DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.01.040

基于因子分析和序贯概率比检验的结构损伤识别

闵志华¹，孙利民²，王英¹

(1. 上海师范大学 建筑工程学院，上海，201418；

2. 同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海，200092)

摘要：提出一种基于因子分析和序贯概率比检验的结构损伤识别方法。基于健康监测数据提取的结构状态特征不仅受结构状态的影响，而且受环境因素、测量噪声、分析误差的影响。当影响结构状态特征的环境因素未知或者不能完全测量时，基于因子分析可以提取结构状态特征场的公共因子作为环境影响效应的映射，并结合序贯概率比检验识别结构损伤。首先对因子分析的基本理论进行介绍，并建立因子分析的矩阵扩展法，在此基础上讨论基于Mann-Whitney秩和的序贯概率比检验的结构状态判别。最后通过1个斜拉桥的数值算例验证方法的可行性，结果表明该方法能够准确地识别较小的结构损伤。

关键词： 因子分析；序贯概率比检验；结构损伤识别；健康监测

中图分类号：O329；TU317             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)01-0295-09 

Structural damage identification based on factor analysis and sequential probability ratio test

MIN Zhihua¹, SUN Limin², WANG Yin¹

(1. College of Civil Engineering, Shanghai Normal University, Shanghai 201418, China;

2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract: A novel method of structural damage identification based on factor analysis and sequential probability ratio test was proposed. The structural condition features, which were extracted from the monitoring data, were not only affected by structural condition, but also influenced by environmental factors, measurement noise and analysis errors. When the environmental factors which affected structural condition features were unknown or could not be measured, the common factors of structural condition features field, which were calculated by the factor analysis, could be used to express the influences of environmental factors, and structural damage could be identified based on the sequential probability ratio test. The factor analysis theory was introduced firstly and the matrix excluding method of the factor analysis was derived. And then the structural condition was identified correctly by the sequential probability ratio test based on Mann-Whitney rank sum test. Finally, a numerical example of a cable-stayed bridge was used to validate this method, and the results show that the method can correctly identify small structural damage.

Key words: factor analysis; sequential probability ratio test; structural damage identification; structural health monitoring

