轨道结构上轮对相互影响系数的解析求法

马龙祥，刘维宁，吴宗臻

(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京，100044)

摘要：为了建立更合理的频域车轨耦合模型，提出一种求解移动荷载状态激振下轨道结构上轮对相互影响系数的解析方法。该解析方法视离散支撑轨道结构为周期性的结构，首先在与列车轮载同速的移动坐标系下对Dirac荷载作用下钢轨的振动控制方程进行系列积分变换，并将影响系数化简为含有钢轨垫片中频域力的表达式，而后以传递矩阵方法求得该频域力，进而最终求得轮对的相互影响系数。研究结果表明：该方法计算准确度高，计算速度快，能很好地应用于频域车轨耦合模型中；列车在高速时采用定点荷载状态激振会产生较大误差，此时宜使用移动荷载状态激振。

关键词：周期性轨道结构；轮对相互影响系数；轨道振动；车轨系统激励模型；解析方法；传递矩阵方法

中图分类号：U213.2            文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)05-1635-07

Analytical method for solving wheelsets’interaction coefficient on track structure

MA Longxiang, LIU Weining, WU Zongzhen

(School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Abstract: In order to establish a more reasonable frequency-domain vehicle-track coupling model, considering the moving excitation, an analytical method for solving wheelsets’interaction coefficient on track structure was proposed. The method regards the discrete supported track structure as a periodic structure. First, a series of integral transformations were applied on the vibration governing equation of rail under Dirac load in the moving coordinate system with a speed same with wheel forces, and the interaction coefficient was simplified to an expression containing the frequency-domain forces in rail pads. Then, the frequency-domain forces in rail pads were solved through transfer matrix method, and thus the wheelsets’ interaction coefficient was finally obtained. The results show that the method has high accuracy and fast calculation speed, and can be easily used in the frequency-domain vehicle-track coupling model. When the train is at high speed, adopting the fixed excitation will lead to considerable error, and the moving excitation should be used at this moment.

Key words: periodic track structure; wheelsets’interaction coefficient; track vibration; excitation model of vehicle-track system; analytical method; transfer matrix method

近年来，随着我国高速铁路及城市轨道交通的快速发展，车辆-轨道耦合动力学也得到了迅猛发展。对车辆-轨道耦合动力问题的研究，主要有时域法及频域法之分。时域法多为数值计算方法，如翟婉明等^[1-6]分别在时域内建立的车轨耦合体系，能很好地模拟车辆和轨道耦合的各种状态，具有很好的适用性和强大的分析能力，但数值积分较费时，特别是计算频率较高时，计算时间步长很短，会导致计算工作量过大。频域法多为解析或半解析法，如曹艳梅等^[7-9]在轮轨Hertz接触弹簧合理线性简化下建立的车轨耦合模型属于该类方法。这类方法虽不能解决非线性问题，但适合于快速求解无限长轨道模型(特别是周期性均匀弹性支承的无限长轨道模型)和处理随机不平顺问题，且在对高频轮轨相互作用有关的分析中具有明显的优势。由于技术上难于操作，频域法中关于系统激励的输入常采用定点荷载状态激振^[7-9]，即使一条代表轮轨表面不平顺的激励带以列车运行速度反向通过轮轨接触界面而进行系统激励，见图1(a)。这样的激励输入方式与实际情况的移动荷载状态激振即车轮在具有不平顺的轨道结构上向前移动而引发系统振动是不相符的，见图1(b)。激振方式不同在频域车轨耦合模型中主要体现在轨道结构上轮对相互影响系数矩阵(也称作轮轨接触点的动柔度矩阵)的求解上。鉴于此，针对现有频域法激振方式与实际不太相符的不足，本文将轨道视为周期性离散支撑的结构，给出求解移动荷载状态激振下轨道结构上轮对相互影响系数的解析方法。该解析方法以Dirac荷载作用在钢轨上引起钢轨垫片中的频域力为基础，以在与列车轮载同速的移动坐标系下对Dirac荷载作用下钢轨的振动控制方程进行系列积分变换为核心，计算准确度高，计算速度快，可用于建立更为合理的频域车轨耦合动力分析模型。

