DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.10.012

具有输入饱和的电液伺服系统反步位置跟踪控制

石胜利^{1, 2}，李建雄¹，方一鸣¹

(1. 燕山大学 工业计算机控制工程河北省重点实验室，河北 秦皇岛，066004；

2. 燕山大学 理学院，河北 秦皇岛，066004)

摘要：针对具有输入饱和的电液伺服系统，设计一种基于干扰观测器的反步位置跟踪控制器。利用干扰观测器对系统中由外部扰动、参数不确定等引起的未知复合干扰进行估计，同时利用跟踪微分器估计虚拟控制量的微分信号，有效降低控制器复杂性。基于Lyapunov稳定性理论证明在所设计控制器的作用下，闭环系统所有信号一致最终有界。最后对某650 mm轧机电液伺服系统进行仿真，验证所提方法具有较好的跟踪性能。

关键词 电液伺服系统；反步控制；输入饱和；干扰观测器

中图分类号：TP273             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)10-3369-06

Backstepping position tracking control for electro-hydraulic servo system with input saturation

SHI Shengli^{1, 2}, LI Jianxiong¹, FANG Yiming¹

(1. Key Laboratory of Industrial Computer Control Engineering of Hebei Province,

Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China;

2. College of Science, Yanshan University Qinhuangdao 066004, China)

Abstract: A backstepping position tracking controller based on disturbance observer was proposed for electro-hydraulic servo system in the presence of parameter uncertainties, external disturbances and input saturation. Disturbance observer and tracking differentiators were used to estimate the compound disturbances and the derivative signal of the virtual control. All the signals in the closed-loop system were uniformly ultimately bounded under the proposed backstepping control scheme. Finally, simulations were presented on the electro-hydraulic servo system of 650 mm rolling mill, and the simulation results show good tracking performance of the proposed control scheme.

Key words: electro-hydraulic servo system; backstepping control; input saturation; disturbance observer

电液伺服系统因具有控制精度高、承载能力强、响应速度快等特点，被广泛应用于国防、机器人、轧机等领域。但系统本身具有的强非线性特性和不确定性，不仅严重影响系统的动态品质，而且增加了控制器设计的难度。近年来，许多非线性控制方法如鲁棒H-infinity控制^[1]、输出反馈控制^[2]、滑模控制^[3]等被应用到电液伺服系统中，并取得了一系列成果^[1-9]。反步法由于能有效地处理非线性系统中的非匹配不确定项，已被广泛应用于电液伺服系统^[4-8]。其中AMIT等^[4-5]利用间接自适应方法，GUAN等^[6]利用直接自适应方法处理电液伺服系统中的参数不确定问题。吴忠强等^[8]将反步法与滑模控制相结合，设计了自适应反步滑模控制器。然而，传统的反步控制在设计过程中需要对虚拟控制量进行反复解析求导，从而导致该方法存在计算复杂性即“计算膨胀”问题，使得控制律会变得很复杂，降低了反步法的工程实用性。另外，由于物理条件的限制等使得伺服阀的输入信号是有界的，即电液伺服系统的控制输入存在饱和非线性^[9-11]，输入饱和的存在通常会导致系统性能下降甚至不稳定。SHI等^[12]利用模糊系统估计系统中的不确定性，并结合H-infinity控制方法，研究了具有输入饱和的电液伺服系统的位置跟踪控制问题。但模糊系统存在在线更新需要大量学习时间等缺点，影响了其在工程实际中的应用。基于以上分析，本文作者针对具有参数不确定、外部扰动和输入饱和非线性的电液伺服系统，提出一种基于干扰观测器^[13-14]的反步位置跟踪控制策略，以保证电液伺服系统稳定的同时，具有良好的跟踪性能。该策略利用干扰观测器估计和补偿系统中由参数不确定、外部扰动和输入饱和产生的复合干扰。并基于干扰观测器的输出，利用反步法设计位置跟踪控制器。在反步法的设计过程中，通过利用跟踪微分器获得虚拟控制量的微分信号，避免了对虚拟控制量反复解析求导计算带来的“计算膨胀”问题，简化了控制器的设计。利用Lyapunov理论分析了闭环系统的稳定性。最后将所提出的算法应用到某650 mm轧机电液伺服位置系统进行仿真，验证所提方法的有效性。