近年来，结构健康监测越来越受关注。世界各国已经在许多大型桥梁上设计和安装了结构健康监测系统，如香港的青马大桥、韩国的Seohae桥和中国的东海大桥等^[1]。大多数结构健康监测系统不仅测量结构响应，如位移、加速度、应力等，而且监测结构所处的环境状况，如温度、风速/风向、相对湿度、车辆荷载等。这些健康监测系统大多已运营了一段时间，积累了大量的监测数据，如何基于这些监测数据对结构状态进行准确的评估尤其是结构损伤的识别是工程技术人员面临的一道难题。基于振动的结构损伤识别方法具有实时性以及不需要封闭交通等优点而受到广泛关注，其中结构的模态参数及其导出量是最常用的基于振动的结构损伤识别指标之一。已有的研究发现在某些情况下由于环境因素变化引起的结构模态参数的改变比由于结构损伤引起的模态参数的改变更大，如Peeters等^[2]通过研究Z24桥1 a的监测数据发现，由环境变化导致结构的前4阶模态频率的年相对变化比为14%~18%，尤其是当温度低于0 ℃时其影响程度更大。Sohn等^[3]基于线性模型分析了由环境因素(温度和湿度)引起的Alamosa Canyon桥动力特性的改变。Xia等^[4]分析了1个两跨钢筋混凝土连续板在2 a内的结构模态参数改变，发现当温度每升高1 ℃时模态频率降低0.13%~0.23%，湿度每增加1%时模态频率降低0.03%。Ni等^[5]基于支持向量机分析了香港Ting Kau桥(四跨斜拉桥)的模态频率和温度变化间的相关关系。Abe等^[6]对日本白鸟大桥进行了2周的环境振动监测，其结果表明结构频率随着风速的增大而降低，而阻尼比随着风速的增大而增大。Zhang等^[7]对徐浦大桥进行了连续24 h动力测试，认为在风和温度相对稳定的情况下，结构的动力特性的改变是由于交通流的变化所引起的。Li等^[8]对某一斜拉桥连续4 d的监测数据进行分析，认为在温度和风对结构的模态频率和阻尼比具有较大的影响。闵志华等^[9]对东海大桥主航道斜拉桥1 a的结构响应数据和环境因素数据进行了分析，通过相干性和相关性分析揭示了在1a监测期内环境温度和交通荷载是影响结构模态参数变化的主要环境因素，但短暂的强风荷载也会较为明显地改变结构的模态参数^[10]。基于结构健康监测数据进行结构损伤识别时，需要考虑到基于监测数据提取的结构状态特征受环境因素(包含荷载状况)、测量噪声、分析误差的影响，因此，闵志华^[11]提出了基于健康监测的结构状态特性概率性分析方法。该方法将结构状态分析过程分为结构状态特征提取、环境因素识别、环境影响效应分析和结构状态概率性判别这4个子过程。其中在环境影响效应分析子过程中，当环境因素已知时可以采用基于回归分析的方法，当环境因素未知或者无法完全测量时可以采用基于公共特征提取的方法。基于回归分析的方法主要有线性回归、外输入自回归模型(auto-regressive model with exogenous inputs，ARX)、典型相关性分析、支持向量机、神经网络等，而基于公共特征提取的方法主要有主成分分析和非线性主成分分析。结构状态概率性判别子过程可以采用统计模式控制、假设检验、异常分析和概率密度估计等方法，其中假设检验又可以分为固定样本量检验和序贯分析。本文作者针对当环境因素未知或者无法测量时提出了基于因子分析和序贯概率比检验的结构损伤识别方法。首先对因子分析理论进行介绍，在此基础上提出因子分析的矩阵扩展法，接着对用于状态判别的序贯概率比检验方法进行阐述，最后基于斜拉桥数值算例验证了方法的可行性。

1  基于因子分析的环境影响效应分析

1.1  因子分析的基本理论

主成分分析(principal components analysis，PCA)最早是由Pearson^[12]提出的，其后由Hotelling^[13]于1963年进行了扩展，主成分分析是利用降维的思想，将多个指标转化为少数几个指标的多元统计方法，即通过寻找多维空间的主轴来代表原始空间的信息。图1所示为二维空间上散点形成1个椭圆型轮廓的点阵，可由2个坐标来表示。主成分分析就是寻找到椭圆点阵的主轴来代替原有坐标，此时可以通过v₁主轴获得空间的大部分信息，从而实现了降维。

图1  二维空间的PCA示意图

Fig. 1  Diagram of PCA of 2D spaces

因子分析(factor analysis，FA)是主成分分析的推广，是从研究矩阵的内部依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个共同因素的一种多元统计方法。多变量之间的共同因素称为公共因子，每一个分量的特定因素称为特殊因子，因子分析就是用较少的公共因子的线性函数与特殊因子之和来表达原变量场的分量。因子分析除了能够简化数据、降低分析问题的维数外，还能分析变量间的基本结构。

设有1个m维数据X，其具有l个公共因子(l≤m)，即^[14]

    (1)

式中：f₁, f₂, …, f_l为X中各分量的公共因子；f_i的均值为0，方差为1且相互独立；为的特殊因子，只对起作用，各的均值为0，方差为且相互独立。式(1)可以写为

               (2)

式中：f与独立；X的均值为0，协方差矩阵为；矩阵A称为因子载荷阵。

因子载荷阵A的元素称为x_i在f_j的载荷。由于，，。当时，，，故有：

；；

，i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, l    (3)

若x_i经过标准化，则表示x_i和f_j之间的相关系数。

因子载荷阵的计算方法有主成分分析法、主因素法、最大似然法和模型拟合度评估等。

因子分析的目的不仅是找出公共因子，更重要的是分析每个公共因子的意义。因此，在实际分析中为了使每个公共因子的意义更加明确，一般对已经得到的载荷阵A乘以1个l阶的正交矩阵T：

