DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.08.016
螺栓连接双模量材料层合梁的弯曲变形分析
吴晓
(湖南文理学院 机械工程学院，湖南 常德，415000)
摘要：按静不定结构研究螺栓连接双模量材料层合梁的弯曲变形，推导出螺栓连接双模量层合梁的弯曲应力、螺栓剪力及弯曲挠度的计算公式。研究结果表明：螺栓或销钉连接构件作为静定问题处理时，会忽略螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时产生的轴向压力；螺栓或销钉连接构件作为静不定问题处理时，则要考虑被螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时产生的轴向压力；所提出的计算公式为采用螺栓或铆钉链接2层或多层层合板结构的设计提供依据。
关键词：螺栓；双模量；层合梁；弯曲；应力；剪力；挠度
中图分类号：O341 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)08-2871-06
Analysis of bending deformations of bolted bimodulus laminated beams
WU Xiao
(College of Mechanical Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)
Abstract: By taking bolted or riveted components as statically determinate structures, bending deformations of bolted bimodulous laminated beams were studied, and calculation formulas of bending stress as well as bolt shear force and bending deflection of bolted bimodulus laminated beams were derived. The results show that if bolted or riveted components are taken as statically determinate structures, axial pressures caused by bending deformation of bolted or riveted laminated beam are ignored. If bolted or riveted components are taken as statically indeterminate structures, axial pressures caused by bending deformation of bolted or riveted laminated beam should be considered. The calculation formulas of bending stress, bolt shear force and bending deflection of bolted bimodulous laminated beams provide theoretical reference for the design of laminated plates with two or more layers connected by bolts or rivets.
Key words: bolt; bimodulus; laminated beam; bending; stress; shear force; deflection
土木、机械、航天航空等工程中将很多承载构件制成螺栓或销钉连接构件的形式，如土木工程中将钢结构螺栓连接梁构件作为梁柱结构、钢-混凝土梁中工字钢与混凝土梁的连接螺栓或钢钉、车辆工程中柔性悬吊的叠板弹簧构件等。文献[1]指出用螺栓和铆钉连接的承力构件本质上是静不定结构，但可将静不定结构转化为静定结构。因为静定结构仅靠静力方程即可完成结构变形计算，而静不定结构需要补充变形条件才能完成结构变形计算，所以，将螺栓和铆钉连接的承力构件按静不定结构进行计算会导致求解困难。螺栓或销钉连接构件作为静定问题来处理时，将螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时产生的轴向压力忽略。螺栓或销钉连接构件作为静不定问题处理时，则要考虑被螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时产生的轴向压力。