基于二维高密度电阻率勘探数据的三维反演及应用

戴前伟，肖波，冯德山，刘海飞，王鹏飞

(中南大学 地球科学与信息物理学院，湖南 长沙，410083)

摘要：针对目前高密度电阻率法所采用的数据处理方法主要是把地质结构体视为二度体进行二维处理，从而二维数据资料处理结果只是一种近似解释，其计算精度与反演效果达不到精确反演的要求，设计一种典型的地质体模型，利用有限单元法进行正演计算，对含有高斯随机误差的各测线二维正演数据分别进行高密度电阻率法二维、三维反演，对比二维和三维的反演结果。最后在广东某场地采用高密度电阻率法对岩层划分，利用二维勘探的数据进行二、三维反演。研究结果表明：三维反演受高斯随机误差的影响更小，反演结果与实际地质模型更接近；三维反演在岩层划分中更能凸显岩层分界面区域，岩层的空间分布及岩层、覆盖层的整体连续性能更真实地体现，与钻探结果吻合程度更好。

关键词：高密度电阻率法；数值模拟；二维反演；三维反演；岩层划分

中图分类号：P631            文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)01-0293-08

3-D inversion of high density resistivity method based on 2-D exploration data and its application

DAI Qian-wei, XIAO Bo, FENG De-shan, LIU Hai-fei, WANG Peng-fei

(School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: Based on the fact that the 2-D date processing adopted by the high density resistivity method regards the geological structures as two degrees, which makes the results of the two-dimensional data inversion only an approximate interpretation, the accuracy and effect can not meet the precise requirement of the inversion, a typical model of the geological body was designed, forward calculation was carried out using finite element method, then 2-D and 3-D inversion of the high-density resistivity method was performed using the 2-D forward calculation data containing Gaussian random error to the survey lines respectively, and the results of 2-D inversion and 3-D inversion were contrasted. Besides, combining with the engineering investigation example of the high-density resistivity method for rock stratum partition in Guangdong, 3-D inversion was performed using the 2-D exploration date. The results show that 3-D inversion can eliminate the Gaussian random error more effectively, and 3-D inversion results are more suitable with the geological model. The 3-D inversion divides the boundary area of rock stratum more prominently, the results of 3-D inversion reflect the spatial distribution of rock stratum and the overall continuity of covering layer and rock stratum, and the coherence with drilling results is better.

Key words: high density resistivity method; numerical modeling; 2-D inversion; 3-D inversion; rock stratum partition

目前，高密度电阻率法数据处理解释通常把地质结构体视为二度体进行二维反演，而实际的地质构造体大都为似二度体或者三度体，二维反演结果只是一种近似解释，其计算精度和反演效果都难以达到精确反演的要求，因而，开展三维反演的研究具有实际意义^[1-4]。国内不少研究者对二维、三维反演进行了研究对比，如：熊彬等^[5]用二维反演程序对三维数据进行近似，其反演结果与实际结果一致性差；祁明等^[6]实现了高密度的三维数据场可视化，客观、真实地反映了电性异常的三维地质结构；黄俊革等^[7-8]把二维、三维反演进行对比，并对三维高密度电阻率E-SCAN法进行了大量模拟实验，发现三维反演在异常位置、形态和电阻率特性上都比二维反演的效果好；黄俊革  等^[9]用三维高密度电法技术探测岩层富水性，突破了二维反演无法表现工作底板富水状态的局限性，证明了三维反演的优越性及有效性。高密度电阻率法三维反演以三维勘探数据为基础，但在实际工程勘探中，受工作成本和施工周期的影响，三维勘探原始数据获取存在较大困难，野外勘探仍以二维为主，这样，利用二维数据进行三维反演显得尤为重要。在此，本文作者从二、三维反演理论出发，对典型地质体模型正演结果、某工程高密度二维实测数据进行二、三维反演对比。

1  二维和三维电阻率正、反演特点

在电阻率正反演问题中，反演是最终目的，但正演是问题的关键，也是二维和三维反演结果不同的根源所在。目前，正演模拟大多采用有限单元法，通过正演模拟的响应视电阻率作为反演的输入，进而进行反演，以达到解决问题的目的。