             (4)

由于正交性的特点，可以认为是公共因子，AT是载荷矩阵。

从主成分分析和因子分析的理论中可以看出主成分分析是寻找原始变量间的线性组合，使线性组合得到的主成分的方差达到最大，并使观测值在这些成分上显示出最大的个体差异。而因子分析是解释原始变量间的相关关系，能够提供一些新变量对原始数据结构进行解释，可以看成是主成分分析的扩展。两者的差异可以归纳如下：

1) 主要目标不同。主成分分析是为了减少变量的个数，以较少的变量来解释原变量间的大部分变异，而因子分析则是寻找变量间的相关性和潜在的共同 因素。

2) 侧重点不同。主成分分析强调的是解释数据变异的能力，而因子分析强调的是变量之间的相关性。

3) 变异的解释程度不同。主成分分析将所有的变量变异考虑在内，而因子分析则会由于选择的因子个数不同而会产生不同的误差项。

4) 表示方法不同。主成分分析是将主成分表示为原始变量的线性组合，而因子分析是将原始变量表示为公共因子和特殊因子的线性组合，用公共因子来解释变量间的内部依赖关系。

从上述分析可以看出：因子分析用于环境影响效应分析比主成分分析具有更加明确的物理意义和更好的解释效果。

1.2  因子分析的矩阵扩展法

基于健康监测数据可以提取结构状态特征，多个结构状态特征可以构成结构状态特征场，如多阶模态频率可构成模态频率场。由环境因素的影响机理可知：环境因素对结构状态特征的影响一般是对结构整体状态的影响，而结构损伤或者结构状态的微小改变更多的是对结构局部状态的影响。对结构整体状态的影响导致对状态特征场中的各向量具有相似的影响，而对结构局部状态的影响导致对某些结构状态特征有较大的影响而对其他一些状态特征的影响较小，如结构损伤对某阶模态频率的影响要比对其他阶模态频率的影响大。由于环境因素对结构状态特征场中各向量具有相似的影响，因此，可以从结构状态特征场中寻找出共同特征作为环境影响效应的映射。

基于因子分析的环境影响效应分析中首先需要基于基准状态的样本计算因子载荷阵，然后将未知状态样本代入到因子载荷阵中计算公共因子，最后由计算得到的因子载荷阵和公共因子来重构向量场，得到未知状态样本的特殊因子。

因子分析中会由于选择的因子数的不同而存在一定的误差，同时荷载阵A一般也不是满秩矩阵，故无法直接进行模型重构从而构成对未知状态样本的映射。因此，本文提出因子分析的矩阵扩展法，其扩展方式及推导过程如下。

设有1个m维向量X，每个向量有n(n＞m)个观测值，其因子分析可写为

         (5)

式中：l为公共因子个数。由于式(5)中A和f不是X的完全分解矩阵，因此，无法由A的反向映射估计f，为此需要将矩阵A和f扩展为M_A和M_f的形式：

，      (6)

A的扩展矩阵的维数为，f的扩展矩阵的维数为，将扩展矩阵代入式(5)，则有

     (7)

则可得。由于的矩阵维数是，若要式(7)成立，必须将分解为的2个矩阵的乘积。要得到精确解是很困难的，为此对进行奇异值分解，有

             (8)

式中：U为左奇异向量矩阵；V为右奇异向量矩阵；S为奇异值矩阵。，且有。经过分析发现，可认为的秩为，故可取前面的个分量来代替，则可写为

       (9)

结合A和f的扩展式，易得

    (10)

进一步可得

，     (11)

基于扩展的得到了一个完整的映射模型，同时可计算得到模型的相对误差为

             (12)

式中：为特殊因子的方差；为变量场的总方差。由式(12)可以看出基于该方法得到的相对误差非常小。

2  序贯概率比检验

在环境影响效应分析的基础上，需要基于概率统计方法进行结构状态判别，常用的概率统计方法有统计模式控制、假设检验、异常分析、概率密度估计等，其中假设检验可以分为固定样本量检验和序贯分析。

