DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.032

车桥竖向随机振动的概率密度演化分析

余志武，毛建锋，谈遂，曾志平

(中南大学 土木工程学院，高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南 长沙，410075)

摘要：基于车-桥竖向耦合模型，引入不平顺功率谱随机谐和函数，采用N维超立方体点集(gp集)选取离散随机频率代表点，得到代表性轨道高低不平顺随机激励样本并进行慢变调制；建立概率密度演化方法的随机动力方程，基于MATLAB编制车桥耦合随机振动概率密度演化分析程序；采用newmark-β积分法及带TVD格式的双边差分法计算车桥振动响应的均值、标准差及时变概率密度演化分布。研究结果表明：与Monte Carlo法相比，概率密度演化法分析车桥随机振动精度更高，计算效率提高1~2个数量级；输入均匀随机分布频率和初相位的轨道不平顺激励，输出响应并非均匀分布，随车速先增加后减少，概率分布呈高斯型分布；轨道不平顺引起的系统随机响应受车速影响较大。

关键词：车桥耦合模型；概率密度演化方法；轨道高低不平顺；N维超立方体点集；功率谱

中图分类号：U24             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)04-1420-08

Probability density evolution analysis of track-bridge vertical coupled vibration with irregularity random excitation

YU Zhiwu, MAO Jianfeng, TAN Sui, ZENG Zhiping

(National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction,

School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract: Based on the simple vertical model of the train-bridge system, the random harmonic functions of track vertical irregularity power spectrum were introduced. The representative points of random frequency were selected by utilizing the N-dimensional hypercube point set method, which formed the sample of random excitation modulated by the slowly varying function. The random dynamic equation for probability density evolution method was formulated, and by using MATLAB, program for the probability density evolution and analysis of train-bridge coupled random vibration were developed. Eventually, newmark-β integration method and double edge difference method of TVD format were adopted to obtain the mean value, the standard deviation and the distribution of the time dependent probability density evolution. The results show that compared to the Monte Carlo method, the probability density evolution method has higher accuracy and computation efficiency, with efficiency improved by 1-2 order of magnitudes. When the excitation with randomly distributed frequency and initial phrase for track vertical irregularity is input, the output is not uniformly distributed, rather it distributes in Gaussian style, i.e., with the increase of train speed, the response of system firstly increases and then decreases. The random system response incurred by track vertical irregularity is significantly influenced by trains speed.

Key words: train-bridge system model; probability density evolution method; vertical track irregularity; N-dimensional hypercube point set; power spectrum

车桥系统是一个复杂时变的随机系统，结构参数、输入激励及输出响应等均具有极强的随机性。国内外学者针对高速铁路车桥耦合振动领域，对模型建立及轮轨激励下的系统响应进行了研究^[1-4]。利用1条或几条实测或模拟的轨道不平顺激励样本产生的系统响应具有很大的离散性^[5]，对于由随机激励作用造成的系统影响及程度，现有的方法尚不能全面地考虑系统的随机振动响应特性，而经典的Monte Carlo法因计算量巨大而研究较少。在工程实践中，人们不但关心结构响应标准差等统计量，而且重视对结构响应均值及最大值等的控制，仅进行少数确定性时程分析，这远远不够，因此，迫切需要深入发展车桥耦合随机振动研究。目前，车桥随机振动分析方法主要有随机模拟法、随机摄动法、概率密度演化方法^[6-7]及虚拟激励法^[8-9]等。李杰、陈建兵等^[6]建立的广义概率密度演化方程，在线性与非线性多自由度结构系统随机反应分析、可靠度计算等方面取得了较系统的成果。该法可输出高精度系统响应均值、标准差及概率密度演化过程。陈建兵等^[10]还提出了基于功率谱的随机谐和函数表达，使结构的随机振动理论趋于完善。轨道不平顺激励具有明显的时变随机性，用概率密度随机理论来描述轨道不平顺的随机性是合理并具有较高计算精度。本文作者针对轨道高低不平顺激励的随机性，结合广义概率密度演化方法^[11]，据车桥耦合系统随机振动的客观实际状态实现车桥系统的随机振动响应分析，以便得到系统振动的时变响应全概率演化信息。

1  代表性轨道不平顺样本激励

1.1  轨道随机不平顺随机模拟

在空间域中，轨道不平顺为一系列以x为横坐标的轨道空间位置，除了得到实测值外还可进行数值模拟。轨道不平顺功率谱模型与地震功率谱不同，其在截止频率范围内谱值呈指数变化^[12]。无论随机频率如何，具有随机频率和相位的随机谐和函数过程的功率谱精确等于原功率谱^[13]，因此，频率截断的级数越多，便可得到输出响应的概率信息越精确。

