DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.07.029
纵向和横向荷载下微倾单桩变形和内力的弹塑性解
张磊1，龚晓南2，李瑞娥1，焦丹3
(1. 西安建筑科技大学 土木工程学院，陕西 西安，710055；
2. 浙江大学 软弱土与环境土工教育部重点实验室，浙江 杭州，310058；
3. 西安建筑科技大学 理学院，陕西 西安，710055)
摘要：为提高工程中桩身侧向变形较大时纵向和横向承载单桩的设计及计算水平，考虑桩身初始微倾斜及土体的弹塑性，采用矩阵计算法得到地基水平抗力系数为常数时桩身侧向变形和内力的解及桩身最大位移、最大弯矩及其所在位置的计算方法。研究结果表明：解的计算值与模型试验值较吻合；当桩顶自由时，桩身最大位移、最大弯矩及土体屈服后桩身最大弯矩距地面的距离均随桩身初始倾角的增大而增大；桩身初始微倾斜对桩身侧向响应的影响随纵向荷载的增大而增大；桩身最大位移、最大弯矩及桩身最大弯矩距地面的距离均随纵向荷载的增大而增大，且其变化速率随纵向荷载和桩身初始倾角的增大而增大，因此，土体的弹塑性、纵向荷载及桩身初始微倾斜等对桩身侧向响应的影响不容忽视。
关键词：桩-土相互作用；倾角；纵横荷载；屈服；位移
中图分类号：TU473 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2017)07-1901-07
Elastoplastic solutions of deflections and inner forces for slightly inclined single pile subjected to combined vertical and lateral loads
ZHANG Lei1, GONG Xiaonan2, LI Ruie1, JIAO Dan3
(1. College of Civil Engineering, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China;
2. Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering, Ministry of Education,
Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;
3. College of Science, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China)
Abstract: In order to improve the design and calculation of the vertically and laterally loaded single pile with large lateral deflection, solutions of pile deflections and inner forces were obtained by matrix calculation, in which the slight initial inclination of pile shaft and the elastoplasticity of soil were considered. Calculation methods of the maximum lateral displacement, the maximum bending moment and their positions were also presented. The results show that the calculated values are in good agreement with model test results. Corresponding to the free-head boundary condition, the maximum displacement, the maximum bending moment and the distance between the position of the maximum bending moment and ground all increase with the increase of the initial inclination angle of pile shaft. Influences of the slight initial inclination of pile shaft on lateral pile responses become more obvious when the vertical load increases. The maximum displacement, the maximum bending moment and the distance between the position of the maximum bending moment and ground increase with the increase of vertical load, and the rates of change increase when vertical load and initial inclination angle of pile shaft increase. Therefore, the elastoplasticity of soil, the vertical load and the slight initial inclination of pile shaft play important roles in lateral pile responses.
