梯度源井地电位三维正演模拟与分析

陈德鹏¹，戴前伟^{1, 2}，刘海飞^{1, 2}，冯德山^{1, 2}

(1. 中南大学 地球科学与信息物理学院，湖南 长沙，410083;

2. 中南大学 有色金属成矿预测教育部重点实验室，湖南 长沙，410083)

摘要：利用梯度场源作为井地电位的激励电流源，采用异常电位法消除场源附近的奇异性，给出电导率连续变化的井地电位异常电位法三维有限元数值模拟的计算方法。利用编制的梯度场源井地电位三维数值模拟程序对低阻隐伏矿、高阻隐伏矿以及低高阻双层矿体3种地电模型进行模拟计算，得到梯度场源激励下的地表异常响应梯度差的极大极小值曲线和地表固定点的异常电位变化曲线。研究结果表明：梯度场源异常响应的2种曲线能准确判定低、高阻隐伏矿异常体的顶低埋深，亦能有效区分双层低高阻体的顶底部埋深。

关键词：梯度场源；井地电位；三维有限元；顶低埋深；异常分析

中图分类号：P631            文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)01-0150-07

3-D forward modeling and analysis of borehole-surface potential with gradient source

CHEN Depeng¹, DAI Qianwei^{1, 2}, LIU Haifei^{1, 2}, FENG Deshan^{1, 2}

(1. School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China;

2. Key Laboratory of Metallogenic Prediction of Nonferrous Metals, Ministry of Education,

Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: The 3D FEM modeling method of the borehole-surface DC method with gradient field source in the semi-underground space of the continuous variation of conductivity was presented. The singularity in the vicinity of the electrical source was eliminated by computing the anomalous potential. The 3D finite element method program of the borehole-surface DC method with the gradient field source was designed and realized. The simulation of the low or high resistivity concealed deposit and the low-high resistivity double-layer orebody was implemented. The gradient-difference extreme value graph of the abnormity response and the graph of the anomalous potential of the three fixed-points in surface were obtained. The results show that the two kinds of graphs of abnormity response with the gradient field source can be used to determine exactly the top-bottom buried depth of the low or high resistivity concealed deposit. At the same time, it is very efficient to distinguish the top-bottom buried depth of the low-high resistivity double-layer orebody.

Key words: gradient field source; borehole-surface potential; 3D finite element; top-button buried depth; anomaly analysis

矿产资源需求的急剧增加使得危机矿山深边部隐伏矿体勘探工作日益显示出其紧迫性和重要性^[1-2]。电磁法是应用广泛有效的找矿方法，特别是井地电位法，它通过利用老旧、废弃和危机矿山的钻井在其中供入大功率电流，在地表观测流入地层中的“漏电流”所形成的电位场^[3-4]，分析地表异常电位的分布规律来探测深边部隐伏矿体的几何物性参数，为危机矿山挖潜增效提供了有力的地球物理方法支持。井地电位法的地电场论、正反演方法与应用已得到较多研究。何裕盛等^[5-6]对井地电法的数学物理理论进行较系统研究，并在矿产勘探和水工环地质勘探等领域推广应用。国外早期井地电位法研究主要用于油气死油区和地热勘探^[7-9]，如Ushijima 等^[10-12]通过井地电位法实现了对裂缝中流动流体的动态成像监测。以往该法的正演模拟主要以线源激励下的有限差分法居多^[13-18]。戴前伟等^[19-22]采用有限单元法对基于点源、线源的井地电位法进行了数值模拟。到目前为止，该方法主要应用于高含水期剩余油分布和注水前沿探测。针对危机矿山深边部隐伏矿勘探的迫切需求，本文作者在前期研究基础上^{[19, 21-22]}，采用梯度场源(沿井移动的1 m长的线电流源)供电作为井地电位的激励电流源，给出了任意线源在地下均匀半空间中的正常电位表达式。为消除场源附近的奇异性和使正演模拟更加符合地下地电介质电性连续的实际情况，采用电导率连续变化的井地电位三维异常电位有限元数值方法来进行正演模拟。对低阻隐伏矿、高阻隐伏矿以及低高阻双层矿体3种地电模型举行模拟计算，对获得的梯度场源异常响应梯度差的极大极小值曲线和地表固定点的异常电位变化曲线进行了分析，结果表明该方法能有效判定隐伏矿异常体的顶低部埋深，也能准确有效区分双层低高阻体的顶底部埋深，这能为指导实际生产工作提供有利的参考依据。

1  方法原理

1.1  边值问题和变分问题

采用不含电源项的异常电位有限单元法进行数值模拟^[23]，避免了采用总场电位在点源附近的奇异性带来的计算误差，提高了计算精度。把地下点源所产生的总场电位v分解为正常电位u₀与异常电位u之和。

地下点电源的异常电位的边值问题可表述如下^[21]：

  (1)

地下点源的异常电位的边值问题(1)与下列变分问题等价：

   (2)

视地下井中的线电流源的每一小段线元dL视为一点电源，对式(2)的第1个等式沿线源积分，根据位场叠加和能量叠加原理，地下线源异常电位u的边值问题对应的变分问题可写为：

