一种新快速LMS-Newton算法在水声信道均衡中的应用

宁小玲，李启元，陈志刚

(海军工程大学 电子工程学院，湖北 武汉，430033)

摘要：提出一种新的快速LMS-Newton算法，并将该算法用于水声信道均衡。首先引入归一化因子以提高算法收敛速度，在此基础上，引入一种新的变步长迭代方程进一步降低算法收敛后的稳态误差。通过仿真分析步长迭代方程中α和β的取值原则及对算法收敛性能的影响，并在2种水声信道环境下，采用2种调制信号将该算法与其他LMS类和RLS类算法的收敛性能进行比较。研究结果表明：该算法实现简单，收敛速度快，稳态误差小；相比XENLMS算法，对于水声信道和调制信号的变化，新算法的适应性或者鲁棒性更强，且随着信道环境和调制信号的复杂化，新算法的收敛性能均与RLS类算法的相当。

关键词：LMS-Newton；收敛速度；稳态误差；信道均衡；水声通信

中图分类号：TN929.3           文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)11-4548-06

A new fast LMS-Newton algorithm for application to underwater acoustic channel equalization

NING Xiaoling, LI Qiyuan, CHEN Zhigang

(Electronics Engineering College, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Abstract: An improved fast LMS-Newton algorithm applied to underwater acoustic equalization was proposed. A new normalized factor was introduced to improve the convergence speed, and then a new variable step-size iterative equation was applied to reduce steady-state error. The adoption principle about various α and β and their influence on convergence ability of the presented algorithm were analyzed by simulation. After that, the comparison of convergence abilities were carried out among the new algorithm, several LMS class algorithms and several RLS class algorithms by using two modulation signals in two different underwater acoustic channels respectively. The results show that the new algorithm is of simple structure, fast convergence and less steady-state error. The adaptability of the new algorithm is superior to that of XENLMS algorithm when underwater channel and modulation signal change. At the same time, the convergence performance of new algorithm is similar to that of RLS with the complication of channel circumstance and modulation signal.

Key words: LMS-Newton; convergence speed; steady-state error; channel equalization; underwater acoustic communication

水声信道均衡的目的是为了消除信道对传输信号的影响和减小ISI，提高信息传输的可靠性。目前，在相干水声通信中，普遍采用自适应均衡技术来克服ISI^[1]。LMS算法是自适应滤波的典型算法，该算法因结构简单、性能稳定、计算复杂度低以及易于硬件实现，在相干水声通信中被普遍应用^[2]。但是LMS在输入信号具有很强的相关性时，收敛性能下降很快^[3-4]。为了改进LMS算法的收敛性能，对输入信号进行去相关或进行步长控制，为此，各种归一化LMS算法^[5-6]、变步长LMS算法^[7-9]以及LMS/Newton的改进算法^[10-11]相继被提出。文献[5]提出了一种可变步长归一化LMS算法，其收敛性能稳定，收敛速度快。文献[6]提出了一种改进的归一化均方误差算法XENLMS算法，具有非常快的收敛速度，并克服了RLS算法计算量大、不利于硬件实现的实际问题。文献[7]提出了一种快速的自动噪声控制多信道FSLMS算法，并有效降低算法的计算复杂度。文献[8]提出了一种对一类特殊的不稳定信号进行处理的变步长算法，该算法主要是利用一个非对角化矩阵对输入信号的相关矩阵进行解相关处理。文献[10]提出了一种稳健的改进LMS-Newton算法，主要针对脉冲噪声环境进行处理。文献[11]基于双信道梯度格型算法提出了一种用于声回波消除的快速LMS/Newton算法，相比NLMS算法其计算复杂度稍高。以上这些算法主要是为了加强算法的收敛性能和稳定性，并重视算法在特定环境中的应用。为了进一步优化算法，提高收敛速度，本文作者提出一种新的快速LMS/Newton算法，将其应用于水声信道的均衡，并用仿真实验验证本文提出的算法性能在水声信道环境的优越性以及适用性。

1  改进的快速LMS-Newton算法

1.1  传统的快速LMS-Newton算法

LMS-Newton 算法因具有LMS 算法的简单易行和牛顿算法快速收敛的特性而适合于复杂多变的水声环境。图1所示为LMS-Newton用于自适应均衡的基带模型。图1中：s(k)为信源发出的独立同分布信号序列；h(k)为基带水声信道冲激响应；n(k)为噪声序列；接收机端收到的基带信号序列 ；为量化判决器Qu的输出。

