DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2019.10.014
固定翼线圈姿态变化对动态和静态响应的影响与校正
朱凯光1, 2,王昊1,彭聪1,张琼1,范天姣1
（1. 吉林大学 仪器科学与电气工程学院，吉林 长春，130061；
2. 地球信息探测仪器教育部重点实验室，吉林 长春，130026）
摘要:针对固定翼时间域航空电磁探测过程中线圈姿态变化会给测量数据带来偏差的问题，对线圈姿态进行影响分析与校正。基于法拉第电磁感应定律，利用线圈坐标系和惯性坐标系之间的转换关系，推导线圈姿态变化时的动态响应和静态响应表达式。仿真研究姿态角度、角度变化率对动态响应和静态响应的影响，并基于电磁响应理论对线圈姿态变化产生的动态响应和静态响应进行校正。研究结果表明：线圈姿态变化所产生的动态响应和静态响应基本得到校正，校正后的剖面数据质量得到很大改善，均方根相对误差由22.00%降低到3.04%。
关键词:固定翼线圈姿态变化；动态响应；静态响应；校正
中图分类号:P631 文献标志码:A 文章编号:1672-7207（2019）10-2455-09
Influence and correction of coil attitude on dynamic and static responses for fixed-wing
ZHU Kaiguang1, 2, WANG Hao1, PENG Cong1, ZHANG Qiong1, FAN Tianjiao1
(1. College of Instrumentation and Electrical Engineering, Jilin University, Changchun 130061, China；
2. Key Laboratory of Geo-Exploration Instrumentation, Ministry of Education, Changchun 130026, China)
Abstract: Aiming at the problem that change of coil attitude brings error to the measured data during fixed-wing time-domain airborne electromagnetic survey, influence and correction of coil attitude were studied. Based on Faraday's law of electromagnetic induction, the dynamic response and the static response by change of coil attitude were calculated by using conversion relation between coil coordinate system and inertial coordinate system.The influences of the angle and the angle rate on dynamic response and static response were studied. Meanwhile, dynamic response and static response were corrected on the basis of theory of electromagnetic response. The results show that the dynamic response and static response generated by coil attitude change are basically corrected. The quality of profile data is improved after correction, and the root mean square relative error is reduced from 22.00％ to 3.04％.
