基于反应数据的贝叶斯概率方法在恢复力模型选择中的应用

刘佩，袁泉，魏庆朝

(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京，100044)

摘要：考虑模型选择过程中的不确定性，建立基于反应数据的模型选择的贝叶斯概率方法计算框架，用于选择一系列结构模型中的最有可能模型。该方法通过基于贝叶斯理论的模型参数识别方法得到模型参数的最有可能值及Hessian矩阵，对于全局可识别情况再结合渐近估计解法得到各模型的证据，进而通过贝叶斯定理得到选择各模型的概率，可以自动对过于复杂的模型进行限制。最后，将基于贝叶斯理论的模型选择方法用于采用实测滞回曲线数据的密肋复合墙试件的恢复力模型选择中，基于反应数据对选择2种恢复力模型的概率进行计算。研究结果表明：贝叶斯理论在系统识别中的应用不仅可以识别得到模型参数的最有可能值，还可以识别得到最有可能的模型，并且考虑了模型及模型参数的不确定性。

关键词：贝叶斯理论；恢复力模型；模型选择；不确定性；最有可能模型

中图分类号：TU311           文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)05-1666-06

Application of Bayesian probabilistic approach to restoring force model selection based on response data

LIU Pei, YUAN Quan, WEI Qingchao

(School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Abstract: Taking into account of uncertainties introduced in the model selection, the computational frame of Bayesian probability approach for model selection based on response data was proposed and used to obtain the most probable models from a set of models. Most probable values and Hessian matrix of model parameters were obtained through model parameter identification method based on Bayesian theorem. They were used to compute the evidence of a model through asymptotic approximation method for globally identifiable cases. The probability of a set of models was obtained according to the evidence. The proposed method automatically penalized a complicated model. The model selection method based on Bayesian theorem was applied to restoring force model selection of multi-grid composite wall specimen subjected to low cyclic loading with tested data. The probabilities of two restoring force models based on tested data were obtained. The results show that through application of Bayesian theorem to system identification, not only most probable values of model parameters can be obtained, but also the most probable models can be obtained. At the same time, uncertainties of model and model parameters can be considered.

Key words: Bayesian theorem; restoring force model; model selection; uncertainty; the most probable models

模型选择的标准是考察包含识别参数的模型对待识别结构进行描述的精确程度。数学模型是建立在对原始数据规律性挖掘的基础上的，但是，不同的建模方法对于原信息的规律把握不同，目前没有一个绝对优秀的建模方法，只能根据原始数据的特点选择相对合适的模型。对于模型选择在系统识别中的应用，需要根据具体识别问题的特点尝试得到，但由于对待识别结构系统的认识不足以及计算效率的差异，通常会产生识别参数的不当选取问题，或者得到多个不同的模型，导致模型对待识别结构的描述总是存在不完善之处。为了从中找出合理的模型，有必要对模型选择方法进行研究，来判断模型及其参数选择的优劣。过度复杂的模型可能使估计或者预测的方差偏大，而过度简单的模型又可能导致较大的估计或预测偏差，对于统计学中传统的模型选择方法，如AIC和BIC等^[1-2]，这些模型选择方法忽视了模型选择过程所带来的不确定性。传统的数据分析方法分成模型选择和基于选定的模型进行统计推断这2个步骤。在进行第2步推断时，人们通常把第1步选定的模型当作真实的数据产生过程而忽略了模型选择过程中的不确定性，导致低估实际的方差或均方误差。在系统识别中，通常采用的是在一系列模型中找到最优模型，但是，因为系统识别是反演问题，所以，很可能存在多个模型都可以对结构特性进行很好的模拟，因此，需要发展更具一般性的模型选择方法。张立涛等^[3]结合结构识别问题的求解可采用正则化技术来改善其不适定的特点，引入不同识别结果所对应目标函数与识别结果的范数之间的对应规律作为先验条件，提出了一种基于L曲线的模型确认方法。Goulet等^[4]提出了一种多模型方法来考虑不确定性及模型假定，该方法首先生成大量的候选模型，对反应进行预测，其次对结构进行静力试验，将模型不确定性及测量不确定性之和与设定的界限值对比，来判断接受或拒绝该模型。考虑到模型选择过程中的不确定性，基于贝叶斯理论的模型选择方法^[5]可以同时考虑多个模型对结构反应预测的影响，还可以自动对复杂模型加以限制，定量计算得到选择各模型的概率。贝叶斯统计推断一般包括参数识别和模型选择：基于观测数据，通过贝叶斯理论或者结合一些抽样方法进行模型参数识别可以得到更新的模型参数概率密度函数；而通过贝叶斯理论进行模型选择可以评估各模型用来估计特定观测数据的概率能力^[6-11]。本文作者通过推导用于计算各模型选择概率的证据表达式，建立基于贝叶斯理论的模型选择方法计算框架；当已知数据点足够多且为全局可识别情况时，可通过拉普拉斯渐近估计解法利用模型参数识别结果对证据进行计算。随后将基于贝叶斯理论的模型选择方法用于恢复力模型的选择中，首先是对双线性单自由度体系在地震波作用下的恢复力模型的选择，重点将基于贝叶斯理论的模型选择方法用于实测数据的模型选择，即采用实测滞回曲线数据的密肋复合墙试件的恢复力模型的选择，可利用各模型参数识别结果计算选择各模型的概率。