固定样本量检验是在预先确定样本量和第一类错误概率的情况下使第二类错误概率最小，而序贯分析是在预先确定2类错误概率和的情况下使作出判断所需要的样本量最少。固定样本量检验的效率不高，有时甚至无能为力，为此，Wald^[15]在1943—1945年提出了序贯概率比检验(sequential probability ratio test，SPRT)的方法以适应二战期间军火生产的需要。SPRT不仅需要样本满足独立同分布，而且需要服从参数未知的先验分布，如正态分布等。但很多情况下样本总体的分布状态未知或者不能由简单函数进行描述，且很多分布函数在SPRT中难以计算出对数似然比，因此也就限制了SPRT的应用。

在实际应用中经常会遇到样本总体的分布状态未知或者不易用简单函数进行描述，但可以获得基准状态的样本集，需要判断新样本点是否与基准状态的样本点服从同一分布的问题。对此本文提出了一种基于Mann-Whitney秩和的SPRT，该方法能够准确地判断出结构状态的改变^[16]。

设基准样本集属于分布，未知状态的样本集属于分布，为了能够与SPRT相结合，需要建立检验两者均值是否相同的原假设和备选假设。原假设为，备选假设为(其中和分别为样本集和的均值，为2个样本集均值的差)。主要分析过程如下。

1) 将基准状态的样本集和未知状态的样本集混合后按照大小进行排列，并分别编上相应的秩：

，      (13)

当出现样本相等的情况时，则取秩的均值作为相等样本点的秩。

2) 分别计算基准状态的样本集和未知状态的样本集的秩和为

，      (14)

3) 若2个样本集服从同一分布，当样本量n和m均较大时，服从均值为和方差为的正态分布，其概率分布为

      (15)

4) 将基准状态的样本集均加上1个备选假设的差值构成新的样本集，并与未知状态的样本集混合排序并同前述类似计算样本集的秩和和，可以得到的概率分布函数为

      (16)

5) 对数似然比为

   (17)

6) 基于预先确定的2类错误概率和计算判断阈值A和B，并通过比较对数似然比与阈值来判断样本的统计分布。

A，B

      (18)

基于Mann-Whitney秩和的SPRT无需对样本的分布进行假定，只需获得基准状态的样本即可。这个条件在处理许多问题时是比较容易满足的，尤其是在基于结构健康监测进行结构状态评估时。由于该方法没有对样本的分布状态进行假定，因此其适用范围会更加广泛。

3  数值算例

3.1  有限元模型修正

为了验证本文所提的结构损伤识别方法的有效性，本文基于有限元程序ANSYS建立了东海大桥主航道斜拉桥(主跨420 m)的有限元模型。主梁采用beam188单元，横梁采用beam4单元，斜拉索采用link10单元，集中质量采用mass21单元，边界支座采用combin14单元。全桥共有312个beam188单元，2346个beam4单元，192个link10单元，467个mass21单元，42个combin21单元。有限元模型如图2所示。

采用梯度法进行有限元模型修正，在修正过程中以模态频率的相对残差和作为目标函数，同时辅以模态振型进行校验。其目标函数如下：

图2  有限元模型

Fig. 2  Finite element model

              (19)

式中：为有限元模型计算频率；为实际测量频率。修正后的有限元模型计算得到的前8阶模态频率和相应的振型模态置信准则(modal confidence criteria, MAC)如表1所示。从表1可见：修正后的有限元模型计算得到的动力特征与实际测量得到的动力特征具有很强的一致性，表明修正后的有限元模型能够真实地模拟实际结构。

表1  模型计算值与实际测量值间的对比

Table 1  Comparison of calculated value and measured value

3.2  结构损伤和环境温度的影响对比

选用跨中合拢段主梁(长4 m)发生刚度损伤作为典型的损伤工况用于分析结构状态改变对结构特征参数的影响，分别模拟5%，10%，15%，20%，30%和40%不同程度的损伤。在不同损伤程度时结构模态频率的相对改变量如图3所示。

