DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2019.02.006

双重螺旋法齿面分区修形对降低安装误差敏感性的影响

严宏志^{1, 2}，吴顺兴^{1, 2}，肖蒙^{1, 2}

(1. 中南大学 高性能复杂制造国家重点实验室，湖南 长沙，410083；

2. 中南大学 机电工程学院，湖南 长沙，410083)

摘要：为了降低齿轮副对安装误差的敏感性，将双重螺旋法加工的齿面划分为小端、中间接触区和大端3个区域，并沿啮合线方向对3个区域分别进行抛物线修形，得到修形后的理论齿面；采用有约束最小二乘法求得与修形后理论齿面逼近的修形后实际齿面；通过齿轮承载接触分析(LTCA)，得到原始齿面与修形后实际齿面在有安装误差时的齿面接触区、接触应力和齿根弯曲应力。研究结果表明：经过分区修形，正、反车齿面最大接触应力降低，齿面接触应力更加均匀，齿轮副对安装误差的敏感性降低，同时，齿根弯曲应力也有一定程度增大。

关键词：双重螺旋法；安装误差敏感性；分区修形；齿轮承载接触分析

中图分类号：TH132.41             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2019)02-0286-09

Effect of tooth surface zoning modification by duplex helical method on reducing sensitivity of installation error

YAN Hongzhi^{1, 2}, WU Shunxing^{1, 2}, XIAO Meng^{1, 2}

(1. State Key Laboratory for High Performance Complex Manufacturing,

Central South University, Changsha 410083, China;

2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: To reduce the sensitivity of the gear pair to the installation error, the original tooth surface generated by duplex helical method was divided into three regions, i.e. the toe region, the middle region and the heel region. Modifications of these regions with three parabolic segments were conducted along the meshing line, and then theoretical tooth surfaces were obtained. The constraint least square method was used to minimize the tooth flank form error between the theoretical modified tooth surface and the actual modified tooth surface. Then, the contact area, the contact stress, the bending stress of tooth root of the original tooth surface and the actual modified tooth surface in the presence of installation error were obtained by loaded tooth contact analysis (LTCA). The results show that the maximum contact stress of the drive side and the coast side are both reduced by zoning modification. Meanwhile, the tooth surface contact stress is more uniform. Thus, sensitivity of installation error of gear pair is reduced and the bending stress of the root increases to a certain extent.

Key words: duplex helical method; installation error sensitivity; zoning modification; loaded tooth contact analysis

在实际工程中，螺旋锥齿轮副不可避免地存在安装误差，这将使齿轮副冲击振动与噪声增大，并导致不均匀磨损，缩短使用寿命，因此，使设计的齿轮副对安装误差具有低敏感性是齿轮研究的一个重要课题。目前，有关啮合质量对安装误差的敏感性已有较多研究。王峰等^[1]开展了摆线齿准双曲面齿轮在安装误差情况下的齿轮接触分析，研究了安装误差对其啮合性能的影响；刘光磊等^[2]通过分析安装误差对接触印痕位置影响确定了齿轮副安装误差的合理范围；佟操等^[3]采用动力学软件ANSYS/LS-DYNA 对直齿圆柱齿轮进行动态仿真，得到了不同安装误差对应的动态接触应力；王小椿等^[4]通过解析法建立了安装误差与齿面啮合特性的对应关系；LI等^[5-7]采用有限元方法对直齿圆柱齿轮副进行加载接触分析，研究了安装误差对齿面接触应力、齿根弯曲应力、啮合刚度和承载传动误差等的影响；FALAH等^[8]对单包络(圆柱)蜗杆传动副进行加载接触分析，研究了安装误差对接触线、负载和应力分布的影响；ZHANG等^[9]通过齿轮接触分析，研究了不同安装误差对双圆弧弧齿锥齿轮啮合性能的影响。针对如何降低齿轮副啮合性能对安装误差的敏感性，目前已有一些研究；LITVIN等^[10-11]通过预置接触轨迹及传动误差曲线得到了低安装误差敏感性的齿面；SIMON等^[12-13]对弧齿锥齿轮副进行加载接触分析，通过优化的小轮机床加工参数降低了齿轮副对安装误差的敏感性；苏进展等^[14-15]提出了通过优化差曲面全曲率来降低弧齿锥齿轮安装误差敏感性的方法，同时提出了齿面的低敏感性修形方法，但是其针对的只是工作齿面的修形；王会良等^[16]通过对斜齿轮的齿廓和齿向进行分段修形，降低了其对安装误差的敏感性；曹雪梅等^[17]以齿廓、齿向修形系数为优化变量，通过对主动轮进行鼓形修形，从而降低了齿轮副对安装误差的敏感性。上述研究为双重螺旋法加工的螺旋锥齿轮副面向安装误差敏感性修形提供了参考，但是，基于双重螺旋法的螺旋锥齿轮加工具有正车面和反车面两面同时加工、两面同时修形的特点，为此，本文作者针对具有双面综合优化的分区修形方法和机床调整参数修正方法进行研究。

