DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2018.01.010

基于SLIP模型的液压驱动单腿机器人竖直跳跃控制

陈志伟，金波，朱世强，庞云天，黄翰林，陈刚

(浙江大学 流体动力与机电系统国家重点实验室，浙江 杭州，310027)

摘要：针对液压驱动足式机器人竖直跳跃控制，提出一种基于SLIP竖直跳跃动力学模型实现液压驱动机器人竖直跳跃的控制策略。分析SLIP竖直跳跃动力学模型并求解其动力学微分方程得到质心运动轨迹，将关节型单腿机器人竖直跳跃髋部的运动轨迹映射到SLIP模型质心的运动轨迹，通过机器人运动学逆解得到机器人关节运动轨迹，以此驱动关节运动；同时建立关节型单腿机器人竖直跳跃动力学方程和液压驱动执行器动力学方程，应用MATLAB/Simulink软件进行动态跳跃控制仿真并进行样机试验。研究结果表明：基于SLIP竖直跳跃动力学模型的控制策略可实现液压驱动单腿机器人持续稳定的竖直跳跃，为足式机器人动态步态行走控制研究提供参考。

关键词：弹簧倒立摆；单腿机器人；液压驱动；竖直跳跃

中图分类号：TP242        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2018)01-0072-08

Vertical hopping control of hydraulically actuated single-legged robot based on SLIP

CHEN Zhiwei, JIN Bo, ZHU Shiqiang, PANG Yuntian, HUANG Hanlin, CHEN Gang

(State Key Laboratory of Fluid Power and Mechatronic Systems, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

Abstract: For the vertical dynamic hopping control of hydraulically actuated legged robot, a control strategy based on the vertical hopping dynamics of SLIP (spring loaded inverted pendulum) was presented. The vertical hopping dynamics of SLIP was analyzed and the motion trajectory of its CoM (center of mass) was obtained by solving the differential equation of its dynamics. The motion trajectory of articulated single-legged robot’s hip was mapped to that of SLIP’s CoM. Then the joint motion trajectory, which drove the robot’s joint motion, was obtained by inverse kinematics of robot. Furthermore, by establishing the vertical hopping dynamics of articulated single-legged robot and hydraulic actuator dynamics, the simulation of vertical hopping was done in the software of MATLAB/Simulink. And meanwhile the vertical hopping experiment was done on robot prototype. The results show that the hydraulically actuated single-legged robot is able to hop continuously and stably with a control strategy based on the vertical hopping dynamics of SLIP, which provides reference for the control of the dynamic gait walking of legged robot.

Key words: SLIP; single-legged robot; hydraulically actuate; vertical hopping

足式机器人动态步态(如小跑、腾跃)的落足点不需形成支撑面就可保证机体稳定，同时可以越过较大尺寸的障碍物，在非结构化环境及崎岖地形下行走时具有很大的优势^[1]，成为机器人研究领域的热点和难点。为了实现足式机器人以动态步态通过崎岖地面，RAIBERT等^[2]进行了开创性研究，将单腿跳跃机器人动态步态控制解耦成独立的3部分：1) 动态跳跃控制；2) 前进速度控制；3) 姿态控制。在此基础上，RAIBERT等^[2]将单腿动态控制策略扩展到对双足、四足机器人的控制，实现了多足机器人的动态跳跃步态的控制，在此基础上研发了液压驱动四足机器人BigDog^[3]，WildCat^[4]和LS3^[5]等。单腿机器人动态跳跃控制是RAIBERT等^[2]提出的3个控制问题中最先需解决的问题，也是多足机器人实现动态步态行走的底层控制的核心。张雪峰等^{[1, 6-7]}在研究多足机器人动态步态控制前都对单腿跳跃机器人竖直跳跃控制进行了相关研究。SLIP(spring loaded inverted pendulum，弹簧倒立摆)模型一直是研究哺乳类动物奔跑和足式机器人动态跳跃步态的理想模型，研究者基于该模型进行动态步态的仿真研究^[8-10]，实现了多种类型单腿机器人动态跳跃控制^[11-12]。PROSSER等^[13]在基于SLIP模型的单腿机器人上实现了跳跃高度的控制。KOEPL等^[14]应用SLIP模型的被动动力学实现了单腿机器人奔跑步态下抗干扰的鲁棒控制。SARANLI等^[8]基于能量碰撞补偿的SLIP模型并应用无差拍控制在单腿机器人上实现了跳跃高度的控制。针对液压驱动足式机器人动态跳跃控制，本文作者将SLIP模型映射于液压驱动单腿机器人，以机器人髋部为模型质心，弹簧位于髋部和足端两端，同时将单腿机器人竖直跳跃髋部的运动轨迹映射到SLIP模型质心弹跳的运动轨迹，通过机器人运动学逆解得到机器人关节运动轨迹，以此驱动机器人关节运动，实现单腿机器人竖直跳跃运动。

