改进粒子群优化算法对反应动力学参数的估计
金一粟，周永华，梁逸曾
(中南大学 化学化工学院，湖南 长沙，410083)
摘 要：针对粒子群算法容易早熟，全局寻优效率偏低等缺点，在原有算法的基础上对粒子群优化算法的速度权重和更新机制进行分析，提出更有效的可直接反映粒子空间分布的分布矢量以调整粒子搜索进程，并通过粒子对最优粒子的跨越机制增强粒子的全局寻优能力。空间自适应粒子群优化算法(LAPSO)有机融合上述2种改进机制。通过对环辛二烯在球形粉状催化剂Pd/Al2O3上进行催化加氢反应的动力学分析，构建包含内、外效率因子的反应动力学模型。并根据所测实验数据，采用几种具有代表性的粒子群优化算法和LAPSO优化算法对相关动力学参数分别进行估计。参数估计的统计分析结果表明，LAPSO具有较强的全局寻优能力和较稳定的收敛特性，能够较好地用于解决化工中常见的非线性动力学参数估计问题。
关键词：空间自适应粒子群优化算法；参数估计；环辛二烯加氢
中图分类号：TQ013.2 文献标识码：A 文章编号：1672-7207(2008)04-0694-06
Parameter estimation of dynamic model of cyclo-octadiene
hydrogenation by landscape adaptive particle swarm optimizer
JIN Yi-su, ZHOU Yong-hua, LIANG Yi-zeng
(School of Chemistry and Chemical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: In order to avoid the premature convergence and improve the search efficiency of the particle swarm optimizer, the modified distribution vector is proposed together with the ‘crossing over scheme’ to update the searching velocity. The application of the landscape adaptive particle swarm optimizer (LAPSO), which combines these two schemes, was studied. Meanwhile, with the consideration of the inner and outer efficiency factors, the dynamic model of cyclo-octadiene hydrogenation over the porous Pd/Al2O3 catalyst was investigated. According to the observation data, empirical performance comparisons between some representative PSOs and the LAPSO were presented on the parameter estimation of the dynamic model of cyclo-octadiene hydrogenation. The statistic analysis results of the parameter estimation show that, better performance of global searching and converging is gained by using LAPSO than other methods. LAPSO is expected to be implemented in the nonlinear parameter estimation problems encountered in the chemical engineering.
Key words: LAPSO; parameter estimation; cyclo-octadiene hydrogenation
非线性动力学系统的参数估计问题也可以看作是一类优化问题：通过对相应动力学参数进行调整，在可能存在的代数约束下，使该系统的动力学性质与实验观测数据的吻合程度达到最优[1]。这种从响应变量到系统参数的分析方法被称作逆问题或系统辨识问 题[2]，在这一类问题中，由于参数之间可能存在的相关性以及实验数据的噪声干扰，使得确定性的优化算法在搜索过程中常常陷入局部最优[3-6]。因此，大量的全局优化算法被应用于此领域以确保求解的准确、有 效。粒子群优化算法是一种基于种群的全局优化算法，起源于对鸟群、昆虫等的群体生物行为的模拟研究[7]。在粒子群算法中，每一个搜索点被看作1个粒子，搜索开始时，需要对每一个粒子在N维搜索空间中的位置和飞行速度进行初始化，然后，通过迭代过程寻找最优点。每一次迭代，粒子的位置和速度都将被更新。每一个粒子根据自己的飞行经验获得1个个体最优位置(表示为