图1  车轨系统的2种激励输入方式

Fig. 1  Two excitation input methods of vehicle-track system

1  轨道模型及轮对相互影响系数

本文将轨道视为周期性离散支撑的周期(轨道结构的特性在空间上按轨枕间距L呈现周期性排列)结构，以此建立的轨道模型见图2。由于轨道结构的对称性，模型中仅考虑单根钢轨所对应的轨道结构。具体地，模型中钢轨视为点支撑的无限长Euler梁，钢轨垫片、枕下及基础支撑采用弹簧阻尼元件来模拟，轨枕和道床视为离散的质量块，基础视为固定基础。

图2  轨道模型

Fig. 2  Track model

由于车辆在轨道不平顺激励下通过轮对作用到钢轨上的力可以写成一系列简谐荷载的叠加^[7]，因此，轨道结构上轮对相互影响系数求解的实质就是求解单位移动谐振荷载作用下，与荷载距离始终保持一些特定常数(与车辆的各轴间距相对应)位置处的轨道响应。考虑激振角频率为的轮轨力对应的轨道结构上的轮对相互影响系数，设一速度为v、初始时刻位于固定坐标系原点O(一轨枕正上方)的单位移动谐振荷载作用在钢轨上，并引入原点始终位于荷载位置且与荷载同速移动的移动坐标，见图2。此时，移动坐标系下坐标为处的点(图2中“拾振点”)钢轨位移响应可以由广义Duhamel积分表示为

       (1)

其中：；为时刻时，在移动坐标系中坐标原点处钢轨作用一单位脉冲荷载(Dirac荷载)；移动坐标为点处钢轨时刻t的位移响应；上标“′”表示移动坐标系下的物理量。

由于＞t时，=0，式(1)的积分上限可以扩展到无穷，有

      (2)

在式(2)中对时间t进行傅里叶变换，将其变换到频域，运用卷积傅里叶变换的性质可得

      (3)

其中：为角频率；和分别为及频域内的量；符号“”表示频域内的物理量；为Dirac函数。

对式(3)中的进行逆傅里叶变换，有

  (4)

其中：为移动坐标系下对应激振频率的轨道结构的柔度，在本文中被称作轮对相互影响系数函数。

由式(4)可知：列车以速度v行驶时，对于列车轴分布下激振频率为的简谐移动轮轨力群。轨道结构上轮对相互影响系数矩阵为

   (5)

其中：为轮对相互影响系数，由关系可知其物理意义为单位脉冲荷载在t=0时刻作用在钢轨上的移动坐标原点，即荷载作用下，引起轨道结构移动坐标点处钢轨对应于角频率的频域位移响应；为列车第i轴和第j轴间的距离；x_i和x_j分别为列车第i轴和第j轴初始时刻在固定坐标系下的坐标；m_w为列车总轴数。

2  轮对相互影响系数的求解

在车轨耦合问题的频域法中，激振频率=0的静轮轨力直接视为列车轴重，无需进行相应轮对相互影响系数矩阵的求解；而在求解某一激振频率的简谐动态轮轨激励力的幅值时才需要计算轮对相互影响系数矩阵^[7]。因此，本文仅研究有意义的、激振频率时所对应的轮对相互影响系数的求解。

2.1  轮对相互影响系数的解析表达

考虑对应列车速度v及激振频率的轮对相互影响系数的求解。从其物理意义出发，考虑一单位脉冲荷载(Dirac荷载)在t=0时刻作用在轨道结构钢轨上的移动坐标()原点=0 m处，如图3所示。此时，移动坐标系下钢轨的振动方程为

        (6)

其中：为移动坐标系下钢轨的竖向位移；，为考虑了钢轨材料阻尼的复弹性模量；E是钢轨的实弹性模量；为钢轨的损耗因子；I为钢轨截面惯性矩；m为钢轨的线密度；x_n为第n个钢轨垫片在固定坐标系下的位置坐标； 为轨道结构所受的外力；为荷载作用下，第n个钢轨垫片给钢轨的支撑反力(钢轨垫片中的力)。

图3  作用在轨道结构上的Dirac荷载

Fig. 3  Dirac load applied on track structure

对于外荷载，有

    (7)