1  液压驱动单腿机器人与SLIP模型竖直跳跃分析

1.1  液压驱动单腿机器人

液压驱动单腿机器人为关节型足式机器人，如图1所示，包含髋部、大腿、小腿以及足端4部分，机器人有2个关节自由度，分别为矢状面内髋关节伸展和收缩自由度以及膝关节伸展和收缩自由度。2个旋转关节都由液压缸驱动，分别利用转动导杆机构和摆动导杆机构将液压缸活塞的直线运动转化为机器人髋关节的旋转和膝关节的旋转运动。机器人髋部由连接板固接在双竖直导轨的滑块上，因此，髋部仅可在竖直方向自由滑动，其他方向的移动或转动自由度都受到约束。为实现对机器人的控制，机器人关节处安装角度编码器用于检测关节角度，机架上安装高度编码器用于检测机器人髋部移动的位移，液压缸伸出杆上安装力传感器用于检测负载力，液压缸进出油口的压力传感器用于检测各点压力。机器人足端外层包裹一层橡胶，用于缓解机器人着地时地面对机器人的瞬间冲击。伺服比例阀安装于阀板上，阀板与液压缸间的油口通过油管相连。

图1  液压驱动单腿机器人

Fig. 1  Hydraulically actuated single-legged robot

1.2  SLIP模型竖直跳跃分析

SLIP模型将具有一定刚度的无质量弹簧加载于质心上，动态运动过程中动能和弹簧势能间可以相互转换，且无能量损耗，保证质心进行周期性的动态跳跃，在足式机器人领域通常被用于描述机器人的动态跳跃^[15]，当SLIP模型的水平速度为0 m/s时即为竖直跳跃运动。

空中相SLIP模型质心仅受到重力作用，作自由落体运动，以起跳时刻为初始时刻，质心动力学方程如式(1)所示，运动轨迹如式(2)所示。

                 (1)

          (2)

式中：为质心加速度，m/s²；g为重力加速度，m/s²；l₀为系统弹簧原长，m；z_CoG为质心高度，m；t为时间，s；v₀为质心起跳速度，m/s，

                  (3)

式中：H为质心跳跃高度，m。

                  (4)

式中：T_fl为空中相时间，s。

着地相SLIP模型质心动力学方程为

        (5)

式中：m_CoG为质心质量，kg；k为弹簧刚度，N/m。

该二阶常系数非齐次线性微分方程的解为

     (6)

式中：，为系统自然频率，rad/s。着地时间为

          (7)

式中：T_st为着地相时间，s。

2  液压驱动单腿机器人竖直跳跃模型

2.1  单腿机器人竖直跳跃动力学模型

单腿机器人以髋部作为机体未受到完全约束，竖直方向可自由移动，因此，将单腿机器人视为浮动基座的多刚体系统^[16]，可建立广义坐标向量q，动力学方程由向量q的函数表示为

                (8)

式中：q为机器人广义坐标向量；q_b为机器人浮动基座坐标向量，由于机器人髋部受到竖直导轨的约束，机体横坐标值不变，在广义坐标向量中不表达横坐标信息，因此，q_b=(z)^T；z为机器人髋部高度，m；q_r为机器人主动关节角度向量，q_r=(q_H, q_K)^T；q_H为髋关节角度，(°)；q_K为膝关节角度，(°)。

