DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.09.011
差动级行星架支承刚度及阻尼对封闭差动轮系隔振影响
彭银双，朱如鹏，鲍和云，靳广虎，岳帅，张霖霖
(南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京，210016)
摘要：为减小封闭差动轮系内部振动对箱体振动的影响，研究差动级行星架支承刚度与阻尼对系统隔振的影响。建立系统动力学模型，基于傅里叶方法求解动力学方程。在时变刚度激励、啮合齿频误差与制造安装误差激励下，综合考虑箱体支承刚度、差动级行星轮支承刚度以及封闭级行星架支承刚度的耦合影响，分析差动级行星架支承刚度与阻尼对插入损失、力传递率、振级落差和功率流传递率这4个隔振指标的影响。研究结果表明：当非共振区差动级行星架支承刚度较小时，可以获得较大的隔幅与较好能量隔离效果，但是隔力效果欠佳；只有系统在共振区时，添加差动级行星架支承阻尼才有明显的隔振效果。
关键词：封闭差动轮系；行星架支承刚度；插入损失；力传递率；振级落差；功率流传递率
中图分类号：TH132.41 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2016)09-2984-08
Effect of carrier supporting stiffness and damp on vibration isolation of encased differential planetary train
PENG Yinshuang, ZHU Rupeng, BAO Heyun, JIN Guanghu, YUE Shuai, ZHANG Linlin
(School of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,
Nanjing 210016, China)
Abstract: To reduce the delivery of vibrations inside the encased differential gear train to the gearbox casing, the impacts of planet carrier supporting stiffness and damp on the isolation effect of the system were studied. A system dynamics model was established, and the dynamic equation was solved based on the Fourier method. With the excitation of the time-varying stiffness and the gear errors, the impacts of carrier supporting stiffness and damp on insertion loss, force transmissibility, vibration level difference and power transmissibility were analyzed by the coupling effects of the casing supporting stiffness, the planetary gear supporting stiffness of the differential train and the carrier supporting stiffness of the encased train were considered. The results show that in the non-resonant region smaller carrier supporting stiffness of the differential train can get the better effect of amplitude and energy isolation, but poor force isolation effect. Only in the resonant region, can the carrier supporting damp of the differential train produce obvious isolation effect.
