DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2018.06.016

具有混合时变时滞主从神经网络的指数采样同步控制

陈刚^{1, 2}，王信^{1, 2}，肖伸平^{1, 2}，杜博文^{1, 2}，王聪聪^{1, 2}，罗昌胜^{1, 2}

(1. 湖南工业大学 电气与信息工程学院，湖南 株洲，412007；

2. 电传动控制与智能装备湖南省重点实验室，湖南 株洲，412007)

摘要：对于具有混合时变时滞的主从神经网络指数采样同步控制问题，运用Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及线性矩阵不等式方法对其进行研究。通过构造新的增广Lyapunov-Krasovskii泛函，并对其导数采用一系列不等式方法进行界定，获得具有更小保守性的时滞相关指数同步判据。同时，基于最大采样间隔以及衰减率，得到可行控制器。最后，通过数值算例及仿真证明此方法的优越性以及可行性。

关键词：主从神经网络；Lyapunov-Krasovskii泛函；指数采样同步控制

中图分类号：TP273             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2018)06-1432-08

Sampled-data exponential synchronization of master-slave neural networks with time-varying mixed delays

CHEN Gang^{1, 2}, WANG Xin^{1, 2}, XIAO Shenping^{1, 2}, DU Bowen^{1, 2}, WANG Congcong^{1, 2},LUO Changsheng^{1, 2}

(1. School of Electrical and Information Engineering, Hunan University of Technology, Zhuzhou 412007, China;

2. Key Laboratory for Electric Drive Control and Intelligent of Hunan Province, Zhuzhou 412007, China)

Abstract: Sampled-data exponential synchronization problems for master-slave neural networks with time-varying mixed delays were investigated with the Lyapunov-Krasovskii functional approach and linear matrix inequality(LMI).By constructing the novel Lyapunov-Krasovskii functions and estimating the derivative of them with a set of inequality methods, exponential synchronization criteria with time-varying delays were derived, which had less conservative. Then, depending upon the maximum sampling interval and decay rate, the desired sampled-data controller was achieved. The numerical example and simulation results verify the superiority and effectiveness of the approach.

Key words: master-slave neural networks; Lyapunov-Krasovskii function; sampled-data exponential synchronization

神经网络(neural networks)已经广泛运用于各种工程领域，如模式识别、静态图像处理、联想储存以及组合优化等^[1-5]。神经网络在大规模综合电子回路的实现过程中，神经元之间的信息交互往往会产生神经元时滞现象。而此时滞往往是导致系统震荡、发散和不稳定的重要原因，因此，对时滞相关神经网络的研究具有实际与理论意义。系统中的时滞项存在许多形式，常见的有离散时滞与分布时滞。在研究时滞系统的方法中，Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及线性矩阵不等式方法(LMI)得到广泛运用。例如，在对时滞系统稳定性的研究中，利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法构建Lyapunov增广泛函，并对其导数进行界定，可以得到线性矩阵不等式形式的稳定性判据。至今已有许多稳定性判据被推导^[6-9]。同样，在对时滞神经网络的无源性、耗散性、全局稳定性、指数稳定性以及同步性等的研究中，推导出大量线性矩阵不等式形式的判据^[10-11]。基于Lyapunov稳定性定理，可从2个方面获得更低保守性判据：一个是构建更加合适的Lyapunov-Krasovskii泛函，另一个是利用更好的不等式界定方法，界定泛函中的交叉项。在构建Lyapunov-Krasovskii泛函时，大多采用增广泛函方法^[1-6]。而在研究界定交叉项时，主要采用自由权矩阵方法^[11] 、积分不等式方法^[12]以及凸优化方法^[13]等。近年来，同步控制问题^[14]被广泛研究，包括时滞反馈控制、自适应控制、模糊控制、脉冲控制以及采样控制在内的控制方法被运用于同步控制问题中。主、从神经网络同步控制同样可以利用这些控制方法，如ZHANG等^[15-17]基于线性矩阵不等式方法以及Lyapunov-Krasovskii泛函方法对混合时滞主从神经网络指数采样同步控制进行了研究，得到1个控制该神经网络同步的线性矩阵不等式判据以及可行控制器。本文作者在文献[16]的基础上，研究具有离散与分布时滞的主从神经网络指数采样同步控制问题，构建新的增广Lyapunov-Krasovskii泛函。对泛函导数进行估计，获得具有更小保守性的指数同步性判据以及可行控制器，并通过数值计算以及仿真结果证明该方法的优越性和可行性。