1  安装误差低敏感性分区修形

螺旋锥齿轮齿面的大端和小端修形可减小由安装误差带来的接触区位置、大小和形状以及接触应力的变化程度，从而降低齿轮副对安装误差的敏感性。以接触区的边界作为分界线将齿面分成3部分即小端、中间接触区和大端。沿啮合线方向进行3段抛物线修形，小端、中间接触区和大端分别对应1段抛物线。图1所示为齿面分区示意图。

以啮合线与接触迹线的交点M为坐标原点，齿面法线方向为y方向，指向轮齿大端的啮合线方向为x方向，建立抛物线修形坐标系，如图2所示(其中，a为预置的瞬时接触椭圆长半轴的长度)。

图1  齿面分区示意图

Fig. 1  Diagram of tooth surface zoning

图2  抛物线修形坐标系

Fig. 2  Coordinates for parabolic modification

图3所示为抛物线修形曲线。其中，抛物线Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ分别为沿啮合线方向在齿面接触区内，小端区域内和大端区域内的修形曲线；d₀，d₁和d₂分别为接触区边界上的修形量，小端给定的最大修形量和大端给定的最大修形量；x₁和x₂在数值上等于预设的接触椭圆长半轴的长度a，x₃和x₄分别为靠近小端和大端齿面区域内沿x轴到接触迹线的最远距离。

沿啮合线方向3段抛物线修形曲线的表达式为

         (1)

式中：e₁，e₂和e₃为抛物线II的修形系数；k₁，k₂和k₃为抛物线III的修形系数。

要保证3段抛物线连续可导，应该满足如下约束条件：

             (2)

            (3)

沿啮合线方向的法向修形量η为

     (4)

将齿面离散为45个网格点，求得各个离散点的法向修行量，以各个离散点的法向修行量作为小轮原始齿面与修形后理论齿面的法向偏差值。

图3  抛物线修形曲线

Fig. 3  Parabolic modification curves

2  小轮加工参数求解

齿面偏差的产生有很多原因，通过修正机床调整参数可以最大限度地实现齿面偏差的最小化。

原始齿面和修形后理论齿面的偏差可表示为

       (5)

式中：r为齿面的位置矢量；n为齿面的法向矢量；d_j(j=1，2，…，q)为机床调整参数；S为误差敏感系数，。

采用双重螺旋法加工时，1组机床调整参数同时加工正车面和反车面，第i个网格点对应第j个机床调整参数，敏感系数矩阵S_ij可表示为

              (6)

式中：i=1，2，…，p；j=1，2，…，q。

令E_i为第i个网格点的齿面偏差，则有

              (7)

式中：E_i为正车面和反车面的所有网格点的齿面偏差矩阵；S_ij为对应所有网格点的敏感系数矩阵；△d_j为机床调整参数修正值矩阵。

由于机床调整参数的数目q小于齿面网格点的数目p，故式(7)为超静定方程线性方程组，因此，采用约束最小二乘法求解。对于每1个选用的修正参量，根据使用的机床类型以及齿面偏差给出1个合适的范围，即可求得理想的机床调整参数修正值。

