DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.08.018

基于扩展有限元法的齿根裂纹扩展规律

许德涛， 唐进元，周炜

 (中南大学 高性能复杂制造国家重点实验室，湖南 长沙，410083)

摘要：探讨基于扩展有限元法的齿轮裂纹扩展计算方法，开展齿根初始裂纹扩展规律研究。借助Abaqus软件，分析齿根初始裂纹长度、方向和位置对裂纹扩展路径的影响规律，并与传统有限元法所得结果进行比较。研究结果表明：对于本文模型，齿根裂纹均为先朝深入轮缘的方向扩展，后朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势；相对初始裂纹位置，其长度和方向对裂纹扩展路径的影响较小，不同长度和不同方向的初始裂纹的扩展路径没有显著差别；随着初始裂纹位置向齿顶趋近，裂纹扩展路径也整体向齿顶偏移；本文结果与传统有限元法所得结果基本一致，但仿真效率大大提高，为齿轮疲劳裂纹扩展及疲劳寿命的高效分析和精确预测提供一种新途径。

关键词：齿轮；裂纹扩展；扩展有限单元法(XFEM)；Abaqus

中图分类号：TH132.4             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)08-2668-08

Tooth root crack propagation regularity based on extended finite element method

XU Detao, TANG Jinyuan, ZHOU Wei

(Key Laboratory of Modern Complex Equipment Design and Extreme Manufacturing,

Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: The calculation method of gear crack propagation based on extended finite element method was investigated, and studies on tooth root crack propagation regularity were carried out. The influence of length, direction and position of tooth root initial crack on crack propagation path was analyzed using Abaqus, and the results were compared with those obtained by traditional finite element method. The results show that all the cracks propagate toward the rim firstly, and then toward the tooth root, with a general trend propagating toward tooth circumferential direction until fracture happens for the model used. Compared to position of initial crack, length and direction have less influence on crack propagation path. There is no significant difference between the crack propagation trajectories of different lengths and different directions. With the location of initial tooth root crack moving toward the addendum, the crack propagation paths also remarkably move toward the addendum integrally. The results in this work are basically consistent with those obtained by traditional finite element method, but the simulation efficiency is greatly improved, providing a new approach to effective analysis and accurate prediction of gear fatigue crack propagation and fatigue life.

Key words: gear; crack propagation; extended finite element method(XFEM); Abaqus

航空动力传动系统的大部分故障源于齿轮失效^[1]，尤以齿轮弯曲疲劳断裂最为常见^[2]。由于裂纹扩展过程是疲劳断裂失效的重要阶段，开展齿轮裂纹扩展规律研究对于齿轮抗疲劳设计与安全监测具有重要意义。目前，国内外许多学者基于传统有限元法对齿轮裂纹扩展规律进行了大量研究。LEWICKI等研究了轮缘厚度^[3-4]、裂纹初始位置和齿轮几何参数^[5-8]对齿轮裂纹扩展的影响规律，并提出一种新型齿轮结构设计方案^[9]来提高齿轮服役的可靠性；SPIEVAK等^[10-11]则以更为复杂的螺旋锥齿轮为对象开展研究，得到有益结论；林腾蛟等^[12]研究了载荷等对圆柱齿轮齿根裂纹扩展的影响，并对其进行了寿命预测；王延忠等^[13]则借助FRANC3D软件模拟了裂纹扩展过程，得到表面粗糙度和表面处理工艺对面齿轮疲劳寿命的定性影响规律。然而，传统有限元方法模拟裂纹扩展时要求裂纹与单元边界重合，在裂纹尖端需要划分足够精细的网格捕捉裂尖应力奇异性，并通过网格重划分来更新裂纹，导致仿真效率十分受限，难以应对较为复杂的分析模型，这将不利于齿轮裂纹扩展研究的深入开展。针对传统有限元方法的缺陷，BELYTSCHKO等^[14-15]提出了扩展有限元方法(XFEM)，XFEM用扩充的带有不连续性质的形函数基来代表计算域内的间断从而使裂纹独立于网格扩展，为齿轮裂纹扩展研究提供了一种新方法。RAD等^[16]基于XFEM编制程序对直、斜齿轮的裂纹扩展进行研究，并与PEHAN等^[17]的研究成果进行比较。借助商业软件则可避免大量的程序开发工作并充分利用相关算法方面的优势开展针对性强的研究工作，这方面的研究也处于起步阶段，本文作者从这条途径出发，借助Abaqus中的XFEM模块^[18-19]，对直齿轮齿根裂纹扩展进行仿真研究，并与传统有限元法计算结果进行对比，验证了本文工作的有效性，为齿轮传动裂纹扩展的深入研究(比如裂纹扩展寿命的精确预测等)提供技术积累。

