改进BISQ模型的双相介质地震波场数值模拟及频散校正
周竹生，唐磊
(中南大学 地球科学与信息物理学院，湖南 长沙，410083)
摘要：从改进BISQ模型的双相介质所对应的速度-应力运动方程出发，构建2×2N阶交错网格有限差分模拟算法；同时，为压制模拟过程中的数值频散现象，采用通量校正传输(FCT)技术获得带FCT修正的交错网格有限差分模拟算法，对各向同性双相介质进行地震波场数值模拟。研究结果表明：(1) 波场存在快纵波、慢纵波和横波等波场特征，并与模型的理论响应相符，说明交错网格模拟算法具有正确性和可行性；(2) 采用FCT修正的交错网模拟算法能够有效压制数值频散，并保留真实的波场特征。
关键词：改进BISQ模型；双相介质；有限差分；交错网格；数值频散；通量校正传输
中图分类号：TE122 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2012)04-1411-08
Seismic modeling and numerical dispersion correcting in double-phase medium based on reformulated BISQ model
ZHOU Zhu-sheng, TANG Lei
(School of Geometrics and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: Based on first-order velocity-stress equations of reformulated BISQ theory in double-phase media, the simulation algorithm of the finite difference of 2-order time and 2N-order space staggered grids was constructed. Meanwhile, in order to suppress the numerical dispersion phenomenon during the process of the simulation, the flux-corrected transport (FCT) technique was discussed, and the algorithm of the finite difference of staggered grids was obtained, in which the FCT correcting was assembled. The algorithm was validated by simulating the wave-fields in isotropic double-phase media. The results show that: firstly, the existence of fast compressional wave, slow compressional wave and shear wave in wave-fields accords with the response of the model, which shows that the simulation algorithm of staggered grids is valid and practical. Secondly, with the use of algorithm of staggered grids which is corrected by FCT, dispersion can be effectively suppressed and the real wave-fields oscillation can be retained as well.
Key words: reformulated BISQ model; double-phase medium; finite-difference method; staggered-grids; numerical dispersion; flux-corrected transport
相对单相介质而言，双相介质能够更好地描述实际地层结构和性质，因此，双相介质的数值模拟更有利于实际介质中地震波传播规律的认识和研究。在双相介质的早期研究工作中，Biot假设孔隙介质理论中的固体与流体的相对运动属于Poiseuille型流动[1-2]，然而，随着双相介质研究的不断深入，研究发现孔隙介质中的流体还存在一种对地震波衰减和频散起关键作用的流动方式即喷射流动。其中，Biot流动力学机制描述的是宏观现象，而喷射流动机制描述的是局部特征。Dvorkin等[3]将这2种机制结合起来，提出了BISQ模型，使得模型结构更贴近实际。Mamadou[4]提出改进BISQ模型，其优势在于在描述流体压力的表达式中不再含有不便于实际描述的微观参量(如特征喷射流动长度)，更加方便于地震波波场模拟的实现。本研究采用交错网格有限差分法对改进BISQ模型的双相介质地震波场进行数值模拟。数值模拟方法的共性是需要在时空域进行网格离散，以差分代替微分，由此所得到的地震波场必然存在数值频散现象。为了压制数值频散，本研究利用通量校正传输(FCT)技术修正了交错网格有限差分算法，确保在满足一定计算精度的前提下，可以采用较低的差分阶数，以提高计算效率。
1 基本方程
1.1 改进BISQ模型的双相介质弹性波动方程
在时空域内，基于改进BISQ模型的二维各向同性双相介质弹性波动方程可以表示为[4]:
(1)
式中：
；
；
；
；
；F= 
，
；
，
；F称为Biot流系数；
ω为角频率；Ks为固体体积模量；流体体积模量Kf可由流体声速
来确定；α为有效应力的孔隙弹性系数；ux，uy和uz分别为x，y和z方向的固体位移分量；Ux，Uy和Uz分别表示x，y和z方向流体的位移分量；ρs和ρf分别为固体和流体密度；f为孔隙度；η为流体黏滞系数；ρa为固-流耦合附加密度；μ和λ为弹性常数；k为渗透率；P为流体压力。
1.2 一阶速度-应力方程
在二维情况下，基于改进BISQ模型的双相介质运动平衡方程为：
(2)
进一步推导，将位移分量对时间的一阶导数换成质点振动速度分量，得到一阶速度-应力方程为：
(3)
式中：
；
；
；
；
；
。
2 一阶弹性波方程高阶差分近似
2.1 时间域的2M阶差分近似
