具有更新机制的铁路轨道不平顺灰色预测模型
郭然，韩宝明，李得伟，李华
(北京交通大学 交通运输学院，北京，100044)
摘要：为了准确预测轨道各项不平顺的劣化情况，保证轨道的高平顺性，杜绝安全隐患，提出基于灰色预测理论的铁路轨道局部不平顺预测方法。该方法将25 m轨道单元区段各项不平顺幅值的标准差作为原始时间序列，建立具有更新机制的轨道不平顺灰色GM(1,1)非等时距预测模型，并优化模型的背景值和初值以提高预测精度。利用京九线轨检车波形数据，从时间和空间维度验证了模型的有效性。研究结果表明：单元区段预测结果的平均绝对误差为0.039 mm，平均相对误差为1.95%；连续区段预测结果的平均绝对误差为0.046 7 mm，平均相对误差为3.62%。该模型预测不平顺状态与实测结果非常逼近，能够较好地反映轨道局部不平顺的劣化发展。
关键词：轨道不平顺；灰色预测理论；GM (1, 1)；非等时距；预测模型
中图分类号：U213. 2 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2013)10-4334-08
Grey prediction model for track irregularity with update mechanism
GUO Ran, HAN Baoming, LI Dewei, LI Hua
(School of Traffic and Transportation, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)
Abstract: In order to accurately predict the deterioration of track irregularities, ensure high smooth of the track and then fundamentally eliminate hidden dangers, a prediction method for track local irregularities based on grey theory was proposed. With the standard deviation of 25 m track section irregularities’ amplitudes as the original time series, a grey GM (1, 1) non-equal time interval model with update mechanism was established. To improve the prediction accuracy, the background value and starting value in the model were optimized. With the wave data of track geometry inspection car from Beijing-Kowloon Railway, the prediction validity of the model was verified from time dimension and spatial dimension. The experimental result shows that the mean absolute error of unit section predicting outcomes is 0.039 mm and the mean relative error is 1.95%. For continuous unit section, the statistics are 0.046 7 mm and 3.62% respectively. The prediction irregularities are quite similar to real inspection data, and this model can well reflect the track local irregularities deterioration development.
Key words: track irregularity; grey prediction theory; GM (1, 1); non-equal time interval; prediction model