费奥多谢夫[2]将螺栓或销钉连接构件作为静定问题来处理，研究螺栓或销钉连接构件的弯曲应力及螺栓或销钉剪力，这样处理导致螺栓或销钉连接构件的弯曲应力及螺栓或销钉剪力计算存在很大的计算误差。在工程实际中，增强复合材料、金属合金、铸铁、陶瓷等许多材料都具有拉压弹性模量不同的性质。在梁、弹性平面等问题的结构计算中，研究者开始考虑材料的拉压弹性模量不同特性。李战莉等[3]研究了双模量泡沫材料等效弹性模量的细观力学估算方法。在梁、弹性平面等问题的结构中，Medri等[4-7]考虑材料的双模量特性，蔡来生等[8]研究了拉压模量不同弹性物质的本构，吴晓等[9]给出了拉压弹性模量不同厚壁球壳的弹性解析解，高潮等[10]研究了双模量板的弯曲变形，罗战友等[11-13]研究了不同模量桁架问题，吴晓等[14]研究了双模量梁在外载荷作用下的弹性解。在航天航空、机械等实际工程中，很多承力构件都是复合材料、铸铁、金属合金等螺栓或铆钉连接的双模量材料层合梁结构。基于上述原因，本文作者按静不定结构研究螺栓连接双模量材料层合梁弯曲变形，推导出螺栓连接双模量材料层合梁的弯曲应力、螺栓剪力及挠度的计算公式。
1 层合梁弯曲应力及剪力
采用单模量理论研究螺栓或销钉连接的双模量材料构件弯曲变形，螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时其中性轴位置在梁截面的1/2处。事实上，由于双模量材料的拉压弹性模量不同，螺栓或销钉连接的双模量材料构件弯曲变形，螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时其中性轴位置并不在梁截面的1/2处。将螺栓或销钉连接构件作为静不定问题来处理时，各个层梁弯曲时有各自的中性轴；将螺栓或销钉连接构件作为静定问题处理时，将螺栓连接构件当作一整体梁，螺栓连接构件弯曲时仅有1个中性轴。所以，研究螺栓或销钉连接的双模量材料构件弯曲变形，应该采用双模量理论。
由文献[6]可知双模量材料梁拉伸区高度、压缩区高度及弯矩与曲率半径的关系分别为
(1)
(2)
式中：
，为双模量材料梁的弯曲刚度；h1为拉伸区高度；h2为压缩区高度；h为梁高；ρ为曲率半径；M(x)为梁弯曲时截面弯矩；E1和E2分别为拉伸弹性模量、压缩弹性模量。所以，双模量材料梁在弯矩作用下弯曲时的应变表达式为
(3)
式中：y为两界面任意点到中性轴的距离。
以图1所示集中荷载作用下螺栓连接双模量材料层合梁为例分析其弯曲应力。假设螺栓连接双模量材料层合梁每层梁材料均相同，每层梁高均为h，每层梁宽均为b。假设在图1所示螺栓连接双模量材料层合梁任意截面处将梁载为2段；N1，N2，N3和N4分别为各层梁弯曲时截面所受轴力；M1，M2，M3和M4分别为各层梁弯曲时的截面弯矩，忽略双模量材料层合梁的层梁间摩擦。
图1 螺栓连接双模量材料层合梁
Fig. 1 Bolted bimodulous laminated beam
由材料力学理论可知，图1中螺栓连接双模量材料层合梁截面平衡条件为
(4)
(5)
由于图1中螺栓连接双模量材料层合梁各层梁接触面的纵向变形相等，可得：
(6)
(7)
(8)
式中：Ci(i=1，2，3，4)为螺栓连接双模量材料层合梁的各层梁的拉压刚度，即Ci等于EiA，其中i=1时代表各层梁的拉伸状态，i=2时代表各层梁的压缩状态；A=bh。
因螺栓连接构件弯曲时各层梁曲率都相等，所以有
(9)
由式(5)和式(9)可得
(10)
将式(4)和(10)代入式(6)~(8)可求得
(11)
式中：
；
；
；
。
由以上计算可知：在一般情况下，
，
，故螺栓连接双模量材料层合梁的第1层梁、第2层梁受的是拉力，其拉伸刚度C1=C2=E1A，第3层梁、第4层梁受的是压力，其压缩刚度C3=C4=E2A。故图1所示螺栓连接双模量材料层合梁各层梁任意截面的最大和最小弯曲正应力分别为
，
，
，
(12)
螺栓连接双模量材料层合梁第2层梁与第3层梁之间螺栓的剪力为Q23=N1+N2，所以，可得确定连接螺栓的直径表达式为
(13)
式中：[τ]为螺栓材料的许用应力。
2 层合梁弯曲挠度
以图1所示螺栓连接双模量材料层合梁为例分析其弯曲挠度。假设螺栓连接双模量材料层合梁弯曲时各层梁之间紧密贴合，由材料力学理论可知，图1所示螺栓连接双模量材料层合梁的弯曲微分方程分别为
(14)
(15)
(16)
(17)
式中：q(x)为作用在螺栓连接双模量材料层合梁第1层梁的最上边的外载荷；qi-1(x)为螺栓连接双模量材料层合梁第(i-1)层与第i层之间的分布载荷；i=2，3，4。
当螺栓连接双模量材料层合梁弯曲时各层梁之间紧密贴合，可知各层梁的弯曲挠度是相等的，即
(18)
将式(14)~(17)相加可得
(19)
将式(11)代入式(19)可得