    (3)

其中：F(u)为异常电位u的泛函；u₀为线源上任意一点在地下半空间任意一点产生的正常电位；为介质的电导率；为线源处均匀介质的电导率；为介质的异常电导率；为总体区域；为无穷远边界；L为地下井中线电流源的长度；r₁和r₂分别为线源上任意一点及其相对地面的镜像点到边界点的矢径；和分别为矢径r₁和r₂与边界外法线方向n的夹角余弦；为的变分。

1.2  有限元简要分析

采用电导率连续变化的有限单元法对变分问题(3)的求解^[24]，用六面体单元对区域进行剖分，见图1(a)，将式(3)中对区域的积分分解为对各单元e的积分之和：

 (4)

先用三线性插值，再对单元(边界)进行积分，把全部单元F_e(u)相加，最后总体合成^[21-22]，可得

              (5)

令式(5)的变分为0，得线性方程组

                 (6)

通过对式(6)进行求解，便得到所有网格节点的异常电位u，与正常电位u₀相加即可得到所有网格节点的总电位v。井地电位三维有限元方程的系数矩阵K具有大型、稀疏及对称的特点，采用对称超松弛预条件共轭梯度法(SSOR-PCG)对其可进行快速求解^[25-26]。

图1  区域Ω剖分和单元示意图

Fig. 1  Division of region Ω and finite element grid

1.3  任意线电流源的正常电位

在油气田中除了存在垂直油井外，还有倾斜、水平、分支等其他类型油井，同时为了确保在井中供电时供电电极与油井金属套管接触良好，在本文中把供电电极设计为一定长度的任意倾斜的金属棒。

图2  任意线电流源正常电位计算示意图

Fig. 2  Schematic diagram of normal potential computation for arbitrary line source

如图2所示，在电导率为的地下均匀半空间中任意线电流源ab，其长度为L_i、电流强度为I_i，可以得其在地下任意一p点产生的电位为^[22]

       (7)

式(7)右端的展开参见文献[22]。

通过式(7)求得任意子线源L_i在地下均匀半空间中任意一点p产生的正常电位u_0pi，子线源段L_i在剖分区域所有网格节点的正常电位u_0i。再根据位场叠加原理，由多段线源组成的复杂管网线源在地下均匀半空间任意一点p处的正常电位u_0p和在剖分区域网格节点的正常电位u₀分别为

，        (8)

2  算例与分析

利用编写的其正确性已验证的三维有限元模拟程序^[22]，对3种模型进行模拟计算。井口坐标为(0, 0, 0)，把长度为1 m的金属棒电极作为电流源在井中进行梯度供电，电流I=10 A。M极在地表测区测量，B极置于3 km处(可视其为无穷远处)，N极置于距井口2~3 m处，井深1 000 m，模型空间(长×宽×高)为1 000 m× 1 000 m×1 000 m正方体，网格剖分为40×40×40，每个网格长×宽×高为25 m×25 m×25 m。

2.1  算例一

模型一和模型二分别模拟危机矿山深边部低阻和高阻隐伏矿。场源供电起止坐标分别为(0, 0, -900)和(0, 0, -75)，场源梯度移动距离为25 m。模型一和模型二的几何尺寸相同，均为350 m×200 m×100 m，顶部埋深400 m，异常体与井距离为50 m，与模型空间右侧面距离为100 m；模型一为电阻率为10Ω·m的低阻体，模型二为电阻率为1 000Ω·m高阻体。2个模型的几何物性参数可从图3(a)和图4(a)中直接读取。

当场源从(0, 0, -900)处以25 m的距离间隔向上移动到(0, 0, -75)时，在地表固定三点(-100, 0, 0)，(0, 0, 0)，(100, 0, 0)获得不同深度场源下的异常电位曲线图如图3(b)所示，图3(b)中实线矩阵框上下两边为异常体的顶底埋深位置。当供电点从底部向上移动，地表三点的异常电位从0 mV开始，增至正极大值，再减至负极小值，之后再增至以较小负值，正极大值和负极小值发生了极性反转。正极大值对应底部埋深，此时供电点位于低阻异常体底部，负极小值对应顶部埋深，此时供电点位于低阻异常体顶部。据此可以利用梯度场源激励下地表固定三点异常电位曲线图推断确定低阻体顶底埋深。图3(c)所示为相邻深度场源对应地表异常电位响应之差的极大极小值曲线。由图3(c)可知：低阻异常体顶底埋深对应段刚好是极大和极小值右凸峰值对应段，且极大值曲线右凸程度相对于极小值曲线更加明显。极大值曲线变化规律为负极小值—急剧增至正极大—急剧减少至负极小值，极小值曲线变化规律为平缓降至负极小值—急剧增至负极大值—急剧减少至负极小值—缓慢增加，2个负极值所夹曲线长度为异常体厚度，即两负极小值对应低阻异常体的中心埋深，极大值曲线相对于极小值曲线的右凸峰值对低阻异常体的中心埋深反映更加灵敏。可见：通过梯度场源供电所得的异常响应的梯度差的极大极小值曲线，能有效确定低阻异常体顶底与中心埋深，而且极大值曲线对中心埋深更加敏感，精度更高。结合图3(b)和3(c)能更加精确有效判定低阻隐伏矿顶底与中心埋深。 图4(b)和4(c)所示为高阻隐伏矿对应的地表固定点异常电位随场源梯度移动时的曲线，以及相邻深度场源对应地表异常电位梯度差的极大和极小曲线图。图4(b)和4(c)所示曲线与图3(b)和3(c)所示曲线具有良好的对场源对应地表异常电位梯度差的极大和极小值曲线称关系，与对图3(b)和3(c)分析相似，可以利用梯度场源激励下地表固定三点异常电位曲线图推断确定低阻体顶底与中心埋深。通过梯度场源供电所得的异常响应的梯度差极大极小值曲线，能有效确定低阻异常体顶底与中心埋深，但是，与图3(c)相反的是，极小值曲线对高阻异常体中心埋深更加敏感，精度更高。结合图4(b)和4(c)能更精确判定低阻隐伏矿顶底与中心埋深，该结果亦可作为反演的约束条件。