根据文献[13]，竖向轨道不平顺激励可模拟为随机谐和函数：

     (1)

式中：为轨道不平顺功率谱；为不平顺空间频率，与圆频率的关系为；为轨道不平顺波长；v为列车运行速度；和分别为第i个谐和分量的圆频率和相位角。设(1≤i≤N)为的内点，且满足 ，并记，。其中：为上限截止频率；和(i=1，2，…，N)为相互独立的随机变量，服从及的均匀分布，其概率密度函数满足

 (2)

则由式(1)表达的随机过程y_N(x)的功率谱函数为。因而，功率谱密度函数满足^{[10, 14]}

       (3)

1.2  gp集选取离散代表点

轨道高低不平顺随机谐和函数y_N(x)中，随机向量维数为2N，不平顺空间频率离散点的选取直接影响计算的精度。为得到随机函数全概率信息的代表性样本，可先讨论2N维随机向量的选点问题。据方开泰等^[14]的研究，由平方根序列法生成2N维超立方体点集(gp集)：

   (4)

可认为式(4)是2N维超立方体中的均匀散布点集，其中为互不相同的素数，表示小数部分。文献[15]建议在一般情况下，依次取前s个素数，空间频率Ω与角频率Ω的关系为，λ为轨道不平顺波长，v为列车运行速度，则由下式变换得到离散代表点：

 (5)

其中：i=1，2，…，N；q=1，2，…，n_pt。每一组点集的初始赋值概率均为，n_pt为代表点集总组数。根据gp集合的偏差^[14]，，n=1，2，…；为构成的点集。将式(5)代入式(1)，则可得代表性轨道高低不平顺激励函数：

  (6)

同时，考虑轨道不平顺速度项和加速度项的影响。

1.3  轨道不平顺激励的空间域与时域转换及慢变调制

桥面上的轨道平顺性比一般路基地段的高^[2]，因此，需要对桥上轨道不平顺进行调制。假设轨道不平顺为空间域内的均匀调制演变非平稳随机过程 (其中，为正弦慢变调制函数，y_N(x)为以空间坐标x为自变量的零均值平稳随机过程)。通过关系式x=vt可将轨道不平顺激励由空间域转换为时间域，即

             (7)

2  车桥竖向振动概率密度演化方程的建立及求解

2.1  轮轨关系假设

假设：1) 车辆始终以速度v匀速运行；2) 车体、轮对与钢轨均视为刚体；3) 轮对不脱离钢轨，车轮在钢轨上运行时不发生滑动，无爬轨、跳轨和脱轨现象发生。

根据假定，考虑竖向轨道不平顺激励的随机性，轮轨几何关系表述为

     (8)

式中：为轮对垂向随机位移，Z_bi和为轮轨作用位置处桥梁垂向位移和轨道不平顺随机变量，t_i为第i个轮对与第1个轮对的作用时间差常量。

式(8)中所含随机变量的联合概率密度函数记为，其中， ；q=1，2，…，n_pt。

2.2  车桥竖向随机动力方程

由轮轨关系假设可知，轮轨不具有彼此独立的自由度，车辆系统具有6个独立自由度，记为。由弹性系统动力学总势能不变值原理^[3]及形成矩阵的“对号入座”法则即可得系统有限元振动方程。车辆系统动力方程为

       (9)

其中：

桥梁结构假设为Bernoulli-Euler简支梁，对桥梁进行有限元离散得到动力方程：

      (10)

式中：为第i个轮对作用力向单元节点的分解向量；C_b为Rayleigh阻尼矩阵。联立方程式(9)与式(10)，可得车桥耦合系统的随机动力方程：

     (11)

式中：；。

车桥动力系统是复杂耦合的动力系统，系统方程具有很强的时变性和随机性。由于车桥时变系统中非线性因素难以把握及求解困难等，在一般情况下，动力方程(11)描述为适定的动力学系统，暂不考虑非线性因素。在给定的初始条件作用时，车桥耦合随机振动方程依赖于随机变量，其解答存在且唯一。

2.3  随机振动的概率密度演化求解

假定车桥系统只有轨道高低不平顺随机激励源，中间没有新的随机源产生，则此系统满足概率守恒条件^[15]。

1) 由式(1)及式(4)提供的gp集获得轨道高低不平顺样本，并经式(7)对随机不平顺样本进行调制非平稳化及频域与时域的转换，从而得到非平稳的轨道不平顺样本，并确定各轨道高低不平顺代表样本的初始赋得概率P_q。

2) 基于式(11)建立的随机激励车桥动力方程，利用newmark-β高效逐步积分法，求解给定随机变量的代表性样本激励作用下的随机振动方程(11)，输出系统响应，和。

