DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.08.017

基于Trot步态的四足机器人弹簧腿动力学分析与仿真

郑建华^{1, 2}，牛军川^{1, 2}，江民圣^{1, 2}，李蒙^{1, 2}，荣学文³

(1. 山东大学 机械工程学院，山东 济南，250061；

2. 山东大学 高效洁净机械制造教育部重点实验室，山东 济南，250061；

3. 山东大学 控制科学与工程学院，山东 济南，250061)

摘要：为了降低四足机器人行进时足底冲击对机器人本身造成的损伤并增强行走稳定性，以山东大学研制的野外高性能液压驱动四足机器人为研究对象，建立其力学模型，对其正、逆运动学进行分析，规划其行进步态。对比研究加装弹簧腿前后的机器人的质心位移、机体冲击加速度及偏转角度等，最后，针对加装弹簧腿后出现的新问题，对弹簧腿装置的阻尼系数进行优化。研究结果表明：弹簧腿对减小机体冲击加速度和控制机体稳定性有显著的作用。

关键词：四足机器人；弹簧腿；优化分析

中图分类号：TP242             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)08-2877-07

Dynamic analysis and simulation of spring legs in quadruped robot based on trot gait

ZHENG Jianhua^{1, 2}, NIU Junchuan^{1, 2}, JIANG Minsheng^{1, 2}, LI Meng^{1, 2}, RONG Xuewen³

(1. School of Mechanical Engineering, University of Shandong, Jinan 250061, China;

2. Key Laboratory of High-efficiency and Clean Mechanical Manufacture,

Ministry of Education, Shandong University, Jinan 250061, China;

3. School of Control Science and Engineering, University of Shandong, Jinan 250061, China)

Abstract: In order to reduce the robot’s damage caused by the plantar impact and enhance its walking stability, a high-performance hydraulically driven quadruped robot developed by Shandong University was investigated. Firstly, the model of the quadruped robot was built, and then the forward kinematics, the inverse kinematics and the foot trajectory were presented. Furthermore, variations of the body displacements, shock accelerations and deflection angles of the robot with spring legs and without spring legs were studied comparatively. Finally, the damping coefficient of the spring leg device was optimized to overcome the new resultant problems after installing the spring legs. The results show that the spring legs play a significant role in reducing the robot’s shock and keeping its body stability.

Key words: quadruped robot; spring legs; optimization

从机器人诞生至今，机器人技术得到了人们的普遍重视，特别是近几十年来，机器人技术迅猛发展，机器人被越来越广泛地应用于各个工程领域^[1]，另外，当今诸多极限工作条件和工作环境对机器人的要求也日益增多和严苛。相比于轮式机器人，足式机器人环境适应性更强、运动灵活性更好，其中四足机器人综合性能在足式机器人中最好，受到了国内外学者的持续关注^[2]。早在4世纪，四足移动机械已经出现，之后的很多设计研究一直停留在设计阶段。20世纪60年代，机器人开始使用机械和液压控制技术，具有代表性的是美国的Mosher^[3]于1968年设计开发的四足步行机Walking Truck。液压驱动机器人相比于传统电机驱动机器人，具有高动态和高负载的特性，更适用于野外作业，这也使得液压驱动四足机器人成为众多国家争相研究的热点。波士顿动力学工程公司开发的Big Dog^[4]、韩国工业技术研究院和Rotem公司研制的qRT-2^[5]以及意大利技术研究院的HyQ四足机器人^[6]是其中的代表。野外高性能液压驱动四足机器人具有高动态、高负载能力，腿部结构简单、紧凑等优点。由于在设计之初，该机器人采用的是刚性腿，因此机器人在正常行走中足底受到地面的冲击力和机体受到的冲击加速度非常大，造成机器人腿部磨损较大，严重影响机器人的寿命，同时增加了系统的不稳定性，使机器人难以控制，严重时甚至可能损坏控制系统。再者，刚性腿落地的巨大的冲击也会造成腿部关节间隙增大，降低机器人的控制精度。基于上述原因，本文作者考虑在机器人腿部加装弹簧缓冲装置，以减小机器人足底和机体受到的冲击，保护机器人控制系统，保证其控制精度，延长机器人寿命。对加装弹簧腿后机器人出现的一些新的问题如行进间跳跃、机体循迹性变差、机体偏转角变大等进行了分析，最后对弹簧腿参数进行了优化。

1  运动学分析

1.1  正运动学和逆运动学

四足机器人模型如图1所示，其为一种多支链运动机构，同时还是一种冗余驱动系统，其驱动关节数为12个，远远多于机器人机体的运动自由度数，因此其运动学较为复杂。为简化运动学计算复杂度且不失一般性，建立起D-H坐标系对单腿进行分析，机器人单腿的连杆参数如表1所示，表中为沿x_i轴从z_i旋转到z_i+1的角度；a_i为沿x_i轴从z_i移动到z_i+1的距离；d_i为沿z_i轴从x_i-1移动到x_i的距离；θ_i为沿z_i轴从x_i-1旋转到x_i的角度。