1  问题描述

采用如下标号：矩阵上标“T”和“-1”分别表示转置矩阵以及逆矩阵；Rⁿ和R^n×n分别代表n维向量和n×n维矩阵；矩阵P＞0代表矩阵P是正定的；diag{b₁，…，b_n}表示块对角矩阵；0和I分别表示合适维度的零矩阵以及合适维度的单位矩阵；Sym{P}代表矩阵P^T+P；标记“*”表示块对阵矩阵中的对称项。

考虑下面的混合时滞神经网络：

          (1)

其中：x(t)=[x₁(t)，x₂(t)，…，x_n(t)]^T∈Rⁿ，为t时间神经元状态向量；g(t)=[g₁(t)，g₂(t)，…，g_n(t)]^T∈Rⁿ，为神经元激励函数向量，且有g(0)=0；C=diag{a₁，…，a_n}，是1个正定对称矩阵；A=(a_ij)_n×n，B=(b_ij)_n×n，D=(d_ij)_n×n，表示连接权矩阵；V(t)=[V₁(t)，…，V_n(t)]^T，为外部输入向量；d(t)和τ(t)分别表示离散时滞与分布时滞，并且满足以下条件：

(C1) ；

(C2)

其中：d ，τ和μ都为常数。

假设1^[16]：系统(1)中的激励函数g_i(·)是连续的且满足

    (2)

其中：S₁≠S₂；F_i^-和 F_i⁺为已知实恒定值。

设定系统(1)是主系统，则系统(1)的从系统可以写成以下形式：

        (3)

其中：C，A，B和D与系统(1)中等价；u(t) ∈ Rⁿ，为合适的控制输入。

据文献[1-5]，通过定义误差信号为r(t)=y(t)-x(t)，误差系统可以写成以下形式：

            (4)

其中：f (t) = g (y(t))-g (x(t))。必须指出的是，f (t)依赖于y(t)和x(t)，这里用f (t)代替f (x(t)，y(t))。

假设控制信号由零阶保持函数发生，其保持以下时间次序：

则状态反馈控制器可以写成以下形式：

          (5)

其中：K为采样反馈控制增益矩阵；t_k 为第k个采样时间，且满足当k趋向于无穷大时，t_k 也趋向无穷大；r(t_k)表示t_k采样时刻状态向量r(t)的离散值。

          (6)

其中：h为正标量，代表最大采样间隔。

将(5)代入系统(4)，可以得到下面误差系统：

     (7)

这里，引入指数同步性的概念。

注释1：设m_k=t-t_k，m_k+1=t_k+1-t，据式(6)可以得出在系统(7)中，有0≤m_k＜h，0＜m_k+1≤h。又因为m_k和m_k+1是关于t的一次函数，所以，有

 

或者       

定义1：若误差系统(7)是指数稳定的，则主系统(1)与从系统(3)指数同步。换言之，存在2个常数     ρ＞0，α＞0，

       (8)

其中：。

引理1^[17]：对于所有对称正定矩阵X及可积函数{w(s) | s ∈ [α, β]}，满足

引理2^[18]：对于任意向量w₁和 w₂，正定对称矩阵X，任意合适矩阵S以及标量β∈(0，1)，当条件成立时，有

引理3^[19]：对于任意正定对称矩阵X，2个标量β>α>0以及可积函数w(s)，有

引理4^[17]：存在合适维度的矩阵Ω₁，Ω₂和Ω₃，其中Ω₁是对称矩阵，Ω₂是对称正定矩阵，则有

当且仅当或者时成立。

2  主要结果

定义：

；

。

定理1：在条件(C1)下，给定正常数d和τ以及常数γ和μ，若存在正定对称矩阵P∈R^n×n，P_a∈R^2n×2n，P_b∈R^n×n，Q_i∈R^3n×3n (i=1, 2)，Z₁∈R^3n×3n，Z_i∈R^n×n(i=2，3，4)，M∈R^n×n，U∈R^3n×3n，对称阵Y_i∈R^n×n(i=1，2)，X₅∈R^n×n，正定对角阵V_i∈R^n×n(i=1，2)，以及任意矩阵O∈R^2n×2n，H∈R^3n×5n，X_i∈R^n×n(i=1，2，3，4)，G∈R^n×n，L∈R^n×n，且有以下矩阵不等组成立：

