obtained; finally, the maximum corrosion depth y_di of nuclear pipes was predicted by small sample data, and the probability which was over the maximum corrosion depth y_di was assessed. The prediction simulation of different data from different samples of nuclear pipes was made. The results show that the modified generalized extreme value distribution methodology based on immune genetic algorithm to predict the maximum corrosion depth of nuclear pipes corrosion cannot be limited by the extreme value distribution types of sample data. It has good universality, and its velocity and accuracy of convergence are also perfect.

Key words: generalized extreme value distribution; immune genetic algorithm; nuclear pipes; corrosion depth; prediction

核管道的结构完整性、可靠性是核动力系统安全运行的重要保障^[1]，而腐蚀是引起核管道结构破坏失效的重要原因之一^{[2-3] [3]}。核管道腐蚀段承受压力和抗疲劳能力降低将导致核管道腐蚀区域发生破裂甚至核泄露，因而，有必要对核管道的腐蚀趋势特别是最大腐蚀深度进行预测。预测材料最大腐蚀深度一般有2种方法：确定性方法和统计方法^[4]。确定性方法是通过分析材料腐蚀具体过程的动力学和热力学规律，计算腐蚀速率来实现预测控制^[5]。由于核管道经常在高温、高压、高湿、核辐射等复杂环境中工作，其腐蚀过程复杂，很难通过建立统一的数学公式来掌握各腐蚀因素的影响规律^[6]，因而，对核管道最大腐蚀深度的预测研究大多使用统计方法。统计方法是通过统计分析最大腐蚀深度，计算腐蚀失效概率来进行预测评估^[7]。王水勇等^[8]利用Gumbel极值分布和回归期预测了不锈钢除淤管道最大腐蚀深度；Relchers等^[9]运用Frechet极值分布预测了钢制材料在海水条件下的最大腐蚀深度。但鉴于单个分布模型的限制，这在一定程度上降低了拟合精度^[10]。本文作者利用广义极值分布(generalized extreme value distribution，简称GEV分布)作为最大腐蚀深度预测的近似模型，拟合样本数据，避免模型局限性所带来的拟合误差；考虑到模型的复杂性，采用免疫遗传算法(immune genetic algorithm，简称IGA)对模型参数进行优化，并利用计算结果来预测整条管道的最大腐蚀深度，同时评估超过预测的最大腐蚀深度的概率。

1  核管道腐蚀的极值分布

1.1  数学描述

应用极值统计分析方法对核管道最大腐蚀深度进行预测研究的原理是：通过收集现场核管道腐蚀深度对最大腐蚀深度进行极值统计，采用统计推断获得最大极值的估计值，即拟合为某种渐近的极值分布类型，作为实际腐蚀深度的预测及评估依据。在腐蚀环境相同的核管道中，若选取的腐蚀深度样本足够多，则能得出整个核管道的腐蚀深度分布特点。由于小样本空间与大样本空间存在统计学上的自相似性关系，因此，可以采用实验得到的小样本对整个核管道的腐蚀深度分布模型进行研究。

假设在腐蚀环境相同的某一腐蚀管道上，随机变量Y是n个相等观测面积上的腐蚀深度极值，第i个观测面上的最大腐蚀深度为y_i，按从小到大的次序编号排列，可以求取样本序列：Y={y₁, y₂, …, y_i, …, y_n}；1≤i≤n。

第i个变量对应的累积概率为

              (1)

则累积概率序列为

设随机变量Y与累积概率F(Y)存在近似映射：

        (2)

并设非线性函数逼近映射，则函数具有如下性质^[11]：

(1) ；

(2) ；

(3) x₁＜x₂，则y₁＜y₂。

其中：性质(1)保证了模型的准确性；性质(2)是计算小概率事件发生概率的必要条件；性质(3)具有累计概率的性质。

1.2  广义极值分布模型

极值分布是指观测值中极大值或极小值的概率分布。若极大值渐近分布存在且为非退化时，则只存在3种形式^[12]：

(1) 极值I型(Gumbel)分布，

            (3)

(2) 极值Ⅱ型(Frechet)分布(＞0)，

           (4)

(3) 极值Ⅲ型(Weibull)分布(＞0)，

         (5)

式中：；为尺度参数；为位置参数；为形状参数；y为极值变量。

在实际应用中，对于1个给定的极值序列，在这3种极值分布中作出正确选择是一个关键性问题。GEV分布模型通过对实际数据进行拟合，自动找到最为符合的极值分布。GEV分布的累计概率分布函数表达式为

      (6)

即

;    (7)

当模型参数k→0时，表示Gumbel分布；当k＞0时，表示Frechet分布；当k＜0时，表示Weibull分布。3个关键参数，和k的取值决定样本极值的具体分布情况。针对该模型的复杂性特点，采用免疫遗传算法搜寻各参数的最优值。