Key words: change of fixed-wing coil attitude; dynamic response; static response; correction
航空电磁法作为一种高效的勘查方法，在国内外已经广泛应用于矿产普查、油气资源勘探以及海洋调查等方面。航空电磁探测通常以直升机、固定翼等作为飞行平台，其中固定翼时间域航空电磁探测具有探测深度深、测量精度高等优点，其工作原理是：发射线圈通入发射电流产生一次脉冲磁场，一次脉冲磁场在大地导体传播过程中会产生涡流，电流关断后，涡流会产生随时间变化呈现指数衰减的二次场，通过研究二次场的衰减特点来判断地下导体的分布情况[1-3]。在飞机飞行平稳时，接收装置所接收到的电磁响应可认为是线圈处于水平状态所感生的静态响应；但在实际飞行中，受飞行速度、风向等影响，飞行不平稳，接收装置接收到的电磁响应由线圈姿态变化过程中切割磁场产生的动态响应以及线圈处于倾斜状态下所感生的静态响应组成。ANNAN[4]最早提出接收线圈的摆动或姿态变化会影响静态响应，SON[5]研究了单一吊舱旋转对静态响应的影响；HOLLADAY等[6]在进行海洋冰层探测时发现吊舱摆动会使探头高度发生变化，通过对探头高度校正来实现静态响应的校正；YIN等[7]基于重叠偶极模型对直升机频率域的静态响应进行校正；KRATZER等[8]对吊舱发生周期性摆动所带来的激光测高仪误差进行校正；嵇艳鞠等[9]对直升机中心回线线圈姿态实现几何的校正；王琦等[10]分析固定翼线圈姿态角度对响应系数的影响并对线圈姿态变化产生的静态响应进行校正；曲昕鑫等[11]既考虑磁偶极子方向上的变化又考虑位置上的变化，进而提出整体校正方法，提高校正精度；李光等[12]通过记录飞行姿态角度，并在满足重叠磁偶极子模型的条件下，实现对仪器偏置的实时校正；贲放等[13]对直升机吊舱分离装置进行分析，基于重叠偶极子的假设，给出用于实际工作的校正因子，提高处理效率。但目前国内外都只对线圈处于倾斜状态下所产生的静态响应进行分析与校正，并没有考虑到线圈姿态变化过程中切割磁场所产生的动态响应。本文作者基于法拉第电磁感应定律，推导出线圈姿态变化时的动态和静态响应表达式，并分析线圈姿态变化对动态和静态响应的影响，进而提出校正方法，对线圈姿态变化时的动态和静态响应进行校正。通过对仿真大地模型校正前后的剖面数据进行分析，验证该校正方法的有效性。
1 动态和静态响应计算
固定翼时间域航空电磁探测示意图如图1所示，飞机沿着x轴的正方向飞行，飞机距地面的高度为h，系统的水平收发距为r，飞机缆绳与竖直方向的夹角为
，悬绳的长度为L，发射线圈位于z轴，坐标(0，0，h)，接收线圈的坐标为(x0，y0，z0)。
图1 固定翼时间域航空电磁探测示意图
Fig. 1 Sketch map of fixed-wing time-domain airborne electromagnetic survey
根据法拉第电磁感应定律，在实际飞行过程中，线圈姿态变化时的电磁响应为
(1)
式中：
为接收线圈的面积。航空电磁探测飞行过程中的磁场
主要由2部分组成：一部分是地磁场
；另一部分是线圈姿态变化时地下导体激发产生的二次场
。因此，式(1)可写成：
(2)
由于地磁场强度远比地下介质激发产生的二次场的大，且在实际飞行过程中地磁场强度可以认为是一个常值，因此，式(2)可写成：
(3)
式中：
为线圈姿态变化过程中切割磁场产生的动态响应；
为线圈处于倾斜状态下所感生的静态响应。