(9)

          (10)

            (11)

        (12)

            (13)

                (14)

         (15)

其中：

；

；

；

；；

；；

；

；

；

；

；；

；；

；；

；；

；

；

；；

。

则主系统(1)与从系统(3)是指数同步的，其衰减率为α。另外，据系统(7)中的可行控制增益矩阵求得K=G^-1L。

证明：构建下面的增广泛函：

        (16)

其中：

；

；

；

；

；

；

；

；

；

；

；

。

对V(t)求导，可得

。

根据引理1和引理2，可知

其中：。

根据引理1，可知

这里，引入2个零项等式：

         (17)

        (18)

又根据引理1和引理2，并将式(17)和(18)中的积分项代入，根据文献[8]中的推理，可得

其中：

；

；

。

由引理3，可得

运用自由权矩阵方法，对任意适合维度的自由矩阵H，有下面的不等式成立：

其中：

。

故可得

。

根据误差系统(7)，对于任意合适的矩阵G，L以及标量γ，有

同时，根据不等式(2)，对于任意i=1，2，…，n，有

对于合适维度的正定对角矩阵V₁和V₂，可得

 (19)

根据引理4，式(14)和(15)等同于，t∈[t_k, t_k+1)。

根据文献[16]，当P＞0以及式(9)成立时，存在充分小的正标量δ和σ，有

         (20)

因此，系统(7)是指数稳定的，其衰减率为α。根据定义1，主系统(1)与从系统(3)是指数同步的。其指数同步率为α。证毕。

注释2：无法直接用Matlab计算。由计算结果以及注释1，已知是关于m_k或m_k+1的一次函数，因此，求解，等同于求

，

其结果见式(14)与(15)。

注释3：引理2中β的取值并不影响时滞d(t)的取值，因此，d(t)可以等于0或者d。

定理2：在条件(C2)下，给定正常数d 和τ以及常数γ和μ，若存在正定对称矩阵P∈R^n×n，P_c∈R^4n×4n，P_b∈R^n×n，Q_i∈R^3n×3n (i=1, 2)，Z₁∈R^3n×3n，Z_i∈R^n×n(i=2，3，4)，M∈R^n×n，U∈R^3n×3n ，对称阵Y_i∈R^n×n(i=1，2)，X₅∈R^n×n，正定对角阵V_i∈R^n×n(i=1，2)，以及任意矩阵O∈R^2n×2n，H∈R^3n×5n，X_i∈R^n×n(i=1，2，3，4)，G∈R^n×n，L∈R^n×n，且有下面不等式组成立：

，，，，

，

其中：Γ(h)，Φ，Ψ₁，Ψ₂，Ψ，Ξ，Π₁，Π₂和P_a在定理1中定义，且

；

；

。

则主系统(1)与从系统(3)是指数同步的。另外，据系统(7)中的可行控制增益矩阵求得K=G^-1L。

证明：构建以下增广泛函：

其中：V₁(t)，V_i (t)(i=3，…，12)在定理1中被定义。同理，可以证明定理2的结论。

注释4：在条件(C2)下，无法直接用Matlab计算。因为对是一次函数，所以，可同时计算=-μ和=μ时的2种条件。

当系统没有分布时滞时，神经网络(1)和(3)可以写成下列形式：

 (21)

(22)

同样地，误差系统(4)可写成

   (23)

根据定理1与定理2，并将增广泛函中的V₇(t)去掉，可以得到下面2个定理。

定理3：在条件(C1)下，给定正常数d以及常数γ和μ，若存在正定对称矩阵P∈R^n×n，P_a∈R^2n×2n，P_b∈R^n×n，Q_i∈R^3n×3n (i=1, 2)，Z₁∈R^3n×3n，Z_i∈R^n×n(i=3，4)，M∈R^n×n，U∈R^3n×3n ，对称阵Y_i∈R^n×n(i=1，2)，X₅∈R^n×n，正定对角阵V_i∈R^n×n(i=1，2)，以及任意矩阵O∈R^2n×2n，H∈R^3n×5n，X_i∈R^n×n(i=1，2，3，4)，G∈R^n×n，L∈R^n×n，且有下面不等式组成立：