2  核管道最大腐蚀深度的预测方法

2.1  基于免疫遗传算法的统计参数优化

免疫遗传算法是基于生物免疫机制中抗体浓度控制原理提出的一种改进遗传算法^[13]。免疫遗传算法在保留基本遗传算法全局随机搜索能力的基础上，将目标函数定义为抗原，待求问题的解定义为抗体，通过引进抗原记忆、抗体多样性保持、抗体促进与抑制等机制，在很大程度上避免早熟，加快搜索速度，提高了算法的整体性能^[14]。

免疫遗传算法通过抗原和抗体的亲和力(适应度)来描述可行解与最优解的逼近程度，适应度高的个体遗传到下一代的概率就大，而适应度低的个体遗传到下一代的概率相对较小。对式(7)进行变换得：

       (8)

式(8)是对式(7)求反函数的变换式。

定义已知样本极值点与逼近函数值之间偏差平方和的平方根E₁为适应度函数，即

; 1≤i≤n     (9)

将IGA应用于核管道最大腐蚀深度预测问题，定义目标函数E₁最小为抗原(min E₁)。在设计过程中，，和k的中间结果为抗体，求取最优参数，和k，使E₁最小。免疫遗传算法基本程序如图1所示。

2.2  核管道最大腐蚀深度的预测

设随机变量的最大值为y_di，从概率论与数理统计角度，最大腐蚀深度超过y_di的概率为

         (10)

一般根据小面积样本的最大腐蚀深度估计大面积样本的最大腐蚀深度，需要用到概率统计上回归期的概念。在实际工程应用中，定义回归期T(y_di)为极值分布的随机变量y_i超过最大值为y_di所需的样本的数量为

         (11)

图1  免疫遗传算法基本程序流程图

Fig.1  Flowchart of immune genetic algorithm

回归期的意义在于取得最大腐蚀深度y_di所需要测量的最大面积与单位测量面积的倍数^[15]，即

              (12)

其中：S为整个腐蚀管道面积；s为单位测量面积。

联合式(8)，(11)和(12)并代入，和k的值，可计算得到核管道的整体最大腐蚀深度y_di。

3  应用实例

为验证提出的核管道最大腐蚀深度预测及评估方法的可行性与有效性，给出如下2个计算实例。

(1) 某腐蚀核管道一定时间内的平面观测深度见表1^[16]，其中T(y_di)=2 000/15=133.33，将最大腐蚀深度按从小到大排序，利用式(1)计算，累计概率见表1。

运用免疫遗传算法对广义极值分布模型参数，和k进行优化。经过50次迭代最终得到各参数最优值分别为：3.201 2；σ=0.333 7；k=0.001 9。k＞0，说明该分布符合Frechet模型。计算得到该核管道最大腐蚀深度y_di=4.840 3 mm，超过最大腐蚀深度y_di的概率为0.75%。

样品组1全局最优解的进化过程见图2，极值拟合曲线见图3。由图2可以看到：适应度函数E₁的最优解能够以较快的速度收敛到稳态值，同时保证了总体拟合误差最小。而图3也反映出所求模型能够较好地拟合样本极值深度。图4所示为本文方法所得深度与文献[16]中计算深度拟合误差的比较。从图4可以看出：本文方法最大拟合误差较小，避免局部偏差过大的情况；拟合函数更好地逼近真实，提高了预测精度。

表1  样本组1某核管道腐蚀深度

Table 1  Sample group 1 of corrosion depth of some nuclear pipes

图2  样本组1全局最优解的进化过程

Fig.2  Evolutionary process of global optimal solution for sample group 1

图3  样本组1极值拟合曲线

Fig.3  Fitting curve of extreme value for sample group 1

图4  样本组1拟合误差曲线

Fig.4  Fitting error curves for sample group 1

(2) 某核电站设冷水系统除淤管道不锈钢部分运行1 a后的超声测量厚度见表2^[8]，其中T(y_di)=5 980/40=149.5。将最大腐蚀深度按从小到大排序，利用式(1)计算累计概率，见表2。

表2  样本组2某核管道腐蚀深度

Table 2  Corrosion depths of some nuclear pipes for sample group 2

仍按照算例(1)所采用的计算方法，经过50次迭代计算，得到各参数的最优值分别为：4.724 2；σ=1.344 7；k=-0.166 8。k＜0，说明该分布符合Weibull模型。计算得到该核管道最大腐蚀深度y_di=9.3 mm，超过最大腐蚀深度y_di的概率为0.67%。

样品组2全局最优解的进化过程见图5，极值拟合曲线见图6。由图5可以看到：适应度函数的最优解能够以较快的速度收敛到稳态值。由图6可以看出所求模型能够较好地拟合出样本极值分布。图7所示为本文方法所得结果与文献[8]中计算结果的拟合误差比较。从图7可以看出：采用本文方法所得总体拟合误差较小，拟合函数更好地逼近于真实结果，提高了预测精度。

由以上2个算例可以看出：针对不同的应用实例，即使样本极值数据的分布类型不同，采用免疫遗传算法优化参数的广义极值分布模型也能较好地进行分布拟合，从而可以有效地避免分布类型选择不当所带来的误差。