3  算例分析

以1对大轮采用成形法、小轮采用双重螺旋法加工的准双曲面齿轮副为例，轮坯参数见表1，小轮的原始齿面加工参数见表2，2组修形参数见表3。

由表3中的修形参数1和修形参数2分别得到修形后理论齿面1和修形后理论齿面2。图4和图5所示分别为修形后理论齿面1和修形后理论齿面2与原始齿面的偏差图。利用有约束最小二乘法对原始齿面进行修正，得到满足修形后理论齿面的小轮加工参数，如表4所示。通过表4中修形后的小轮加工参数分别得到对应修形参数1和修形参数2的修形后实际齿面1和修形后实际齿面2。图6和图7所示分别为修形后实际齿面1和修形后实际齿面2和原始齿面的偏差图。

表1  轮坯参数

Table 1  Basic parameters

表2  原始齿面小轮加工参数

Table 2  Machining parameters of pinion of original tooth surface

表3  修形参数

Table 3  Modification parameters

从图4~7可见：修形后理论齿面和修形后实际齿面基本保证了正车面和反车面的中间接触区不变，而在大端和小端沿啮合线方向有一定的修形量。对比修形后理论齿面和修形后实际齿面的正车面和反车面可知：修形后实际齿面与修形后理论齿面接近，说明采用有约束最小二乘法求得的小轮两面同时加工的机床调整参数符合设计要求。

图4  修形后理论齿面1和原始齿面的偏差图

Fig. 4  Deviation diagram of theoretical tooth surface 1 after modification and original tooth surface

图5  修形后理论齿面2和原始齿面的偏差图

Fig. 5  Deviation diagram of theoretical tooth surface 2 after modification and original tooth surface

齿轮副进行分区修形后，对其进行齿轮承载接触有限元分析。小轮轴向安装误差H=0 mm，大轮轴向安装误差J=-0.16 mm，小轮偏置距误差E=-0.15 mm。给定载荷600 N·m时，对比分析修形前后齿轮副在加载条件下齿面接触区、接触应力及齿根弯曲应力的变化情况。以模型中第3对齿轮为例，建立齿轮承载接触分析(LTCA)有限元模型，如图8所示。

图9~10分别为在有安装误差情况下，通过LTCA有限元分析得到的原始齿面与修形后实际齿面的大轮正车面和反车面的接触区及接触区应力云图。由图9可见：在有安装误差情况下，原始齿面的正车面接触区完全拓展到大轮小端边界，齿面高应力区主要分布于齿顶上部。经过安装误差低敏性分区修形后，正车面接触区优化效果明显：1) 原始齿面接触区、修形后实际齿面1和修形后实际齿面2距离大轮小端的距离分别为0.154，1.179和1.697 mm，避免了小端边界接触；2) 齿面接触应力分布较为均匀，避免了高应力区主要分布在强度较小的齿顶上部；3) 最大接触应力有所减少，原始齿面的最大接触应力数值为1 289 MPa，而修形后实际齿面1和修形后实际齿面2的最大接触应力分别为1 281和1 263 MPa。

表4  修形后小轮加工参数

Table 4  Machining parameters of pinion after modification

图6  修形后实际齿面1和原始齿面的偏差图

Fig. 6  Deviation diagram of actual tooth surface 1 after modification and original tooth surface

图7  修形后实际齿面2和原始齿面的偏差图

Fig. 7  Deviation diagram of actual tooth surface 2 after modification and original tooth surface

图8  LTCA有限元模型

Fig. 8  Finite element model for LTCA

由图10可见：原始齿面的反车面接触区基本位于齿面中间，齿根部位有向大端延伸的趋势，经过安装误差低敏感性分区修形后，反车面接触区优化效果较好：1) 齿根部位向大端延伸的趋势稍减，原始齿面接触区、修形后实际齿面1和修形后实际齿面2与大轮小端的距离分别为5.689，5.791和6.304 mm；2) 最大接触应力有所减少，原始齿面的最大接触应力为1 406 MPa，而修形后实际齿面1和修形后实际齿面2的最大接触应力分别为1 394 MPa和1 390 MPa。

图9  不同齿面的正车面接触区及接触区应力云图

Fig. 9  Drive side contact area and stress nephogram of contact area for different tooth surfaces