即移动的概念对于Dirac荷载无意义(这也是图3中用虚线箭头表示Dirac荷载在“移动”的原因所在)。因此，实际上是轨道结构在固定坐标系原点O处受作用引发的第n个钢轨垫片中的力，见图4。

图4  Dirac荷载作用下钢轨垫片中的力

Fig. 4  Forces in rail pads under Dirac load

定义双重傅里叶变换为

       (8)

其中：为波数；符号“”表示波数-频率域内的物理量。对式(6)运用双重傅里叶变换，将方程变换到波数-频率域，有

            (9)

解式(9)，有

   (10)

对式(10)的波数变量进行逆傅里叶变换，将波数-频率域内的位移响应变换到空间-频率域，有

  (11)

由轮对相互影响系数的物理意义，有

  (12)

在实际计算中，式(12)右侧无穷项不可能计算，而只能计算有限个垫片。但计算垫片个数足够多时，可以得到收敛结果。不妨考虑原点O两侧各N个垫片，即包括原点处共计2N+1个垫片，并将式(12)右边分成3项，有

    (13)

其中：P₁，P₂和P₃分别与式(13)中右边的3个积分式相对应；p为对应一特定d_ij的钢轨垫片编号，它使得编号为p及p+1的垫片坐标满足x_p＜d_ij≤x_p+1。

由围道积分及留数定理，有

            (14)

      (15)

       (16)

其中：，，和分别为方程在一特定()取值下的4个根，其中和虚部小于0，和虚部大于0(可以证明，当考虑钢轨损耗因子时，即＞0时，方程的4个根一定是2个虚部小于0，而另2个虚部大于0)；；为轨道结构在固定坐标系原点O处受作用时，第n个钢轨垫片中对应频率为的力。

至此，轮对相互影响系数已被表达为含有钢轨垫片中频域力的解析式(式(13)~(16))。结合式(13)~(16)可以看出：在一特定()取值下只要能求得就可以解出。

2.2  钢轨垫片中频域力的求解

采用传递矩阵方法^[10~15]对钢轨垫片中的系列频域力进行求解。本文仅给出当前轨道结构1个基本周期单元对应于角频率的传递矩阵的求法，如何运用基本周期单元的传递矩阵进行Dirac荷载作用下轨道响应的求解可参见文献[10~15]。轨道结构的1个基本周期单元可以根据Dirac荷载作用位置分解为1段或2段钢轨单元及1个支承微单元。此时，Dirac荷载作用在固定坐标原点，即一轨枕正上方，1个基本周期单元是由1段钢轨单元及1个支承微单元构成的，见图5。

图5  轨道结构基本周期单元及其构成

Fig. 5  Basic periodic elements of track structure and their composition

对于图5所示的1个基本周期单元，其传递矩阵为

           (17)

其中：为1个基本周期单元的传递矩阵；为钢轨单元(区段)的传递矩阵；为支承微单元的传递矩阵。

对于钢轨单元的传递矩阵，Gupta等^[14-15]给出了Euler梁情形下的详细求解方法，其可表示为

      (18)

其中：等式右边矩阵中各矩阵为该钢轨区段动力刚度矩阵K的子矩阵，它们均与角频率有关，具体求法可参见文献[14-15]。

对于支撑微单元的传递矩阵，可表示为^[10-11]

       (19)

其中：；为钢轨下部支撑对应角频率为时的复合刚度，

     (20)

；； ；k_r和c_r分别为钢轨垫片的刚度及阻尼；m_s为轨枕质量；k_b和c_b分别为道床对轨枕的支撑刚度及阻尼；m_b为1个轨枕对应的道床质量；k_f和c_f分别为基础对道床的支撑刚度及阻尼。

由此可以求得Dirac荷载作用在固定坐标原点时轨道结构1个基本周期单元对应角频率的传递矩阵。至此，运用传递矩阵方法，可快速求得Dirac荷载作用下各钢轨垫片处对应角频率的钢轨频域位移(具体步骤可参见文献[10-15])，进而可求得对应的钢轨垫片中的力(钢轨垫片的支撑反力) 。

2.3  轮对相互影响系数的最终求解

对于特定的激振频率，首先利用前面的传递矩阵方法将j=1, 2, 3, 4时各钢轨垫片中的频域力(钢轨垫片的支撑反力)全部求得，再将它们代入式(14)~(16)，并利用式(13)，即可求得。对进行采样循环，可得到轮对相互影响系数随(轮轨力)频率变化的关系。