为研究线圈姿态变化对动、静态响应的影响，引入2个坐标系，即惯性坐标系(x, y, z)和线圈坐标系(x′, y′, z′)。惯性坐标系的xoy平面与地面平行[9,11]，x轴沿着飞行方向，y轴在xoy平面内与飞行方向垂直，z轴与xoy面相垂直；发射、接收线圈坐标系的x′oy′平面分别与发射、接收线圈的平面重合，z′轴与发射、接收线圈的平面垂直。线圈坐标系随着线圈姿态变化而发生旋转，惯性坐标系与线圈坐标系的转换关系可以用旋转矩阵来实现[14]。
线圈绕x，y和z轴的旋转矩阵T为
(4)
式中：
，
和
分别为线圈摇摆、俯仰和偏航角度。
利用旋转矩阵将线圈坐标系下的向量
表示为惯性坐标系下的向量
。
(5)
由于本文收发线圈为z分量发射、z分量接收的方式，线圈的偏航旋转对电磁响应几乎没有影响，因此，本文只考虑线圈的摇摆和俯仰旋转角度变化。
1.1 动态响应计算
地磁场在惯性坐标系下的坐标表示为
，定义接收线圈面积在接收线圈坐标系下的法向量
为
。利用惯性、接收线圈坐标系之间的转换关系可得线圈姿态变化过程中切割磁场产生的动态响应:
(6)
式中：
和
分别为接收线圈的摇摆和俯仰角度；
为接收线圈坐标系中向量进行坐标转换的旋转矩阵。由式(6)可以看出：发射线圈姿态变化对动态响应没有影响，只有接收线圈姿态变化会对其产生影响。
1.2 静态响应计算
在飞行平稳的情况下，大地激发的二次场为[10]
(7)
其中：
·
式中：s表示s域；
为系统的发射磁矩；
为二次场的格林张量；
和
分别为零阶和一阶贝塞尔函数；
为反射系数；
为积分变量[15-17]。
当发射线圈姿态变化时，发射磁矩方向发生变化，发射磁矩在惯性坐标系下可表示为[10]
(8)
式中：为惯性坐标系下发射磁矩矢量坐标；
为发射线圈坐标系下发射磁矩矢量坐标；
为发射线圈坐标系中向量进行坐标转换的旋转矩阵。
在发射线圈姿态变化时的情况下，产生的二次场可表示为
(9)
接收线圈姿态变化时，接收线圈面积在惯性坐标系下表示为
(10)
因此，经过拉式逆变换，在发射、接收线圈姿态均发生变化的情况下的时间域静态响应为
(11)
2 线圈姿态变化对动态和静态响应的影响
在固定翼时间域航空电磁探测过程中，发射线圈固定在飞机上，不易受到外力的影响，因此，只对接收线圈姿态变化时的动态响应和静态响应进行分析。一般在实际飞行探测中，线圈姿态角度在-20°~20°变化，角度变化率在-6~6 (°)/s内变化，故本文在此角度和角度变化率范围内进行影响研究。仿真飞机发射高度为100 m，接收高度为70 m，系统水平收发距为70 m，发射磁矩
。地磁场三分量为：
，
，
。将动态响应归一化到静态响应(发射磁矩以及接收线圈面积归一化)尺度下后，在大地电导率0.02 S/m的均匀半空间下，以电流关断后0.08 ms的采样时刻为例，研究接收线圈姿态变化对动态和静态响应的影响。
2.1 接收线圈姿态变化对动态响应的影响
若仅发生摇摆旋转，式(6)变为
(12)
从式(12)可以看出：若摇摆角度变化率不变，当
时，摇摆角度越小，动态响应幅值越大；当
时，摇摆角度越大，动态响应幅值越大。在同一摇摆姿态角度下，角度变化越快，动态响应幅值越大。在摇摆角度为20°、角度变化率为
6 (°)/s时的动态响应最大；摇摆角度为20°、角度变化率为6 (°)/s时的动态响应最小。
若仅发生俯仰旋转，式(6)写成：
(13)
由式(13)得知：若俯仰角度变化率不变且为正值时，俯仰角度越大，动态响应幅值越小；若俯仰角度变化率不变且为负值时，俯仰角度越大，动态响应幅值越大。在同一俯仰姿态角度下，角度变化越快，动态响应幅值越大。当俯仰角度为20°、角度变化率为-6 (°)/s时的动态响应最大；当俯仰角度为20°、角度变化率为6 (°)/s时的动态响应最小。
2.2 接收线圈姿态变化对静态响应的影响
当仅发生摇摆旋转时，式(11)可写成：
(14)
式中：
是相应的
经过G-S变换、Guptasarma滤波后所得，与线圈姿态角度无关[18-19]。若摇摆角度从-20°逐渐变化到0°时，静态响应逐渐增大；当从0°变化到20°时，静态响应逐渐减小。在摇摆角度为0°时，静态响应最大，在幅度为20°时，静态响应取得最小值。
