不确定随机Markov跳变系统的鲁棒H_∞输出反馈控制

苏永清，李左民

(同济大学 电子与信息工程学院，上海，201804)

摘要：讨论一类不确定性随机Markov跳变系统的动态输出反馈控制问题，将输出反馈控制运用到不确定随机Markov跳变系统中，通过Lyapunov函数方法以矩阵不等式的形式给出这类系统输出控制下鲁棒稳定及鲁棒H_∞稳定的充分条件，采用变量替换法将非线性不等式转化成线性矩阵不等式，仿真算例说明了所给算法的有效性。

关键词：Markov过程；输出反馈；变量替换法；鲁棒H_∞控制

中图分类号： TP13         文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)S1-0339-05

Robust H_∞ output feedback control for

uncertain markov jump systems

SU Yong-qing, LI Zuo-min

(College of Electronics & Information Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China)

Abstract: The problem of the dynamic output feedback for uncertain stochastic Markov jump systems is investigated. Output feedback is used to stabilize uncertain Markov jump systems. The output feedback controller is obtained based on the linear matrix inequalities sufficient conditions which guarantees that the closed-loop is robust stable, robust H_∞ stable. Variable substitution is used to transform the nonlinear inequalities to linear matrix inequalities. A numerical example is given to illustrate the effectiveness of the given method.

Key words: Markov process; output feedback; variable substitution; robust H_∞ control

实际工程系统中广泛存在一种具有Markov跳变的线性系统，该类系统同时包含离散事件和连续变量，其中离散事件用Markov跳变描述，而每个模态下的连续变量用状态空间方程描述。近年来，该类系统受到学者的广泛关注，在稳定性^[1]、可控性^[2-3]和鲁棒  性^[4]等方面取得了一系列的成果。在输出反馈控制方面，孙敏慧等^[5]讨论了一类具有Markov跳变的线性系统的输出反馈镇定。另一方面，在随机系统的研究中，很多一般线性系统中的重要成果已经被推广到随机系统中^[6]。刘飞等^[7]研究了含Markov时变参数的输出反馈耗散性控制。在此，本文作者对随机系统的动态输出反馈进行了研究，对带有随机项的不确定性Markov跳变系统设计了动态输出反馈控制器，对所有容许的不确定，系统都能取得渐进均方稳定。用变量替换法将非线性不等式转化为线性矩阵不等式，并通过LMI求解控制器的参数。

1  问题描述

考虑如下的连续Markov跳变系统：

其中：，分别是系统的状态、控制输入向量和扰动输入，且是系统的测量输出，是系统的实际输出。r(t)是系统的模态，取之于有限集合，且

其中：；为从模态i到模态j的转移率，并且满足

进一步，假定每个模态中，系统的维数都是相同的，为简化符号，当在时刻t，系统的模态为      r(t)=i，那么相应的系数矩阵记为 和。对于每个模态，和可描述为

其中：和均为适当维数的实常数矩阵，而表示系统范数有界不确定性的和满足

式中：和均为已知的常实数矩阵；是Lebesgue可测，且满足的未知矩阵。

定义1 系统，若对于任意的初始条件，有，则系统是渐进均方稳定的。

定理1 系统，系统是均方稳定的, 如果存在一组对称正定矩阵P_i，使得下列不等式成立：

定理2 (有界实引理) 系统渐进均方稳定：

且满足。

当存在一组正定对称矩阵P_i，使得下列不等式成立：

引理1 M和N是给定适当维数的矩阵，S满足，对于任意的，下列不等式成立：

引理2 (Schur补)对给定对称矩阵并分块表示为,其中，，，，则下列条件等价：

2  输出反馈

针对系统，考虑如下的以状态空间实现的动态输出反馈控制器：

其中：是控制器的状态；，，和均为待定的适当维数实矩阵。

将控制器运用于系统，可得到闭环系统：

其中：

，；；，；

。

2.1  鲁棒控制

取，将输出反馈控制器运用于系统，可得系统：

定理3动态输出反馈控制器增益取如下值：

              (1)

                 (2)

                        (3)

          (4)

可使系统满足渐进均方稳定，其中正定对称矩阵和矩阵是如下一组线性矩阵不等式的可行解：

             (5)

     (6)

                   (7)

其中：

  (8)

            (9)

证明：根据定理1，如果存在一组正定对称矩阵P_i，使得下列矩阵(10)成立，可使系统渐进均方稳定：

(10)

根据引理1，任意,有

根据引理2(schur补)，式(5)等价于：

式(6)等价于：

令

      (11)

           (12)

且，即式(7)，将P_i带入式(10)，并左乘，右乘T_i，可得：

其中：

令，可求得，只需，即式(5)和(6)，可使系统渐进均方稳定，定理3得证。

2.2  鲁棒H_∞控制

定理4 动态输出反馈控制器的增益取如下值：

          (13)

             (14)

                     (15)

 (16)

可使系统渐进均方稳定，且满足：

其中：正定对称矩阵和矩阵，是如下一组线性矩阵不等式的可行解：

            (17)

        (18)

                    (19)

式中：

证明：根据定理2，如果存在一组正定对称矩阵P_i，使得下列矩阵(20)成立，可使系统渐进均方稳定，且满足H_∞性质

    (20)

根据引理2 (schur补)，式(17)等价于：

式(18)等价于：

取形如式(11)的P_i，形如式(12)的T_i，且，即式(19)将P_i带入式(20)，并左乘，右乘T_i，可得：

其中：

令，可求得，只需，则使系统渐进均方稳定，且满足H_∞性质，定理4得证。

3  仿真算例

考虑系统，其中的系统有2个模态，各个模态的参数分别如下。

模态1：

。

模态2：

。

状态转移概率矩阵为：

令通过求解线性矩阵不等式(17)~(19)，可求得和，γ=1.660 0。

利用式(13)~(16)，可分别计算出：

。

4  结论

本文研究了一类不确定随机Markov跳变系统的鲁棒输出反馈控制问题，将现有的输出反馈推广到更为常见的不确定扰动系统中；以矩阵不等式形式给出了问题可解的充分条件。设计方法简便，易于实现。

参考文献：

[1] do Val J B R, Costa E F. Stabilizability and positiveness of solutions of the jump linear quadratic problem and coupled algebraic Riccati equation [J]. IEEE Transactions on automatic Control, 2005, 50(5): 691-695.

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[7] 刘飞, 赵忠盖. 含Markov时变参数的线性系统输出反馈耗散性控制[C]//中国控制与决策学术年会. 黄山, 2004: 410-413.
LIU Fei, ZHAO Zhong-gai. Output feedback dissipative control for linear systems with Markov time-varying parameters[C]// Proceedings of 2004 Chinese Control and Decision Conference. Huangshan, 2004: 410-413.

(编辑 杨幼平)

收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(40872090)；留学回国人员科学启动基金资助项目(20110012)

通信作者：苏永清(1972-)，男，安徽砀山人，副教授，从事混杂系统、智能检测与控制、卫星导航与定位技术等研究；E-mail: suyongqing@gmail.com