从环境温度对结构特征参数的影响机理分析中可知：环境温度影响材料的物理特性和几何特性，如材料的弹性模量和线膨胀系数。根据文献[17-18]可知：当温度≤100 ℃时，环境温度每改变1 ℃，混凝土材料的弹性模量改变量为△E=-4.5×10^-3E₀，钢材的弹性模量的改变量为△E=-1.8×10^-4E₀。混凝土材料的线膨胀系数取为1.0×10^-5，钢材的线膨胀系数取为1.1×10^-5。当环境温度在0~40 ℃变化时结构模态频率的改变量如图4所示。环境温度变化40 ℃时结构的1阶横向对称侧弯频率(2阶)的变化幅度为7.24%，前8阶频率中其余阶模态频率的变化幅度为1.34%~2.47%，这与实际监测结果相似^[8]。从数值模拟结果可以看出：由于环境温度变化40 ℃引起的结构模态频率的改变量要比由于微小结构损伤引起的结构模态频率的改变量大，若不进行环境影响效应分析，则只有当由结构损伤引起的结构状态特征的改变量比由环境因素引起的结构状态特征的改变量大很多时才能够判别出结构状态的改变，而此时结构必定发生了严重威胁到结构安全性的较大程度的损伤。因此，在结构损伤识别中，需要采用环境影响效应分析和结构状态概率性分析方法才能对结构中的微小损伤进行判别。

图3  不同工况下的结构频率的改变

Fig. 3  Changes of structural modal frequencies in different cases

图4  环境温度发生变化时结构频率的改变

Fig. 4  Changes of structural modal frequencies with environmental temperature variation

3.3  环境温度场模拟

由实际监测数据可知斜拉桥的环境温度分布具有以下典型特征：1) 沿箱梁横截面存在温度梯度；2) 环境温度沿桥梁长度方向的分布大致相同；3) 箱梁左、右箱室的温度略有不同^[11]。为了能够较真实地模拟环境温度的影响，选用一个[0, 40] ℃均匀分布的随机温度作为箱梁中钢结构的温度，箱梁中混凝土桥面板的温度在钢结构温度的基础上增加1个服从N(3, 4)正态分布的随机数，两侧主塔在钢结构温度的基础上增加1个服从[0, 5]均匀分布的随机温度，斜拉索温度在钢结构温度的基础上增加1个服从[0, 6]均匀分布的随机温度，两侧横梁在钢结构温度的基础上增加1个服从[-2, 2]均匀分布的随机温度。这5个随机温度能够有效地考虑实际结构的温度分布特点。对无损和不同损伤程度时环境温度的影响各模拟10 000次。

在无损状态时模拟10 000次得到的结构前3阶模态频率与钢结构温度间的散点图如图5所示。从图5可见：模态频率与环境温度间具有良好的线性相关性，同时，由于随机温度场的影响也具有一定的随机性。

3.4  结构损伤状态判别

在环境温度场作用下，基于因子分析和序贯概率比检验分别对不同损伤程度下的结构状态进行判别。分析中取前8阶模态频率构成模态频率场，在进行因子分析之前首先对模态频率场依据无损状态统计量进行标准化，然后采用公共因子数为1的因子分析，得到不同损伤程度下的特殊因子，并基于序贯概率比检验进行结构状态判别。

无损状态时模态频率场特殊因子的正态分布检验结果如表2所示。从表2可以看出：除2，4和8阶模态频率的特殊因子能够通过正态分布检验外，其余阶模态频率的特殊因子不能通过正态分布检验。

基于本文提出的矩阵扩展法计算因子分析的重构矩阵，其重构的相对误差为4.11×10^-15，表明所提出的重构方法是非常有效的。

基于无损状态下得到的重构模型分别对各种损伤状态下的模态频率场进行映射分析，得到不同损伤状况下的特殊因子(如图6所示)。由于部分阶模态频率特殊因子不能通过正态分布检验，因此，在分析中采用极值分布理论估计得到超越概率为1.0%和0.1%的阈值限。从分析结果可以看出：前8阶模态中除第2阶和第4阶模态频率外，其余阶均对于跨中主梁的损伤较敏感，其特殊因子随着损伤程度的增大均有较大的变化，这与典型相关性分析得到的残差变化不同^[19]。

