DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2021.04.012

刚度和齿隙对功率分流传动系统均载特性影响的敏感度分析

靳广虎¹，高鹏^{1, 2}，严岳胜³，朱如鹏¹

(1. 南京航空航天大学 直升机传动技术重点实验室，江苏 南京，210016；

2. 南京模拟技术研究所，江苏 南京，210016；

3. 直升机传动技术国家级重点实验室，湖南 株洲，412002)

摘要：为获得影响面齿轮—圆柱齿轮两次功率分流传动系统均载特性的敏感性参数，建立该传动系统的弯扭耦合动力学模型。采用变步长龙格库塔法求解微分方程组，获得影响均载系数的敏感性参数。研究结果表明：对输入级均载特性影响最大的敏感性参数为输入轴X方向的支撑刚度和右分扭轴的扭转刚度，且刚度越小，均载特性越好；对分扭和并车级均载特性影响最大的敏感性参数为双联轴1在Y方向的支撑刚度和双联轴2的扭转刚度，且随着扭转刚度变化，均载系数存在拐点现象；输入级和分扭级的均载系数主要对其本身的齿侧间隙较敏感；并车级的均载系数对分扭级和其本身的齿侧间隙都较敏感；合理分配齿隙可改善整个系统的均载特性。

关键词：敏感度；均载系数；功率分流；齿隙；刚度

中图分类号：V233.1；TH132.4      文献标志码：A         开放科学(资源服务)标识码(OSID)

文章编号：1672-7207（2021）04-1149-11

Sensitivity analysis of influence of stiffness and backlash on load sharing characteristics of power split drive system

JIN　Guanghu¹, GAO　Peng^{1, 2}, YAN　Yuesheng³, ZHU　Rupeng¹

(1. National Key Laboratory of Science and Technology on Helicopter Transmission, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China;

2. Nanjing Research Institute on Simulation Technology, Nanjing 210016, China;

3. National Key Laboratory of Science and Technology on Helicopter Transmission, Zhuzhou 412002, China)

Abstract: In order to obtain the sensitive parameters that affect the load sharing characteristics of the twice power split transmission system of face gear and cylinder gear, the bending torsion coupling dynamic model of the transmission system was established. The sensitivity parameters affecting the coefficient of load sharing were obtained by solving the differential equations with variable step Runge Kutta method. The results show that the most sensitive parameters to the load sharing characteristics of the input stage are the support stiffness in the X direction of the input shaft and the torsional stiffness of the right split torque shaft, and the smaller the stiffness is, the better the load sharing characteristics are. The most sensitive parameters affecting the load sharing characteristics of the split torque and power confluence stages are the support stiffness in the Y direction of the compound shaft 1 and the torsional stiffness of the compound shaft 2, and with the change of torsional stiffness, the value of load sharing coefficient has inflection point. The load sharing coefficient of the input stage and the split torque stage is mainly sensitive to their own backlash, while the load sharing coefficient of power confluence stage is sensitive to the split torque stage and the backlash of its own. The reasonable distribution of backlash can improve the load sharing characteristics of the whole system.

Key words: sensitivity; load sharing coefficient; power split; backlash; stiffness

功率分流齿轮传动系统多用于大功率传动，具有减速比大、传动级数少、质量小和可靠性高等优点。与传统行星齿轮传动相比，直升机主减速器采用具有载荷分流的定轴传动构型具有显著的优点^[1-4]。功率分流传动构型的特点是：一个齿轮同时与两个齿轮相啮合，则每分支承担的载荷减半，从而实现载荷的分流。载荷减小可以降低齿轮的体积(质量)以及线速度，这对高速重载的齿轮传动具有非常重要的意义。该类构型工程化应用的关键技术之一是2个分支载荷均等，否则容易引起轮齿的折断。围绕载荷均等的技术要求，研究学者们开展了大量的研究工作。在圆柱齿轮功率分流领域，学者们提出采用平衡梁法^[5-6]、同步角法^[7-8]、弹性轴法^[9-14]以及含弹性材料的齿轮腹板^[15]等来提高传动系统的均载特性。为提高面齿轮功率分流传动的均载特性，采用的主要方法有输入轴弹性浮动^[16]和含弹性腹板的面齿轮^[17]等。此外，相关学者还开展了分流传动系统的动态响应^[18]、均载系数^[19-26]以及试验验证^[27]等研究。