1  基于贝叶斯理论的模型选择方法

1.1  计算框架

令y表示模拟的或实测的结构反应数据，模型选择的目的是利用y从一系列模型中选择最有可能的模型。根据贝叶斯定理，可以得到基于反应数据y选择各模型的概率为

      (1)

其中，j=1, 2, …, N_M。根据全概率公式，为各模型的先验概率，表示对各模型初始概率的经验判断，且。为已知y时模型的证据，由于上述表达式与无关，所以，可省略，即。由式(1)可知：最有可能的模型就是使取得最大值的模型。

根据全概率公式，已知y时模型的证据可表示为

     (2)

其中：j=1, 2, …, N_M；表示模型的参数矢量；为模型参数的先验概率密度函数，可根据经验确定；为模型参数的似然函数。

对于全局可识别情况，当数据y足够多时，的后验概率密度函数可通过高斯分布进行估计^[5]，则根据拉普拉斯渐近估计解法可近似表示为

            (3)

其中：j=1, 2, …, N_M；N_j为模型的不确定性参数的数量；为模型参数的最有可能值；为在处的Hessian矩阵。

与数据y匹配越好的模型，式(3)中的似然函数就越大，似然函数倾向于具有更多不确定性参数的模型。式(3)中的剩余部分被称为Ockham因子^[5]，其随模型不确定性参数的数量增加而减少，对模型不确定性参数的数量起到限制作用。模型选择就是似然函数和Ockham因子之间的平衡。

综上，根据贝叶斯模型选择方法，可根据对各模型进行排序，最有可能的模型为使取得最大值的模型。模型证据可通过式(3)计算得到。模型先验分布可通过均匀分布来进行描述。

1.2  模型参数最有可能值的确定

根据基于贝叶斯理论的模型参数识别方法^[12]，模型参数最有可能值可通过使后验分布取最大值得到。对于模型，根据贝叶斯定理，后验分布(采用简化记法，将及参数的j省略)

           (4)

其中，为正规化常数。则使后验分布取最大值，相当于使取最小值。

假定模型计算反应为q，则

y=q+e                  (5)

其中，e为模型误差，假定e在不同的测试点处为独立同分布的均值为0，标准差为的高斯分布，则

    (6)

则

 (7)

对式(7)的求一阶导数并令其等于0，假定模型参数的先验分布为均匀分布，可得模型误差方差的最有可能值为

          (8)

根据式(8)并通过Matlab中的fminsearch函数对模型参数进行优化，可得到模型参数的最有可能值，进而可计算得到最有可能值处的Hessian矩阵。

2  所提方法在恢复力模型选择中的应用

本文将基于贝叶斯理论的模型选择方法用于恢复力模型的选择：(1) 受地震作用的双线性单自由度体系恢复力模型采用模拟输入输出数据；(2) 低周反复加载下密肋复合墙试件恢复力模型采用实测滞回曲线数据。