铁路高速化、重载化是运输发展的趋势，轨道不平顺是限制其发展的重要因素之一[1]。轨道不平顺不仅严重影响行车的安全性、平稳性和舒适性，还会减少车辆和轨道等部件的寿命。掌握轨道几何不平顺的变化发展规律，预测轨道不平顺状态，进而制定合理的维修策略，是解决上述问题的关键所在。在轨道不平顺预测方面，国内外众多学者已经进行了大量的研究。Kawaguchi等[2]利用二次指数平滑法提出了预测100 m单元区段轨道方向不平顺标准差的模型； Meier-Hirmer等[3-4]根据专家经验，采用Gamma平稳过程拟合单元区段(200 m和1 km)高低不平顺的劣化发展；Quiroga等[5]提出了200 m区段在2次捣固之间高低不平顺发展的指数模型；Veit等[6]建立了在2次捣固之间5 m单元区段轨道质量发展的指数模型；我国陈宪麦等[7]综合考虑影响轨道不平顺发展的众多因素，建立了预测轨道质量指数(track quality index，简称TQI)的综合因子模型；曲建军等[8-9]基于灰色理论，构建了修正的非等时距GM(1,1)模型预测轨道质量指数中长期变化发展；许玉德等[10-12]建立了基于最小二乘法的线性模型、基于多元回归分析的非线性模型和概率分布推移变化模型来预测轨道几何不平顺的发展。上述模型存在以下几方面问题：(1) 多数模型针对较长单元区段的整体不平顺状态建立预测模型，缺乏对轨道局部不平顺劣化情况的预测分析，不能满足当前铁路管理部门精细化管理的要求；(2) 部分模型用单一的数学函数式描述区段在相邻两次维修之间的劣化过程，无法体现区段轨道不平顺在不同时期的变化速率差异，造成预测结果与区段轨道不平顺的真实劣化过程不符；(3) 为保证模型预测和拟合精度，都需要积累大量的历史检测数据，运算量大。为此，本文作者提出一种基于灰色预测理论，利用轨检车检测数据预测较小轨道单元区段内任意一项不平顺指标的数学模型。模型用于轨道局部不平顺状态的预测，利用输出结果能够准确把握未来轨道病害发生处所，实现轨道不平顺精细化管理。模型在预测过程中不需要累积多次历史数据用于拟合，所需数据量相对较少，且能够根据最新的检测数据不断更新模型参数，更加准确地逼近单元区段轨道几何不平顺真实劣化过程。
1 模型框架及建模思路
1.1 模型框架
轨道不平顺处于不断的变化当中，且变化过程复杂，存在明显差异。对于经常发生轨道几何尺寸不良的区段，其不平顺的劣化速率较快，而对于轨道几何尺寸经常保持良好的区段，其不平顺的劣化速率较慢；同一轨道区段在1个劣化周期的不同时期劣化率也不同，前期变化缓慢，后期变化加快，有明显的指数性。为了解轨道不平顺状态，轨检车根据文献[13-14]的规定对线路进行检测。本文利用轨检车检测数据，分析轨道不平顺随时间的变化规律，以预测轨道区段的轨距、轨向、高低、水平、三角坑各项不平顺指标为目的构建了预测模型，模型框架如图1所示。
模型以轨检车原始波形数据作为输入，以各项不平顺指标的预测值作为输出，在模型计算中包括：不平顺指标计算，预测序列更新，灰色非等时距模型预测，精度检验和模型残差修正等主要步骤。
1.2 建模思路
图1所示的模型以单元轨道区段为研究对象，本文借鉴我国均值管理中区段的划分和表示方法，沿着线路里程增加方向，以百米标、半公里标或公里标作为起点，将轨道划分为25 m长的单元区段，用单元区段小里程端的里程来表示一个轨道单元区段。
模型中单元区段的不平顺指标
定义为轨距、水平、左高低、右高低，左轨向、右轨向和三角坑这7项不平顺的幅值在25 m单元区段内的标准差，计算公式为
(1)
式中：σi为单元区段内单项轨道不平顺的标准差(mm)；
为单元区段内各采样点第i项不平顺幅值的平均值(mm)；xij为单元区段内第j个采样点上第i项不平顺的幅值(mm)；n为单元区段内采样数量，目前我国普遍使用的GJ-4型轨检车每米采样4个点，n=100。
图1 轨道不平顺预测模型框架图
Fig. 1 Frame diagram of track irregularity prediction model
由于无法定量评价各类维修方式对轨道不平顺的改善效果，模型限定研究相邻2次维修之间的轨道不平顺预测，并定义相邻两次维修之间的时间间隔为一个维修周期。单元区段的不平顺指标随时间的变化过程当中，轨检车按照非固定周期检测单元区段所在线路，据此产生σi的非等时距序列。基于上述特点，本文引入灰色GM(1,1) 非等时距模型，以单元区段的各项不平顺指标σi为原始序列，随着检测数据的更新不断用新的检测信息替代旧有信息，针对不同的单元区段分别建立预测模型，并对不满足精度要求的预测结果进行修正，全面地反映轨道局部不平顺劣化发展过程。
2 模型的构建
2.1 灰色非等时距模型的建立
假设对某一单元区段Section，在时间范围T(T为1个维修周期)经过n次轨检车检测得到的某项不平顺指标原始序列为
，相邻2次检测的时间间隔为
，k=2，3，…，n。
将原始序列X(0)进行1次累加生成得到序列
。其中：
；i=2，3，…，n。对累加生成序列X(1)建立白化微分方程：
(2)
若规定t=t1时，
为模型的初值，则式(2)的时间响应函数[15]为
(3)
令
，
，模型还原后表达式为