根据图1所示坐标系及表1参数，可写出单腿关节的变换矩阵^[7]为

图1  四足机器人单腿坐标系简图

Fig. 1  Coordinate system of quadruped robot leg

表1  机器人单腿连杆参数

Table 1  Link parameters of robot leg

式中：；；；；； ；。

用f代表机器人足底所在的点，有，假设已知，根据坐标间的变换矩阵，可得

这里不考虑机器人横向行走步态，即，求解可得~的8组解，根据本文模型可确定和的具体解为

式中：

；

；

；。

1.2  Trot步态规划

本文选择trot步态来对机器人进行研究，为了防止足底与地面接触时产生滑动，要求摆动腿的抬腿和落地加速度均为0 m/s²，同时为了降低机器人行走过程中腿的拖地现象，结合样机的实验及数据分析，得出机器人足底轨迹函数如下^[8-9]。

机器人腿腾空阶段：

机器人腿触底阶段：

式中：L为步长；H为步高；；t为时间；T为周期。

在机器人实际Trot步态下，对角的腿足底轨迹相同且同步，相邻的腿之间足底轨迹相差一定周期。初始设置状态下，每条腿的足底都在髋部下方相同位置，为了让机器人平稳起步，需要保证各腿都从初设状态开始摆动，本文采用了三分法来规划机器人起步姿  态^[10]，在开始0.25T内将4个腿调整到初设状态。利用MATLAB模拟机器人腿部的运动轨迹，图2(a)所示为10.25T内右后腿和左前腿行走轨迹，图2(b)所示为10T内左后腿和右前腿行走轨迹。

图2  步态规划轨迹图

Fig. 2  Foot trajectory

根据逆运动学式(3)，可以得出机器人trot步态下髋关节和膝关节的角度变化幅值，从而通过对髋关节和膝关节的控制来达到控制机器人目的。其初始2.25T内髋关节、膝关节关节角度变化曲线如图3所示。

图3  前2.25T右后腿髋关节和膝关节的角度变化曲线(T=0.5 s)

Fig. 3  Change of hip and knee angle of right hind leg in 2.25T(T=0.5 s)

2  机器人弹簧腿的动力学分析与优化

2.1  机器人刚性腿的触地仿真

根据上节的步态规划，对刚性腿机器人进行联合动力学仿真，机器人各关节按照规划的轨迹进行周期运动，前进速度均匀，机体质心横向摆动幅度不大。机体PRY角(横滚角(Roll)、俯仰角(Pitch)和偏转角(Yaw))如图4所示。从图4可见：机体RPY角都在5°以内，机体行走较为平稳。但是，从图5可以看到：机体质心在z方向加速度非常大，说明来自地面的冲击十分大，曲线出现了剧烈的起伏。

图4  机体RPY角变化曲线

Fig. 4  RPY angles variations of torso

图5  机体质心加速度曲线

Fig. 5  Acceleration variations of torso

通过ADAMS仿真并结合实验实际情况，四足机器人正常trot步态行走时比较平稳，机体摆动幅度比较小，没有出现明显的打滑现象。但是机器人足底受到地面冲击非常大，并且传递到了机体。实际实验中，由于冲击力过大，初始时安装的橡胶足底很快出现了开裂。后期实验中会将控制系统安装在机体上，如果不能有效抑制机体受到的冲击加速度，那么，巨大的冲击可能会对系统造成不可逆转的损伤，影响系统稳定性，因此，腿部加装弹簧显得十分必要。

2.2  弹簧腿分析

图6所示为实验时所用弹簧腿^[11]，机器人trot步态下整体的缓冲隔振模型如图7所示，这里只考虑在支撑相时机器人弹簧腿在z方向的受力情况，而且在支撑相时可以认为机器人腿部各关节角变化较小，则机器人动力学系统可简化为一受弹簧斜支的系统^[12]，其支配方程为：

其中：z为机器人机体在纵向平衡位置的位移；φ为小腿和地面夹角；m为机器人机体质量；k为弹簧刚度，c为弹簧阻尼；l₀为自然弹簧的长度；l(t)为实时长度；为弹簧静变形量。式变为

取m=120 kg，φ=60°，l₀=120 mm则可以由初始条件和能量守恒定理计算得到弹簧弹性系数约为 20.516 6 N/mm，预紧力为832.067 N。

在机器人腿部处于支撑相时，假设弹簧腿的质量相对于机身可以忽略不计。离地时，腿对地面的作用力为，为了确保机器人腿在支撑相时腿不离地^[13]，则。使 kN，且使机器人最大的离地速度为0.2 m/s，经计算可以得出弹簧初始阻尼 N·s/mm。