)，再根据其他粒子的飞行经验获得1个全局的最优位置(表示为
)，然后，通过对个体经验和群体经验的合理组合判断得出新的搜索方向和飞行速度。对于粒子群算法的改进和优化主要依赖于对飞行速度的合理设定，比如Shi等提出来的惯性权重(Inertial weight)[8]，Clerc提出的压缩因子(Constriction factor)[9]以及Chatterjee等提出的动态惯性权重[10]等等，均是从某个方面对飞行速度的权重进行优化来进行的。在此，本文作者对粒子群优化算法进行进一步分析和改进，并将其应用于化工反应动力学模型实现动力学参数的估计。
1 空间自适应性粒子群优化算法
1.1 分布矢量
在粒子群算法中，粒子的搜索是基于自己的经验和其他粒子的经验进行调整的，却没有考虑粒子群的总体分布状态。
群体的分布提供了非常重要的信息。搜索空间通常是非对称的，若空间为扁平的长方形，随机产生的粒子的分布也应近似为长方形。在粒子群的搜索过程中，粒子在空间的分布不断变化，从一定角度上反映了当前的搜索状态。因此，本文对文献[11]中提出的分布矢量(Distribution vector)D进行进一步改进，更为确切地描述某一时间状态上粒子的空间排列：
根据大量实验验证[8, 11]，式中D_max和D_min的数值分别定为0.9和0.4。矢量D中的每一个元素被有效地限制在[D_min，D_max]之间。
速度的更新如下式：
分布矢量D不仅调整了速度的大小，而且还调整了粒子下一步运动的方向。该种改进被命名为分布矢量粒子群优化算法(Distribution Vector PSO, DVPSO)。
1.2 跨越机制
粒子群算法的搜索机制就是跟随最好(适应值最优)的粒子。显然，如果最优粒子陷入局部最优，其他粒子也将会受到误导，从而减少了向全局最优方向搜索的可能。也就是说，所谓的最优粒子并非总能提供积极有效的信息。
鉴于此，如何避免被误导也应该被引入到搜索机制中来。Lin等[12]通过引入一定量随机粒子来避免早期收敛。但是，当搜索空间非常大时，完全没有先验的自由粒子的分布将会显得非常稀疏，很难提高对新的最优点的搜索能力。
跨越机制(Crossing over scheme)的引入，使得部分粒子有机会不跟随最优点而是跨越最优点：
通过大量实验验证，选择概率0.1进行跨越将会取得比较好的结果。引入跨越机制的粒子群算法被称作跨越性粒子群优化算法(Crossing Over PSO, COPSO)。
1.3 空间自适应粒子群算法
将上述2种改进的粒子搜索能力融合到一起，并将其命名为空间自适应粒子群算法(Landscape Adaptive Particle Swarm Optimizer, LAPSO)。改进后的粒子群算法不仅对搜索空间有柔性适应能力，还能够及时跳出局部最优，以便快速稳定地收敛于全局最 优点[11]。
2 环辛二烯加氢模型
环辛二烯(COD)通过球形粉状催化剂Pd/Al2O3进行加氢反应，产生中间产物环辛烯(COE)和最终产物环辛烷(COA)。COD的加氢过程可由如下反应进行描述：
通过Langmuir-Hinshelwood动力学方程来描述分子在固体颗粒表面的吸附对反应的影响。根据Di等[13]的研究成果，氢气在此反应中的反应级数可看作是零级，由此，原反应可表示为拟一级反应。因此，反应速率可最终表示为：
各反应物浓度随时间的变化可用下述微分方程组描述，其中，氢气的浓度在整个反应过程中可视为常数，变化速率为零。
对于此非均相流固反应系统，反应过程中流体反应组分的变化和反应温度的变化将导致催化剂固体颗粒里外存在着浓度差和温差，从而引起催化剂内外物质和能量的传递。催化剂外表面被假设有一层均匀的边界层，内部的浓度梯度呈线性变化。由于存在边界层，催化剂颗粒外表面上的反应物浓度小于主体的反应物浓度，致使反应速率减慢。通常用外效率因子来描述外扩散的影响，外效率因子可以通过下式进行 估算：
对于多孔催化剂，孔内扩散对反应速率的影响也不可忽略。内效率因子的定义与外效率因子类似，其对反应速率的影响可归结为一无因子群φ，称为齐勒(Thiele)模数，与催化剂颗粒形状有关。本文采用球形催化剂，内效率因子由下式确定[14]：
总效率因子即可由内效率因子和外效率因子共同表征：
3 LAPSO方法用于环辛二烯加氢模型的参数估计
通过实验测定出39 ℃时，不同时间点各物种的浓度，所测实验数据如表1所示。根据已测实验数据可对该模型中的未知参数进行估计，待估计参数包括k1，k2，bD和bE。