本文作者根据直升机主减速器传动系统的特点，结合面齿轮和圆柱齿轮功率分流传动的优点，提出面齿轮-圆柱齿轮两次功率分流的传动构型。针对该构型的均载特性，考虑齿轮副的时变啮合刚度、误差和齿侧间隙等因素，建立弯扭耦合动力学模型，研究影响该构型均载特性的敏感性参数，分析主要敏感性参数对均载系数影响的规律，为提高功率分流传动系统均载特性的设计提供一定的参考和理论支撑。

图1　两次功率分流传动系统的结构示意图

Fig. 1　Structure diagram of twice power split transmission system

1  功率分流传动系统的动力学方程

1.1　动力学模型

图1所示为双输入两次功率分流传动系统的结构示意图。由图1可见，两次功率分流传动系统由2个构型完全相同的子系统组成。图1中：Z_jm，Z_{Lf_k}，Z_{Rf_k}，Z_{Lp_k}，Z_{Rp_k}，Z_{Lis_k}，Z_{Lih_k}，Z_{Ris_k}，Z_{Rih_k}和Z_B分别表示输入圆柱齿轮、左面齿轮、右面齿轮、左分扭圆柱齿轮、右分扭圆柱齿轮、左双联轴圆柱齿轮、左双联轴人字齿轮、右双联轴圆柱齿轮、右双联轴人字齿轮和大人字齿轮；支撑Z_{Lf_k}和Z_{Rf_k}的轴分别命名为左分扭轴和右分扭轴；支撑Z_{L2s_L}和Z_{L1s_L}的轴分别命名为左分支双联轴2和左分支双联轴1；支撑Z_{R2s_L}和Z_{R1s_L}的轴分别命名为右分支双联轴2和右分支双联轴1；左、右2个子系统的零部件分别采用后缀L和R来区分。其中，i=1，2； j=L，R；k=L，R。

该系统的工作原理为(以左分支子系统为例)：输入功率首先通过面齿轮传动实现换向与功率分流(定义为输入级)，然后经圆柱齿轮传动实现功率的二次分流(定义为分扭级)，最后经四支分路由人字齿轮将功率汇合(定义为并车级)，通过大人字齿轮输出功率。

针对双输入两次功率分流传动系统，建立图2所示的动力学模型。为清晰地表达视图，只给出左分支的动力学模型。啮合刚度、轴的扭转和支撑刚度用弹簧模拟。其中：K，c，b和e分别表示支撑刚度、阻尼、齿侧间隙和传递误差；φ_{D_k}，φ_{m_k}，φ_{jf_k}，φ_{jp_k}，φ_{jis_k}，φ_{jih_k}，φ_B和φ_o分别表示输入端、输入齿轮、面齿轮、圆柱齿轮、大圆柱齿轮、人字齿轮、输出大齿轮和输出端的微转角；X_{m_k}，X_{jp_k}，X_{ji_k}和X_B分别表示输入轴、分扭轴、双联轴和输出轴在X方向上的位移；Y_{jp_k}，Y_{ji_k}和Y_B分别表示分扭轴、双联轴和输出轴在Y方向上的位移； Z_{m_k}和Z_{jp_k}分别表示输入轴和分扭轴在Z方向上的位移。因此，该系统共有64个自由度，其广义坐标Y为

(1)

图2　两次功率分流传动系统的动力学模型

Fig. 2　Dynamic model of twice power split transmission system

1.2　动力学方程

设左、右2个子系统输入转矩分别为T_LD和T_RD；输出转矩为T_o；输入端和输出端的转动惯量分别为I_{D_k}和I_o；齿轮Z_jm，Z_{jf_k}，Z_{jp_k}，Z_{jis_k}，Z_{jih_k}和Z_B的集中质量分别为m_jm，m_{jf_k}，m_{jp_k}，m_{jis_k}，m_{jih_k}和m_B，转动惯量分别为I_jm，I_{jf_k}，I_{jp_k}，I_{jis_k}，I_{jih_k}和I_B。根据所建立的动力学模型以及牛顿动力学原理，可推导出两次功率分流传动系统的动力学方程为：