1  基于XFEM的裂纹扩展仿真原理

1.1  XFEM基本原理

传统有限元法通过形函数和单元节点位移来描述位移场。

          (1)

式中：S为所有节点集合；N_i(x)为形函数；u_i为节点自由度。

XFEM通过在单元内构造具有不连续性质的扩充函数H(x)和F(x)^[15]来模拟单元的位移不连续性和应力奇异性，其位移场表述为

    (2)

式中：N_j(x)和N_k(x)为形函数；S_h和S_c分别为被H(x)和F(x)扩充的节点集合；a_j和b_k分别为被裂纹贯穿的单元和裂尖单元的节点附加自由度。不对节点进行扩充时，式(2)就退化成式(1)，因此XFEM是在传统有限法之上发展起来的的一种新方法，更益于复杂的裂纹扩展计算。

1.2  Abaqus裂纹扩展模型

借助Abaqus中的XFEM模块进行仿真计算，它利用基于牵引分离行为的黏性片段法^[20]模拟裂纹扩展过程，包括以下3个部分：1) 损伤初始准则；2) 黏性片段方向准则；3) 损伤演化准则。

论文使用最大主应力准则作为损伤初始准则，黏性片段方向为垂直于最大主应力方向，损伤演化准则取为基于能量法的线性软化，损伤演化表达式为

           (3)

式中：D为损伤参量，代表单元的损伤程度；为单元完全失效时裂纹面间的有效分离量；和分别为单元初始损伤时裂纹面间的有效牵引力和有效分离量；为加载历程中裂纹面间有效分离量的最大值；G_c为整个损伤过程中耗散的能量，即断裂能，它等于牵引分离曲线下降段的   面积。

单元产生损伤后，单元刚度和裂纹面间的有效牵引力相应地退化成如下形式：

             (4)

            (5)

式中：K₀为单元无损伤时的刚度；t′为单元无损伤时，裂纹面间的有效分离量对应的有效牵引力。

2  齿根裂纹扩展仿真

2.1  齿根裂纹扩展有限元模型

本文借用文献[4]所述的齿轮材料与几何模型，其主要几何参数和材料参数如表1所示。图1所示为本文齿根裂纹扩展的二维平面应力有限元模型。为提高仿真精度，对裂纹扩展的可能区域进行网格优化，单元类型为CPS4R和Tri，共5 592个单元，5 643个节点，载荷施加在单齿啮合最高点，方向垂直于该处齿廓，边界条件为内齿圈及边界固定，采用静态加载方式，单元最大主应力达到材料抗拉强度时开始产生损伤，损伤过程中耗散的能量达到6.46×10^-5 J/mm²(由应力强度因子门槛值转换得到)时，单元完全失效。不考虑齿轮啮合过程中的载荷幅值与方向变化^[21]。

表1  齿轮几何和材料参数

Table 1  Gear geometry and material parameters

图1  齿根裂纹扩展仿真有限元模型

Fig. 1  Finite element model of tooth root crack propagation simulation

2.2  初始裂纹设置

初始裂纹由位置、长度和方向参数表达，如图2所示，线段AB代表初始裂纹，l代表初始裂纹长度，α代表初始裂纹方向，θ代表初始裂纹位置。表2给出了不同初始裂纹分析工况，其中工况1~3代表不同位置下不同长度初始裂纹情况，工况4为不同方向初始裂纹情况，工况5为不同位置初始裂纹情况。需要说明的是，在不同长度和不同位置分析工况下，初始裂纹方向均垂直于其所在处齿廓。