当仅发生俯仰旋转时，式(11)写为
(15)
式中：
是相应的
经过G-S变换、Guptasarma滤波后所得。由式(15)可知：俯仰角度越大，静态响应越小，在俯仰角度为-20°时，产生的静态响应最大，俯仰角度为20°时，产生的静态响应最小。
2.3 接收线圈姿态变化对电磁响应的影响
由式(3)可知：在飞机飞行过程中，实际接收的电磁响应为动态响应和静态响应之和，因此，需要分析接收线圈姿态变化对电磁响应的影响。
式(12)与(14)相加可得接收线圈摇摆旋转时的电磁响应：
(16)
利用接收线圈姿态变化时的电磁响应与平稳状态下的电磁响应之比来研究接收线圈摇摆角度以及角度变化率对电磁响应的影响，响应比如图2所示。其中，x轴为接收线圈摇摆角度，在-20°~20°之间变化；y轴为接收线圈摇摆角度变化率，在-6~6 (°)/s之间变化。由图2可以看出：响应比在0.860~1.038之间，接收线圈正向摇摆旋转时对电磁响应的影响较大，正向摇摆旋转时，响应比取得最大值与最小值。当摇摆角度为9°、摇摆角度变化率为-6 (°)/s时，产生的响应比最大，响应比为1.038；当摇摆角度为20°、摇摆角度变化率为6 (°)/s时，产生的响应比最小，响应比为0.861。在同一摇摆姿态角度下，摇摆角度变化越快，对电磁响应的影响越大。
同理，由式(13)与(15)相加可得接收线圈俯仰旋转时的电磁响应：
(17)
响应比如图3所示。其中，x轴为接收线圈俯仰角度，在-20°~20°之间变化；y轴为接收线圈俯仰角度变化率，在-6~6 (°)/s之间变化。由图3可以看出：响应比0.586~1.183之间，俯仰角度为-14°、俯仰角度变化率为-6 (°)/s时，产生的响应比最大，响应比为1.183；在俯仰角度为20°、俯仰角度变化率为6 (°)/s时，产生的响应比最小，响应比为0.586。当俯仰角度变化率不变时，俯仰角度越大，响应比越小；在同一俯仰姿态角度下，俯仰角度变化越快，对电磁响应的影响越大。
图2 接收线圈摇摆角度及其角度变化率对电磁响应的影响
Fig. 2 Influence of angle and angle rate of receive coil roll on electromagnetic response
图3 接收线圈俯仰角度及其角度变化率对电磁响应的影响
Fig. 3 Influence of angle and angle rate of receive coil pitch on electromagnetic response
从图2和图3可知：当接收线圈发生摇摆旋转时，响应比在0.860~1.038之间变化；当接收线圈发生俯仰旋转时，响应比在0.586~1.183之间变化。从整体上来看，接收线圈俯仰旋转对电磁响应的影响程度要大于摇摆旋转对电磁响应的影响程度。
3 动态和静态响应校正
由线圈姿态变化时的电磁响应公式(3)可知：为了对接收线圈姿态变化时的动、静态响应进行校正，首先要根据已知线圈姿态角度和飞行当地的地磁场计算出线圈姿态变化过程中切割磁场所产生的动态响应，然后用接收线圈姿态变化时的电磁响应减去动态响应实现对动态响应的校正。
(18)
式中：
为接收线圈姿态变化时的电磁响应。
在飞行平稳时，产生的电磁响应为接收线圈处于水平状态下所感生的静态响应，但接收线圈姿态发生变化时，静态响应是由接收线圈处于倾斜状态下所感生。因此，还需对接收线圈姿态变化时所感生的静态响应进行校正。
将接收线圈处于倾斜状态下所感生的静态响应与接收线圈处于水平状态所感生的静态响应之比称之为静态响应系数。在均匀半空间下，接收线圈发生摇摆、俯仰旋转时，静态响应系数Q为
(19)
式中：
为在均匀半空间下接收线圈处于倾斜状态所感生的静态响应；