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：K_{Dm_k}，K_{jfp_k}，K_{jisih_k}和K_Bo分别为输入轴、分扭轴、双联轴和输出轴的扭转刚度；K_{mx_k}和K_{mz_k}，K_{jpx_k}、K_{jpy_k}和K_{jpz_k}，K_{jix_k}和K_{jiy_k}，K_Bx和K_By分别为输入轴、分扭轴、双联轴、输出轴在坐标方向上的支撑刚度；F_{mx_k}和F_{mz_k}，F_{jpx_k}、F_{jpy_k}和F_{jpz_k}，F_{jix_k}和F_{jiy_k}，F_Bx和F_By分别为输入轴、分扭轴、双联轴、输出轴在坐标方向上承受的载荷；F_{jnmf_k}，F_{jnpis_k}和F_{jnBih_k}分别为齿轮Z_jm与Z_{jf_k}，Z_{jp_k}与Z_{jis_k}和Z_{jih_k}与Z_B之间的啮合力；r_jbm和r_{jbf_k}分别为齿轮Z_jm的分度圆半径和面齿轮Z_{jf_k}的等效啮合半径；r_{jbp_k}，r_{jbis_k}，r_{jbih_k}和r_bB分别为齿轮Z_{jp_k}，Z_{jis_k}，Z_{jih_k}和Z_B的基圆半径。

该传动系统的动力学方程组可用矩阵形式表示为

(6)

式中：M，C和K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；F_t为外部激励矢量。该传动系统存在刚体位移，可根据传动系统的力封闭特点进行处理。鉴于本文主要是研究影响均载系数的敏感性参数，其中，传动轴的等效扭转刚度采用材料力学理论计算获得；采用赫兹接触理论分析轴承弹性变形以及弹性变形和轴承外加载荷之间的关系，进而计算出轴承的支撑刚度。

齿轮副间的啮合力与啮合线方向上的变形和啮合刚度有关，齿轮副间的啮合力为

(7)

式中：K_l，f(Y_l)和分别为相应啮合齿轮副间的啮合刚度、间隙函数和啮合阻尼；l表示jnmf_k，jnpis_k和jnBih_k。令相应齿轮副间的齿侧间隙为2b_l，则间隙函数f(Y_l)为

(8)

2  均载系数及敏感度

2.1　均载系数

采用龙格库塔法求解该系统的非线性微分方程组可获得系统的动力学响应，将位移响应代入式(7)，可分别获得该输入级、分扭级和并车级齿轮副间的动态啮合力F_{jnmf_k}(t)，F_{jnpis_k}(t)和F_{jnBih_k}(t)。分别用Ω_{Lmf_k}(t)和Ω_{Rmf_k}(t)，Ω_{j1s_k}(t)和Ω_{j2s_k}(t)，Ω_{j1h_k}(t)和Ω_{j2h_k}(t)表示输入级面齿轮功率分流传动的左右端、分扭级分支1和分支2、并车级分支1和分支2的动态均载系数，则两次功率分流传动系统中的各动态均载系数为

(9)

在功率分流传动系统中，两分支的最大均载系数定义为该传动级的均载系数。令Ω_{mf_k}，Ω_{js_k}和Ω_{jh_k}分别为输入级、分扭级和并车级的均载系数，则各传动级均载系数为

(10)

2.2　敏感度定义

该系统的传动链比较复杂，包含有较多传动轴、支撑以及啮合齿轮副，涉及的参数较多。为提高传动系统的均载性能，开展主要参数对传动系统均载系数影响的敏感度分析，可以为该传动系统的设计提供理论依据。为获取参数变化对传动系统各分支均载系数影响的程度，定义均载系数Ω对参数κ_l的敏感度为