Key words: pile-soil interaction; inclination angle; combined vertical and lateral loads; yielding; displacement
工程中多种原因可导致桩身初始微倾斜[1]：施工预制桩时，可能因桩身垂直度控制不好或打桩顺序不当而倾斜；施工灌注桩时，可能因桩孔倾斜而使桩身倾斜。规范[2]对桩身垂直度进行了严格规定，如对泥浆护壁钻孔桩和现浇混凝土护壁人工挖孔桩分别规定桩身垂直度允许偏差为1.0%和0.5%；而桩基检测结果表明桩身垂直度偏差往往会超过规范规定的允许值[3-4]。一些研究者通过数值模拟[4-5]、室内模型试验[1, 6]及现场试验[3, 7]等对纵向荷载下微倾单桩的承载性状进行了研究，并得出很多有益的结论。桩基础不仅可以承受纵向荷载，而且还可以同时承受流水压力、风荷载、船只或汽车的撞击力、车辆制动力和牵引力、离心力等水平荷载。在纵横向荷载的共同作用下，不仅横向荷载可以使桩身产生侧向变形，纵向荷载也将因桩身的挠曲变形而产生附加弯矩和变形[8]，尤其当地基土的强度较低，纵向荷载、水平荷载及地面以上桩长均较大时更为显著。当桩身存在初始微倾斜时，纵向荷载引起的附加弯矩和变形又将进一步增大。赵明华等[9]将上覆层和下卧层分别填筑黏土和砂土，通过室内模型试验研究了微倾木桩在纵、横向荷载下的水平承载性状。李微哲等[10]提出了纵、横向荷载下层状地基中地基水平抗力系数沿深度线性增大时微倾单桩侧向变形和内力的幂级数解；赵明华等[11-12]通过假定桩身水平位移为深度的3次幂函数提出了有限杆单元法。这些方法[10-12]均假定土反力与桩身水平位移成正比，只适用于桩身变形较小的情况。数值模拟[13-14]和模型试验[9]结果表明，纵、横向荷载下桩身变形较大时，土体的弹塑性非常明显。HSIUNG等[15-21]考虑土体的弹塑性基于地基反力法提出了桩身侧向变形和内力的计算方法，但没有考虑桩身初始微倾斜的影响。另外，对于密实的砂土和超固结黏土，地基水平抗力系数可取为常数[15-21]。考虑桩身初始微倾斜及土体的弹塑性，本文作者提出地基水平抗力系数为常数时纵、横向荷载下桩身侧向变形和内力的解，以及桩身最大位移、最大弯矩及其所在位置的计算方法。编制计算程序，通过计算与模型试验结果进行对比来验证解和程序的可靠性，继而分析桩身初始微倾斜及纵向荷载等对桩身侧向响应的影响。
1 控制方程及解
1.1 方程的建立
纵、横向荷载下微倾单桩示意图如图1所示。图中Qp，Mp和Np分别为作用在桩顶的水平力、力矩和纵向力。水平荷载施加之前桩身存在倾斜，倾角为θ(其值远小于1 rad)，并以右倾为正。假定桩的水平位移超过土体屈服位移后土进入塑性流动状态，且土的屈服自地面开始并随桩身水平位移的增大而渐次向下发展。自由段、塑性段和弹性段桩长分别为H0，H1和H2，并分别在各段上建立坐标系。假定自由段分布荷载为q(x)=q0+△qx/H0(其中，q0和(q0+△q)分别为自由段顶端及底端的分布荷载集度)。
，
和
分别表示荷载作用下自由段、塑性段和弹性段桩身轴线的横坐标。若uG，uS和uE分别表示荷载作用下自由段、塑性段和弹性段桩身水平位移，则
(1)
图1 纵、横向荷载下微倾单桩示意图
Fig. 1 Schematic diagram of slightly inclined single pile under combined vertical and lateral loads
假定地面以下某点处桩身水平位移小于该点土体屈服位移
时土处于弹性状态，且弹性段土反力p与桩身水平位移uE成正比，即p=kbuE(式中：k为地基水平抗力系数，取为常数；b为桩身直径或宽度)。当桩身水平位移超过土体屈服位移时，土进入塑性状态，且塑性段土反力为
。关于土体屈服位移的取值方法见文献[15-21]。假定桩身自重和桩侧摩阻力对桩身侧向响应的影响可忽略不计，即桩身轴力等于Np，并满足：
＜
(适用于大多数情况[21])，其中EI为桩身抗弯刚度。
假定位移向右为正，转角以左倾为正，弯矩以使桩身左侧受拉为正，剪切力以使研究对象顺时针转为正。文献[22]给出了自由段桩身挠曲线微分方程：
(2)
式中：桩身转角
；桩身弯矩
；桩身剪切力
。假定土反力以向左为正，弹性段桩身挠曲线微分方程为
(3)
式中：桩身转角
；桩身弯矩
；桩身剪切力
。参照文献[22]，得塑性段桩身挠曲线微分方程：
(4)
式中：桩身转角
；桩身弯矩
；桩身剪切力
。
1.2 各段上的解
求解式(2)，得自由段桩身变形和内力的解：
(5)
式中：
，表示桩顶的侧向响应；
；
和
分别为四阶
方阵和四维列向量。
求解式(3)，得弹性段桩身变形和内力的解：
(6)
式中：
，表示图1中C点处桩身响应；
；
和
分别为四阶方阵和四维列向量，也已由文献[22]给出。
求解式(4)，得塑性段桩身变形和内力的解：
(7)
式中：
，表示图1中O点处桩身变形和内力；
；
；
；
。
1.3 求解过程
本文为求解方便，桩顶采用自由和固定2种边界条件，桩底采用自由、铰接和固定3种。