对比图9和图10可知：修形后实际齿面2的优化效果优于修形后实际齿面1的优化效果，说明从齿面接触应力及接触区的优化角度来说，适当增大大端和小端的修形量也可以提高正车面和反车面的优化效果，降低齿轮副对安装误差的敏感性。

齿轮弯曲应力反映齿轮齿根部位抗疲劳折断的能力，根据第3强度理论，通过有限元软件对小轮原始齿面和修形后实际齿面的齿根弯曲应力进行分析，分别得到小轮正车面和反车面的齿根弯曲应力云图，如图11和图12所示。

图10  不同齿面的反车面接触区及接触区应力云图

Fig. 10  Coast side contact area and stress nephogram of contact area for different tooth surfaces

由图11和图12可知：原始齿面正车面的齿根最大弯曲应力为106.182 MPa，反车面的齿根最大弯曲应力为86.662 MPa；修形后实际齿面1正车面的齿根最大弯曲应力为106.897 MPa，反车面的齿根最大弯曲应力为87.162 MPa；修形后实际齿面2正车面的齿根最大弯曲应力为107.537 MPa，反车面的齿根最大弯曲应力为87.523 MPa。说明随着大端和小端的修形量增加，齿厚减小，齿根弯曲应力有所增大。所以，修形量的确定需要综合齿面接触情况和齿轮强度，同时考虑实际工况条件来确定。

图11  不同齿面的正车面齿根弯曲应力云图

Fig. 11  Tooth root bending stress nephogram of drive side of different tooth surfaces

4  实验验证

采用由哈量集团研发生产的H650C数控螺旋锥齿轮铣齿机加工实验所用齿轮，在加工好的齿轮齿面上涂上红丹粉，并在YDX9550锥齿轮滚动检查机上进行滚检实验，验证基于双重螺旋法加工的齿面分区修形方法对降低安装误差敏感性的有效性以及仿真分析结果的正确性。

由于修形方法原理相似，同时考虑到加工成本和时间，实验只对1组修形参数进行验证，即验证由第2组修形参数得到的齿面。此外，由于实验条件限制，滚检机是在负载为20 N·m条件下进行的，原始齿面和修形后实际齿面2的正车面接触区及反车面接触区分别如图13和图14所示。

图12  不同齿面的反车面齿根弯曲应力云图

Fig. 12  Tooth root bending stress nephogram of coast side of different tooth surfaces

由图13可见：原始齿面与修形后实际齿面2的大轮正车面的接触区位置和啮合方向与仿真结果基本相似；原始齿面与修形后实际齿面2的接触区形状有微小差别，其中原始齿面的接触区有明显的向轮齿小端齿根延伸的一段狭窄区域，而修形后实际齿面2的接触区更加规则，向小端齿根延伸的程度较小。由图14可见：原始齿面与修形后实际齿面2的大轮反车面接触区变化不明显，没有正车面的修形优化效果明显，但经过修形后齿面的接触区向大端延伸的范围比原始齿面的小。

图13  原始齿面和修形后实际齿面2的正车面接触区

Fig. 13  Drive side contact area of the original tooth surface and actual tooth surface after modification 2

图14  原始齿面和修形后实际齿面2的反车面接触区

Fig. 14  Coast side contact area of the original tooth surface and actual tooth surface after modification 2

对比实验结果可知：原始齿面与修形后实际齿面2接触区形状存在差异，说明齿面修形能够有效降低齿轮副对安装误差的敏感性，避免了在实际工况中由于偏离理论安装位置而出现大、小端接触或者齿根、齿顶接触的情况。

5  结论

1) 建立双重螺旋法小轮双面3段修形模型，并在误差敏感矩阵基础上，采用有约束最小二乘法对修形后的机床调整参数进行求解，求解的机床调整参数符合设计要求。

2) 修形后，正车面和反车面齿面最大接触应力减小，接触应力分布更均匀，避免了齿顶高应力接触，提高了齿轮啮合稳定性。

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(编辑  伍锦花)

收稿日期：2018-04-05；修回日期：2018-06-25

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51575533)(Project(51575533) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：严宏志，博士，教授，从事复杂曲面数字制造理论与技术研究；E-mail：yhzcsu@163.com