在使用交错网格法求解一阶速度-应力方程时，速度和应力分别是在t+Δt/2和t时刻进行计算的，对于速度与应力分量Vi和σij，利用Taylor公式得到2M阶精度的时间差分近似格式：
(4)
(5)
式中：Δt为时间步长；O(Δt2m)为高阶无穷小量，当M=1时，上式即为传统的二阶差分精度近似。
2.2 空间域的2N阶差分近似
在计算空间导数时采用下式所示的2N阶差分近似表达式：
(6)
式中：Δx为空间网格间距；
为待定差分系数。待定系数的准确求取是确保一阶空间导数的2N
阶差分精度的关键。将
和
在x处用Taylor公式展开后，通过
求解以下方程便可求出不同阶数的空间差分系数。
(7)
2.3 交错网格高阶有限差分格式的构建
对一阶速度-应力方程进行高阶差分近似，构建了空间2N阶和时间2阶精度的有限差分格式，其中：i，j和k分别表示x，z和t的离散序号；U，W，P，Q和S分别表示固相vx，vz，σxx，σzz和σxz；u，w，F和R分别表示流相的Vx，Vz，S和P。
；
；
；
；
；
(8)
3 一阶方程FCT有限差分算法
Boris和Book发展的通量校正传输方法(FCT)成功应用于声波方程[15]，FCT的基本思路是将修正的漫射应用于频散传输格式。在进行校正过程中分为漫射和反漫射2个阶段，计算的波场被改变以压制数值频散引起的伪波动。对于一阶速度-应力波动方程(8)，通过交错网格差分计算得到k+1时刻的速度和应力值，为了提高计算效率，只需对差分计算得到的速度分量
，
，
和
的值进行校正。
以速度分量
为例，FCT技术算法步骤如下。
(1) 计算k-1时刻的弥散通量：
0≤η1≤1 (9)
式中：η1为漫射参数，它是常量或一个线性函数，其取值取决于有限差分阶段频散误差。
(2) 计算k+1时刻的弥散通量：
0≤η1≤2 (10)
式中，η2的取值与η1不同。这是因为振幅和分辨率的损失主要有2方面的原因：一是传统有限差分运算引起的频散，二是人为加入的漫射。反漫射运算不仅要补偿人为加入漫射引起的损失，而且要补偿传统有限差分运算带来的振幅损失。
(3) 运用
和
对第k+1时间层的
进行修正：
(11)
(4) 计算
的扩散差异值：
(12)
(5) 利用反射弥散处理校正后的：
(13)
(14)
4 波场数值模拟及频散校正
4.1 波场模拟
为检验模拟算法的正确性，建立一个各向同性双相介质均匀半空间模型，模型网格点数为200×200，模拟过程中为消除人工边界的影响。采用Cerjan等[8]提出的吸收边界条件，为保证计算过程中的稳定性，选取空间网格间距为5 m，时间间隔为5 ms，震源位于模型中心，采用主频为30 Hz的雷克子波，模型的固体参数为：拉梅系数12.6 GPa，剪切模量为 6.72 GPa，固体体积模量为56.7 GPa，密度为2 822 kg/m3，耦合附加密度为85 kg/m3，纵波速度为3 km/s，横波速度2 000 m/s；流体参数：体积模量为1.51 GPa，密度为554 kg/m3，孔隙率为0.248 8，黏滞系数为 1×10-6 Pa·s，渗透率为15 md。
采用精度为O(Δt2+Δx4)和O(Δt2+Δx16)的交错网格有限差分法，对固体和流体的水平分量和垂直分量分别进行计算，结果分别如图1和图2所示。
从图1和图2可以看出：在双相介质中存在第二类纵波，从内到外依次为慢纵波(p)，横波(S)和快纵波(P)，其衰减规律明显不同于第一类纵波，第一类纵波在固相和流相都引起较强的振动，第二类纵波引起较弱的固相振动，较强的流相振动，这种关系取决于双相介质的性质。其中第一类纵波的相位在固相和流相部分是相同的，第二类纵波的相位在固相和流相部分则相反。通过图1与图2对比可以发现：在时间差分精度一定时，空间差分精度阶数较低时，频散严重，随着阶数的增加，频散降低，波场模拟的精度逐渐提高。说明采用交错网格高阶差分能够对数值频散起到一定的压制。
4.2 加FCT修正的交错网格差分法进行波场模拟及频散校正
图3和图4所示分别为利用加FCT修正的不同精度的交错网格差分法进行波场模拟得到的波场快照图。与未进行FCT修正的图1和图2对比，可以看到频散现象得到明显地压制，说明FCT方法能够有效压制在计算过程中产生的数值频散，采用低阶精度的差分方程加FCT法修正后也可以得到较高阶精度的正演模拟结果。交错网格高阶差分与FCT方法相结合，在保持波场特征情况下能有效提高波场模拟的精度和计算效率。
图1 100 ms时波场快照(时间2阶，空间4阶)
Fig.1 Snapshot of 100 ms (two-order time and four-order space)
图2 100 ms时波场快照(时间2阶，空间16阶)
Fig.2 Snapshot of 100 ms (two-order time and sixteen-order space)
图3 FCT修正后的100 ms波场快照(时间2阶，空间4阶)
Fig.3 Snapshot of 100 ms (two-order time and four-order space) by using FCT
图4 FCT修正后的100 ms波场快照(时间2阶，空间16阶)
Fig.4 Snapshot of 100 ms (two-order time and sixteen-order space) by using FCT
5 结论
(1) 将交错网格差分法运用到各向同性双相介质中，给出不同时间和空间精度的一阶速度-应力波动方程交错网格差分算法格式，并提出带FCT修正的交错网格差分算法，运用交错网格差分算法实现各向同性双相介质地震波场正演数值计算。
(2) 双相各向同性介质中存在快纵波、慢纵波和横波，得到3种波在不同相介质中表现的波场特征。
(3) 对比不同差分精度计算得到的波场快照图，当时间差分精度固定时，空间差分精度随着阶数的增加，频散降低，差分精度的提高对频散起到压制 作用。
(4) FCT方法能有效压制在计算过程中产生的数值频散，用低阶精度的差分方程也可以得到高阶精度的正演模拟效果，并且计算效率也得到了很大提高。
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(编辑 何运斌)
收稿日期：2011-01-12；修回日期：2011-02-28
基金项目：国家自然科学基金资助项目(41074085)
通信作者：周竹生(1965-)，男，湖南祁阳人，教授，博士后，从事石油勘查、工程物理探测、信号处理、应用软件研制及数据库开发；电话：0731-88830407；E-mail：geophys@126.com