机器人足端着地时，足端受到来自地面的作用力，足端受力与关节力矩分析如图2所示。地面对足端的水平方向作用力和竖直方向作用力分别为F_x和F_y，其中，F_x在髋关节和膝关节产生的力矩分别为τ_xH和τ_xK，F_y在髋关节和膝关节产生的力矩分别为τ_yH和τ_yK。

机器人空中相(或着地相)连续的多体动力学特征因足端着地(或起跳)事件被中断，变成另一种多体动力学特征^[17]，因此，分别列机器人着地相和空中相的动力学方程。

图2  机器人着地相时足端受力与关节力矩分析

Fig. 2  End-effector force and joint torque analysis of robot on stance phase

着地相时，单腿机器人动力学模型的动力学方程为

      (9)

式中：和分别为广义坐标的速度和加速度矩阵；M(q)为浮动基惯性矩阵；B(q, )为浮动基的科氏力和离心力向量；g(q)为浮动基重力向量；S为主动关节力矩的选择矩阵；τ为关节力矩向量；λ为足端的作用力向量；J为雅克比矩阵。

假设着地相期间机器人足端没有滑动，足端受到广义约束力作用，速度及加速度满足接触约束条件，分别如式(10)和式(11)所示。

                (10)

             (11)

式中：和分别为笛卡儿空间下机器人着地相时的足端速度与加速度向量；为雅克比矩阵的微分。

将机器人动力学方程(9)代入式(11)可得到机器人足端接触力表达式：

 (12)

式(12)表明用多体动力学方程的表达式即可估计机器人足端接触力，而无需采用接触力传感器检测接触力，为仿真运算带来便利。

再将机器人足端接触力式(12)代入式(9)可得机器人着地相时的动力学方程：

     (13)

式中：Λ=(JM^-1J^T)^-1，为支撑空间惯性矩阵；N=I-M^-1J^TΛJ，为持续动态支撑非零空间矩阵^[18]；I为单位矩阵。

假设机器人着地瞬间足端与地面间碰撞时间很短且为完全非弹性碰撞，碰撞后足端速度瞬间变为0 m/s，但是机器人姿态没有发生变化。将机器人动力学方程式(9)两边进行积分得到：

    (14)

式中：t₀为碰撞前瞬间时刻，s；△t为碰撞持续时间，s。其中足端着地时的冲量^[19]为

            (15)

I_s为足端着地时的冲量向量。当△t→0时，式(14)等号左边第1项为0，即

      (16)

由式(10)得着地后足端速度为0 m/s，即满足

         (17)

将式(17)代入式(16)可得机器人着地瞬间足端冲量表示式：

         (18)

将式(18)代入式(16)得着地后机器人广义坐标：

             (19)

空中相时机器人除受重力作用外不受其他作用力，其动力学模型的动力学方程为

        (20)

2.2  液压执行器动力学模型

液压驱动单腿机器人髋关节和膝关节的执行器单元相同，包括液压缸和伺服比例阀，如图3所示，为缓解机器人着地瞬间地面冲击对机器人系统造成的影响，在液压缸的进出油口间增加阻尼孔。

分别对液压缸的无杆腔和有杆腔列写流量连续性方程，输入某个液压容腔节点的流量除了使容腔的容积发生变化外，还被用于压缩油液，使油液的压力变化，参考GUGLIELMINO等^[20]列写的流量连续性方程，将无杆腔和有杆腔的按伺服比例阀开口情况分别列写的流量连续性方程统一到1个公式。

图3  液压驱动单腿机器人执行器单元

Fig. 3  Actuator unit of hydraulically actuated single-legged robot

无杆腔流量连续性方程为

    (21)

有杆腔流量连续性方程为

    (22)

式中：p_S和p_T分别为泵出油压力和回油压力，Pa；p₁和p₂分别为液压缸无杆腔和有杆腔压力，Pa；和分别为液压缸无杆腔和有杆腔压力的微分；B_eff为液压油体积弹性模量，Pa；c_d为节流孔流量系数；Q_N为公称流量，m³/s；Δp_N为公称流量时节流孔进出口的压力差，Pa；ρ为油液密度，kg/m³；V₁和V₂分别为液压缸无杆腔和有杆腔与阀口间的体积，m³；为液压缸活塞速度，m/s；y_v为归一化后的阀芯移动位移，y_v∈[-1,1]；A_p和A_r分别为液压缸无杆腔截面积和有杆腔空腔截面积，m²；A₀为阻尼孔截面积，m²；k_ic和k_ec分别为液压缸内泄漏和外泄漏参数。式(21)和式(22)中的符号函数含义分别为