传统的LMS-Newton算法的权值迭代方程为：

       (1)

    (2)

              (3)

其中，为滤波器权值向量；为滤波器输入向量；为输入相关矩阵， 的估计；为算法的步长(收敛因子)；为指数加权因子，且；e(k)为测量误差，d(k)为理想输出。

滤波器输出为

          (4)

从式(1)可以看出：迭代步长是唯一能够控制 算法迭代过程的参量，算法收敛的稳定性、收敛速度以及失调这都与迭代步长有关，因而，改进LMS-Newton算法性能必须从改变迭代步长着手。文献[12]认为在不同的应用环境下需采用不同的收敛因子才会起到最优的收敛效果。

1.2  改进的LMS-Newton算法

固定步长因子的自适应均衡算法不能同时满足收敛速度、时变系统跟踪速度以及收敛精度方面的要求。为了进一步改进算法收敛性能，克服固定步长算法这一不足，需采用变步长算法。与LMS算法相比，归一化NLMS算法的优点在于减小了梯度噪声放大程度。NLMS算法要比LMS算法呈现更快的收敛速度，且收敛性能相对稳定^[13]。自适应步长算法具有初始阶段和未知系统时变阶段步长自动增大而稳态时步长很小的特点，且克服了LMS 算法在自适应稳态阶段步长调整过程中的不足；同时具有良好的收敛性能、很小的稳态误差以及良好的鲁棒性。

图1  自适应均衡算法的基带模型图

Fig.1  Base band domain model of adaptive equalization algorithm

NLMS算法和自适应步长算法都为变步长算法，且2种算法均具有不同的优势，因此，新的改进算法将吸收这2类算法的优点，对传统的算法进行改进。

新算法首先在LMS-Newton算法的基础上对步长因子进行改进，得到归一化NLMS-Newton算法：

       (5)

可以把NLMS-Newton看成步长因子为的一种变步长算法。虽然收敛速度得到提高，但是，归一化算法的收敛性能还有待改进。

在NLMS-Newton算法的基础上，再将自适应步长算法引入到算法中，得到VSSNLMS- Newton算法：

       (6)

自适应步长为

        (7)

其中：0＜＜1，0＜＜1。

2  仿真结果比较与分析

2.1  新算法的收敛性能

仿真中，信噪比为20 dB，信号分别采用QPSK调制方式，仿真信道采用典型的带相位旋转的稀疏水声两径信道^[14]，各均衡器抽头数取M=32。图2所示为参数和对算法收敛曲线的影响。

图2(a)所示为=0.05，不同的算法收敛曲线。从图2(a)可以看出：随着的不断增大，算法的收敛速度逐渐增快，且收敛后的稳态误差逐渐减小。在实际应用中，应选择较大的。

图2(b)所示为=0.8，不同的算法收敛曲线。从图2(b)可以看出：随着的不断增大，算法的收敛速度逐渐增快，但收敛后的稳态误差不变。在实际应用中，为了获得较快的收敛速度，应选择较大的。但从仿真过程发现，当较大时，不能取得过大，在本次仿真中，＞0.3时，算法发散。

可见，固定，选择较大的，算法收敛后的稳态误差比选择较小的要小得多；固定，选择较大的，算法的收敛速度比选择较小的快。但是，决定算法的整体性能，所以，在实际应用中，应先满足。

图2  步长参数对新算法(VSSNLMS- Newton)收敛曲线的影响

Fig.2  Effect of adjusting step size convergence curves of VSSNLMS- Newton algorithm

2.2  与LMS类和RLS类算法的收敛曲线的比较

文献[4]提出的一种改进的归一化均方误差算法XENLMS算法，具有非常快的收敛速度，并克服了RLS算法计算量大、不利于硬件实现的实际问题，为水声通信提供了一种性能优良的可实现方法。本文对XENLMS，RLS，LMS-Newton，NLMS-Newton和VSSNLMS-Newton 5种算法进行比较。

仿真中信噪比为20 dB，信号分别采用QPSK和16QAM调制方式。仿真信道1为典型的带相位旋转的稀疏水声两径信道，各均衡器抽头数取M=32；信道2为稀疏多径信道 ^[6]，比信道1复杂，均衡器抽头数取M=82。输入仿真结果如图3所示。