图5  前3阶频率与环境温度的相关性

Fig. 5  Scatter of the first three modal frequencies and environmental temperature

表2  无损状态特殊因子正态分布检验结果

Table 2  Normal distribution test results of special factors in undamaged state

图6  不同损伤程度时前3阶模态频率特殊因子

Fig. 6  Special factor of the first three modal frequencies in different damage cases

还有一个更主要的不同之处是：在典型相关性分析中随着损伤程度的增加残差的均值是逐渐减小的，但在因子分析中不同阶的特殊因子随损伤程度的变化规律并不相同，前8阶模态频率中，第1，3和5阶模态频率的特殊因子均值随着损伤程度的增加而减小，其余阶的特殊因子均值随着损伤程度的增加而增加，此时不能依据特殊因子均值来判断结构状态的变化趋势。

当采用因子分析对环境影响效应分析以后，可基于序贯概率比检验方法来判断结构状态的改变。分析时，首先依据无损状态特殊因子的统计值进行样本标准化。由于不同阶模态频率的特殊因子随着损伤程度的变化方向不一致，因此，针对不同阶频率设定不同的原假设和备选假设。第1，2和5阶模态频率特殊因子的原假设为，备选假设为 (式中为正常状态的特殊因子均值，为未知状态的特殊因子均值)。而其余阶模态频率特殊因子的原假设为，备选假设为 ，第一类错误概率和第二类错误概率分别为和。在不同损伤程度下的前3阶模态频率的对数似然比如图7所示，其判别结果如表3所示。从表3可以看出：大部分阶数能够在损伤5%时判断出结构状态发生改变，表明该方法能够识别较小的结构损伤。但当出现较大的结构损伤时如40%，第3，5，6，7和8阶模态频率的Mann-Whitney秩和SPRT却不能够作出判断，这是因为此时原假设和备选假设间的真实差值比2个样本间的差值小很多，此时仅仅通过比较排序的秩和检验就会失去较多的信息而不能作出准确判别，但可以通过增大备选假设和原假设的差值来得到正确的分析结果。

图7  Mann-Whitney秩和SPRT分析的结果

Fig. 7  Result of SPRT based on Mann-Whitney rank sum test

表3  Mann-Whitney秩和SPRT分析的判断结果

Table 3  Results of Mann-Whitney rank and SPRT analysis

4  结论

1) 基于因子分析和序贯概率比检验能够准确地识别出较小的结构损伤。

2) 因子分析能够较好地对环境影响效应进行分析，基于分析得到的特殊因子能够很好地判别出结构的状态的变化。由于因子分析不需要已知环境因素的测量值，因此，基于因子分析得到的特殊因子中会出现部分特殊因子均值减小，而另外一部分特殊因子均值增大的情况，此时不能够很好地判断出结构状态的变化趋势。

3) 基于Mann-Whitney秩和的SPRT能够准确地判断出结构状态的微小改变。若原假设和备选假设的差异性要比真实的样本差异性小很多时基于Mann-Whitney秩和的SPRT会无法进行判断，此时需要增大原假设和备选假设间的差异性。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2014-02-12；修回日期：2014-04-02

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51308338)；上海市自然科学基金资助项目(13ZR1458900)；上海市教委科研创新项目(13YZ060)；上海师范大学重点学科项目(A-7001-12-002007)；上海师范大学原创与前瞻性预研项目(DYL201306) (Project(51308338) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(13ZR1458900) supported by Shanghai Natural Science Foundation; Project(13YZ060) supported by Innovation Program of Shanghai Municipal Education Commission; Project(A-7001-12-002007) supported by Leading Academic Discipline Project of Shanghai Normal University; Project(DYL201306) supported by Originality and Forward-looking Research Project of Shanghai Normal University)

通信作者：闵志华，博士，讲师，从事结构健康监测与状态评估研究；E-mail: zhmin_tj@hotmail.com