为方便讨论，可将式(12)中的系统随机响应矩阵统一用代替，表述为

        (12)

其中：和分别为车桥系统车辆及桥梁响应代表函数。

考虑到的随机性，是一个随机过程。对随机响应矩阵进行1次微分求导可得

  (13)

在车桥耦合动力分析中，位移、速度和加速度等是衡量行车安全和稳定的重要因素。对于一般性结构而言，结构响应均可其位移和速度响应确定^[16]。据此，可设Z为待求解系统随机向量 (其中，为需求解响应数量)，则有，将式(12)代入得

        (14)

式(14)是一个随机微分方程，是随机向量和向响应的转化方程。当初始条件给定时，随机过程的随机性完全来自于，系统概率守恒。增广系统遵循概率守恒定律，其联合概率密度函数为，则概率守恒原理可表述为

       (15)

或

       (16)

式中：Pr为概率函数；V_t为t时刻变量Z的时域分布，为随机变量的响应分布，D/Dt为对概率密度函数的全导数。

根据Reynold转换定理和相关推导，并将式(14)代入式(15)和(16)，可得广义密度演化方程^[12]：

   (17)

给定，针对，则式(15)的赋得概率初始值为

 (18)

确定初始条件式(18)后，利用带TVD格式的双边差分法^[6]求解偏微分方程(18)，获得的解答，即可得系统响应的概率密度函数：

            (19)

3  算例分析及验证

本文以32 m标准简支箱梁、德国ICE动车组为工程背景，建立三跨简支梁竖向车桥耦合动力方程，在MATLAB计算平台上编制基于概率密度演化方法的车桥竖向耦合振动程序，以轨道高低随机不平顺作为输入激励。为方便与Monte Carlo法进行比较，采用4列车编组即动+拖+拖+动，运行时速为60~400 km/h；采用德国低干扰轨道高低不平顺谱，空间频率Ω[0.05，3] rad/m，随机频率数N=30，高低不平顺代表性样本组数n_pt=300；箱梁基本参数为：E=3.45×10⁴ N/mm²，A=8.89 m²，I_y=10.95 m⁴，其一阶、二阶自振频率分别为5.12 Hz和17.04 Hz；桥上不平顺调制系数c=0.65，调制过渡段长度L₀=20 m，列车从距离桥头-150 m处开始运行，保证列车振动稳定后再上桥。

3.1  计算效率与精度的验证

图1~3所示为轨道高地不平顺随机激励作用下的竖向车桥时变耦合系统概率密度演化分析结果，包括三维概率密度演化图、等概率密度曲线图、均值及标准差曲线图。为验证本文方法的高精确性，分别与经典Monte Carlo 随机分析方法各计算结果进行对比。分析对比图1~3所示响应，Monte Carlo法200次、1 000次和5 000次的运行结果与概率密度演化-newmark逐步积分法(PDF-NEWMARK)300组代表时程计算结果的最大偏差如下：桥梁跨中挠度标准差分别为18.62%，7.55%和2.02%；第1节列车竖向位移标准差分别为19.87%，4.58%和1.75%；第1节列车竖向加速度标准差分别为15.47%，5.42%和1.23%。研究表明，采用PDF-NEWMARK 300组代表性样本分析时即可达到Monte Carlo 法5 000次计算相当的精度，而300组PDF需时95.1 min，而5 000次Monte Carlo法耗时1 623 min，可见与Monte Carlo法相比，计算效率提高了1~2个数量级。因此，概率密度演化方法具有较高的精度与计算效率，验证了文献[6]中的   结论。

分析图1可知：120 km/h速度下第1跨梁跨中竖向挠度均值最大值为1.13 mm，相应标准差最大值为0.02 mm，变异系数为1.79%，轨道不平顺对桥梁动力响应较小，其等概率密度演化曲线分布范围相对狭窄，概率密度峰值符合响应均值趋势分布。

对图2所示的对等概率密度演化曲线、均值及标准差曲线进行分析可知：120 km/h速度下第1节列车重心竖向位移响应均值最大值为-0.73 mm，相应标准差为1.04 mm，变异系数为143.0%。对比图1与图2可知：轨道高低不平顺激励对车体竖向位移响应的影响远大于桥梁挠度响应的影响。列车竖向位移均值在通过三跨桥梁时，存在随桥梁挠度变化一致的耦合响应规律及在出桥时刻的动力增大效应，这一现象对于单一或少数轨道不平顺样本激励作用下的响应曲线是难以发现的，这亦验证了概率密度演化法能精确模拟列车与桥梁的动力耦合作用。标准差数值变化符合桥上轨道不平顺慢变调制规律，上桥后的标准差与未上桥时的比例接近0.65。