(4)
当ti≤tn时，称
为模型模拟值；当ti＞tn时，称为模型预测值。上述模型中的参数a和b可由下式得到：
(5)
其中：
；
。
B中的z(1)(ti)为X(1)在区间[ti-1, ti]上的背景值，其表达式为
；i=2，3，…，n (6)
2.2 预测序列的更新
灰色系统中旧有信息太多往往会淹没新信息特点，使预测对系统的波动反映迟缓，跟踪性变差[15]。预测模型序列要随着系统的发展，不断补充新信息，及时地去掉旧有信息，才能更好地反映系统在目前的特征。因此，本文利用区段Section紧邻的最近4次检测状态序列x(0)(tn-3)，x(0)(tn-2)，x(0)(tn-1)和x(0)(tn)建立模型(其中，tn为最近一次轨检车检测的日期)，预测Section在tj时的轨道状态
(其中，tj＞tn)。当在日期tn+1轨检车对Section所在线路检测完成后，利用新的检测状态x(0)(tn+1)替换已经“过时”的状态x(0)(tn-3)对模型进行更新，并依据更新后的模型对tn+1后Section的状态进行预测，如次循环往复，实现模型的滚动优化，逐渐逼近轨道不平顺真实的劣化过程。
2.3 模型的组合修正
2.3.1 背景值优化
从式(4)可以看出：由于模型的拟合和预测精度取决于系数a和b，而a和b的求解依赖于背景值z(1)(ti)的构造形式，背景值的计算成为GM(1,1)模型精度和适应性的关键影响因素。z(1)(ti)传统的两点平滑计算公式为
；i=2，3，…，n (7)
当时间间隔很小，序列变化平缓时，按照上式造的背景值是合适的；但当序列变化急剧时，式(7)构造的背景值往往产生较大的滞后误差，影响模型的预测结果。由于当序列X(1)(ti)满足准光滑条件时，其连续函数更接近指数规律，x(1)(t)可以用如下的指数曲线逼近：
(8)
式中：c和r为待定系数。
将式(8)代入式(6)中经过计算得到：
；i=2，3，…，n (9)
2.3.2 初值优化
传统建模过程中将x(1)(t1)= x(0)(t1)作为初值并没有理论依据。为了使累计残差值最小，本文对初值进行修正x(1)(t1)= x(0)(t1)+β，其中β为待定参数，即
(10)
假设
，令
，求解得到β为
(11)
因此，修正后的模型还原表达式为
(12)
2.3.3 残差修正
当模型的精度无法满足要求时，需要对结果进一步修正以提高预测精度。文献[15]建立了一种灰色残差修正模型，该模型选取符号一致的残差尾段(残差数量一般不少于4个)建立GM(1,1)模型并把残差预测序列加入到原始序列的预测结果中。但是，当样本空间较小时，往往很难选取符号一致的残差尾段进行建模。针对上述模型存在的局限性，本文提出一种在小样本条件下基于误差阈值的残差修正方法。
文中定义Section的某项不平顺指标在一次滚动预测中模拟值的残差序列为
。其中：
，n-3≤i≤n。本文选取统计学中相对误差检验法对结果的精度进行评价，模拟值序列的平均相对误差ravg可由下式计算得到：
(13)
式中：k=1，2，3，4。
规定模拟序列平均相对误差ravg＞5%时，需结合残差序列对预测结果进行修正。按照2.1中的方法对残差序列的绝对值序列
建立非等时距的GM(1,1)模型，利用残差序列的建模结果对式(12)进一步修正得到：
(14)
δ(ti)为符号函数，目的是使
与
保持符号一致：
，n-3≤i≤n (15)
由于本文将研究范围限定在1个维修周期内，在此时间范围内单元区段的轨道不平顺状态是一个缓慢演变的过程，因此预测项的符号函数取值与前一项相同，即i＞n时δ(ti)= δ(tn)。
本节描述构建的模型能够形成一个以预测模型为核心的闭环反馈系统，如图2所示。
图2 以轨道局部不平顺预测模型为核心的闭环反馈系统
Fig. 2 Closed loop feedback system based on track local irregularity prediction model
在图2所示的闭环中，模型利用已有的轨检车数据对轨道局部不平顺状态进行预测，根据输出的预测结果评定轨道状态，进而制定有针对性的维修策略，对铁路轨道进行养护维修；由于各种轨道劣化影响因素的作用，轨道状态随着时间的推移发生劣化，在这个过程中，轨检车执行检测产生最新检测数据，模型以此作为输入进行新一轮的预测。
3 案例分析
利用计算机编程语言编程实现了本文提出的预测模型，并采集了从2009-04-23—2010-06-04京九线上行K427+150~K482+750区段共19次的轨检车波形数据(此期间该段线路未受到过大型养路机械作业等干扰)。经过里程校正、指标计算等一系列数据预处理过程后，模型实现了对该段线路2 224个25 m单元区段不平顺状态的连续预测，这里分别给出了K450+200单元轨道区段以及从K450+000到K450+600共600 m较长线路区段高低不平顺的预测结果，利用上述结果验证了模型的有效性。