图2  初始裂纹示意图

Fig. 2  Schematic diagram of initial crack

表2  不同初始裂纹分析工况

Table 2  Conditions of different initial cracks

3  齿根裂纹扩展仿真计算结果及裂纹扩展规律

3.1  裂纹扩展仿真结果验证

图3所示为一种初始裂纹情况下(l=0.24 mm，α=45°，θ=104°)裂纹扩展过程中3个不同阶段的Mises应力分布。从图3(a)和3(b)可以看到：在裂纹尖端具有明显的应力集中，被裂纹贯穿的单元应力近似为0，这些结果与断裂力学结论相符，且裂纹尖端附近应力分布形状与理论计算所得塑性区形状大致相同。图4所示为裂尖单元Mises应力随裂纹长度的变化曲线，由图4可以看到：随着裂纹的扩展，裂尖单元的应力逐步增大，当裂纹长度达到总长度的0.75左右时，裂尖单元应力迅速增加，说明随着裂纹的深入，导致裂纹扩展所需载荷也相应地减小，同理，当载荷不改变时，裂纹的扩展速度将会逐渐增大，这种趋势在裂纹扩展后期更为显著。

图3  裂纹扩展过不同阶段Mises应力分布

Fig. 3  Mises stress distributions at different crack propagation stages

图4  不同裂纹长度下的裂尖单元Mises应力

Fig. 4  Mises stress of crack tip element in different crack lengths

Abaqus采用黏性片段法描述裂纹扩展。插入裂纹片段代表所在单元产生了损伤，损伤初始准则为最大主应力准则，而单元损伤程度由损伤参量D表征，D等于0代表无损伤，等于1代表完全损伤。图5所示为该模型裂纹扩展第2阶段的最大主应力、单元损伤程度的分布图。从图5(a)可以看到：在裂尖处最大主应力远大于其他各处，因此裂尖附近单元最先损伤，与实际相符。从图5(b)可以看到：裂纹路径上单元的损伤参量值均为1，意味着它们完全丧失承载能力，而裂尖单元的损伤参量D介于0和1之间，说明这些单元丧失部分承载能力，这一结果与实际情况一致，也与图3中对应阶段的应力分布情况相符。图3(c)中裂尖处没有应力集中，是因为此时裂尖所在单元仅仅产生损伤，并没有完全丧失承载能力。

图5  裂纹扩展第2阶段模型最大主应力和单元损伤程度分布

Fig. 5  Maximum principle stress, element damage parameter D distributions at the second crack propagation stage

由于采用静态加载，强制单元产生损伤并累积。为使裂纹扩展，也就是使单元损伤累积至失效，必须加载比实际更大的载荷，故在齿轮单齿啮合最高点处所加均布载荷远大于齿轮实际啮合时的接触应力，因此，本文未对载荷进行详细分析。

3.2  初始裂纹长度对裂纹扩展的影响规律

取初始裂纹位置θ=104°，初始裂纹方向垂直于裂纹所在处齿廓，研究不同初始裂纹长度l下的齿根裂纹扩展，初始裂纹详细设置如表2中工况2所示，裂纹扩展路径随着初始裂纹长度的变化情况如图6(a)所示。从图6(a)可以看到：4种情况下裂纹扩展路径大致相同，扩展前期裂纹朝深入轮缘的方向扩展，扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势。其中，l取为0.90 mm时的裂纹扩展路径整体上较其他情况更偏离齿顶，而l取为0.60 mm时的裂纹扩展路径在后期最趋近齿顶，但是这些偏移幅度都很小，总体上裂纹扩展路径大致相同。

图6  不同裂纹初始状态下的裂纹扩展路径图

Fig. 6  Crack propagation paths in different initial crack conditions

为避免人为地将初始裂纹布置在裂纹扩展路径上引起偏差，再分别取初始裂纹位置θ为99°和109°时不同长度初始裂纹的扩展情况进行研究，初始裂纹方向同样垂直于裂纹所在处齿廓，初始裂纹详细设置如表2中工况1和工况3所示，仿真结果如图7所示。从图7(a)可以看到：在θ=99°的位置，l分别取为0.24，0.60和0.90 mm时，初始裂纹的扩展初期路径不重合，也由此导致3种情况下的裂纹整体扩展轨迹不尽相同，随着裂尖逐渐深入轮缘，裂纹扩展路径也逐渐整体地偏离齿顶，同样偏移幅度很小，并且对于l为0.24 mm和0.60 mm的情况下裂纹扩展后期其裂纹路径几乎重合；从图7(b)可以看到：在θ=109°的位置，l分别取为0.24，0.60和0.90 mm时，初始裂纹的扩展初期路径几乎重合，也由此导致裂纹整体扩展轨迹大致相同，随着裂尖逐渐深入轮缘，裂纹扩展路径也逐渐整体地偏离齿顶，同样偏移幅度很小。这样，初始裂纹长度对裂纹扩展路径没有显著影响，不同初始长度下裂纹扩展路径差别很小，但受到裂纹位置的影响，这种差别可能细微增大。

