平面滑动型岩质边坡极限平衡分析的上下限法

陈建宏¹，钟福生¹，陈定坤²

(1. 中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083；

2. 中国铝业股份有限公司 重庆分公司，重庆，364200)

摘要：考虑到与岩土体相关地质参数的不确定性和边坡稳定性状态的模糊性，介绍一种适用于边坡稳定性分析的模糊数学方法，即上下限法。该方法首先将岩土体的参数模糊化处理，用三角模糊数来描述岩土体参数。经过模糊化处理的参数取不同的定值时有与之相对应的置信水平，将不同置信水平下的参数组合代入极限平衡公式中，就可计算出边坡安全系数的模糊集，同时模糊集合中的每一数值也有相对应的置信水平，可用于边坡稳定性评价之中。最后，将该方法用于具体的边坡工程实例中，研究结果表明：该方法能够有效地处理边坡稳定性分析中的参数不确定问题。

关键词：极限平衡分析；三角模糊数；安全系数；上下限法

中图分类号：IU457          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)08-3310-06

Upper and lower bound method applied in stability analysis of a plane sliding rock slope based on limit equilibrium theory

CHEN Jianhong ¹, ZHONG Fusheng¹, CHEN Dingkun²

(1. School of Resources & Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

2. Chongqing Branch, Aluminum Corporation of China Limited, Chongqing 408403, China)

Abstract: Considering the uncertainty of geological parameters on rock and soil and the vagueness of the state of rock stability, a fuzzy mathematical approach (upper and lower bound method) applied in slope stability analysis was introduced. The first step is to fuzz the geological parameters, namely using triangular fuzzy numbers to describe properties of rock and soil. After fuzzy processing, the range of a parameter will have a corresponding confidence level. Then taking sets of parameters corresponded to different confidence levels into limit equilibrium formula, the fuzzy sets of safety factors can be calculated, which also have corresponding confidence levels simultaneously. Finally, a case of study was presented to demonstrate this approach. Results indicate that this methodology is effective to handle the parameter uncertainty in slope stability analysis.

Key words: limit equilibrium analysis; triangular fuzzy numbers; safety factors; upper and lower bound method

在边坡稳定性分析过程中，一个经常遇到的问题是如何处理地质参数的离散性、不确定性和变化性^[1]。地质体是在长期的自然环境中经过各种地质作用形成的，因而地质参数的时空差异性是客观存在的；加上测量设备的精度和自然环境的限制，不可避免地会给观测数据带来误差^[2]。又由于数据的变化性和各种误差都将强烈地影响边坡安全系数的计算结果，如果采用定值论分析边坡的稳定性，将会得到非常不可靠的结果。为此，许多学者研究了很多其他的方法来计算或描述一个边坡的稳定状态。诸如模糊数学法、边坡工程岩体分级法^[3]、神经网络法^[4]、可靠性理论法^[5]等。然而，以上理论在各自假设的基础上均有一定的适用范围，不能够涵盖所有类型的边坡稳定性分析。传统的定值论方法中，不论是极限平衡法还是数值模拟法，都将岩土体参数看作是确定的数值，从而计算出一个确定的安全系数F_s且规定取用F_s>1作为某一设计的使用阈值。事实上，取用大于1的F_s作为使用阈值即为对边坡设计中诸多不可靠因素的一种简化处理^[6]，F_s到底该取多大，完全凭借工程经验而定，无论F_s是否大于安全阈值，边坡都有安全或者失稳的可能^[7-8]。为安全起见，设计者通常采用非常保守的计算参数，结果计算出的安全系数往往偏大。边坡稳定性是多种不确定因素决定下的模糊值，边坡从稳定到不稳定是一个渐变的过程。可以认为F_s即为对边坡稳定状态的一种描述，然而并没有哪一个确定的F_s能够明确地将边坡划分为稳定和不稳定。针对定值论在边坡稳定性分析中的不足，本文作者将岩土体参数本身所具有的变化性及测量过程中的不确定性进行模糊化处理，用三角模糊数来代表一个参数所具有的取值范围和置信水平。在此基础上计算出不同置信水平下的安全系数，从而得到F_s模糊数，用F_s模糊数来评价边坡的稳定性程度。