2.1  地震作用下的单自由度双线性体系

考虑单自由度双线性滞回体系的运动方程：

       (9)

其中：x为位移；m为质量；c为阻尼系数且假定为线性黏滞阻尼；k₁为屈服前刚度；k₂为屈服后刚度；x_y为屈服位移；为恢复力，其特性见图1。

图1  单自由度体系双线性恢复力模型

Fig. 1  Bilinear restoring forcing model of SDOF system

假定已知m=1，用来生成反应数据的参数的具体值为=0.02 N·s/m，=10 N/m，=0.1 N/m，=0.02 m。假定该体系受到15%的1940 EI Centro地震波作用，持时为30 s，时间间隔为0.02 s。图2所示为地震波及其作用下体系的反应，图3所示为相应的体系滞回环。

假定已知反应数据为结构在地震作用下所得位移加上其5%均方差的高斯白噪声。考虑2个恢复力模型，各模型均采用零均值的离散高斯白噪声作为预测误差模型。对模型1()：双线性滞回体系，屈服前刚度k₁＞0，屈服后刚度k₂＞0，黏滞阻尼c=0，屈服位移为x_y，预测误差标准差为。对模型2()：双线性滞回体系，屈服前刚度k₁＞0，屈服后刚度k₂＞0，黏滞阻尼c＞0，屈服位移为x_y，预测误差标准差为，该模型包含产生模拟反应数据的精确模型。

图2  地震波及其作用下体系的反应

Fig. 2  Earthquake record and corresponding displacement of system

图3  地震波作用下体系的滞回环

Fig, 3  Hysteretic curve of system under earthquake record

假定各模型参数的先验分布相互独立且为均匀分布，k₁的分布范围为(0, 2) N/m，k₂的分布范围为(0, 0.5) N/m，c的分布范围为(0, 0.1) N·s/m，x_y的分布范围为(0, 0.1) m，的分布范围为(0, 0.01) m。

表1所示为各模型在地震作用下根据式(8)识别得到的最有可能值。

地震作用下基于反应数据选择各模型的概率，j=1, 2可根据式(1)计算得到，其中各模型的证据可根据式(3)计算得到，各模型的先验概率取，最终计算结果为，=1。结果表明，基于反应数据选择最有可能模型的概率接近于1，选择另外的模型概率近似为0，表明对该体系反应进行预测时，除最有可能模型外的模型都可以忽略。另外，该算例表明进行系统识别时，对于一个实际结构，最优的模型依赖于已知的系统数据，应该只对与系统识别中系统所受的激励水平接近的激励作用下的系统反应进行预测。

表1  单自由度体系各双线性恢复力模型参数的最有可能值

Table 1  Most probable values of model parameters for each bilinear restoring force model of SDOF system

2.2  低周反复加载下的密肋复合墙试件

将基于贝叶斯理论的模型选择方法用于已知实测数据的恢复力模型选择中。作为该模型选择方法的研究基础，刘佩等^[13]进行了基于贝叶斯理论的密肋复合墙试件恢复力模型参数的识别。

文献[13]中给出了7块密肋复合墙试件在低周反复加载下发生剪切破坏的滞回曲线，标准密肋复合墙试件的实测滞回曲线见图4。从图4可知：试件出现了明显的刚度退化、强度退化、滑移和捏拢现象。

图4  标准密肋复合墙试件实测滞回曲线

Fig. 4  Tested hysteretic curve of typical multi-gird composite wall specimen

根据以上现象，文献[13]提出了一种适用于剪切破坏的密肋复合墙体的恢复力模型，本文记为，见图5。模型达到极限荷载之前骨架曲线假定为双线性。模型的控制参数为：屈服前刚度k₁，屈服后刚度k₂，屈服荷载f_y及其对应位移x_y，极限荷载f_u及其对应位移x_u，考虑极限荷载后强度降低现象的参数△d，考虑滑移捏拢现象的参数△p和△s。模型的滞回规律假定为：(1) 达到极限荷载前，前一次循环结束之后再加载时和反向加载时，直线指向前一次循环的最大变形点；(2) 达到极限荷载后，前一次循环结束之后再加载时和反向加载时，直线指向由前一次循环的最大变形点与△d之和对应的位移及极限荷载确定的点的位置处；(3) 正向卸载及反向卸载直线通过考虑滑移捏拢参数轴正负△s位置前刚度为k₁，之后指向力轴的考虑滑移捏拢参数负正△p位置处。