由桩身响应在图1中O点和C点处的连续性，得桩顶未知的边界值：
(8)
式中：
，
，
。
当桩顶自由时，
，
，
(式中
，
，…，
均取自
，如
位于中第3行第2列，下同)，
；
当桩顶固定时，
，
，
，
；
当桩底自由时，
，
；
当桩底铰接时，
，
；
当桩底固定时，
，
。
至此，桩顶的侧向响应全部已知。桩身任意点处的变形和内力可通过式(5)~(7)得到。弹塑性分界点的位置可由二分法求得，具体步骤为：1) 先假定桩周土未屈服，计算地面处桩身水平位移，若计算值小于土体屈服位移，则桩周土的确未屈服；若计算值大于土体屈服位移，则上部的桩周土已经屈服。2) 以1个很小的间隔(如b/100)自地面开始依次向下假定为弹塑性分界点，直到该点桩身位移计算值小于土体屈服位移，则土体弹塑性分界点在该点和上一点之间。3) 假定弹塑性分界点的位置在这2点的中点上并计算该点桩身水平位移，重复取中点并计算，直到所取点处桩身水平位移计算值与土体屈服位移的差值在一个很小的范围以内，则该点近似为弹塑性分界点。
对于水平承载桩，桩身最大位移、最大弯矩及其位置是最重要的参数。最大位移在桩顶；对于最大弯矩，可先采用二分法近似算得桩身弯矩的微分为0的点(具体步骤类似于本文求弹塑性分界点位置)，然后对比该点弯矩和桩顶弯矩，以获得最大值。
2 算例验证
基于上文中的解编制计算程序，并验证解及程序的可靠性。赵明华等[9]开展了若干组纵、横向荷载下微倾木桩的室内模型试验研究，其中第2组05号桩主要参数如下：总桩长为135.0 cm，地面以下桩长为69.0 cm，桩径为31.57 mm，抗弯刚度EI=407.686 6 N·m2，桩身初始倾角θ=0.012 9 rad，桩顶、底均自由。上覆黏土层厚30 cm，土颗粒相对密度ds=2.573，重度γ=19.5 kN/m3，液限WL=36.38%，塑限Wp=22.59%，含水量w=24.18%；下卧砂土层厚70 cm，土颗粒相对密度ds=2.649，重度γ=14.81kN/m3，不均匀系数Cu=2.55，曲率系数Cc=1.068，最大孔隙比emax=0.979 3，最小孔隙比emin=0.646 1，孔隙比e=0.8636。自由段无分布荷载。通过实测数据反算出地基水平抗力系数k=4.5×104 kN/m3，土体屈服位移=1 mm。当水平力Qp=26.95 N时，实测的、本文解及文献[10]中的解计算出的地面处桩身水平位移与纵向荷载的关系如图2 所示。
图2 地面处桩身水平位移与纵向荷载的关系
Fig. 2 Relationship between horizontal pile displacement at ground and vertical load
由图2可见：对于地面处桩身水平位移，本文解计算值与实测值基本吻合，从而验证了解和程序的可靠性。另外，由于文献[10]中的解没有考虑土体的弹塑性，虽然在纵向荷载较小时计算值与实测值很接近，但随着纵向荷载的增大，两者之间的差值越来越大，当纵向荷载为390.62 N时，计算值比实测值约小14.5%。本文解的计算值在不同纵向荷载条件下均与实测值较接近。
3 影响因素分析
为探讨桩身初始微倾斜和纵向荷载等对桩身侧向变形和内力的影响，以某桥梁桩基为例展开分析。桩径为1.8 m，地面以上及以下桩长分别为20 m和40 m，桩身抗弯刚度EI=9.275 GN·m2，桩顶、底均自由；地基水平抗力系数k=4×104 kN/m3，土体屈服位移=1 cm。桩身自由段无分布荷载。
3.1 桩身初始微倾斜的影响
纵向荷载Np=10 MN，桩身最大位移、最大弯矩及其距离地面的距离在不同的水平荷载下与桩身初始倾角的关系如图3所示。
由图3(a)和(b)可见：桩身最大位移和最大弯矩均随桩身初始倾角的增大而增大，且其变化速率随桩顶施加的水平力、力矩及桩身初始倾角的增大而稍有增大；当桩身初始倾角从0 rad增大到0.01 rad，水平力Qp=0.3 MN、力矩Mp=0 MN·m时桩身最大位移和最大弯矩分别增加约38.1%和34.9%。由图3(c)可见：随着桩身初始倾角的增大，当土体尚未屈服时，桩身最大弯矩距地面的距离基本不变；上部土体屈服后，桩身最大弯矩距地面的距离增大，且其变化速率随桩顶施加的水平力、力矩及桩身初始倾角的增大而稍有增大。由水平力Qp=0.3 MN、力矩Mp=0 MN·m对应的曲线可知：当桩身初始倾角从0 rad增大到0.01 rad时，桩身最大弯矩距离地面的距离从47.5 cm增至63.6 cm，增幅约为33.9%。因此，桩身初始微倾斜对桩基水平承载性状的影响较大，不容忽视。
3.2 纵向荷载的影响
水平力Qp=300 kN、力矩Mp=1 MN·m，桩身最大位移、最大弯矩及其距地面的距离在不同的桩身初始倾角下与纵向荷载的关系如图4所示。
由图4可见：随着纵向荷载的增大，桩身最大位移、最大弯矩及其距离地面的距离均增大；当纵向荷载较小时，其增大的速率较小；随着纵向荷载和桩身初始倾角的增大，其增大的速率越来越大，在纵向荷载施加的后期，桩身最大位移、最大弯矩及其距地面的距离均随纵向荷载的增大而急剧增大，表明桩基已经失稳[23]。因此，当自由段桩长和纵向荷载较大时，纵向荷载引起的附加弯矩和变形不容忽视，而桩身初始微倾斜则可以加剧纵向荷载的这一影响。桩身初始微倾斜对桩身侧向响应的影响在纵向荷载接近0 MN时很小，可忽略不计，但随纵向荷载的增大而增大。
图3 桩身侧向响应与桩身初始倾角的关系