从图3(a)可知：在信道1和QPSK调制的仿真条件下，LMS-Newton，XENLMS，NLMS-Newton和VSSNLMS-Newton算法的收敛速度依次增强，VSSNLMS-Newton和RLS算法的收敛曲线几乎重合，即二者收敛速度和稳态误差几乎相同。与NLMS-Newton相比，LMS-Newton收敛速度较快，但是收敛后的稳态误差大约为3 dB，VSSNLMS-Newton与NLMS-Newton的收敛速度相当，但是，NLMS-Newton减少了稳态误差。可见，本文提出的VSSNLMS-Newton具有非常优越的收敛性能。

图3(c)和图3(a)的收敛曲线中，各算法的变化趋势完全相同，也就是说，调制信号变化，信道环境不变，VSSNLMS-Newton和RLS的收敛性能几乎相同，只是随着调制信号的复杂化，各算法收敛后的稳态误差增大了约4 dB，而且LMS-Newton和XENLMS的收敛曲线更接近，说明LMS-Newton对于调制信号的变化其适应性比XENLMS更强。

与图3(a)相比，图3(b)中各算法的收敛趋势有所变化，在信道2环境下，LMS-Newton比XENLMS的收敛速度快，VSSNLMS-Newton的收敛速度比RLS的收敛速度约慢200次迭代。

比较图3(d)和图3(b)可知：各算法的收敛趋势不变，但由于调制信号的复杂化，使得各算法收敛后的稳态误差与QPSK调制时相比，增大了约4 dB。

可见：随着信道环境和调制信号的复杂化，VSSNLMS-Newton的收敛性与RLS的相当。

2.3  与其他变步长算法收敛曲线的比较

文献[15]提出变步长LMS算法具有较好的收敛性能，且比其他的变步长自适应滤波算法的计算量少，本文将该变步长算法应用到式(6)的NLMS-Newton算法中，得到基于文献[15]的NLMS-Newton算法，并将这种算法和提出的VSSNLMS-Newton算法性能进行比较。仿真采用QPSK调制信号，分别在信道1和信道2下进行比较分析，得到的性能曲线如图4所示。

图3  2种调制方式、信道环境下的不同算法的收敛曲线比较

Fig.3  Comparison of convergence curves of different algorithms under two modulation and channels

图4  本文算法(VSSNLMS-Newton)和基于文献[15]的NLMS-Newton算法收敛曲线比较

Fig.4  Comparison of convergence curves of VSSNLMS-Newton and NLMS-Newton based in Ref.[15]

从图4可以看出：基于文献[15]的NLMS-Newton算法在3种步长参数(=0.5，=0.2，=0.7(该算法中的=0.001，=300))的收敛曲线中表现出一种变化趋势：当＜0.5时，该算法收敛曲线的收敛速度比VSSNLMS-Newton算法的慢，且随着逐渐减小，收敛速度逐渐变慢，而稳态误差相同；当＞0.5时，该算法收敛曲线的收敛速度与VSSNLMS-Newton算法的相当，但是，稳态误差要略大，且随着的逐渐增大，稳态误差逐渐增大；当=0.5时，基于文献[15]的NLMS-Newton算法取得最好的收敛效果，但是，不论该算法的参数如何变化，该算法的性能均较VSSNLMS-Newton算法的收敛性能略差。

3  结论

(1) 引入归一化因子，得到归一化LMS-Newton算法，并通过建立一个新的步长迭代方程，提出了一种新的变步长自适应滤波算法，同时分析了参数和的取值原则以及对算法性能的影响。

(2) 本文提出的新算法有较好的收敛性能，随着调制信号和信道环境的变化，算法均具有很强的稳定性，与RLS收敛后的稳态误差相同，收敛速度也相差甚微。与XENLMS算法相比，信道环境和调制信号越复杂，其收敛性能越强。同时，该算法比基于文献[15]的NLMS-Newton算法的收敛性能更优越。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2012-10-08；修回日期：2012-12-30

基金项目：国家自然科学基金资助项目(61101205)；海军工程大学自然科学基金资助项目(201300000446)

通信作者：宁小玲(1982-)，女，湖南邵阳人，博士，讲师，从事水下高速通信与均衡估计方法研究；电话：13437266399；E-mail: zhang_ning1982b@yahoo.com.cn