为在均匀半空间下接收线圈处于水平状态所感生的静态响应。由式(19)可知：当接收线圈仅发生摇摆旋转时，静态响应系数只受摇摆角度的影响且与大地电导率无关，此时，只需已知摇摆角度，即可实现对静态响应的校正；当接收线圈姿态变化中包含俯仰旋转时，静态响应系数不仅会受到线圈姿态角度的影响，被测区域的电导率也会影响静态响应系数，故在接收线圈姿态变化中存在俯仰旋转的情况下，仅通过几何校正不能实现静态响应的校正。
图4所示为静态响应系数Q随接收线圈摇摆、俯仰角度以及电导率的变化情况。x轴为接收线圈的摇摆角度，在-20°~20°范围内；y轴为接收线圈的俯仰角度，在-20°~20°范围内；z轴为电导率
，在0.002 5~20.000 0 S/m范围内变化。
图4 摇摆、俯仰角度以及电导率同时存在时的静态响应系数Q
Fig. 4 Static response coefficient Q in roll, pitch and conductivity existing simultaneously
由图4可以看出：在任意电导率下，当接收线圈摇摆旋转角度为0°、俯仰角度为-20°时，静态响应系数最大；当摇摆角度为
、俯仰角度为
时，静态响应系数最小。当接收线圈俯仰角度、大地电导率不变的情况下，随着摇摆角度的变化，静态响应系数变化不明显；当接收线圈摇摆角度、电导率不变时，随着俯仰角度的增大，静态响应系数逐渐减小，若大地电导率较小，静态响应系数减小的较为缓慢，若大地电导率较大时，静态响应系数减小的非常快；当接收线圈的摇摆、俯仰角度不变时，若俯仰角度为负值时，随着电导率的增大，静态响应系数逐渐增大，若俯仰角度为正值，随着电导率的增大，静态响应系数逐渐减小。从图4还可知：当接收线圈姿态角度不变时，在一定的电导率范围内静态响应系数可以近似不变，可以采用同一个静态响应系数对静态响应进行校正。俯仰角度在-8°~8°范围时，静态响应系数随电导率变化较慢，但俯仰角度幅度大于8°时，静态响应系数随电导率的变化会略微加快。因此，在不同的俯仰角度下，可将静态响应系数近似为不变的电导率范围是不同的，当摇摆角度为10°，俯仰角度分别为-6°和-12°时，绘制静态响应系数Q随电导率的变化的曲线，如图5所示。
图5 Q随电导率变化曲线
Fig. 5 Curve of Q with conductivity variety
由图5可以看出：当俯仰角度为-6°时，随着电导率的变化，静态响应系数Q变化较为缓慢，在0.002 5~20.000 0 S/m的电导率范围内，静态响应系数Q仅增加0.085，若在0.06~0.60 S/m的10倍电导率范围内，静态响应系数Q仅从1.042增加到1.070，增加0.028，因此，在10倍电导率范围内，静态响应系数Q可认为是一个常数。当俯仰角度为-12°时，静态响应系数Q的增加速度略微加快，在0.002 5~20.000 0 S/m的电导率范围内，静态响应系数Q增加0.129，若在0.06~0.60 S/m的10倍电导率范围内，静态响应系数Q从1.088增加到1.144，增加0.056，此时采用同一个静态响应系数Q进行校正则会影响校正的精度，因此，当俯仰角度幅度大于8°时，在5倍电导率范围内，可认为静态响应系数
近似不变。根据这一特性，在一定的电导率范围内，采用同一个Q对静态响应进行校正，得到校正后的电磁响应：
(20)
本文以σ1=0.03 S/m，d1=90 m，σ2=0.3 S/m，d2=50 m，σ3=0.03 S/m三层大地模型为例，在发射高度为100 m、接收高度为70 m，系统水平收发距为70 m，接收线圈摇摆角度为6°，俯仰角度为-15°，摇摆角度变化率为-1 (°)/s，俯仰角度变化率为-0.5 (°)/s的情况下,计算相应的电磁响应，并用电导率0.1S/m均匀半空间模型的静态响应系数Q进行校正，校正结果如图6所示。图6中：
为平稳状态下的电磁响应；
为校正后的电磁响应；
为接收线圈姿态变化时的电磁响应。从图6可以看出：校正后的电磁响应曲线基本与平稳状态下的电磁响应曲线相重合。因此，该校正方法可以有效地去除线圈姿态变化对电磁响应的影响。
图6 电磁响应校正结果