3.1 单元轨道区段预测
程序利用2009-04-23，2009-05-06，2009-06-11和2009-06-23期间K450+200单元区段所在线路前4次轨检车检测的数据建立模型，输出模拟序列
，同时能够预测2009年6月23日后每一天的高低不平顺状态；当实施第5次检测后，如2.2节中所述，程序用第5次检测状态
替换最早一次检测状态
生成新的状态序列，重新建立预测模型；通过序列，模型可以实现对该单元区段高低不平顺的连续预测。表1给出了日期ti高低不平顺的检测值
和预测值 (其中，i>4)以及对应的残差e(0)(ti)和相对误差r(ti)。
由表1中数据统计得到：左高低不平顺指标15次预测的平均绝对误差为0.033 mm，平均相对误差为1.56%；右高低不平顺指标15次预测的平均绝对误差为0.044 mm，平均相对误差为2.33%。图3所示为该区段左、右高低不平顺指标实际检测值与预测值的对比图。
由图3可以看出：从2009-08-13—2010-06-04该单元区段左、右高低不平顺的变化都是非线性的。图3(a)中，左高低劣化过程较为平缓，预测值与测量值变化的折线图十分相近，预测精度非常理想；图3(b)中，右高低在距离第1次检测350 d前后指标值有明显下降，造成预测精度与左高低相比偏低，但用本文的预测模型仍然能够较为准确的逼近其变化过程。综合左、右高低不平顺指标的预测结果，该单元区段15次预测的平均绝对误差为0.039 mm，平均相对误差为1.95%。
表1 京九线上行K450+200单元区段高低不平顺指标预测结果
Table 1 Surface irregularity prediction results for K450+200 unit section of Kowloon-Beijing Railway
3.2 较长线路区段预测
为进一步对模型进行验证，程序计算了京九线上行K450+000到K450+600这600 m线路所包含的24个25 m单元区段9次检测的实际状态序列和预测状态序列。图4和图5所示分别为这600 m线路左、右高低从2009-10-16—2010-05-05的9次检测预测值与实际值之间的对比结果。
由图4和图5可以发现：在2009-10-16—2010-05-05该600 m线路左、右高低不平顺连续预测状态与轨检车检测得到的状态非常接近。这600 m线路包含的24个单元区段9次高低不平顺预测的平均绝对误差为0.046 7 mm，平均相对误差为3.62%。
图3 单元区段高低不平顺指标实测值与预测值对比
Fig. 3 Comparison between measured and predicted values of surface irregularity for unit section
图4 长线路区段左高低不平顺状态波形叠加图
Fig. 4 Waveform stacking diagram of left surface irregularity for long section
图5 长线路区段右高低不平顺状态波形叠加图
Fig. 5 Waveform stacking diagram of right surface irregularity for long section
4 结论
(1) 以较短单元区段为研究对象，利用轨检车检测数据对单元区段各项不平顺指标σi进行预测，预测结果可以用于把握轨道局部不平顺劣化情况，准确定位病害处所。
(2) 模型适用于相邻两次维修之间的轨道局部不平顺预测，根据最新检测数据不断更新模型预测序列，不仅减小了预测所需数据规模，而且降低了旧有信息的干扰，能够更好反映当前劣化特征。
(3) 为提高预测精度，对模型进行了组合修正，京九线上行高低不平顺的预测结果表明，模型具有较高的预测精度。
(4) 为使模型能够准确反映1个维修周期内轨道不平顺的变化情况，当大型养路机械作业后，需要积累若干次的检测数据再进行建模以保证预测精度。考虑到不同波长的轨道不平顺对车体和轨道的动力学响应不同，应用本文模型分析和预测不平顺波长的变化，从而为工务部门制定养护维修计划提供全面的技术支持是下一步的研究重点。
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(编辑 杨幼平)
收稿日期：2012-10-15；修回日期：2013-01-14
基金项目：国家科技支撑计划项目(2009BAG12A10)；红果园人才计划项目(I12K00100)；教育部基本科研项目(I11JB00020)
通信作者：韩宝明(1963-)，男，山西太原人，教授，博士生导师，从事铁路运输组织现代化研究；电话：010-51688518；E-mail：bmhan@bjtu.edu.cn