1  上下限法基本原理

1.1  地质参数的模糊化

造成地质参数模糊性的原因主要有以下2种：

(1) 地质勘查和测量过程中，受测量设备的精度限制，测量者的主观原因和环境条件，不可避免地给数据带来误差，从而造成数据的模糊性和不确定性；

(2) 地质参数本身所具有的时空差异性、变异性和随机性^[9]，而且这些性质都难以被掌握。

模糊集理论^[10]是由Zadeh于1965年提出的，目前已广泛用于处理信息不完备问题，适于用来处理地质信息的不完备性。对于一个不确定参数可用三角模糊数来表示，如图1所示。图1中：X_min表示参数的下限；X_m表示参数的最可能值；X_max表示参数的上限值。则一个参数可用模糊数[X_min，X_m，X_max]来表示，从中取的每一个定值X都有相对应的置信水平A(X)。

在使用时，可以根据需要将三角模糊数进行离散成不同置信水平下的截集。所谓截集，即在给定置信水平λ条件下，满足A(X)≥λ的模糊集[X_U，X_L]，记A_λ={X∈R/A(X)≥λ}。上下限法的基本思路是把一个参数的模糊数离散成不同置信水平下的截集，将一个不确定的数据用一组区间来表示，然后再将这些区间的上下限值代入具体的公式或计算步骤中，计算出的结果和区间的上下限值有相同的置信水平。具体步骤如图2所示。

图1  三角模糊数的图示

Fig. 1  Illustration of a triangular number

1.2  考虑不确定因素的边坡安全系数计算

目前，用于边坡稳定性分析的大部分理论都将参数作为定值处理，例如地下水位，岩体抗剪强度C和内摩擦角Ф，岩石体质量等^[11]。在上下限法中将它们作为模糊数来处理，并按照需要设置不同的置信水平。假设某个边坡的稳定性分析中有m个模糊参数：P₁，…，P_i，…，P_m；每个参数都划分为n个置信水平：λ₁，…，λ_j，…，λ_n；则在λ=λ_j(j≠n)的置信水平下，第i个参数的取值范围是：[，]，参数组合共有2^m组。由于λ_n=1，在置信水平为1的条件下，第i个参数的取值即为最可能值，此种情况下仅有一种参数组合。代入算式中即可得出λ_n的F_s最可能值。因此，m个参数在n个置信水平下共有[(n-1)2^m+1]个参数组合。

每个F_s值都应有相对应的置信水平，重新按照n个置信水平绘制F_s的三角模糊数曲线，即可直观地看出F_s的取值范围，如图3所示。

图2  用上下限法计算F_s三角模糊数的步骤

Fig. 2  Steps of calculating F_s triangular fuzzy numbers by upper and lower bound method

图3  F_s的三角模糊数曲线绘制

Fig. 3  Curve of F_s triangular fuzzy number

2  边坡稳定性状态的判别

按照图2所给的步骤虽然能计算出F_s的取值范围及其对应的置信区间，但仍难以判别出边坡所处的稳定性状态。当F_s的下限值大于1时，边坡处于稳定状态可能性较大；当F_s上限值小于1时则处于失稳状态可能性大。然而，边坡除了这2种状态外，还可能处于可能失稳和可能安全这2种状态，即为1∈(F_sL，F_sU)时的情况，如何准确地判别边坡的状态，或者给出边坡的稳定性概率呢？

陈昌彦等^[4]将边坡的稳定状态分为4种：失稳(f)、可能失稳(pf)、可能稳定(ps)和稳定(s)，并且根据专家反馈意见绘制了边坡稳定性状态曲线，如图4所示。为了能够判断边坡处于何种状态，需要将图4给出的4个边坡状态模糊集进行比较，具体步骤如下。

(1) 设f_i(F_s)为第i种边坡状态的模糊函数(即图4中的4类曲线，i=1~4)，A(F_s)为模糊数F_s的置信水平函数，按照式(1)计算出模糊数F_s隶属于哪种边坡状态下的映射分量S_i：

图4  4种边坡稳定状态的模糊集

Fig. 4  Fuzzy sets representing four states of stability

         (1)

(2) 根据式(2)分别求得模糊集F_s 对应的4种边坡稳定状态的置信分量：

               (2)

(3) 最大W_i对应的边坡稳定状态即为边坡所处的状态。

3  工程实例

3.1  工程背景

兰伯特角露天铁矿位于澳洲兰伯特角地区。现其中部下盘边坡有平面滑动破坏的可能，需要重新进行稳定性分析，以确定在该区域是否有必要重新设计边坡线，或采取加固措施。中部矿区平面图和钻孔分布如图5所示。从图5中截取4个地质剖面作为边坡稳定性分析的依据，其中M-M′截面的岩层分布情况如图6所示，各岩层的代码、名称、RQD及厚度见表1。