Fig. 3 Relationship between lateral pile responses and initial inclination angle of pile shaft
图4 桩身侧向响应与纵向荷载的关系
Fig. 4 Relationship between lateral pile responses and vertical load
4 结论
1) 由于考虑了土体的弹塑性，在不同的纵向荷载条件下，本文解的计算结果均与模型试验结果相吻合，说明所得解是可靠的。
2) 当桩顶自由时，随着桩身初始倾角的增大，桩身最大位移、最大弯矩及土体屈服后桩身最大弯矩距地面的距离均增大，且其变化速率随桩顶施加的水平力、力矩及桩身初始倾角的增大而稍有增大；而当土体尚未屈服时，桩身最大弯矩的位置基本不变。随着纵向荷载的增大，桩身初始微倾斜对桩身侧向响应的影响逐渐增大。
3) 当桩顶自由时，随着纵向荷载的增大，桩身最大位移、最大弯矩及其距地面的距离均增大，其变化速率也随纵向荷载和桩身初始倾角的增大而增大。
参考文献：
[1] 郑刚, 李帅, 杜一鸣, 等. 竖向荷载作用下倾斜桩的承载力特性[J]. 天津大学学报, 2012, 45(7): 567-576.
ZHENG Gang, LI Shuai, DU Yiming, et al. Bearing capacity behaviors of inclined pile under vertical load[J]. Journal of Tianjin University, 2012, 45(7): 567-576.
[2] JGJ 94—2008, 建筑桩基技术规范[S].
JGJ 94—2008, Technical code for building pile foundations[S].
[3] 费鸿庆, 王燕. 黄土地基中超长钻孔灌注桩工程性状研究[J]. 岩土工程学报, 2000, 22(5): 576-580.
FEI Hongqing, WANG Yan. Research of super-long hole bored pile in loess subsoil[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2000, 22(5): 576-580.
[4] 陈荣保, 陆瑞明. 偏斜预应力管桩的承载力分析与处理[J]. 岩石力学与工程学报, 2006, 25(增刊2): 3545-3551.
CHEN Rongbao, LU Ruiming. Analysis and treatment of bearing capacity behavior of sloping prestressed pipe-pile[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2006, 25(Suppl 2): 3545-3551.
[5] 胡文红, 郑刚. 浅层土体加固对倾斜桩竖向承载力影响研究[J]. 岩土工程学报, 2013, 35(4): 697-706.
HU Wenhong, ZHENG Gang. Influence of shallow soil improvement on vertical bearing capacity of inclined piles[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2013, 35(4): 697-706.
[6] 王新泉, 陈永辉, 安永福, 等. 塑料套管现浇混凝土桩倾斜对承载性能影响的模型试验研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2011, 30(4): 834-842.
WANG Xinquan, CHEN Yonghui, AN Yongfu, et al. Model test study of effect of inclination on bearing behaviors of plastic tube cast-in-place concrete pile[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2011, 30(4): 834-842.
[7] 郑刚, 王丽. 竖向荷载作用下倾斜桩的荷载传递性状及承载力研究[J]. 岩土工程学报, 2008, 30(3): 323-330.
ZHENG Gang, WANG Li. Bearing capacity behaviors of inclined pile under vertical load[J]. Journal of Tianjin University, 2008, 30(3): 323-330.
[8] LIANG Fayun, CHEN Haibing, CHEN Shengli. Influences of axial load on the lateral response of single pile with integral equation method[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2012, 36(16): 1831-1845.
[9] 赵明华, 李微哲, 杨明辉, 等. 成层地基中倾斜偏心荷载下基桩位移特性室内模型试验研究[J]. 土木工程学报, 2006, 39(12): 95-99.