图7  θ=99°和θ=109°时不同初始长度的裂纹扩展路径

Fig. 7  Crack propagation paths in different initial crack lengths when θ=99° and θ=109°

3.3  初始裂纹方向对裂纹扩展的影响规律

取初始裂纹位置θ=104°，初始裂纹长度l=0.24 mm，研究不同初始方向下齿根裂纹扩展，初始裂纹详细设置如表2中工况4所示，裂纹扩展路径随着初始裂纹方向的变化情况如图6(b)所示。从图6(b)可以看到：5种情况下裂纹扩展趋势大致相同，扩展前期裂纹朝深入轮缘的方向扩展，扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势。裂纹扩展前期，随着α的增大(即裂尖点更偏向齿顶)，裂纹扩展路径也逐渐向齿顶偏移，但是偏移程度很小，而到了裂纹扩展后期扩展路径并没有类似扩展前期时明显的规律，当α为60°和90°时的扩展后期路径几乎重合且最趋近齿顶，当α为0°和45°时的扩展后期路径几乎重合较趋近齿顶，当α为30°时的扩展后期路径最偏离齿顶。但是总体上这种偏移幅度很小，因此，初始裂纹方向对裂纹扩展路径也没有显著影响，不同初始方向下裂纹扩展路径大致相同。

3.4  初始裂纹位置对裂纹扩展的影响规律

取初始裂纹长度l=0.24 mm，初始裂纹方向垂直于裂纹所在齿廓，研究不同初始位置下齿根裂纹扩展，初始裂纹详细设置如表 2中工况5所示，裂纹扩展路径随着初始裂纹位置的变化情况如图6(c)所示。从图6(c)可以看到：当θ为104°，109°和114°情况下的裂纹扩展趋势大致相同，扩展前期裂纹朝深入轮缘的方向扩展，扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势，但是当θ为94°和99°时裂纹扩展后期其轨迹并没有显著地朝向齿根位置扩展。此外，随着裂纹初始位置逐渐向齿顶移动(即θ不断增大)，裂纹扩展路径也明显地向齿顶整体偏移。相比于初始长度和方向，裂纹初始位置对裂纹扩展路径有着较为明显的影响，随着初始位置向齿顶移动，轮齿断裂的趋势愈加明显。

3.5  与传统有限元法仿真结果的对比

利用传统有限元法，借助FRANC软件得到相同模型下的计算结果^[5]。2种方法的结果对比见图8，图8(a)中的1~5分别与图8(b)中的6~10对应。由图8可知：2种方法所得裂纹扩展轨迹表现出相同的趋势，扩展前期裂纹朝深入轮缘的方向扩展，扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势。在裂纹扩展初期，裂纹扩展路径非常相似，但在裂纹扩展后期，本文所得裂纹路径呈近似直线扩展，且θ为94°和99°时裂纹扩展后期其轨迹并没有显著地朝向齿根位置扩展，而传统有限元法给出的裂纹扩展轨迹均向轮齿齿根方向凸出。究其原因，可能存在下述3个主要影响因素：

1) 裂纹扩展理论不同，文献[5]使用FRANC软件基于线弹性断裂力学，可以较为准确地控制裂纹扩展方向和增量，而本文使用的Abaqus软件在分析时采用了损伤力学中的黏性片段方法，但损伤模型本身并不完善。尽管存在很多损伤理论，但并没有一个公认的通式。本文采用最常用的线性损伤累积模型，这种模型与实际损伤行为仍有差别，因此使用XFEM模块的自动裂纹扩展模拟导致在裂纹扩展后期误差增大。

2) 裂纹扩展方向准则不同，文献[5]根据最大周向拉应力准则，本文计算裂纹扩展方向依据最大主应力准则，由此可能导致两者有所不同。

3) Abaqus软件的XFEM模块尚不成熟，譬如在移动裂纹建模时未使用渐进奇异函数，仅仅采用阶跃函数加强裂纹贯穿单元和裂尖单元导致位移逼近中没反应裂尖奇异性，因此裂尖附近精度不高；此外，这种简化要求裂纹必须位于单元边界上，即裂纹扩展时必须贯穿整个单元，由此导致裂纹对单元边界具有一定的依赖性。