(20)
式中：D1=4D为螺栓连接双模量材料层合梁各层梁对自身中性轴的弯曲刚度之和。由式(19)可得图1所示螺栓连接双模量材料层合梁为
(21)
式中：c0，c1，c2和c3为积分常数，可依据螺栓连接双模量材料层合梁边界条件确定。
3 讨论分析
对于图1所示螺栓连接构件为各向同性材料层合梁即E1=E2，按静不定结构研究螺栓连接构件的弯曲变形，由式(12)可以计算出固定端处，螺栓连接构件第1~4层梁的最大弯曲拉应力分别为
，
，
，
。对于图1所示螺栓连接构件，按文献[2]将螺栓连接构件作为静定结构来处理研究其弯曲应力，可知最大弯曲拉应力为
，最大弯曲压应力为
。对比以上应力计算结果可知：按静不定结构计算螺栓连接构件最大弯曲拉应力或最大弯曲压应力，与按静定结构计算螺栓连接构件最大弯曲拉应力或最大弯曲压应力的相对误差均为
。导致误差的原因是：将螺栓或销钉连接构件作为静定问题处理时，忽略了螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时产生的轴向压力。
对于图1所示螺栓连接构件为各向同性材料层合梁，按静不定结构研究螺栓连接构件的弯曲应力时，螺栓连接构件各层梁截面不但有弯矩作用，而且有轴向力作用。文献[2]按静定结构计算螺栓连接构件弯曲应力，将螺栓连接构件当作一整体梁，从而忽视了各层梁截面上的轴向力作用效果。
关于图1所示螺栓连接构件为各向同性材料层合梁时螺栓剪力的计算，按静不定结构处理可知螺栓连接构件第2层与第3层之间螺栓的剪力最大为
；文献[2]按静定结构处理，即使在螺栓横截面上的剪力与连接构件是整体时的剪应力的纵向合力相等，给出了计算公式
(其中m为螺栓数目)，当连接构件是整体时，中性轴处最大剪应力为
，截面惯性矩为
，中性轴处纵向截面面积A=bl。在本文中，取m=1可知螺栓连接构件第2层与第3层之间螺栓的剪力最大为
。可见：按静不定结构处理时，第2层与第3层之间螺栓的剪力仅为按静定结构处理时的50%。
对于图1所示螺栓连接构件为各向同性材料层合梁即E1=E2，按静不定结构研究螺栓连接层合梁的弯曲变形挠度为
，按静定结构研究螺栓连接层合梁的弯曲变形挠度为
。
为了验证本文计算方法正确性，用ANSYS软件计算图1所示左端固支的悬臂螺栓连接层合梁。悬臂梁的长度l=1 200 mm，宽度b=200 mm，模型由4层梁叠合组成，忽略层梁间摩擦力的影响，每层梁厚为50 mm，螺栓直径为50 mm，螺栓距离固定端l=1 000 mm，在螺栓处作用集中荷载1 kN，材料模型为mat1，弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.3。单元最大边长为5 mm。单元为8节点SOLID185单元。有限元求解的结果见表1和表2。从表1和表2可以看出：有限元求解的结果与本文方法所得结果非常接近，相对误差为2%左右。
表1 E=206 GPa时的螺栓剪力计算结果
Table 1 Calculation results of bolt shear force when E=206 GPa kN
表2 最大正应力计算结果
Table 2 Calculation results of the maximum normal stress MPa
假设图1所示螺栓连接双模量材料层合梁的拉伸弹性模量及压缩弹性模量分别为E1=93.2 GPa，E2=124.36 GPa。按静不定结构研究螺栓连接双模量材料层合梁的弯曲变形，利用式(11)可求得螺栓连接双模量材料层合梁第1层与第2层之间螺栓的剪力为
，螺栓连接构件第3层与第4层之间螺栓的剪力为
；螺栓连接双模量材料层合梁第2层与第3层之间螺栓的剪力为
。文献[2]按静定螺栓连接各向同性材料层合梁来处理第2层与第3层之间螺栓的最大剪力为
。按静定结构研究螺栓连接双模量材料层合梁，即使在螺栓横截面上的剪力与连接构件是整体时的剪应力的纵向合力相等即，其中连接构件是整体时中性轴处最大剪应力
，截面惯性矩
，中性轴处纵向截面面积A=bl。在本中取m=1，可知螺栓连接构件第2层与第3层之间螺栓的剪力最大为
。可以看出：对于本文所取拉伸弹性模量及压缩弹性模量分别为E1=93.2 GPa，E2=124.36 GPa的螺栓连接双模量材料层合梁，按静不定结构处理时，第2层与第3层之间螺栓的剪力远小于按静定结构处理时第2层与第3层之间螺栓的剪力，但大于螺栓连接构件为各向同性材料层合梁按静定结构处理时第2层与第3层之间螺栓的剪力。
由式(12)可以计算出固定端处螺栓连接双模量材料层合梁第1~4层梁的最大弯曲拉应力分别为
，
，
，
。对于图1所示螺栓连接双模量材料层合梁，若按文献[2]将螺栓连接双模量材料层合梁按静定螺栓连接各向同性材料层合梁处理研究其弯曲应力，按静不定结构计算螺栓连接双模量材料层合梁最大弯曲拉应力或最大弯曲压应力，则与按静定结构螺栓连接构件为各向同性材料层合梁时的最大弯曲拉应力或最大弯曲压应力的相对误差分别为