(11)

式中：κ_l和分别为变化前后的参数，κ_l变动量取5%；和Ω分别为参数κ_l变化前后某分支的均载系数。

3  均载特性与参数的敏感度分析

在满足轮齿互换性的前提下，以体积最小为优化目标，基于序列二次规划算法，利用MATLAB中的优化工具箱求解系统的优化模型，获得了传动系统的主要设计参数。该传动系统的基本参数如下：输入功率为2 000 kW，转速为21 000 r/min；输入级、分扭级和并车级齿轮副的齿数比分别为28/140，20/59和15/100；模数分别为3.0，3.0和4.5 mm；压力角分别为20.0°，22.5°和20.0°；并车齿轮的螺旋角为33.5°；输入齿轮、面齿轮、圆柱齿轮和人字齿轮的齿宽分别为50，25，50和70 mm。

3.1　支撑刚度对均载特性影响的敏感度分析

图3所示为支撑刚度对各分支均载特性影响的敏感度柱状图。图3中，横坐标数值1~18分别表示K_mx-k，K_mz-k，K_Rpx-k，K_Rpy-k，K_Rpz-k，K_Lpx-k，K_Lpy-k，K_Lpz-k，K_R1x-k，K_R1y-k，K_R2x-k，K_R2y-k，K_L1x-k，K_L1y-k，K_L2x-k，K_L2y-k，K_Bx和K_By。由图3可见：影响均载系数的敏感性参数较多。但是，若选取影响最大的敏感性参数，则会发现对输入级均载系数影响最大的敏感性支撑刚度是K_mx-k(如图3(a)所示)；对分扭级和并车级均载系数影响最大的敏感性支撑刚度是双联轴1在Y方向的支撑刚度，如图3(b)~3(e)所示。

图3　支撑刚度对各分支均载特性影响的敏感度

Fig. 3　Sensitivity of influence of supporting stiffness on load sharing characteristics of each branch

为进一步验证和获取上述敏感性参数对均载特性的影响，开展其刚度变化对整个系统均载系数的影响研究，计算结果如图4所示。由图4可见：增大K_mx-k的支撑刚度，输入级分流传动的均载系数变差，但其他分支的变化较小；当支撑刚度很小时，输入齿轮的浮动量增加，此时的均载系数最好。随着K_R1y-k增大，右分支的分扭级和并车级均载系数降低，左分支的分扭级和并车级均载系数基本不变；但是，面齿轮分流传动的均载系数增大(如图4(b)所示)；除了面齿轮分流传动的均载系数改善以外，K_L1y-k变化对均载系数的影响与K_R1y-k的相似。

图4　支撑刚度对均载系数的影响

Fig. 4　Influence of supporting stiffness on load sharing coefficients

3.2　扭转刚度对均载特性影响的敏感度分析

图5所示为扭转刚度对各分支均载特性影响的敏感度柱状图。图5中，横坐标数值1~8分别表示K_{Dm_k}，K_{Rfp_k}，K_{Lfp_k}，K_{L1s1h_k}，K_{L2s2h_k}，K_{R1s1h_k}，K_{R2s2h_k}和K_Bo。从图5(a)可知：输入级均载系数对K_{Rfp_k}最敏感，这主要与两分扭轴的长度有关；左分支、右分支的分扭级和并车级均载系数对双联轴2(K_{L2s2h_k}和K_{R2s2h_k})最敏感(如输入轴的转动方向改变，则左分支、右分支的分扭级和并车级均载系数对双联轴1最敏感)，如图5(b)~5(e)所示。

从均载系数的变化来看，K_{Rfp_k}变化对其他分支的均载系数影响较小，但对输入级分流传动的均载系数影响较大，如图6(a)所示；双联轴2的扭转刚度变化主要影响所在分支的分扭级与并车级的均载系数，且存在拐点现象，如图6(b)~6(c)所示。从功率分流传动构型来看，尽管传动结构具有几何对称性，但是承受的载荷不对称。载荷不对称使得双联轴支撑的齿轮副中心距存在差异，进而使得齿轮副的转角发生变化，最终使得均载系数发生变化。通过改变双联轴的扭转刚度，则其承载条件下的扭转变形量改变，能够对载荷不对称引起的转角变化进行补偿，从而改善均载性能。