Key words: encased differential gear train; planet carrier supporting stiffness; insertion loss; force transmissibility; vibration level difference; power transmissibility
封闭差动轮系是行星轮系(差动级)与星型轮系(封闭级)的组合传动系统[1]，具有传动效率高、体积小、可靠性高等优点，广泛应用于舰船减速器。舰船工作时会产生各种振动和噪声，而这些振动和噪声主要来源之一是减速器。过大的振动会使舰船减速器无法正常工作，同时会降低船体的疲劳寿命，甚至会导致舰船结构的断裂、变形。在实际中，系统内部与外部都不可避免地会产生各种有害振动，振动隔离是减小有害振动的有效方法[2-6]。封闭差动轮系内部受到时变刚度激励、啮合齿频误差与制造安装误差激励等，会产生各种有害振动，为了减小有害振动传递到箱体上，需要在内部系统与箱体之间添加弹性元件。行星架支撑构件则是连接内部系统与箱体的构件，且隔振设计易于实现。在封闭差动系统中，差动级行星架是旋转构件，与输出相连，传递振动的作用较大；封闭级行星架固定，传递振动的作用较小，因此，分析差动级行星架支承刚度与阻尼对系统隔振效果的影响非常重要。朱增宝等[7]针对封闭差动系统，在均载、中心轮浮动等方面进行了研究；毛莹等[8-12]对行星齿轮系的振动性能进行了研究，但未研究该系统的内部系统与箱体之间的振动隔离。郭凤骏等[13]研究过船用箱体基座的振级落差，但也只是单纯针对基座进行有限元分析，并没有结合内部系统。沈允文等[14]研究了2K-H型行星轮系统行星架附加阻尼对系统动态性能的影响，但没有考虑行星架支承刚度的影响且只是针对单级行星轮系统进行分析。为此，本文作者采用集中质量法建模，分析差动级行星架支承刚度与阻尼与对各隔振指标的影响，从而分析隔振效果。
1 系统的动力学模型
图1所示为封闭差动轮系的传动简图。系统由差动级行星轮系(太阳轮Zs1，行星轮Zpi (N个)，齿圈Zr1，行星架H1)和封闭级星型轮系(太阳轮Zs2，星轮Zmj (M个)，齿圈Zr2)相联接组成。输入扭矩TD经过差动级太阳轮Zs1分流到行星架H1和内齿轮Zr1后，再由差动级内齿轮Zr1把分流能量由封闭级内齿轮Zr2汇流到差动级行星架H1上，传送到负载TL [7]。
图1 系统传动简图
Fig. 1 Sketch of transmission train
图2所示为采用集中质量法建立的系统动力学模型。建模时齿轮均为人字齿，按2个斜齿轮刚度并联形式计算人字齿啮合刚度，不计齿轮侧隙及摩擦力的影响；假设各星轮沿中心轮周向均匀分布，具有相同的物理和几何参数；啮合副、回转副及支承处的弹性变形用等效弹簧刚度表示。
系统共有24+3(N+M)个自由度，其广义坐标{X}为
(1)
图2 系统的动力学模型
Fig. 2 Dynamic model of train
式中：x为角位移的等效线位移；H为水平方向位移；V为竖直方向位移。下标含义分别是：D代表输入轴；f3代表差动级联轴器；s1代表差动级太阳轮Zs1；pi代表差动级行星轮Zpi (i=1, 2, …, N)；r1代表差动级内齿圈Zr1；f4代表封闭级联轴器外圈；g4代表封闭级联轴器内圈；s2代表封闭级太阳轮Zs2；mj代表封闭级行星轮Zmj (j=1, 2, …, M)；r2代表封闭级齿圈Zr2；H1代表差动级旋转行星架；H2封闭级固定行星架；L代表负载；b代表箱体。
系统的动力学方程形式[15]为
(2)
式中：[M]，[C]和[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；{F}为系统受到的激励向量。
2 误差与时变啮合刚度
用啮合齿频误差表示齿形制造传递误差，用偏心误差表示制造和安装误差，将啮合齿频误差与偏心误差投影到啮合线上，得到差动级行星传动中各齿轮副啮合线方向的误差激励为
(3)
封闭级星型传动中各齿轮副啮合线方向的误差激励为
(4)
式中：
，
，
和
为啮合齿频误差；
为啮合齿频误差的初相位；
和
分别为行星轮系和星型轮系的啮合齿频；Es1，Epi，Er1，Es2，Emj和Er2为各齿轮的偏心误差；
为啮合角；
为偏心误差初相位；
为等效偏心误差频率。
时变啮合刚度K(t)采用参考文献[16-17]中推导的公式：
(5)
其中：
式中：
，
为啮合周期；k0为单位长度接触线上的斜齿轮平均啮合刚度；