图5  密肋复合墙体的恢复力模型μ₁

Fig. 5  Restoring force model μ₁ of multi-grid composite walls

对于模型，若将极限荷载后强度降低现象通过将曲线指向上一循环的最大荷载降低一定的值与最大变形确定的位置表示，同样可以作为用来模拟密肋复合墙体反应的恢复力模型，即将考虑极限荷载后强度降低现象的参数△d变为△F^[14]，本文将该恢复力模型记为，与的滞回规律假定(2)对比，模型将其变为达到极限荷载后，前一次循环结束之后再加载时和反向加载时，直线指向由前一次循环的最大变形点对应的位移及荷载与△F之差确定的点的位置处。

这2种模型都可以用来模拟构件的反应，但要对这2种模型识别结果的差别定量化，则需要应用基于贝叶斯理论的模型选择方法确定，以便决定模拟构件反应时每种模型的权重。

采用标准密肋复合墙试件的实测滞回曲线作为已知数据，对选择2个模型和的概率进行计算。

根据统计学理论中先验分布^[15-16]的特点，其主要来源于经验和历史资料。本算例采用无信息先验分布，并根据试验数据确定模型参数先验分布的取值区间。设各模型参数的先验分布相互独立且为均匀分布：k₁的分布范围为(5, 15) kN/mm，k₂的分布范围为(0, 5) kN/mm，f_y的分布范围为(45, 75) kN，△p的分布范围为(1, 7) kN，△s的分布范围为(5, 35) kN，△d的分布范围为(2, 6) mm，△F的分布范围为(3, 9) kN，的分布范围为(1, 3) mm。经计算发现，模型参数的先验分布对模型参数的最有可能值及Hessian矩阵的结果没有影响。

根据贝叶斯理论，由式(8)识别得到的各模型参数的最有可能值见表2。

设模型先验概率，则依据已知数据并根据式(1)得选择的概率为

     (10)

选择的概率为

     (11)

由式(10)和(11)可得计算结果为= 0.697 7，=0.302 3。可见：对试件反应进行预测时，2个模型均应考虑，可将依据已知数据选择各模型的概率作为权重系数，来考虑各模型在反应预测时所占的比例。

表2  密肋复合墙体各恢复力模型参数的最有可能值

Table 2  Most probable values of model parameters for each restoring force model of multi-grid composite wall

3  结论

(1) 将基于贝叶斯理论的模型选择方法用于采用实测数据的恢复力模型的选择中，其中通过贝叶斯理论对恢复力模型参数进行了识别。

(2) 通过推导各模型的证据表达式，并结合贝叶斯定理得到选择各模型的概率，建立了基于贝叶斯理论的模型选择方法计算框架。该方法不仅可以识别得到模型参数的最有可能值，还可以识别得到最有可能的模型，并且考虑了模型及模型参数的不确定性。

(3) 根据双线性滞回体系在地震作用下响应的模拟数据对恢复力模型进行选择，若选择最有可能模型的概率接近于1，则进行反应预测时可以忽略其余模型的影响。

(4) 根据密肋复合墙试件在低周反复荷载下的实测滞回曲线数据对恢复力模型进行选择，得到了各模型的定量概率，结果表明：基于反应数据选择各模型的概率相差不大，此时需同时考虑各模型来进行反应预测，并可将选择各模型的概率作为反应预测的权重系数。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2013-05-29；修回日期：2013-08-01

基金项目：国家自然科学基金青年科学基金资助项目(51208030)；国家自然科学基金重点资助项目(51338001)

通信作者：刘佩(1982-)，女，河北石家庄人，博士，副教授，从事可靠度理论与参数识别方法研究；电话：010-51684952；E-mail: liupei0130@126.com