3.3　齿侧间隙对均载特性影响的敏感度分析

除了振动引起的载荷变化以外，实现分流传动载荷均等的关键因素之一是分流齿轮副的转角同步变化。因此，齿侧间隙的分布及其相互间匹配非常重要。图7所示为齿侧间隙对各分支均载特性影响的敏感度柱状图。图7中，横坐标1~10分别表示b_{Rnmf_k}，b_{Lnmf_k}，b_{Rnp1s_k}，b_{Rnp2s_k}，b_{Lnp1s_k}，b_{Lnp2s_k}，b_{RnB1h_k}，b_{RnB2h_k}，b_{LnB1h_k}和b_{LnB2h_k}。输入级分流传动的均载系数对输入级齿侧间隙较敏感(如图7(a)所示)，尤其是左分支的齿侧间隙b_{Lnmf_k}；分扭级的均载系数仅仅对其本身的齿侧间隙较敏感(如图7(b)和图7(c)所示)；并车级的均载系数不仅对其本身的齿侧间隙较敏感，而且对分扭级的齿侧间隙也较敏感，如图7(d)和7(e)所示。

图5　扭转刚度对各分支均载特性影响的敏感度

Fig. 5　Sensitivity of influence of torsional stiffness on load sharing characteristics of each branch

图6　扭转刚度对均载系数的影响

Fig. 6　Influence of torsional stiffness on load sharing coefficients

图7　齿侧间隙对均载特性影响的敏感度

Fig. 7　Sensitivity of influence of backlash on load sharing characteristics of each branch

图8所示为齿侧间隙对各分支均载系数影响的变化曲线图。从图8可以看出：随着所选取的敏感度较大的齿侧间隙增大，均载系数先减小后增大，存在拐点。在功率分流传动系统的设计中，可以利用这一现象，开展齿侧间隙参数的匹配设计，通过合理分配齿侧间隙改善系统的均载特性。

图8　齿侧间隙对均载系数的影响

Fig. 8　Influence of backlash on load sharing coefficients

4  结论

1) 输入级均载系数对输入轴支撑刚度最敏感，输入轴采用浮动支撑有利于提高其均载性能；分扭级和并车级均载系数对双联轴1在Y方向的支撑刚度最敏感，适当减小刚度可改善其均载性能；同时，改变上述刚度对其他传动级影响较小。

2) 输入级均载系数对右分扭轴的扭转刚度最敏感，增大右分扭轴的扭转刚度不利于提高该传动级的均载特性；分扭级和并车级均载系数对双联轴2的扭转刚度最敏感，随着扭转刚度增大，均载系数先减小后增大，因此适当选择双联轴2的扭转刚度有助于改善系统的均载特性。

3) 输入级均载系数对输入级齿轮副间的齿侧间隙较敏感，尤其是左分支齿轮副间的齿侧间隙；分扭级和并车级均载系数对其本身的齿侧间隙较敏感；随着齿侧间隙变化，均载系数曲线存在拐点现象。因此，在该构型的传动设计中，可通过齿侧间隙的参数匹配设计提高整个系统的均载性能。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期： 2020 -04 -29; 修回日期： 2020 -06 -08

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51975273，51475226) (Projects(51975273, 51475226) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：靳广虎，博士，副教授，从事机械传动、结构强度等研究；E-mail：meeghjin@nuaa.edu.cn

引用格式： 靳广虎, 高鹏, 严岳胜, 等. 刚度和齿隙对功率分流传动系统均载特性影响的敏感度分析[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2021, 52(4): 1149-1159.

Citation: JIN Guanghu, GAO Peng, YAN Yuesheng, et al. Sensitivity analysis of influence of stiffness and backlash on load sharing characteristics of power split drive system[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2021, 52(4): 1149-1159.