图3 梯度源探测低阻隐伏矿顶底埋深

Fig. 3  Exploration of top-button buried depth of low resistivity concealed deposit with gradient source

图4  梯度源探测高阻隐伏矿顶底埋深

Fig. 4  Exploration of top-button buried depth of high resistivity concealed deposit with gradient source

2.2  算例二

模型三模拟用梯度源井地电位法区分低高阻双层矿体顶底埋深。井口的坐标为(0, 0, 0)，供电起止坐标分别为(0, 0, -650)和(0, 0, -50)，场源移动距离为50 m。低阻和高阻在地表投影相互垂直，低阻模型长×宽×高为200 m×400 m×100 m，顶部埋深200 m，底部埋深300 m，垂直矿井通过低阻模型的几何中心，电阻率为10Ω·m。高阻模型长×宽×高为500 m×200 m×100 m，顶部埋深400 m，底部埋深500 m，垂直矿井通过高阻模型的几何中心，电阻率为1 000Ω·m。模型三的几何物性参数可从图5(a)直接读取。

该模型为如图5(a)所示的低高阻垂直放置的双层组合体。场源从井中(0, 0, -650)处以每次50 m的间隔向上移动至(0, 0, -50)处，在地表三点(-100, 0, 0)，(0, 0, 0)，(100, 0, 0)获得异常电位曲线如图5(b)所示。由图5(b)可见：由下向上，当出现第一个负极小值点时，对应的是高阻异常体的底部埋深，曲线在变化到正极大值点，对应的是高阻异常体的顶部埋深；之后曲线急剧减少，急剧减少段与低阻异常体对应；当曲线减小到负极小值后，负极小值对应低阻体顶部埋深。图5(c)所示为相邻两场源地表异常响应梯度差的极大和极小值的曲线图。由图5(c)可以看出：极大值曲线有一右凸正幅值尖峰，尖峰两侧曲线部分对应低阻体的顶底埋深，尖峰与低阻埋深中心有良好对应关系，极大值曲线的极小值部分对应高阻异常的中心埋深部位；极小值曲线下部的极小值部分与高阻体的埋深有良好对应关系，且此极小值变化较缓部分的长度与高阻异常体厚度有良好对应关系。可见极小值曲线易于判定高阻体顶底埋深，极大值曲线对低阻体顶底埋深更加有效。结合图5(b)和5(c)能更加精确有效判定低阻隐伏矿顶底埋深，同时该结果亦可作为反演的约束条件。

图5  梯度源探测低高阻双层矿体顶底埋深

Fig. 5  Exploration about top-button buried depth of low-high resistivity double-layer orebody with gradient source

3  结论

(1) 梯度场源井地电位地表固定三点异常电位曲线能有效判定低(高)阻体顶底埋深。梯度场源激励下异常响应梯度差极大极小值曲线能有效判定低(高)阻异常体顶底埋深，且极大(小)值曲线对低(高)阻体更加敏感，精度更高。

(2) 梯度场源井地电位地表固定三点异常电位曲线能有效判定低高阻双层矿体的顶底埋深。梯度场源激励下异常响应梯度差的极大极小值曲线能有效判定低高阻双层矿体的顶底埋深，极小值曲线易于判定高阻体顶底埋深，极大值曲线对低阻体顶底埋深判定更加有效。

(3) 联合2种曲线能够进一步提高判定低、高阻隐伏矿和低高阻双层矿体顶底埋深的精度。通过此方法获得的低高阻隐伏矿和低高阻双层矿体顶底埋深可为生产实践提供指导，也为三维反演创造了良好条件。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2012-12-14；修回日期：2013-03-05

基金项目：国家自然科学基金资助项目(41174102，41074085，40804027，41374118)；湖南省研究生科研创新项目(CX2010B052)

通信作者：戴前伟(1968-)，男，湖南涟源人，博士，教授，从事电磁法方法及理论、工程地球物理勘探等方向的研究；电话：0731-88836456；E-mail: qwdai@csu.edu.cn