总体而言，2种方法所得结果基本相符，这也再次验证本文工作的正确性。图9给出了2种软件模拟裂纹扩展的主要步骤。从图9可以发现：传统有限元法模拟裂纹扩展时需要在每次插入裂纹后重新划分网格，而扩展有限元法则不需此步骤，利用其扩充函数可直接更新裂纹计算，避免了繁琐的前处理建模工作。对于各模型计算时的CPU耗时，以表2中工况3为例，计算机为32位Win7操作系统，处理器为intel酷睿i5-2400，主频为3.10 GHz，计算时采用2G内存，双线程并行计算。对于XFEM裂纹扩展计算模型，单元类型为CPS4R和CPS3，单元总数为5 592，节点总数为5 643，CPU耗时为1 018 s。由于文献[5]中没有提及计算时间等信息，本文作者借助abaqus软件，利用传统有限元方法建立齿根裂纹模型，其模型单元类型为CPS8和CPS6(此方法模拟裂纹扩展必须使用二次单元)，单元总数为5 362，节点总数为16 621，利用与前述同样的计算机进行计算，每计算一次裂纹信息CPU耗时约为68 s，则计算与文献[5]同样多的次数  (25次)CPU需耗时约为1 700 s，可以看到，基于XFEM计算裂纹扩展仿真的CPU耗时较传统有限元更少，此外，考虑到传统有限元法前处理建模需花费更多的时间，可以认为XFEM模拟裂纹扩展的仿真效率相比于传统有限元大大提高^[22-23]。

图8  扩展有限元与传统有限元法仿真结果对比

Fig. 8  Comparison of simulation results of XFEM and FEM

图9  Abaqus与FRANC软件模拟裂纹扩展的主要步骤

Fig. 9  Main steps of simulating crack propagation in Abaqus and FRANC sofewares

4  结论

1) 对于本文齿轮模型，齿根初始裂纹扩展前期朝深入轮缘的方向扩展，到了扩展后期裂纹朝向齿根位置扩展，总体呈现朝轮齿周向扩展至轮齿断裂的趋势。

2) 初始裂纹长度和方向对裂纹扩展路径没有显著影响，不同初始长度和不同初始方向下裂纹扩展路径大致相同。

3) 裂纹初始位置对其扩展路径影响较为明显，随着初始裂纹位置向齿顶方向趋近，裂纹扩展路径也整体地向齿顶方向偏移，轮齿断裂趋势愈加明显。

4) 本文结果与传统有限元法所得结果基本相符，给出的基于扩展有限元方法进行齿根裂纹扩展演变计算的方法对其他类型齿轮裂纹扩展演变计算具有参考价值，而且扩展有限元法通过扩充形函数避免了网格重划分和高密度网格要求，使得裂纹扩展计算与仿真效率大大提高，有利于后续复杂工况下的齿轮裂纹扩展计算与仿真研究。

参考文献：

[1] 王巍. 直升机齿轮箱故障诊断及预测系统的研究[D]. 秦皇岛: 燕山大学电气工程学院, 2009: 6-7.

WANG Wei. Research of the helicopter gearbox malfunction diagnosis and prediction system[D]. Qinhuangdao: Yanshan University. School of Electrica Engineering, 2009: 6-7.

[2] 陶春虎, 钟培道, 王仁智, 等. 航空发动机转动部件的失效与预防[M]. 北京: 国防工业出版社, 2000: 46.

TAO Chunhu, ZHONG Peidao, WANG Renzhi, et al. Failure analysis and prevention for rotor in areo-engine[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2000: 46.

[3] LEWICKI D G, BALLARINI R. Effect of rim thickness on gear crack propagation path[J]. Journal of Mechanical Design, 1997, 119(1): 88-95.

[4] LEWICKI D G, BALLARINI R. Rim thickness effects on gear crack propagation life[J]. International Journal of Fracture, 1997, 87(1): 59-86.

[5] LEWICKI D G. Gear crack propagation path studies-guidelines for ultra-safe design[J]. Journal of the American Helicopter Society, 2002, 47(1): 64-72.

[6] F, MURA A, ROSSO C. Effect of rim and web interaction on crack propagation paths in gears by means of XFEM technique[J]. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, 2015, 38(10): 1237–1245.

[7] ZHANG X Q, ZHANG X, LI L, et al. Investigation of the influence of small hole on the fatigue crack growth path[J]. Journal of Failure Analysis & Prevention, 2016: 1-9.