图5  样本组2全局最优解的进化过程

Fig.5  Evolutionary process of global optimal solution for sample group 2

图6  样本组2极值拟合曲线

Fig.6  Fitting curve of extreme value for sample group 2

图7  样本组2拟合误差曲线

Fig.7  Fitting error curves for sample group 2

4  结论

(1) 针对核管道最大腐蚀深度预测问题，选用具有普遍适用性的广义极值分布模型，能够避免以往单独采用某一分布的不足。该模型不受限于样本极值数据的具体分布，具有较好的通用性。

(2) 应用免疫遗传算法优化改进广义极值分布模型的参数，模型参数寻优过程收敛速度较快，拟合效果理想。

(3) 将该方法应用到核管道腐蚀深度的预测和评估，核管道监测管理人员可以分析潜在的事故发展趋势，制定管网的维护方案，延长管网使用寿命。

参考文献：

[1] Tkachev V V, Zheltukhin K K. Analysis of the failure probability of pipelines and equipment with service life extension of nuclear power plants[J]. Atomic Energy, 2008, 104(5): 372-380.

[2] Timofeev B T, Fedorova V A, Buchatskii A A. Intercrystalline corrosion cracking of welded joints of the austenitic pipelines of nuclear power plants[J]. Materials Science, 2004, 40(5): 676-683.

[3] Anoop M B, Rao K B, Lakshmanan N. Safety assessment of austenitic steel nuclear power plant pipelines against stress corrosion cracking in the presence of hybrid uncertainties[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2008, 85(4): 238-247.

[4] Cattanta F, Crussetb D, Féron D. Corrosion issues in nuclear industry today[J]. Materials Today, 2008, 11(10): 32-37.

[5] Moglia M, Davis P, Burn S. Strong exploration of a cast iron pipe failure model[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2008, 93(6): 885-896.

[6] Melchers R E. Representation of uncertainty in maximum depth of marine corrosion pits[J]. Structural Safety, 2005, 27(4): 322-334.

[7] Jarrah A, Bigerelle M, Guillemot G, et al. A generic statistical methodology to predict the maximum pit depth of a localized corrosion process[J]. Corrosion Science, 2011, 53(8): 2453-2467.

[8] 王水勇, 任爱. 利用Gumbel极值分布预测管道最大腐蚀深度[J]. 腐蚀科学与防护技术, 2008, 20(5): 358-360.

WANG Shuiyong, REN Ai. Evaluation of maximum corrosion depth of pipe by Gumbel extreme value probability distribution[J]. Corrosion Science and Protection Technology, 2008, 20(5): 358-360.

[9] Melchers R E. Extreme value statistics and long-term marine pitting corrosion of steel[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2008, 23(4): 482-488.

[10] 刘聪, 秦伟良, 江志红. 基于广义极值分布的设计基本风速及其置信限计算[J]. 东南大学学报: 自然科学版, 2006, 36(2): 331-334.

LIU Cong, QIN Weiliang, JIANG Zhihong. Computation of design basic wind velocity and its confidence limits based on generalized extreme value distribution[J]. Journal of Southeast University: Natural Science Edition, 2006, 36(2): 331-334.

[11] Hung H, Kaveh M. Focusing matrices for coherent signal-subspace processing[J]. IEEE Transactions on SP, 1988, 36(8): 1272-1281.

[12] Park H W, Sohn H. Parameter estimation of the generalized extreme value distribution for structural health monitoring[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2006, 21(4): 366-376.

[13] 张干清, 龚宪生. 基于改进免疫遗传算法的机械零件的结构优化[J]. 中南大学学报: 自然科学版, 2011, 42(11): 3359-3369.

ZHANG Ganqing, GONG Xiansheng. Structural optimization for mechanical elements by modified immune genetic algorithm[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2011, 42(11): 3359-3369.

[14] 王玫, 刘锐, 杨随先. 可调球面四杆机构函数优化综合方法[J]. 农业机械学报, 2012, 43(1): 208-212.

WANG Mei, LIU Rui, YANG Suixian. Optimal synthesis of adjustable spherical four-bar mechanisms for function generation[J]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2012, 43(1): 208-212.

[15] Shibata T. Evaluation of corrosion failure by extreme value statistics[J]. The Iron and Steel Institute of Japan International, 1991, 31(2): 115.

[16] 陈永红, 张大发, 王悦民, 等. 基于分形理论的核动力管道腐蚀坑深度预测模型研究[J]. 原子能科学技术, 2009, 43(8): 673-677.

CHEN Yonghong, ZHANG Dafa, WANG Yuemin, et al. Corrosion pit depth prediction model of nuclear power pipeline using fractal theory[J]. Atomic Energy Science and Technology, 2009, 43(8): 673-677.

(编辑  陈灿华)

收稿日期：2012-05-08；修回日期：2012-07-13

基金项目：国家自然科学基金资助项目(71172148，71231006)；住房和城乡建设部软科学研究项目(2011-R3-18)

通信作者：王雪青(1965-)，女，浙江温州人，博士，教授，博士生导师，从事工程项目决策与控制研究；电话：022-27404751；E-mail: wxq@tju.edu.cn