1.1  二维和三维正演模拟特点

采用有限单元法进行正演模拟，将整个计算空间区域离散成许多相互连接的单元网格，通过对单元网格节点的电位进行求解得到计算域的电位分布，然后，将电位分布值转化为视电阻率。

三维电阻率正演是在三维场中研究三维问题，即研究点电源产生的稳定三维电流场的各节点电位满足的三维微分方程。电位函数U=U(x, y, z)所满足的三维微分方程的边值问题为：

     (1)

二维电阻率正演是在三维场中研究二维问题，即假设地下介质的导电性沿走向(y轴方向)无变化，对点电源产生的稳定三维电流场的电位函数满足的三维偏微分方程作余弦傅氏变换，从而将三维偏微分方程变成二维偏微分方程。在二维地电条件下，点电流源场各节点电位的计算可归结为对若干个给定波数求解电位的傅氏变换所满足的二维偏微分方程的边值问题：

   (2)

其中：为电导率；和为地面边界；为其他边界；I_k为第k个供电电极的电流；r_k为场源到测点的距离；n为边界处法线向量；和分别为零阶和一阶修正贝塞尔函数。

与方程式(1)等价的变分问题为：

   (3)

对方程(3)求解，可得出三维地电断面各网格节点的电位U=U(x, y, z)。

与方程(2)等价的变分问题为：

 (4)

对方程(2)求解，得出变换电位，对其进行傅里叶逆变换得：

        (5)

从而得到二维地电断面各网格节点的电位^[10-12]。对比分析上面的二维和三维偏微分方程，二维正演要求地形及地下异常体必须在垂直测线方向上有一定走向，其模拟中的波数是在地形水平且均匀半无限空间下获得的，所以，对于地下的复杂电性介质，二维正演的应用条件要苛刻得多。而三维正演模拟的应用条件较为宽泛，更具有一般性，对地下复杂介质的模拟更能逼近实际情况。正演为反演的前提和基础，由于二维正演相对三维正演本身应用条件的局限性，致使二维反演结果比三维反演结果精度低。

1.2  电阻率法二、三维反演的基本原理

电阻率法二、三维反演过程一致，都是主要基于最小二乘原理，利用正演模型和实测数据构造一目标函数，并使其达到极小。最小二乘反演问题目标函数可表示为：

              (6)

式中：

其中：m(=m₁, m₂, …, m_N)为N维模型向量；d(=d₁, d₂, …, d_N)为M维实测视电阻率向量；m_i为第i个模

型参数；为初始模型m⁰处第j个观测值

d_j，对第i个模型参数m_i的偏导数；为模型参数修改向量；为数据残差向量，即实测视电阻率与模拟的视电阻率对数值之差；J为偏导数矩阵。

在电阻率二维或三维反演过程中，由于反演参数相对实测参数较多，从而传统的阻尼最小二乘反演导致过于复杂，产生多余构造，故在反演目标函数中加入光滑矩阵这一约束条件。其物理意义就是使地下模型尽量简单、光滑，减少相邻网格间的电阻率的突变，以减少反演的多解性。故将目标函数(6)修改为施加光滑约束的目标函数为：

        (7)

将包含光滑约束条件的目标函数对?m求导并令其等于0，可得到线性方程：

      (8)

其中：为拉格朗日乘数；C为光滑度矩阵。通过对方程(8)进行求解，得到模型参数修正矢量?m，将其代入下式：

             (9)

便得到新的预测模型参数向量。重复这个过程，直至实测数据和模拟数据之间的平均均方误差

             (10)

满足要求为止，电阻率反演过程结束^[11-15]。

2  模型计算与反演

选择高阻立方体三维模型进行正演模拟，然后，对正演视电阻率剖面分别进行二、三维反演处理，进而对比基于二维高密度正演数据的二、三维反演效果的不同。

数值模拟所采用的模型为1个长×宽×高为    3 m× 3 m×3 m的高阻立方体，模型电阻率为100 Ω·m，围岩电阻率为50 Ω·m，测区是长×宽为       10 m×10 m的区域，模型位于测区中心区域，埋深0.7 m。数据采集采用二级(A-M排列)装置，在测区区域布设11条测线，每条测线布设11个电极，电极总数为121个，点距和线距均为1 m。测线和模型示意图如图1所示。