和
分别为啮合副端面重合度和纵向重合度；βb为螺旋角。
3 隔振效果评估
根据图2所建立的系统动力学模型，建立
个自由度的系统动力学微分方程，采用傅里叶级数法求解系统的动力学方程，将刚度用
表示(
为平均刚度矩阵；
为刚度的波动部分)，位移用
表示(
为静位移；
为位移的波动部分)。将[K]和[X]代入式(2)，忽略其中的
与的二阶小量，除了位移波动量，将其余波动量移至方程右边作为激励，得到
(6)
式中：
包含系统中的刚度激励、误差激励、重力激励以及负载激励。将激励中的刚度激励展开为啮合齿频为基频的傅里叶级数，封闭差动2级分别取前5阶，加上差动级太阳轮、行星轮、内齿圈相对于差动级行星架的转动角频率、行星架角频率及封闭级太阳轮、行星轮、内齿圈的转动角频率和零频率，共18阶激励频率。分别求得每阶频率响应，叠加之后得到系统的时域响应。
所研究的封闭差动轮系应用于船舶减速器中，输入功率为4 000 kW，输入转速为2 300 r/min，其他参数见表1。
图3所示为系统隔振示意图，采用插入损失、振级落差、力传递率、功率流传递率4个隔振指标[18-19]进行隔振评估。根据定义[18]，插入损失大于0时采用隔振比没有隔振好，且值越大隔振越好；振级落差大于1时隔振有效，且值越大越好；而力传递率与功率流传递率小于1时隔振有效，且值越小越好。求得系统各构件的时域响应，根据图3求得对应构件的力、位移、功率等参数，进而进一步求隔振指标。
表1 封闭差动轮系基本参数
Table 1 Basic parameters of encased differential train
3.1 箱体支承刚度Kb耦合的影响
在实际中，箱体放在弹性的基座上。基座的弹性即箱体支承刚度K b直接影响箱体的振动，故箱体支承刚度K b会对差动级行星架的隔振对产生一定的耦合作用。图4所示为在不同的箱体支承刚度K b下，差动级行星架支承刚度K H1对插入损失、振级落差、力传递率、功率流传递率的影响。
图3 系统隔振示意图
Fig. 3 Schematic diagram of vibration isolation system
图4 K b耦合下各隔振指标与差动级行星架支承刚度的关系
Fig. 4 Relationship between isolation index and planet carrier supporting stiffness of differential train under K b coupling effects
在图4中，峰值是因为取该刚度时系统处于共振点附近；谷值是因为在复杂的封闭差动行星轮系统中，有较多的质量、弹簧、阻尼，某些局部的有阻尼质量弹簧系统构成了动力吸振器，当激励力频率接近某一阶固有频率时，可能引发对振动的抑制。由图4可以看出：在非共振区，随着差动级行星架支承刚度K H1的增大，插入损失、振级落差、力传递率减小，功率流传递率增大。即非共振区采用隔振比没有采用隔振好，且较小的差动级行星架支承刚度K H1可以获得较大的隔幅与较好的能量隔离效果，但是隔力效果欠佳。非共振区即隔振有效时，随着箱体支承刚度K b增大，振级落差与力传递率增大，插入损失与功率流传递率减小。即较大的箱体支承刚度K b可以获得较大的隔幅与较好的能量隔离效果，但是隔力效果欠佳。也就是说，差动级行星架支承刚度K H1与箱体支承刚度K b对4种隔振指标的影响是复杂且不一致的。因此，选择刚度时应权衡各个指标，取较优值。
3.2 差动级行星轮支承刚度K p耦合的影响
行星架支撑构件连接着箱体与内部系统，差动级行星架直接支撑着差动级行星轮，因此，差动级行星轮支承刚度K p会对差动级行星架的隔振对产生一定的耦合作用。图5所示为在不同的差动级行星轮支承刚度K p下，差动级行星架支承刚度K H1对插入损失、振级落差、力传递率、功率流传递率的影响。
图5各分图中的曲线形状与图4的分图形状接近，即隔振指标随行星架支承刚度的影响不是单调的，而是有峰值与谷值，即有共振与吸振。行星轮支承刚度对4个隔振指标的影响明显与箱体支承刚度的影响不同。由图5可以看出：差动级行星轮支承刚度Kp对差动级行星架与箱体的共振点位置的影响非常大。当Kp较小时，系统在行星架支承刚度KH1的较小值处共振；Kp较大时，系统在行星架支承刚度KH1的较大值处共振。在非共振区，随着差动级行星轮支承刚度Kp增大，振级落差与力传递率增大而功率流传递率减小。即较大的行星轮支承刚度Kp可以获得较大的隔幅与较好的能量隔离效果，但是隔力效果欠佳。
图5 K p耦合下各隔振指标与差动级行星架支承刚度的关系