1  电液伺服系统的数学模型及问题描述

本文研究的电液伺服系统的结构简图如图1所示。电液伺服系统的数学模型主要由液压缸的力平衡方程和流量方程组成。

图1  电液伺服系统等效结构原理图

Fig. 1  Principle diagram of equivalent structure of electro-hydraulic servo system

系统力平衡方程为^[1]

      (1)

式中：p₁和p₂分别为液压缸2个腔的压力；A₁和A₂分别为两腔的活塞作用面积；x_p为负载位移；m为负载质量；B_p为活塞的黏滞摩擦因数；k_s为负载弹性刚度系数；F_L为作用在活塞上的外负载力、摩擦力以及一些难以建模的阻力等。忽略外泄漏的影响，系统的流量方程为^[6]

      (2)

式中：β_e为体积弹性模量；C_t为内泄漏系数；；；V₁₀和V₂₀分别为液压缸两腔的初始容积；Q₁为流入液压缸无杆腔的流量；Q₂为流出有杆腔的流量。流量Q₁和Q₂为^{[1, 6]}：

，i=1，2           (3)

           (4)

           (5)

式中：；C_d为阀口流量系数；w为伺服阀开口梯度；ρ为液压油密度；p_s和p_r分别为供油压力和回油压力；x_v为伺服阀阀芯相对中立位置的位移，x_v和输入电压u之间可近似为比例环节^[6]；x_v=k_vu；增益系数k_v＞0。

定义状态变量x₁=x_p，，x₃=p₁，x₄=p₂，，则由式(1)~(5)可得系统的状态方程为

   (6)

考虑到伺服阀的输入信号存在饱和，有

            (7)

其中：，，均为饱和幅值；v为待设计的控制输入。另外，由于工作环境等的变化，系统的某些参数如负载质量、体积弹性模量、外负载力等都是不确定的。

本文的设计任务是：在电液伺服系统中存在参数不确定、外部扰动和输入饱和非线性时，设计基于干扰观测器的反步位置跟踪控制器，使得系统输出y=x₁能快速、准确地跟踪期望轨迹x_d。假设期望轨迹x_d的一阶导数存在且有界。

2  基于干扰观测器的反步控制器设计

令，同时为了将系统转化为严格反馈形式^[6]，定义新的系统变量，则由系统(6)可得

         (8)

式中：；；；； ； ；和(i=1，2)分别表示由参数摄动引起的系统不确定性；d为外部扰动。由实际工况可知，D₁和D₂为系统中的复合干扰，满足以下假设。

假设1：式(8)中复合干扰D₁和D₂的变化率和有界，即存在正常数和，使得。

2.1  干扰观测器设计及收敛性分析

定理1  针对不确定非线性系统(8)，设计如下干扰观测器：

        (9)

    (10)

式中：为复合干扰D_i的估计值；为待设计的观测器增益；为辅助设计变量。则该干扰观测器的观测误差(i=1，2)满足

            (11)

式中：。

证明：由式(8)，(9)和(10)，对求导得

           (12)

选择Lyapunov函数，由假设1可知，并利用基本不等式，则有

    (13)

若令， (其中，)，对式(13)积分可得

  (14)

从而由的定义可知，则当时，有

即观测误差满足式(11)。由式(11)可知：干扰观测器的观测误差有界稳定，且随着观测器增益的增大，观测误差的收敛速度越快，收敛域越小。

2.2  反步控制器设计及稳定性分析

下面根据前面所建立的干扰观测器，设计系统(8)的反步位置跟踪控制器，具体过程如下。

第1步：定义误差变量e₁=x₁-x_d，e₂=x₂-α₁，对e₁求导，有

设计虚拟控制量 (其中k₁＞0)。选择Lyapunov函数为，有

     (15)

第2步：对e₂求导，有

       (16)

其中：。设计虚拟控制量：

      (17)

式中：为复合干扰D₁的估计值。定义变量，将虚拟控制量式(17)代入式(16)，有

           (18)

选择Lyapunov函数，则有

 (19)

第3步：对求导，有

        (20)

由式(17)可知α₂中含有复合干扰的估计值，因此，若直接对α₂解析求导比较麻烦，而且随着系统阶次增加，则会导致出现计算膨胀问题，不利于工程实用。为了避免这一问题，本文设计如下的跟踪微分器来估计：

     (21)

式中：Z₁和Z₂为跟踪微分器的状态变量；sgn为符号函数；λ和τ为设计参数，当待设计的参数λ和τ满足下式时^[15]：

              (22)