图1  测线和模型空间示意图

Fig.1  Spatial diagram of survey line and model

采用有限单元法进行数值模拟。图2(a)所示为通过有限单元法正演计算得到的各测线视电阻率等值线图；图2(b)所示为正演计算所得到的各测线视电阻率值加上1%高斯随机误差后的视电阻率等值线图，其目的是用于高密度电阻率法二维、三维反演。

将各测线含有高斯随机误差的正演计算数据进行高密度电阻率法二维反演，抽取相同深度的反演结果通过插值组合成水平切片图，如图3(a)所示；将整个区域的正演计算数据整合、进行高密度电阻率法三维反演，反演结果为立体结构，剔除无效反演结果，对三维反演结果在同一深度进行水平切片，如图3(b)所示；对相邻测线反演结果取均值形成相邻测线中间位置X方向的垂直切片图，取模型附近部分切片图，如图4(a)所示；在模型区域附近对反演结果进行X方向垂直切片，如图4(b)所示。

由图3和图4可知：高密度电阻率法二维和三维反演结果能基本反映出模型的空间位置，各切片图在一定程度上体现出模型的连通性。但二维反演受高斯随机误差影响大，模型两侧的反演结果切片图对称性较差；各切片图上的模型异常无法体现出模型为一规则的空间结构体；反演结果与模型实际位置、电阻率存在较大偏差(如图3(a)和图4(a)所示)。相反，三维反演受高斯随机误差的影响小，逼真地反映出模型的形状结构和电阻率分布；模型两侧相对应的反演结果切片图对称性好，各切片图也体现出很好的轴对称性，表明模型为一规则的对称空间结构体。

对比图3和图4可知：高密度电阻率法三维反演结果相邻切片之间模型的连通性比二维反演结果的优；三维反演受高斯随机误差的干扰影响更小，较好地体现出模型电阻率分布情况；三维反演在体现模型异常位置、形态和电阻率特性上都比二维反演的效果好。

图2  模型正演计算各测线视电阻率等值线图

Fig.2  Resistivity contours of survey lines obtained by forward calculation of model

图3  据模型反演结果所得不同深度的水平切片图

Fig.3  Horizontal slices obtained by model inversion results at different depths

图4  据模型反演结果所得部分X方向垂直切片图

Fig.4  Vertical slice of X direction obtained by model inversion results

3  工程实例

3.1  工程概况和测线布置

广东某场地由于进行施工建设，需掌握该场地基岩完整性、覆盖层厚度及断裂带、沟槽、破碎带等分布和发育情况，以便为施工设计提供科学依据。工程场地位于海岸边上，地形平缓，岸边以海积砂为主，向内陆过渡为侵蚀残丘；区域内深、大断裂带广泛发育，断裂带发生变质、混合岩化作用严重。

本次探测在测区内由西向东共布设8条测线，点距为5.0 m，线距为37.5 m。野外布线方式采用施仑贝尔装置(装置)，共完成测点480个，探测剖面数设为16条，探测深度为34 m左右。

3.2  高密度电阻率法探测结果分析

对测区内各条测线的勘探数据进行二维反演分析，同时把二维勘探数据进行组合，进而进行三维反演分析；通过钻探资料对比二维、三维反演结果。

3.2.1  高密度电阻率法二、三维反演结果及对比

图5(a)所示为各测线勘探数据二维反演结果，图5(b)所示为剔除无效数据后的三维反演结果在X方向的垂直切片图。由图5可知：高密度电阻率法二、三维反演都能分辨出测区覆盖层与岩层的相对位置，覆盖层平均深度为11 m。在整个测区中，与测区东面相比，测区西面的覆盖层厚；与测区西面相比，测区东面有明显的断裂带；与小号测线区域相比，大号测线区域破碎带严重，覆盖层厚，有明显的断裂带存在。

图5  高密度电阻率法反演结果X方向垂直切片图

Fig.5  Vertical slice of X direction obtained by inversion results of high density resistivity method