Fig. 5 Relationship between isolation index and planet carrier supporting stiffness of differential train under K p coupling effects
差动级行星轮支承刚度Kp对4种隔振指标的耦合影响也是复杂且不一致的，因此，刚度的选择应权衡各个指标。
3.3 封闭级行星架支承刚度KH2耦合的影响
封闭级行星架与差动级行星架都是连接箱体与内部系统的构件，封闭级行星架支承刚度KH2可能会对差动级行星架的隔振效果产生一定的影响。图6所示为在不同的封闭级行星架支承刚度KH2下，差动级行星架支承刚度KH1对插入损失、振级落差、力传递率、功率流传递率的影响。
图6各分图中的曲线形状与图4的各分图形状接近，即隔振指标随行星架支承刚度的影响不是单调的，而是有峰值与谷值，即有共振与吸振。封闭级行星架支承刚度对4个隔振指标的影响明显与箱体支承刚度以及差动级行星轮支承刚度的影响不同。由图6可以看出：封闭级行星架支承刚度对差动级行星架支承刚度在隔振效果方面的影响主要体现在对各隔振指标幅值的影响；在非共振区，随着封闭级行星架KH2的增大，插入损失与振级落差减小，力隔振率与功率流传递率这4个指标都减小，即较小的KH2可以同时获得较大的隔幅、较好的隔力与能量隔离效果。由于封闭级行星架支承刚度的影响，共振区与吸振区的幅值趋于接近。
与前面不同，封闭级行星架KH2对4种隔振指标的耦合影响也是复杂却影响规律一致，即较小的KH2可以同时获得较大的隔幅、较好的隔力与能量隔离 效果。
3.4 差动级行星架支承阻尼的影响
由于差动级行星轮支承刚度Kp对系统共振点影响较大，因此，调节差动级行星轮支承刚度Kp，使系统分别处于共振与非共振状态。在这2种状态下，差动级行星架支承处添加阻尼前后的隔振效果如图7(a)所示，不同支承阻尼值对振级落差的影响如图7(b)所示。
图6 KH2耦合下各隔振指标与差动级行星架支承刚度的关系
Fig. 6 Relationship between isolation index and planet carrier supporting stiffness of differential train under KH2 coupling effects
图7 差动级行星架支承阻尼对隔振指标的影响
Fig. 7 Relationship between isolation index and planet carrier supporting damp of differential train
由图7可以看出：当系统不发生共振时，行星架支承处不管添加何种阻尼，与没有阻尼相比，隔振后基本没有变化。
当系统发生共振时，增大行星架支承阻尼，振级落差与插入损失均变大，即添加行星架支承阻尼比没有添加阻尼隔振时效果好，且阻尼越大，隔振效果明显。
4 结论
1) 在非共振区，采用隔振比没有隔振好，且较小的差动级行星架支承刚度KH1可以获得较大的隔幅与较好的能量隔离效果，但是隔力效果欠佳。
2) 非共振区即隔振有效时，较大的箱体支承刚度Kb可以获得较大的隔幅与较好的能量隔离效果，但是隔力效果欠佳。
3) 差动级行星轮支承刚度Kp对共振点的影响较大。当Kp较小时，系统在行星架支承刚度KH1的较小值处共振；当Kp较大时，使系统在行星架支承刚度KH1的较大值处共振。非共振区时，较小的行星轮支承刚度可以获得较大的隔幅与较好的能量隔离效果，但隔力效果欠佳。
4) 非共振区较小封闭级行星架支承刚度KH2可以同时获得较大的隔幅、较好的隔能量效果和隔力效果。
5) 非共振区差动级行星架添加支承处阻尼对隔振基本没有意义。共振区添加行星架支承阻尼比没有添加阻尼隔振时效果好，阻尼在(1~100)×104 N·s/m区间隔振效果明显。
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(编辑 刘锦伟)
收稿日期：2015-09-21；修回日期：2015-11-12
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51375226) (Project(51375226) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：朱如鹏，教授，博士生导师，从事机械传动、结构强度、机械CAD及自动化研究；E-mail: rpzhu@nuaa.edu.cn