3  计算分析

采用普通道砟轨道进行计算分析，轨道的具体计算参数见表1。此外，本文轮轨力的激振频率扩充至500 Hz。

表1  轨道参数

Table 1  Parameters of track

图6所示为轮对相互影响系数解析计算算法中对所计钢轨垫片数2N+1进行的收敛分析结果。图6中以速度160 km/h下轮对对自身(=0 m)影响系数的模值为例进行示意。从图6可以看到：当计算垫片数取足够大时，轮对相互影响系数的计算结果收敛，得到的计算结果准确：当计算11个垫片时，在一些频段还没能收敛到准确的取值，特别是在低频段；当计算垫片数为51，101和401时，已几乎完全重合。对算法进一步收敛发现：该解析算法使轮对相互影响系数计算结果收敛所需计算的垫片数在列车正常运行速度范围内(0~350 km/h)对速度的变化并不敏感，但对移动坐标系中的距离的变化较敏感，具体地，随着绝对值变大，所需计算垫片数也会有所增大。

图6  计算钢轨垫片数对轮对相互影响系数的影响

Fig. 6  Influence of calculated rail pad number on wheelset’s interaction coefficient

在以下计算中，考虑=0，2.56及-2.56 m时的轮对相互影响系数时的轮对相互影响系数(2.56 m为中华之星列车的拖车同一转向架下两轮对的轴距)，取计算垫片数2N+1=51，以保证计算结果的收敛准确。

图7所示为速度为160 km/h，=0，2.56及-2.56 m时的轮对相互影响系数。图7给出了的模值、实部及虚部(分别表示为abs, re及im)。从图7可以看出：影响系数在一些频段存在较大起伏，这反映了轨道的固有特性。比较图7(b)及图7(c)可以看出：当速度不为0 km/h时，关于并不是偶对称的。这说明轨道结构上两轮对之间，后轮引起前轮处轨道的位移(后轮对前轮的影响)与前轮引起后轮处轨道的位移(前轮对后轮的影响)是不相同的。显然，这样的不对称是定点荷载状态激振下无法体现的，也是更为合理的，因为轮对的移动方向本身就带来了不对称性。

图7  一些典型的轮对相互影响系数

Fig. 7  Some typical wheelsets’ interaction coefficient

图8所示为=0 m时不同速度下轮对相互影响系数的模值()。图中速度v=0 km/h时对应的曲线可以认为是定点荷载状态激振下的影响系数，即轨道的频率响应函数，它的形状符合典型的轨道频响函数形状^[13]，这也验证了本文算法的正确性及准确性，同时它的峰值位置反映了轨道的固有频率。从图8可以看到：当列车速度不同时，轮对间的影响系数是不同的；当速度较小时(如v=40 km/h时)，移动荷载状态激振下的轮对相互影响系数与定点荷载状态激振下的相差不大，但当速度更高时，在某些频段上特别是轨道固有频率附近频段，2种激励方式出现差别，且速度越大，差别越大。可见，运用定点激励方式，在列车高速运行时会带来相应的误差。

图8  列车不同速度对轮对相互影响系数的影响

Fig. 8  Influence of train speed on wheelsets’ interaction coefficient

4  结论

(1) 本文提出的轮对相互影响系数的解析求解方法在计算钢轨垫片数取足够大时，可得到收敛、准确的结果。

(2) 由于方法计算准确度高、计算速度快，本文方法可用于建立更合理的频域车轨耦合模型。

(3) 轮对相互影响系数函数关于距离并不是偶对称的。这说明轨道结构上两轮对之间，后轮引起前轮处轨道的位移(后轮对前轮的影响)与前轮引起后轮处轨道的位移(前轮对后轮的影响)是不相同的。

(4) 列车速度对轮对间的影响系数有较大影响，车轨耦合模型在列车高速运行时宜采用移动荷载状态激振。

参考文献：

[1] 翟婉明. 车辆-轨道耦合动力学[M]. 3版. 北京: 科学出版社, 2007: 12-133.

ZHAI Wanming. Vehicle-track coupling dynamics[M]. 3rd ed. Beijing: Science Press, 2007: 12-133.