对比图5(a)和(b)可知：高密度电阻率法二维反演各相邻切片无明显的整体连通性；覆盖层、岩层界面起伏性大，风化层不明显；各切片对目标异常体划分零碎，无法对测区内多个断面数据进行综合解释。相反，三维反演结果各相邻切片岩层、覆盖层整体连续性好；风化层(分界面)区域清晰；反演结果体现出整个探测区域的岩层平整、连通；对测区内多个断面数据进行综合解释难度小。

3.2.2  钻探结果

为验证反演结果的可靠性，在测线L₂离起点位置130 m和193 m处进行钻探验证，结果如图6所示。由图6可知：对于测线L₂，二、三维反演结果在确定覆盖层底界面、风化层底界面的整体位置上呈现出很好的对应关系；但二维反演结果显示在距离起点126~134 m处覆盖层厚度变大，相应基岩层位置也变深，在距离起点188~196 m处为基岩层断裂带，三维反演结果在这2处表明基岩层平整连通，无明显起伏。

图6表明：对于钻孔1，二维反演结果中覆盖层底界面、风化层底界面分别为12.70 m和26.00 m，三维反演结果分别为8.80 m和13.90 m，钻探结果分别为9.25 m和15.10 m；对于钻孔2，二维反演结果中覆盖层底界面、风化层底界面处于断裂带位置上，三维反演结果分别为7.20 m和13.70 m，钻探结果分别为7.60 m和13.10 m。对比二维反演结果，三维反演结果与钻探结果一致性更好。

图6  钻探结果

Fig.6  Results of drilling

4  结论

(1) 对基于高密度电阻率法所得的二维勘探数据进行三维反演，与把目标体视为二度体进行二维反演相比，三维反演把目标体还原为三度体或者似二度体，其计算精度与反演效果都比二维反演的优。

(2) 在模型计算中，与二维反演相比，三维反演受高斯随机误差的影响更小，反演结果在模型异常位置、形态和电阻率特性上都比二维反演的效果优。

(3) 在岩层划分的工程实际中，与二维反演相比，三维反演能更清楚地反映覆盖层、岩层、风化层以及断裂带区域的位置，反演结果各切片体现出很好的整体连续性，与钻探结果一致性更好。

(4) 高密度电阻率法三维反演具有很强的实用性和有效性。在实际工作勘探条件许可的情况下，建议采用三维高密度电阻率法进行采集和数据处理。

参考文献：

[1] 祁民, 张宝林, 梁光河, 等. 高分辨率预测地下复杂采空区的空间分布特征: 高密度电法在山西阳泉某复杂采空区中的初步应用研究[J]. 地球物理学进展, 2006, 21(1): 256-262.
QI Min, ZHANG Bao-lin, LIANG Guang-he, et al. High-resolution prediction of space distribution characteristics of complicated underground cavities: Preliminary application of high-density electrical technique in an area of Yangquan, Shanxi[J]. Progress in Geophysics, 2006, 21(1): 256-262.

[2] 邓超文. 高密度电法的原理及工程应用[J]. 韶关学院学报: 自然科学, 2007, 28(6): 65-68.
DENG Chao-wen. The principle and application of high density electrical method technique[J]. Journal of Shaoguan University: Natural Science, 2007, 28(6): 65-68.

[3] 于宝新. 高密度电阻率法在采空区探测中的应用[J]. 金属矿山, 2007(3): 51-53.
YU Bao-xin. Application of high density resistivity survey in mined-out areas[J]. Metal Mine, 2007(3): 51-53.

[4] 张建强, 张全录, 汤跃超, 等. 高压输电线塔基煤矿采空区的高密度电阻率法探查研究[J]. 地球物理学进展, 2004, 19(3): 684-689.
ZHANG Jian-qiang, ZHANG Quan-lu, TANG Yao-chao, et al. High density resistivity exploration on coal mine cavity under the high power tomper foundation[J]. Progress in Geophysics, 2004, 19(3): 684-689.

[5] 熊彬, 阮百尧, 黄俊革. 直流电阻率测深中二维反演程序对三维数据的近似解释[J]. 地球科学: 中国地质大学学报, 2003, 28(1): 0102-0106.
XIONG Bin, RUAN Bai-yao, HUANG Jun-ge. Approximate interpretation of 3-D data using 2-D inversion program in the DC resistivity sounding[J]. Earth Science: Journal of China University of Geosciences, 2003, 28(1): 0102-0106.