，，，，；

，

其中：Γ(h)，Φ，Ψ₁，Ψ₂，Ψ，Ξ，Z₂和τ在定理1中被定义，且

。

则主系统(21)与从系统(22)是指数同步的，其衰减率为α。另外，系统(23)中的可行控制增益矩阵求得为K=G^-1L。

定理4：在条件(C2)下，给定正常数d以及常数γ，μ，如果存在正定对称矩阵P∈R^n×n，P_c∈R^4n×4n，P_b∈R^n×n，Q_i∈R^3n×3n (i=1, 2)，Z₁∈R^3n×3n，Z_i∈R^n×n(i=3，4)，M∈R^n×n，U∈R^3n×3n ，对称阵Y_i∈R^n×n(i=1，2)，X₅∈R^n×n，正定对角阵V_i∈R^n×n(i=1，2)，以及任意矩阵O∈R^2n×2n，H∈R^3n×5n，X_i∈R^n×n(i=1，2，3，4)，G∈R^n×n，L∈R^n×n，且有下列不等式组成立：

，，，，

，

其中：Γ(h)，Φ，Ψ₁，Ψ₂和Ψ在定理1中被定义，Ξ_a，Z₂和τ在定理2中被定义，且

则主系统(21)与从系统(22)是指数同步的，其衰减率为α。另外，系统(23)中的可行控制增益矩阵求得，为K=G^-1L。

3  仿真实例

例1 考虑系统主系统(1)与从系统(3)以及下列参数：

，，

假设d=1，τ=0.5，γ=0.15，μ=0.25，F₁^-= F₂^-=0和F₁⁺= F₂⁺=1。利用定理1与定理2，得到在不同采样间隔h下的最大允许α，其计算结果见表1。与文献[15]和文献[16]中结果相比，可知本文方法具有更小的保守性。

利用定理2，当h=0.1，α=0.796 7时，利用Matlab工具箱可以计算得到1个可行增益控制器：

表1  例1中不同h下的最大允许α

Table 1  Maximum allowed α for different h in Example 1

例2  考虑系统主系统(21)与从系统(22)以及下列参数：

，，

假设激励函数，以及d=1，τ=0.5，γ=0.15，μ=0.25，F₁^-= F₂^-=0和F₁⁺= F₂⁺=1，利用定理3与定理4，得到在不同采样间隔h下的最大允许α，其计算结果见表2。与文献[16]对比，可知本文方法具有更小的保守性。

利用定理4，当h=0.1，α=0.807 6，离散时滞d(t)=(e^t/ e^t+1)，初始状态为x(t)=[0.6，0.7]^T，y(t)=[0.8，0.5]^T，t∈[-1，0]时，可以得到1个可行增益控制器：

无控制输入时的状态轨迹见图1。根据上面的增益控制器，控制输入(5)以及误差系统(23)的响应曲线分别见图2和图3。从图2和图3可见：主系统(21)与从系统(22)在该控制器下是同步的。

表2  例2中不同h下的最大允许α

Table 2  Maximum allowed α for different h in Example 2

图1  例2中无控制输入误差系统(23)的状态响应

Fig. 1  State response of error system (23) without control input in Example 2

图2  例2中控制输入u(t)与时间t的关系

Fig. 2  Relationship between control input u(t) and time in Example 2

图3  例2中误差系统(23)的状态响应

Fig. 3  State responses of error system (23) in Example 2

4  结论

1) 运用神经网络建模，并将其与计算机系统相结合，能够解决很多工程领域的难题，如模式识别问题、联想储存、工程优化问题等。

2) 利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及构建新的增广泛函，得到具有更小保守性的线性矩阵不等式形式的指数同步控制判据。并且通过比较系统在 (C1)与(C2)2种情况下的最大允许时滞，当考虑到更多时滞信息的情况下，所获得的稳定性判据具有更小的保守性。数值算例及仿真结果证明了此方法的优越性与可行性。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2017-07-12；修回日期：2017-09-20

基金项目(Foundation item)：湖南省自然科学基金项目(2018JJ4075)；国家自然科学基金资助项目(61672225，61304064)(Project(2018JJ4075) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province; Projects(61672225, 61304064) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：陈刚，博士，副教授，从事时滞系统，鲁棒控制研究；E-mail：drchengang@163.com