对设置上述参数后的弹簧腿机器人进行动力学仿真。图8和图9所示分别为加装弹簧腿前后足底z方向受力曲线和机体z方向的加速度曲线，与理论分析结果相同，机体和足底的加速度或冲击力都得到了显著降低，尤其在z方向尤为突出，峰值平均值分别约为不加弹簧前的1/65和1/25，从而减小了机器人机体零部件之间的冲击力，可延长零部件使用寿命，并将大大提高机载系统的稳定性，为后期的机载系统试验奠定良好的基础。

图6  弹簧腿

Fig. 6  Spring leg

图7  弹簧腿动力学模型

Fig. 7  Kinetic model of spring leg

图8  右后腿足底z方向受力图

Fig. 8  Contact forces of right foot along axis z

图9  机体z方向冲击加速度

Fig. 9  Shock accelerations of torso along axis z

2.3  弹簧腿的优化

尽管加装弹簧腿后机体的冲击加速度大大降低，但是机器人行进间仍存在一些问题，如行进间跳跃、脚底打滑、循迹性变差、机体偏转角变大等^[15-16]。这是由于设计弹簧时，设定的初始条件满足的是静力学关系，因此，不能完全符合实际运行时的参数，尤其在设计时对于阻尼的考虑比较欠缺，为了解决上述问题，有必要对弹簧的阻尼进行优化分析。综合考虑建立如下的优化函数：

其中：α和β为权重系数，根据实际情况选取；a_z，d_y，d_z和d_M分别为机器人机体的z向加速度、y向位移、z向位移和稳定裕度^[14]，均为自变量阻尼系数c的函数；d_y(c)≥-10和d_z(c)≥0为初始条件，d_M≥0为稳定条件。

通过ADAMS和Matlab的联合优化，可得优化结果如图10和11所示。由图10可以看出：在阻尼系数在0.67附近，目标函数可以取到最小值，通过进一步仿真和分析可知：当四足机器人弹簧阻尼系数为0.673 5 N·s/mm 时，机体不仅受到冲击性小而且还具有非常好的稳定性。故将四足机器人弹簧缓冲装置上的弹簧阻尼系数设为0.673 5 N·s/mm。图11所示为机体质心加速度。从图11可见：阻尼优化后，机体进入稳定、正常行走1个周期后z方向冲击力峰值平均值有较明显的降低。由于优化前后x和y方向冲击加速度、前后髋关节的关节力没有明显的变化。

图10  优化分析结果

Fig. 10  Optimization analysis

图11  机体质心z向冲击加速度

Fig. 11  Shock accelerations of torso along z axis

图12所示为加装弹簧腿及其优化前后机体质心在x方向的位移曲线。结合仿真实验可以看出：在没有安装弹簧腿时，机体在x方向波动较大，且前进位移较小。这是由于机体受到剧烈冲击和脚底出现打滑现象引起。安装弹簧腿但未优化之前，机体在x方向位移有一定的波动，且前进位移过大，这是机器人行进间跳跃引起的。优化后，机器人脚底打滑现象和行进间跳跃问题得到了明显的改善。图13所示为加装弹簧腿及其优化前后，机体质心在y向的位移。优化弹簧后，机器人机体质心y向摆动具有良好的稳定性和周期性，解决了循迹性变差的问题，机器人走动更加平稳。机体的RPY角变化曲线如图14所示，从图14可见：机体横滚角和偏转角也明显变小，显示出了良好的周期性。

图12  机体质心x向位移

Fig. 12  Position variations of torso along axis x

图13  机体质心y向位移

Fig. 13  Position variations of torso along axis y

图14  机体RPY角变化曲线

Fig. 14  RPY angles variations of torso

3  结论

1) 为了降低四足机器人行进时足底冲击对机器人本身造成的损伤并增强行走稳定性，以山东大学研制的野外高性能液压驱动四足机器人为研究对象，对其正、逆运动学进行了分析，规划了其行进步态，对比研究了加装弹簧腿前后机器人的质心位移、机体冲击加速度及偏转角度等。最后，针对加装弹簧腿后出现的跳跃和循迹差等问题，对弹簧腿装置的阻尼系数进行了优化。

2) 所加弹簧腿对降低冲击效果明显。通过进一步对弹簧腿参数进行优化设置，增加了机器人行走的循迹性和稳定性，基本抑制了机器人足底打滑和行进间跳跃等问题，进一步降低了机体质心加速度和地面对机体的冲击力。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2014-08-12；修回日期：2014-10-20

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51275275)；国家高技术研究发展计划(863计划)项目(2011AA041001)；山东省优秀中青年科学家科研奖励基金资助项目(BS2010ZZ006)(Project (51275275) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2011AA041001) supported by the National High Technology Research Development Program (863 Program) of China; Project (BS2010ZZ006) supported by the Shandong Young Scientists Award Fund)

通信作者：牛军川，博士，教授，从事振动噪声控制研究；E-mail：niujc@sdu.edu.cn