表1 环辛二烯加氢模型实验观测数据
Table 1 Observation data of hydrogenation of cyclo-octadiene
通过随机优化算法进行动力学参数估计，在对微分方程求解时耗费大量时间，使得搜索过程非常缓 慢。而且，不合适的参数组合甚至会产生错误的积分结果，导致优化失败。为了避免在优化过程中求解微分方程，本文采用直接对实验数据拟合得到所谓的“微分曲线”[16]，通过对这些“微分曲线”进行进一步拟合来实现参数估计。对于环辛二烯加氢模型，采用PSO优化算法实现参数估计，步骤如下：
a. 首先根据所测得的实验数据，即COD，COE，COA以及H2的浓度，拟合出各个时刻各物种的浓度变化速率，记为：
(i=1, 2, …, n；n为时间轴上取样点数)；
b. 初始化粒子群，作为参数初值。
c. 将各个粒子所代表的参数矢量代入式(4)~(6)，其中，总效率因子参照式(7)~(11)计算。结合已测得的各物质浓度实验值，计算出不同时刻点各物质的浓度变化速率，记为：
(i=1, 2, …, n)；
d. 由下式计算每个粒子所对应的适应值函数，记录全局最优和局部最优粒子；
e. 判断是否满足迭代终止条件，若不满足，则更新粒子速度和位置，转入步骤c。
分别选择惯性权重因子PSO算法(IWPSO)[8]，压缩因子PSO算法(CFPSO)[9]，分布矢量调节的PSO(DVPSO)和跨越性的PSO(COPSO)以及综合上述2种特性的空间自适应性粒子群算法(LAPSO)，分别对该模型进行参数估计。由于PSO算法的随机特性，对每一种算法重复运行50次，通过Kruskal-Wallis多重分析方法(Multiple comparisons，MC)[17]对结果进行评估。
若满足以下不等式，则算法i和j将会被认为具有明显差异：
4 结果与讨论
优化算法运行50次后，根据待优化函数值(即误差大小)进行排列，取其中位值和最小值以及相对应的参数进行比较，所对应的参数数值和误差结果见2。可以发现，在误差接近的情况下，不同优化结果对应的待估参数的数值却有较大差异。LAPSO算法得到的参数数值较为接近，可信度较高。图1所示为LAPSO对环辛二烯加氢模型拟合的结果，其中实验数据以离散的点表示，拟合结果以曲线表示。
图1 LAPSO算法对环辛二烯加氢模型试验数据的拟合结果
Fig.1 Fitting results of cyclo-octadiene hydrogenation by LAPSO
表2 环辛二烯加氢模型的参数估计结果
Table 2 Parameter estimation results by different PSOs
图2所示盒子图表现各算法对该模型进行优化的结果，纵坐标为优化函数值。可以看出，LAPSO算法具有较低的中位值，且所有运行结果均能保证较好收敛。表3所示为各算法的Kruskal-Wallis多重分析[17]结果，从前4行数据可以看出，LAPSO对其他算法的测试值都小于0，表明该算法比其他算法得到的结果具有更优良的统计特性。
图2 各种PSO算法对模型优化结果的盒子图
Fig.2 Boxplots of optimization results by different PSOs
表3 Kruskal-Wallis多重分析结果
Table 3 Kruskal-Wallis multiple comparison tests
5 结 论
a. 针对常规粒子群算法容易早熟，全局寻优效率偏低等缺点，提出了通过可直接反映粒子空间分布状况的分布矢量来调整粒子搜索进程，通过对最优粒子的跨越机制增强粒子的全局寻优能力，并将这2种特性有机合并为空间自适应粒子群算法。
b. 针对环辛二烯催化加氢反应的反应动力学模型，为避免直接求解微分方程给寻优带来的计算困难，对所测实验数据进行了微分化处理，运用惯性权重因子PSO算法(IWPSO)，压缩因子PSO算法(CFPSO)，经改进的分布矢量调节的PSO(DVPSO)和具有跨越能力的PSO(COPSO)以及综合上述2种特性的空间自适应性粒子群算法(LAPSO)，分别对该模型进行参数估计，得到了合理的参数值。
c. 参数估计的统计分析结果表明，LAPSO比其他PSO算法具有更小的估计误差，不同优化过程得到的参数值更接近，具有较强的全局寻优能力，能够较好地用于解决化工中常见的非线性动力学参数估计 问题。
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收稿日期：2007-07-29；修回日期：2007-11-14
基金项目：科技部国际科技合作项目(2006DFA04090)
通信作者：金一粟(1972-)，女，江苏南京人，博士研究生，副教授，从事生物信息学研究；电话：0731-8876605；E-mail: jinyisu@126.com