表1  地层名称及性质

Table 1  Rock formation and properties

图5  兰伯特角铁矿中部矿区平面图

Fig. 5  Planar graph of central area of Cape of Lambert open-pit

图6  M-M′地质剖面

Fig. 6  Geological section of M-M′

3.2  平面滑动模型的建立

从图6可以看出：该边坡存在有平面滑动的可能性。岩层2的岩体完整性不如其他2个岩层，受风化程度比较严重，且含有大量的页岩。虽然页岩固结性良好，但在暴雨区，由于雨水的作用，岩石强度指标下降，加上经常受爆破作业引发的震动载荷的影响，整个岩层易发生蠕变，最终导致边坡的平面滑动破坏。

以岩层1和2之间的层理面作为滑动面，根据 Hoek等^[12]提出的平面滑动极限平衡计算安全系数，建立的平面滑动模型如图7所示。其中：γ为滑动体容重；S为滑动体面积；A为震动荷载引发的最大水平加速度；U为暴雨期最大水压力；H为边坡高度；ψ_p为滑动面倾角，各参数的取值见表2。

安全系数可由式(3)计算，

 (3)

图7  平面滑动型岩质边坡模型

Fig. 7  Plane sliding rock slope model

其中：C表示滑动面黏聚力；Ф为内摩擦角；g=9.8 m/s²。

根据表2将岩石体质量、滑动面黏聚力和摩擦角、水压力作为模糊参数，并按照测量数据的分布情况确定最可能值，从而得出模糊参数的三角模糊数，采用测量数据的几何平均值作为三角模糊数中的最可能值，如图8所示。

3.3  计算结果

根据图2所示的方法，分别取λ为0，0.25，0.50， 0.75和1.00作为置信水平，对每一个置信水平都求出4个三角模糊数的上下限值，并进行组合。最终将得到65组数据，将这65组数据连同确定性数据一起代入式(3)中进行计算，可得到4组F_s区间和一个最可能F_s值，见表3。由于每个F_s区间有相应的置信水平，按照图3所示的方法绘制F_s曲线，即可得到F_s三角模糊数的曲线形状，如图9所示。

表2  下盘边坡稳定性分析中所使用的计算参数

Table 2  Parameters involved in footwall slope stability analysis

从图9可知：该边坡的最可能安全系数大于1.0，整条F_s曲线大致呈现三角形，边坡稳定或者出现滑动的可能性均存在。但要判断边坡到底稳定到了哪种程度，或者边坡失稳到了哪种程度，仍需进一步计算。根据图4给出的4种模糊集，按照式(2)和(3)分别计算出F_s模糊数的在4种模糊数上映射分量和置信分量。计算出的结果为：f对应的置信分量为0.865，pf对应的置信分量为0.135，ps与s对应的置信分量均为0。表明边坡处于失稳状态，应采取加固措施保证边坡安全。

图8  边坡稳定性分析中所使用的模糊参数

Fig. 8  Fuzzy input parameters used in stability analysis

表3  求得的F_s区间

Table 3  Calculated F_s intervals

图9  F_s模糊数

Fig. 9  F_s-fuzzy numbers

4  结论

(1) 三角模糊数能够描述岩土体参数的变化性和不确定性，它允许边坡工程师在地质勘查、力学测试的基础上估计岩土体参数的变化范围及相应的置信水平，用一组三角模糊数来表示参数的不确定性。

(2) 三角模糊数能够计算出安全系数的变化区间，而不是一个定值，因而为边坡工程师提供更多关于边坡稳定性的信息；安全系数变化范围反映了边坡稳定状态的模糊性。

(3) 工程实例中计算出边坡的F_s模糊集，并判断出边坡处于失稳状态；若采用最可能值进行定值分析，将得出F_s＞1的结论，即边坡处于可能稳定状态。这2个结论在某种程度上相悖的，上下限法判定的结论更为保守些。

(4) 三角模糊数是对不确定性数据的一种简化的描述，本文提出的上下限法也是在岩石边坡工程中的初步实践，尚需要在进一步的工程实践中完善。

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(编辑  何运斌)

收稿日期：2012-04-25；修回日期：2012-07-12

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50774092)；国家自然科学基金青年基金资助项目(51104178)；全国优秀博士学位论文专项资助项目(20049)；湖南省博士生科研创新项目(CX2010B046)

通信作者：陈建宏(1963-)，男，江苏扬州人，教授，博士生导师，从事数字矿山、矿业经济研究；电话：13974901601；E-mail：cjh@263.net