，
。所以，按静不定结构计算螺栓连接双模量材料层合梁最大弯曲拉应力或最大弯曲压应力，与按静定结构螺栓连接构件为各向同性材料层合梁时的最大弯曲拉应力或最大弯曲压应力的相对误差远远超过了工程实际所允许的相对误差5.00%。
对于图1所示左端固支的悬臂螺栓连接双模量材料层合梁，采用ANSYS计算此模型。悬臂梁的长度l=1 200 mm，宽度b=200 mm。模型由4层梁叠合组成，忽略层梁间摩擦力的影响，每层梁厚50 mm，每层梁弯曲时受拉区高度h1=0.536h，受压区高度h2=0.464h，螺栓直径为50 mm，螺栓距离固定端1 000 mm，在螺栓处作用集中荷载1 kN。对于材料模型mat1，E1= 93.2 GPa，μ1=0.292 6。对于材料模型为mat2，E2= 124.36 GPa，μ1=0.22。单元最大边长为5 mm。单元为8节点SOLID185单元。有限元求解的结果可见表3和表4。从表3和表4可以看出：有限元求解的结果与本文方法所得结果非常接近，相对误差很小。
表3 E1=93.2 GPa和E2=124.36 GPa时的螺栓剪力计算结果
Table 3 Calculation results of bolt shear force when E1=93.2 GPa and E2=124.36 GPa kN
表4 双模量各层梁最大正应力计算结果
Table 4 Bimodulus calculation results of the maximum normal stress of each layer beam MPa
从以上分析可以看出：将螺栓或销钉连接构件作为静定问题处理时，忽略螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时产生的轴向压力。将螺栓或销钉连接构件作为静不定问题来处理时，要考虑螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时产生的轴向压力。因为图1所示螺栓连接构件为各向同性材料层合梁，按静不定结构来研究螺栓连接构件的弯曲应力时，螺栓连接构件各层梁截面不但有弯矩作用而且有轴向力作用。文献[2]按静定结构计算螺栓连接构件弯曲应力时，将螺栓连接构件当作一整体梁，从而忽视了各层梁截面上的轴向力作用效果。螺栓连接双模量材料层合梁的弯曲变形本质上是静不定问题，静不定问题的弯曲变形计算很复杂，将螺栓连接双模量材料层合梁作为静定问题来处理是在结构安全的前提下使问题简单化，是为了方便工程设计而已。但是，简单地将螺栓连接双模量材料层合梁的静不定问题当成静定问题处理会带来很大的计算误差。
4 结论
1) 将螺栓或销钉连接构件作为静定问题来处理时，忽略了螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时产生的轴向压力；将螺栓或销钉连接构件作为静不定问题来处理时，则要考虑螺栓或销钉连接层合梁的层梁弯曲变形时产生的轴向压力。
2) 研究螺栓或销钉连接的双模量材料构件弯曲变形，将螺栓或销钉连接构件作为静不定问题来处理，可为采用螺栓或铆钉链接2层或多层层合板结构的修复及设计提供理论依据。
3) 将螺栓连接双模量材料层合梁作为静定问题来处理，是在结构安全的前提下使问题简单化，是为了方便工程设计而已。但是，有时简单地将螺栓连接双模量材料层合梁的静不定问题处理会为静定问题会带来很大的计算误差。
参考文献：
[1] 巴德纳斯 R G. 高等材料力学及实用应力分析[M]. 西安交通大学材料力学教研室翻译组, 译. 北京: 机械工业出版社, 1983: 294-295.
BudNath R G. Advanced mechanics of materials and the applied stress analysis[M]. Translation Group of Staff Room of Mechanics of Materials of Xi'an Jiaotong University, trans. Beijing: China Machine Press, 1983: 294-295.
[2] 费奥多谢夫. 材料力学[M]. 蒋维城, 赵九江, 俞茂宏, 等译. 北京: 高等教育出版社, 1985: 143-145.
Sheff F. Mechanics of materials[M]. QIANG Weicheng, ZHAO Jiujiang, YU Mongheng, et al, trans. Beijing: Higher Education Press, 1985: 143-145.