            (23)

           (24)

式中：b为一般变量。

液压缸活塞动力学方程：

        (25)

式中：F_cyl为液压力，N；F_L为液压缸伸出杆负载力，N；F_f为活塞受到的摩擦力，N；m_p为液压缸活塞和腔内油液质量总和，kg；B_l为黏性阻尼系数，N·s/m；为液压缸活塞加速度，m²/s。液压力数学表达式为

            (26)

研究者对液压缸摩擦力模型进行了研究并建立了许多模型，其中较典型的有以Stribeck摩擦模型建立的液压缸摩擦力模型，该摩擦模型包含3个部分。

1) 库仑力。依据液压缸活塞速度的方向，该力是一个常数。

2) 静态力。该力主要在出现在液压缸活塞启动前但依然保持静止的时刻，并在活塞启动前指数级衰减。

3) 黏性阻尼力。这是摩擦力中唯一呈线性关系的一项，与液压缸活塞的速度成正比。

由上述3项建立的液压缸Stribeck摩擦力模型数学表达式为

        (27)

式中：B_v为活塞黏性摩擦因数，(N·s/m)；F_c0为库仑力，N；F_s0为静摩擦力，N；C_s为静摩擦力衰减系数，也称为Stribeck速度，m/s。

相比于机械系统，伺服比例阀动态频率高于机器人机械系统频率几个数量级，伺服比例阀动态特性以二阶系统表示：

          (28)

式中：u_v为伺服阀的输入信号，V；ω_v为伺服阀的自然频率，rad/s；D_v 为伺服阀的阻尼系数，N·s/m。

3  仿真分析与样机试验

3.1  仿真分析与结果

在MATLAB/Simulink仿真软件中建立2.1节和2.2节描述的液压驱动单腿机器人竖直跳跃动力学模型和液压执行器动力学模型，机器人参数如表1所示，竖直跳跃控制框图如图4所示。空中相以关节目标角度为控制目标，着地相跟踪关节运动轨迹，关节运动轨迹通过机器人髋部运动轨迹逆运动学离线计算得到。空中相和着地相分别采用PID(proportion- integration-differentiation，比例-积分-微分)控制器和PD(proportion- differentiation，比例-微分)控制器对机器人关节运动进行跟踪控制。空中相以足端位置过0判断机器人着地；着地相以机器人足端受力过0判断机器人起跳。

表1  液压驱动单腿机器人参数

Table 1  Parameter of hydraulically actuated single-legged robot

图4  单腿机器人竖直跳跃控制

Fig. 4  Vertical hopping control of single-legged robot

SLIP模型的质心质量为11 kg，弹簧无质量，弹簧刚度为2 010 N/m，将质心无初速度地从离地0.64 m的高度自由下落后的质心运动曲线规划机器人关节的运动轨迹。髋关节和膝关节运动曲线以4次多项式拟合为：

 (29)

   (30)

关节角度单位为(°)。机器人着地前髋关节和膝关节角度分别为40°和-80°，关节角度定义见文献[21]。液压系统系统压力为6 MPa，单腿机器人及SLIP模型竖直跳跃仿真结果如图5~8所示。