微分跟踪器(21)的状态变量Z₁和Z₂分别能跟踪虚拟控制量及其微分信号。

设计系统的控制器如下：

   (23)

式中：为复合干扰D₂的估计值；Z₂为跟踪微分器(21)的状态变量，将控制器(23)代入式(20)有

选择Lyapunov函数

              (24)

对式(24)进行求导，有

 (25)

定理2  针对满足假设条件1的系统(8)，在控制器(23)和干扰观测器(9)和(10)的作用下，闭环系统一致最终有界稳定。

证明：由式(25)可以进一步得到

          (26)

在式(26)中，存在干扰观测器的观测误差和以及跟踪微分器的跟踪误差。将，和视为系统的干扰输入，根据输入状态稳定定 理^[16]可知，系统是输入状态稳定的，即只要能保证，和有界，则就有界。由定理1可知，通过选择适当的观测器增益，就可以保证观测误差和充分小。同时由文献[16]可知，通过选择适当的微分跟踪器(21)的参数，也可以保证跟踪微分误差充分小。若令

          (27)

则由式(27)可得

 (28)

类似对式(13)的说明，由式(28)可知：只需设计参数，则跟踪误差满足，即闭环系统一致有界稳定。而且可以通过调整控制参数，使得跟踪误差最终收敛至原点的1个较小邻域。

3  仿真研究

以某650 mm可逆冷带轧机电液伺服位置系统为例进行仿真研究。仿真中系统主要物理参数的标称值如下：k_v=1.25×10^-4 m/V；C_d=0.61；w=0.025；p_s=2.4×10⁷ Pa；p_r=0 Pa；ρ=850 kg/m³；k_s=1.25 GN/m；A₁=0.125 6 m²；A₂=0.042 2 m²；V₁₀=3.768×10^-3 m³；V₂₀=1.266×10^-3 m³；β_e=7.0×10⁸ Pa；m=1 500 kg；B_P=2.25 MN·s/m。

仿真中假设轧机轧制时的外负载力变化缓慢，具体形式为N。假设和，饱和幅值。位置给定信号选为^[7] (其中，x_1s为状态x₁的稳定值，t_1r为时间常数)。仿真中，x_1s=0.5 mm，t_1r=0.02。

控制器和滤波器的参数选为k₁=1 500，k₂=400，k₃=80，λ=3 000，τ=0.9，干扰观测器参数选择为η₁= 2 000，η₂=80。分别利用本文提出的基于干扰观测器的反步法(称为控制器1)和未采用干扰观测器的反步法(称为控制器2)进行仿真研究对比。仿真结果如图2~5所示。

由图2和图3可以看出：在未对复合干扰进行估计时，系统会存在较大的跟踪误差；在使用干扰观测器对复合干扰进行估计补偿后，控制效果明显提高，跟踪误差稳定在0附近的1个很小的区域内。由图4可知本文设计的控制器能较快地退出饱和。从图5可见：本文设计的干扰观测器能较好地估计系统中的复合干扰，观测误差较小。

图2  位置跟踪对比

Fig. 2  Comparison of position tracking

图3  跟踪误差曲线

Fig. 3  Curves of tracking error

图4  控制量曲线

Fig. 4  Curves of control input

图5  复合干扰估计曲线

Fig. 5  Estimation curves of compound disturbances

4  结论

1) 针对存在参数不确定性、外部扰动和控制输入饱和的电液伺服系统，设计了一种基于干扰观测器的反步位置跟踪控制方案。针对系统中存在的复合干扰，利用干扰观测器对其进行估计，并在所设计的反步控制器中进行补偿。在反步设计过程中，利用微分跟踪器获得虚拟控制量的微分信号，避免了传统反步控制中存在的计算膨胀问题。

2) 理论分析结果表明闭环系统一致最终有界稳定。仿真结果表明所设计的反步控制器能快速准确地跟踪参考信号，具有良好的过渡过程，并且具有较强的鲁棒性。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2015-11-22；修回日期：2016-01-12

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61074099，61273004)；河北省教育厅科学研究计划项目(Z2009145)；燕山大学博士基金资助项目(B925)(Projects(61074099, 61273004) supported by National Natural Science Foundation of China; Project(Z2009145) supported by Science Foundation of Education Committee of Hebei Province; Project(B925) supported by the PhD Programs Foundation of Yanshan University)

通信作者：石胜利，博士研究生，讲师，从事自适应鲁棒控制理论与应用、抗饱和控制等研究；E-mail：ssl@ysu.edu.cn