Fig. 6 Correction result of electromagnetic response
4 仿真结果
在实际飞行过程中，只需已知线圈姿态角度、探测地区的地磁场以及大致电导率即可对动、静态响应进行校正。但需要注意的是，在记录飞行姿态角度时，需要提高仪器对姿态角度的采样率来保证角度以及角度变化率的精确性；若在未知探测地区电导率的情况下，需通过快速成像或反演来获得当地大致电导率[10,20]，进而利用本文校正方法对线圈姿态变化时的动态响应和静态响应进行有效地校正。
为了评价上述校正算法在实际中的应用，仿真构建如图7所示的拟二维大地模型，在测点为 130~210的地下埋深60 m处有1个厚度(d)为100 m、电导率为0.2 S/m的异常，周围基岩的电导率为0.01 S/m。GEOTEM
1000系统在加拿大安大略地区飞行时，系统参数如下：发射线圈高度为120 m，接收线圈高度为75 m，系统水平收发距为131 m。GEOTEM1000系统在飞行过程中所记录的摇摆和俯仰角度如图8所示。
图7 准二维大地模型
Fig. 7 Pseudo-2D model
图8 加拿大安大略地区实测角度
Fig. 8 Measured angle in Ontario, Canada
当飞机飞行平稳时，在上述拟二维大地模型下正演计算出电磁响应；利用GEOTEM1000系统所记录的摇摆、俯仰角度来计算线圈姿态变化时的电磁响应，为了仿真野外实测数据，在得到的电磁响应数据里加入20%高斯噪声；然后采用大地电导率0.1 S/m下的静态响应系数对线圈姿态变化时的电磁响应进行校正。对正演计算所得的电磁响应数据以及校正前后的电磁响应数据进行同样的预处理，晚期后三道(chan13，chan14和chan15)的剖面曲线如图9所示。
图9 晚期道剖面曲线
Fig. 9 Profile curve of late channel
从图9(b)可以看出：由于线圈姿态角度变化，电磁响应剖面数据将会被严重影响，甚至会在无异常体区域产生虚假异常，影响对地下异常体的探测。对比图9(a)，(b)和(c)，利用本文校正方法对线圈姿态变化时的电磁响应进行校正之后，电磁响应剖面数据质量得到有效改善，计算校正前后电磁响应数据的均方根相对误差由22.00%降低到3.04%。
5 结论
1) 在法拉第电磁感应定律基础上，利用线圈坐标系与惯性坐标系之间的转换关系计算飞机实际飞行中发射、接收线圈姿态变化时的电磁响应，得出该电磁响应由2部分组成：线圈姿态变化过程中切割磁场所产生的动态响应和线圈处于倾斜状态下所感生的静态响应。
2) 通过对线圈姿态变化时的动态和静态响应计算公式进行分析，得出动态响应不只受接收线圈角度影响，角度变化率也会对其产生影响；并得出静态响应随线圈姿态角度变化而呈现正余弦规律变化。
3) 在实际飞行中，可以利用本文校正方法对线圈姿态变化时的动态和静态响应进行校正。若仅发生摇摆旋转，则只需已知线圈的摇摆角度和当地的地磁场，就可以对线圈姿态变化产生的电磁响应进行校正；若线圈姿态变化中存在俯仰旋转时，由于大地电导率是未知的，需要获取该飞行区域的地质条件来估计出该地区的大致大地电导率或者通过快速成像来获得该地区的大致大地电导率，然后利用本文的校正方法进行校正，提高数据质量。
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（编辑 杨幼平）
收稿日期： 2018 -09 -20; 修回日期： 2019 -04 -24
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(41674108) (Project(41674108) supported by the National Natural Science Foundation of China)
作者简介：朱凯光，教授，博士生导师，从事电磁探测技术与信号处理研究；E-mail：zhukaiguang@jlu.edu.cn