[6] 祁民, 张宝林, 梁光河. 高密度电法的三维数据场可视化[J]. 地球物理学进展, 2006, 21(3): 981-986.
QI Min, ZHANG Bao-lin, LIANG Guang-he. The visualization of three dimension data field sof high-density electrical technique[J]. Progress in Geophysics, 2006, 21(3): 981-986.

[7] 黄俊革, 阮百尧. 直流电阻率测深中二维与三维反演结果的对比与分析[J]. 物探与化探, 2004, 28(5): 0447-0450.
HUANG Jun-ge, RUAN Bai-yao. An analytical comparison between 2D and 3D inversions in DC resistivity soundings[J]. Geophysical & Geochemical Exploration, 2004, 28(5): 0447-0450.

[8] 施龙青, 翟培合, 魏久传, 等. 三维高密度电法技术在岩层富水性探测中的应用[J]. 山东科技大学学报, 2008, 27(6): 1-4.
SHI Long-qing, ZHAI Pei-he, WEI Jiu-chuan, et al. Application of 3D high density electrical technique in detecting the water enrichment of strata[J]. Journal of Shandong University of Science and Technology, 2008, 27(6): 1-4.

[9] 黄俊革, 王家林, 阮百尧. 三维高密度电阻率E-SCAN法有限元模拟异常特征研究[J]. 地球物理学报, 2006, 49(4): 1206-1214.
HUANG Jun-ge, WANG Jia-lin, RUAN Bai-yao. A study on FEM modeling of anomalies of 3-D high-density E-SCAN resistivity survey[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2006, 49(4): 1206-1214.

[10] 李小康. 时间域激电二维正演研究[D]. 北京: 中国地质大学地球物理与信息技术学院, 2008: 20-50.
LI Xiao-kang. 2D forward numerical simulation of IP method in time domain[D]. Beijing: China University of Geosciences. School of Geophysics and Geoinformation Systems, 2008: 20-50.

[11] 刘海飞. 高密度数据处理方法研究[D]. 长沙: 中南大学信息物理工程学院, 2003: 30-60.
LIU Hai-fei. The processing method of High-density data[D]. Changsha: Central South University. School of Info-physics and Geomatics Engineering, 2003: 30-60.

[12] 黄俊革. 三维电阻率/极化率有限元正演模拟与反演成像[D]. 长沙: 中南大学信息物理工程学院, 2003: 20-60.
HUANG Jun-ge. 3-Dresistivity/IP modeling and inversion based on FEM[D]. Changsha: Central-South University. School of Info-physics and Geomatics Engineering, 2003: 20-60.

[13] 张大海, 王兴泰. 二维视电阻率断面的快速最小二乘反演[J]. 物探化探计算技术, 1999, 21(1): 1-12.
ZHANG Da-hai, WANG Xing-tai. Rapid least-squares inversion of 2-D apparent resistivity pseudosection[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration, 1999, 21(1): 1-12.

[14] 吴小平, 汪彤彤. 电阻率三维反演方法研究进展[J]. 地球物理学进展, 2002, 17(1): 0156-0161.
WU Xiao-ping, WANG Tong-tong. Progress of study 3D resistivity inversion methods[J]. Progress in Geophysics, 2002, 17(1): 0156-0161.

[15] 吴小平, 徐果明. 利用共轭梯度法的电阻率三维反演研究[J]. 地球物理学报, 2000, 43(3): 0420-0427.
WU Xiao-ping, XU Guo-ming. Study 3-D resistivity inversion using conjugate gradient method[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2000, 43(3): 0420-0427.

(编辑 陈灿华)

收稿日期：2011-01-25；修回日期：2011-03-01

基金项目：国家科技支撑计划项目(2007BAK24B02)；国家自然科学基金资助项目(40804027，41074085)；教育部博士点新教师专项科研基金资助项目(200805331082)；湖南省自然科学基金重点资助项目(09JJ3084)；湖南省科技计划项目(2008TP4013-2)

通信作者：冯德山(1978-)，男，湖南祁阳人，博士，副教授，从事电磁法方法及理论、工程地球物理勘探等研究；电话：0731-88836145；E-mail: fengdeshan@126.com