ZHAO Minghua, LI Weizhe, YANG Minghui, et al. A model test study on displacement of piles under inclined and eccentric loads in layered soils[J]. China Civil Engineering Journal, 2006, 39(12): 95-99.
[10] 李微哲, 赵明华, 单远铭, 等. 倾斜偏心荷载下基桩内力位移分析[J]. 中南公路工程, 2005, 30(3): 53-57.
LI Weizhe, ZHAO Minghua, SHAN Yuanming, et al. Analysis of single pile under eccentric and inclined loading[J]. Central South Highway Engineering, 2005, 30(3): 53-57.
[11] 赵明华, 李微哲, 曹文贵. 复杂荷载及边界条件下基桩有限杆单元法研究[J]. 岩土工程学报, 2006, 28(9): 1059-1063.
ZHAO Minghua, LI Weizhe, CAO Wengui. Study on applying finite pole element method to analysis of piles under complex loads with different boundary restraints[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2006, 28(9): 1059-1063.
[12] 赵明华, 李微哲, 单远铭, 等. 成层地基中倾斜荷载桩改进有限杆单元法研究[J]. 工程力学, 2008, 25 (5): 79-84.
ZHAO Minghua, LI Weizhe, SHAN Yuanming, et al. Behavior analysis of piles in layered clays under eccentric and inclined loads by improved finite pole element method[J]. Engineering Mechanics, 2008, 25(5): 79-84.
[13] KARTHIGEYAN S, RAMAKRISHNA V V G S T, RAJAGOPAL K. Influence of vertical load on the lateral response of piles in sand[J]. Computers and Geotechnics, 2006, 33(2): 121-131.
[14] KARTHIGEYAN S, RAMAKRISHNA V V G S T, RAJAGOPAL K. Numerical investigation of the effect of vertical load on the lateral response of piles[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 2007, 133(5): 512-521.
[15] HSIUNG Y M. Theoretical elastic-plastic solution for laterally loaded piles[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 2003, 129(6): 475-480.
[16] HSIUNG Y M, CHEN S S, CHOU Y C. Analytical solution for piles supporting combined lateral loads[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, 2006, 132(10): 1315-1324.
[17] GUO Weidong. On limiting force profile, slip depth and response of lateral piles[J]. Computers and Geotechnics, 2006, 33(1): 47-67.
[18] GUO Weidong. Nonlinear response of laterally loaded piles and pile groups[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2009, 33(7): 879-914.
[19] 常林越, 王金昌, 朱向荣, 等. 水平受荷长桩弹塑性计算解析解[J]. 岩土力学, 2010, 31(10): 3173-3178.
CHANG Linyue, WANG Jinchang, ZHU Xiangrong, et al. Analytical elastoplastic solutions of laterally loaded long piles[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(10): 3173-3178.
[20] 常林越, 王金昌, 朱向荣, 等. 双层弹塑性地基水平受荷桩解析计算[J]. 岩土工程学报, 2011, 33(3): 433-440.
CHANG Linyue, WANG Jinchang, ZHU Xiangrong, et al. Analytical calculation of laterally loaded piles in double-layered elastoplastic soils[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2011, 33(3): 433-440.
[21] ZHANG Lei, GONG Xiaonan, YANG Zhongxuan, et al. Elastoplastic solutions for single piles under combined vertical and lateral loads[J]. Journal of Central South University of Technology, 2011, 18(1): 216-222.
[22] 张磊, 焦丹. 轴、横向荷载下微倾单桩地基反力法的解析解[J]. 西安建筑科技大学学报(自然科学版), 2016, 48(6): 862-867.
ZHANG Lei, JIAO Dan. Analytical solutions for slightly inclined single piles under simultaneous axial and lateral loading by subgrade reaction method[J]. Journal of Xi’an University of Architecture and Technology, 2016, 48(6): 862-867.
[23] HAN J, FROST J D. Load-deflection response of transversely isotropic piles under lateral loads[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2000, 24(5): 509-529.
(编辑 伍锦花)
收稿日期：2016-09-05；修回日期：2016-11-23
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51508455)；陕西省教育厅专项科研计划项目(16JK1444, 15JK1399)；西安建筑科技大学青年科技基金资助项目(QN1614) (Project(51508455) supported by the National Natural Science Foundation of China; Projects(16JK1444, 15JK1399) supported by the Scientific Research Program of Education Department of Shaanxi Province, China; Project(QN1614) supported by the Science and Technology Foundation for Youths of Xi’an University of Architecture and Technology, China)
通信作者：张磊，博士，讲师，从事岩土工程研究；E-mail: zh888lei@163.com