图5  SLIP质心与机器人髋部高度与速度

Fig. 5  Height and velocity of SLIP CoM and robot’s hip

图6  机器人关节运动轨迹

Fig. 6  Motion trajectory of robot’s joint

图7  SLIP弹簧作用力与机器人足端受地面的垂直作用力

Fig. 7  Vertical reaction force of SLIP and robot’s end-effector

图8  膝关节液压缸两腔压力

Fig. 8  Hydraulic pressure of chambers of hip cylinder

仿真控制机器人实现了持续稳定的周期性跳跃，机器人髋部跳跃高度与SLIP模型质心弹跳高度一致，机器人髋部与SLIP质心高度与速度曲线如图5所示。机器人关节运动轨迹如图6所示。着地相机器人关节跟踪关节运动轨迹使机器人髋部跟踪SLIP模型质心运动轨迹，空中相完成机器人固定姿态控制，髋关节和膝关节角度分别为40°和-80°，为机器人着地作准备。与SLIP模型弹簧末端完全弹性着地不同，机器人足端着地为非完全弹性着地，着地瞬间机器人足端与地面间存在冲击，地面对足端产生较大的垂直作用力，如图7所示，着地冲击使得膝关节液压缸无杆腔形成较大的液压冲击，如图8所示。从图8可知：着地相中间时刻膝关节液压缸无杆腔出现较大压力，且无杆腔和有杆腔形成较大的压力差，说明此时机器人腿弯曲到底部并开始猛力蹬腿，为跳跃提供足够的起跳动力；着地相结束时刻膝关节液压缸有杆腔出现较大压力，说明此时机器人关节快速收缩并准备起跳。

3.2  样机试验结果

搭建液压驱动单腿跳跃试验平台，除单腿机器人外，还包含液压泵站和控制系统，在试验平台上进行基于SLIP竖直跳跃动力学模型的竖直跳跃控制试验，控制策略、系统设置以及初始条件与仿真试验的相同。

与仿真结果一致，采用本文介绍的控制策略可以实现单腿机器人连续的周期跳跃，机器人髋部高度与速度曲线如图9所示，髋部运动轨迹与速度曲线与图5仿真结果接近，关节运动曲线如图10所示。膝关节液压缸伸出杆受力如图11所示，其中，负号表示力传感器被压缩。空中相时伸出杆受力很小，着地相液压缸伸出杆受力最大为1 690 N。膝关节液压缸两腔压力及系统压力如图12所示，与图8仿真结果一致：着地瞬间机器人在膝关节液压缸无杆腔形成液压冲击，由于液压缸两腔阻尼孔的存在，液压冲击在可接受的范围内；在着地相中间时刻机器人开始猛力蹬腿，液压缸无杆腔和有杆腔间形成较大的压力差，为跳跃提供足够的起跳动力，直到机器人跳起。

图9  机器人髋部高度与速度

Fig. 9  Height and velocity of robot hip

图10  机器人关节运动轨迹

Fig. 10  Motion trajectory of robot’s joint

图11  膝关节液压缸伸出杆受力

Fig. 11  Reaction force of hydraulic rod chamber of robot’s knee

图12  膝关节液压缸两腔压力及系统压力

Fig. 12  Hydraulic pressure of knee cylinder chambers and hydraulic system

4  结论

1) 分析SLIP模型竖直跳跃并求解动力学微分方程得到质心运动轨迹，建立液压驱动单腿机器人跳跃动力学方程和液压驱动执行器动力学方程，得到机器人着地瞬间足端与地面为非完全弹性碰撞的足端冲量表示式。

2) 将单腿机器人竖直跳跃髋部的运动轨迹映射到SLIP模型质心弹跳的运动轨迹，基于MATLAB/Simulink仿真控制实现单腿机器人连续稳定的竖直跳跃，机器人髋部跳跃高度与SLIP模型质心弹跳高度一致。着地相中间时刻，无杆腔和有杆腔形成较大的压力差，此时，机器人腿弯曲到底部并开始猛力蹬腿，为跳跃提供足够的起跳动力；着地相结束时刻膝关节液压缸有杆腔出现较大压力，此时，机器人关节快速收缩并起跳。

3) 基于SLIP竖直跳跃动力学模型的液压驱动单腿机器人可进行持续稳定的竖直跳跃，可为足式机器人动态步态行走控制研究提供参考。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2017-03-16；修回日期：2017-05-04

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金创新研究群体科学基金资助项目(51521064)；国家自然科学基金资助项目(41506116)；浙江省自然科学基金资助项目(LY13E050001) (Project(51521064) supported by Science Fund for Creative Research Groups of National Natural Science foundation of China; Project(41506116) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(LY13E050001) supported by the Natural Science Foundation of Zhejiang Province)

通信作者：金波，博士，教授，博士生导师，从事机电液控制，智能机器人控制研究；E-mail: bjin@zju.edu.cn