[2] 翟婉明. 车辆-轨道垂向系统的统一模型及其耦合动力学原理[J]. 铁道学报, 1992, 14(3): 10-21.

ZHAI Wanming. The vertical model of vehicle-track system and its coupling dynamics[J]. Journal of the China Railway Society, 1992, 14(3): 10-21.

[3] Zhai W M, Sun X. A detailed model for investigating vertical interactions between railway vehicle and track[J]. Vehicle System Dynamics, 1994, 23(Suppl.): 603-615.

[4] 雷晓燕, 张斌, 刘庆杰. 列车-轨道系统竖向动力分析的车辆轨道单元模型[J]. 振动与冲击, 2010, 29(3): 168-173, 212.

LEI Xiaoyan, ZHANG Bin, LIU Qingjie. Model of vehicle and track elements for vertical dynamic analysis of vehicle-track system[J]. Journal of vibration and shock, 2010, 29(3): 168-173, 212.

[5] Lei X Y, Noda N A. Analyses of dynamic response of vehicle and track coupling system with random irregularity of track vertical profile[J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 258: 147-165.

[6] Lei X Y, Mao L J. Dynamic response analyses of vehicle and track coupled system on track transition of conventional high speed railway[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 271: 1133-1146.

[7] 曹艳梅. 列车引起的自由场地及建筑物振动的理论分析和试验研究[D]. 北京: 北京交通大学土木建筑工程学院, 2006: 124-154.

CAO Yanmei. Theoretical and experimental study on train-induced vibrations of free field and buildings[D]. Beijing: Beijing Jiaotong University. School of Civil Engineering, 2006: 124-154.

[8] 贾颖绚. 基于解析的车轨耦合模型及地铁对环境的振动影响研究[D]. 北京: 北京交通大学土木建筑工程学院, 2009: 53-102.

JIA Yingxuan. Study on analytical model of coupled vehical & track and effect to environment by metro train-induced vibrations[D]. Beijing: Beijing Jiaotong University. School of Civil Engineering, 2009: 53-102.

[9] Lu F, Kennedy D, Williams F W, et al. Symplectic analysis of vertical random vibration for coupled vehicle-track systems[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 317: 236-249.

[10] Liu W N, Degrande G. Joint research report of the bilateral project BIL 98/9 “Traffic induced vibrations in building”[R]. Beijing: Beijing Jiaotong University, 2002.

[11] 张昀青. 地铁列车振动影响及轨道结构参数影响分析[D]. 北京: 北京交通大学土木建筑工程学院, 2004: 38-54.

ZHANG Yunqing. Study on the ground vibrations due to metro trains and analysis to the effect of track structure parameters[D]. Beijing: Beijing Jiaotong University. School of Civil Engineering, 2004: 38-54.

[12] 刘维宁, 张昀青, 孙晓静. 移动荷载作用下周期支承Timoshenko梁动力响应[J]. 中国铁道科学, 2006, 27(1): 38-42.

LIU Weining, ZHANG Yunqing, SUN Xiaojing. Dynamic response of periodic supported timoshenko beam under moving load[J]. China Railway Science, 2006, 27(1): 38-42.

[13] MA Longxiang, LIU Weining, ZHANG Hougui, et al. Analysis of track parameters’ influence on rail frequency response function based on analytical solution[C]// Proceedings of 5th International Symposium on Environmental Vibration (ISEV2011). Beijing: Science Press, 2011: 700-706.

[14] Gupta S, Degrande G. Dynamic analysis of a beam on elastic foundation using the Fourier and Floquet transformations[R]. Leuven: Katholieke Universiteit Leuven, 2005: 14-17.

[15] MA Longxiang, LIU Weining, DU Linlin, et al. An analytical track model considering the size effect of the rail pad[C]// The 2nd International Conference on Railway Engineering (ICRE2012). Beijing: China Railway Publishing House, 2012: 185-191.

(编辑  何运斌)

收稿日期：2013-05-15；修回日期：2013-07-27

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51278043，51378001)

通信作者：马龙祥(1988-)，男，四川成都人，博士研究生，从事车轨耦合模型及城市轨道交通环境振动等研究；电话：13426335062；E-mail: lxma_njtu@163.com