图1  v=120 km/h时第1跨简支梁跨中竖向挠度概率密度演化图及其均值、标准差

Fig. 1  Mean value, standard deviation and probability density evolution for displacement of midspan bridge when v=120 km/h

图2  v=120 km/h时列车第1节重心处竖向位移概率密度演化图及其均值、标准差

Fig. 2  Mean value, standard deviation and probability density evolution for vertical displacement of the first section train when v=120 km/h

图3  v=120 km/h时列车第1节重心处竖向加速度概率密度演化图及其均值、标准差

Fig. 3  Mean value, standard deviation and probability density evolution for vertical peak acceleration of the first section train when v=120 km/h

分析图3可知：120 km/h速度下第1节列车重心竖向加速度响应均值最大值为0.90 cm/s²，相应标准差为3.88 cm/s²，变异系数达431.0%，列车振动加速度受轨道不平顺影响很大；列车过桥时加速度变化范围亦受桥梁挠度及调制函数的影响，加速度均值基本在零均值附近摆动，在三跨桥位置均明显增大，之后趋于平缓；加速度标准差随调制函数的变化趋势显著，加速度概率密度曲线与实际曲线相吻合。

3.2  振动响应及车速影响分析

随着列车车速的增加，车桥耦合振动呈现不同的响应规律，因此，将车速分为13个等级，每30 km/h为1个工况，从60 km/h到420 km/h等间距分布。图4~7所示分别为不同车速等级下，列车通过桥梁出现最大均值响应时的第1跨桥梁跨中竖向挠度、第1节列车重心位移及加速度均值、标准差及概率分布。图5~7中：μ和σ分别为均值和标准差；μ±σ，μ±2σ和μ±3σ分别代表1倍标准差上下界、2倍标准差上下界、3倍标准差上下界。

图4所示为不同速度等级下列车通过第1跨桥梁跨中时列车竖向加速度响应分布的概率密度曲线，为清晰显示，图中只给出了间隔60 km/h时速的概率密度演化曲线，每一概率演化曲线闭合面积为概率值1。从图4可见：随着车速增加，概率密度曲线主体重心逐渐右移，概率密度曲线峰值逐渐减小而相应的加速度响应分布范围逐渐增大，这也符合图5中列车加速度响应均值和标准差的分布规律。

图4  跨中列车加速度响应概率密度分布

Fig. 4  Probability density distribution of train acceleration on midspan

从图5~7中的均值和标准差分布可知：随着车速增加，车桥耦合振动响应均不同程度增大，桥梁跨中挠度值均和标准差、列车竖向加速度均值和标准差及列车竖向位移的均值和标准差均在300 km/h附近出现响应峰值。这是由于32 m标准跨桥梁一阶自振频率5.12 Hz与列车在时速300 km/h下通过桥梁时发生的强振频率较接近，系统发生共振耦合而形成的。对比图5~7可知：在μ±σ响应范围内，概率保证度保持在(65±5)%；在μ±2σ范围内，概率保证度达95%以上；在μ±3σ范围内，概率保证度基本可以达到99.5%以上，基本符合高斯型正态分布。

图5  跨中列车加速度统计分布

Fig. 5  Distribution of train acceleration on midspan

图6  跨中列车竖向位移统计分布

Fig. 6  Probability density distribution of train vertical displacement on midspan

图7  跨中桥梁挠度统计分布

Fig. 7  Distribution of bridge deflection on midspan

4  结论

1) 概率密度演化法能精确分析车桥耦合随机振动，与Monte Carlo法相比，验证了概率密度演化法的高效性和高精度性，计算效率提高1~2个数量级。

2) 输入具有均匀随机分布的频率和初相位的轨道不平顺激励，对应输出的系统响应并非均匀分布，而是呈现高斯正态分布规律。

3) 轨道高低随机不平顺激励对列车竖向振动影响远大于桥梁振动的影响，在一定时速范围内两者振动响应均值、标准差随车速增加而增大。

4) 振动响应概率分布范围随车速的增加逐渐平缓扩大，概率特性基本符合高斯型分布。

5) 列车与桥梁具有较强的耦合作用，并受桥上轨道不平顺慢变调制函数影响明显。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2014-04-12；修回日期：2014-06-23

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51278496，51378513)；长江学者创新团队发展计划资助项目(IRT1296)；铁道部科技开发计划项目(2013G003-A-3)(Projects (51278496, 51378513) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (IRT1296) supported by the Program for Changjiang Scholars and Innovative Research Team in University; Project (2013G003-A-3) supported by Ministry of Railway Technology Development Projects)

通信作者：毛建锋，博士研究生，从事车桥耦合随机振动研究；E-email：csumjf@csu.edu.cn