[3] 李战莉, 黄再兴. 双模量泡沫材料等效弹性模量的细观力学估算方法[J]. 南京航空航天大学学报, 2006, 38(4): 464-468.
LI Zhanli, HUANG Zaixing. Meso-mechanical method for estimating equivalent elastic modulus of foam-solid with double-modulus[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2006, 38(4): 464-468.
[4] Medri G A. Nonlinear elastic model for isotropic materials with different behavior in tension and compression[J]. Transactions of the ASME, 1982, 26(104): 26-28.
[5] Bert C W, Reddy J N, Chao W C, et al. Vibration of thick rectangular plates of bimodulus composite material[J]. Journal of Applied Mechanics, 1981, 48(2): 371-376.
[6] Srinivasan R S, Ramachandra L S. Axisymmetric nonlinear dynamic response of bimodulus annular plates[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1990, 112(2): 202-205.
[7] 阿巴尔楚米扬. 不同模量弹性理论[M]. 邬瑞锋, 张允真, 译. 北京: 中国铁道出版社, 1986: 11-22.
Ambartsumyan S A. Elasticity theory of different modulus[M]. WU Ruifeng, ZHANG Yunzhen, trans. Beijing: China Railway Press, 1986: 11-22.
[8] 蔡来生, 俞焕然. 拉压模量不同弹性物质的本构[J]. 西安科技大学学报, 2009, 29(1): 17-21.
CAI Laisheng, YU Huanran. Constitutive relation of elastic materials with different elastic modulus in tension and compression[J]. Journal of Xi’an University of Science and Technology, 2009, 29(1): 17-21.
[9] 吴晓, 杨立军. 拉压弹性模量不同厚壁球壳的弹性解析解[J]. 湖南科技大学学报(自然科学版), 2012, 27(4): 35-38.
WU Xiao, YANG Lijun. Elastic solutions for thick wall spherical shell of bimodulous materials under uniform pressure[J]. Journal of Hunan University of Science & Technology (Natural Science Edition), 2012, 27(4): 35-38.
[10] 高潮, 刘相斌, 吕显强. 用拉压不同模量理论分析弯曲板[J]. 计算力学学报, 1998, 15(4): 448-455.
GAO Chao, LIU Xiangbin, L
Xianqiang. Analysis for the plate with the theory of different extension compression elastic modulis[J]. Chinese Journal of Computaional Mechanics, 1998, 15(4): 448-455.
[11] 罗战友, 夏建中, 龚晓南. 不同拉压模量及软化特性材料的柱形孔扩张问题的统一解[J]. 工程力学, 2008, 25(9): 79-84.
LUO Zhanyou, XIA Jianzhong, GONG Xiaonan. Unified solution for expansion of cylindrical cavity in strain-softening materials with different elastic moduli in tension and compression[J]. Engineering Mechanics, 2008, 25(9): 79-84.
[12] 张晓月. 基于敏度分析的不同模量桁架正反问题求解[D]. 大连: 大连理工大学土木工程学院, 2008: 1-40.
ZHANG Xiaoyue. Sensitivity analysis based numerical solutions of normal and inverse problems of elastic bi-modular truss structure[D]. Dalian: Dalian University of Technology. College of Civil and Architecture Engineering, 2008: 1-40.
[13] 杨海天, 张晓月, 何宜谦. 基于敏度分析的拉压不同模量桁架问题的数值分析[J]. 计算力学学报, 2011, 28(2): 237-242.
YANG Haitian, ZHANG Xiaoyue, HE Yiqian. Sensitivity analysis based numerical solution for truss structures with bi-modulus[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2011, 28(2): 237-242.
[14] 吴晓, 杨立军, 黄翀, 等. 双模量悬臂梁在线性分布荷载作用下的Kantorovich解[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2014, 45(1): 306-311.
WU Xiao, YANG Lijun, HUANG Chong, et al. Kantorovich solution for bimodulous cantilever under linear distributed loads[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2014, 45(1): 306-311.
(编辑 陈灿华)
收稿日期：2014-09-10；修回日期：2014-11-26
基金项目(Foundation item)：湖南省“十二五”重点建设学科资助项目(湘教发2011[76])(Project (Hunan Teach 2011[76]) supported by “Twelfth Five Year Plan” Key Construction Disciplines Fund of Hunan Province)
通信作者：吴晓，教授，从事工程力学研究；E-mail：wx2005220@163.com