[8] F, MURA A, ROSSO C. Crack propagation behavior in planet gears[J]. Procedia Structural Integrity, 2016, 2: 3610–3616.

[9] LEWICKI D G, SANE A D, DRAGO R J. Three-dimensional gear crack propagation studies[R]. ClevelandOhio: National Aeronautics and Space Administration Cleveland Oh Lewis Research Center, 1998: 1-10.

[10] SPIEVAK L E, WAWRZYNEK P A, INGRAFFEA A R, et al. Simulating fatigue crack growth in spiral bevel gears[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2001, 68(1): 53-76.

[11] URAL A, HEBER G, WAWRZYNEK P A, et al. Three-dimensional, parallel, finite element simulation of fatigue crack growth in a spiral bevel pinion gear[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2005, 72(8): 1148-1170.

[12] 林腾蛟, 钟声, 沈亮. 圆柱齿轮齿根三维裂纹扩展分析及寿命预测[J]. 重庆大学学报, 2012, 35(11): 1-7.

LIN Tengjiao, ZHONG Sheng, SHEN Liang. Three-dimensional crack propagation simulation and life prediction in tooth root of cylindrical gear[J]. Journal of Chongqing University, 2012, 35(11): 1-7.

[13] 王延忠, 田志敏, 侯良威, 等. 航空重载面齿轮三维裂纹分析与疲劳寿命预测[J]. 北京航空航天学学报, 2013, 40(2): 148-153.

WANG Yanzhong, TIAN Zhimin, HOU Liangwei, et al. Three-dimensional crack analysis and fatigue life prediction of aero heavy-load face gear[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2014, 42(2): 148-153.

[14] BELYTSCHKO T, BLACK T. Elastic crack growth in finite element with minimal remeshing[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999, 45(5): 601-620.

[15] MOES N, DOLBOW J, BELYTSCHKO T. A finite element method for crack growth without remeshing[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999, 46(1): 131-150.

[16] RAD A A, FOROUZAN M R, DOLATABADI A S. Three-dimensional fatigue crack growth modelling in a helical gear using extended finite element method[J]. Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures, 2014, 37(6): 581-591.

[17] PEHAN S, KRAMBERGER J, FLASKER J, et al. Investigation of crack propagation scatter in a gear tooth’s root[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2008, 75(5): 1266-1283.

[18] 樊俊铃, 郭杏林. 弹塑性疲劳裂纹扩展行为的数值模拟[J]. 机械工程学报, 2015, 10: 33-40.

FAN Junling, GUO Xinglin. Numerical simulation on elastic-plastic fatigue crack growth behavior[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2015, 10: 33-40.

[19] 梁志强, 田梦, 王秋燕, 等. 超声辅助磨削陶瓷材料的裂纹产生与扩展仿真研究[J]. 兵工学报, 2016, 5: 895-902.

LIANG Zhiqiang, TIAN Meng, WANG Qiuyan, et al. Simulation investigation on crack initiation and propagation in ultrasonic assisted grinding of ceramics material[J]. Acta Armamentarii, 2016, 5: 895-902.

[20] REMMERS J J C, BORST R D, NEEDLEMAN A. The simulation of dynamic crack propagation using the cohesive segments method[J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2008, 56(1): 70-92.

[21] LEWICKI D G, SPIEVAK L E, WAWRZYNEK P A, et al. Consideration of moving tooth load in gear crack propagation predictions[J]. Journal of Mechanical Design, 2001, 123(1): 118-124.

[22] 余天堂. 模拟三维裂纹问题的扩展有限元法[J]. 岩土力学, 2010, 31(10): 3280-3285.

YU Tiantang. Extended finite element method for modeling three-dimensional crack problems[J]. Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(10): 3280-3285.

[23] 李录贤, 王铁军. 扩展有限元法(XFEM)及其应用[J]. 力学进展, 2005, 35(1): 5-20.

LI Luxian, WANG Tiejun. The extended finite element method and its applications: a review[J]. Advances in Mechanics, 2005, 35(1): 5-20.

(编辑  杨幼平)

收稿日期：2015-08-18；修回日期：2015-10-16

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51275530, 51305462, 51535012)(Projects(51275530, 51305462, 51535012) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：唐进元，教授，从事齿轮传动设计及数字化制造的研究；E-mail：jytangcsu_312@163.com