DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2019.01.010

基于冗余并联机构的高性能机床设计与分析

赵福群¹，郭盛¹，徐梓淳²，李典¹

(1. 北京交通大学 机械与电子控制工程学院，北京，100044；

2. 北京航空航天大学 机械工程及自动化学院，北京，100191)

摘要：为提高并联机构在局部精密加工时的调整姿态能力等运动性能，通过添加冗余驱动的方式，提出一种新型2R(R)/S-2RS结构冗余并联机构，并对机构进行解耦特性和位置逆解计算，利用约束杆长方程求导方法建立速度输入与输出方程及速度映射矩阵。根据解耦特性对机构伴随运动进行求解，对比冗余机构在相同约束下与非冗余机构的工作空间。利用雅可比矩阵，对机构静刚度和灵巧性运动性能进行分析，同时将上述机构性能与非冗余机构性能进行对比。研究结果表明：通过添加冗余驱动的方式使机构性能得到提升。以圆弧曲线为运动轨迹，对机构进行圆弧轨迹运动过程进行仿真，仿真结果证明该设计的可行性以及机构具有实现任务的能力。

关键词：并联机床；结构冗余；运动学；性能评价；轨迹

中图分类号：TH112        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2019)01-0067-08

Design and analysis of high performance machine tool based on redundant parallel mechanism

ZHAO Fuqun¹, GUO Sheng¹, XU Zichun², LI Dian¹

(1. School of Mechanical, Electronic and Control Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;

2. School of Aeronautic Science and Engineering, Beijing University of Aeronautics and Astronautics, Beijing 100191, China)

Abstract: To improve the performance such as adjusting orientation of parallel mechanism in local precision machining ability, a novel 2R(R)/S-2RS structural redundant parallel mechanism was proposed by adding redundant actuation method. The decoupling property and position solution were calculated for the mechanism. Based on the link constraint equation derivation method, the velocity input-output equation and velocity Jacobian matrix were obtained. The parasitic motion of the proposed mechanism was solved by decoupling property. The workspace comparison between the redundant mechanism and non-redundant mechanism under the same constraints was given. And the static stiffness and dexterity performance of the redundant mechanism were analyzed based on Jacobian matrix. The performance of the mechanism was compared with that of non-redundant mechanism. The results show that the performance of the mechanism is improved by adding redundant actuators. Taking circular curve as a trajectory, the simulation of the circular trajectory motion process of this mechanism is carried out. The simulation results verify the feasibility of this design and show the ability of the mechanism to realize implement motion.

Key words: parallel machine tool; structural redundancy; kinematics; performance evaluation; trajectory

由于航空航天器材零部件和大型工件结构尺寸较大，材料硬度较高。在加工生产中，往往要求加工机床具有高性能的要求，即加工时执行机构所具刚度要大，末端调姿能力要强。如在航天器材零部件精密加工中，并联机构作为机床执行加工任务的末端机构，通过移动单元到达加工位置，由并联机构对零部件进行局部加工。在并联机构应用于局部加工时，满足在局部加工中高刚度性能和在加工位置时动平台的调姿能力是并联机构设计和应用需考虑的首要问题。近年来，研究者通过将冗余驱动引入到并联机构中，对机构性能的提高进行了分析和研究^[1-5]。GOSSELIN等^[6-7]先后提出了动平台整周旋转的平面冗余并联机构和增大Gs机构转角的空间冗余并联机构，克服了并联机构转角能力的不足。XIE等^[8]提出了具有冗余驱动的混联机床，并进行了铣削加工实验研究和验证。闫采霞等^[9]对驱动冗余和结构冗余2种机构所具容错性能进行了研究，显示了冗余机构自身容错优势。白志富等^[10-11]通过引入冗余驱动支链的方式，研究并证明了此类机构对并联机床刚度的提升。目前，冗余并联机构可分为驱动冗余和结构冗余2类^[12]。驱动冗余是利用驱动关节替换一些已有系统中被动关节的方法进行设计。驱动冗余可能消除或者减少了机构的奇异位型，但不改变原有并联机构的工作空间，且这种添加方式增加了产生内应力的可能。结构冗余是通过增加自身结构以外的驱动单元或运动分支到其中运动支链上，在机构中增加结构冗余可以避免运动学奇异性，优化工作空间，提高局部和整体的灵活性等，同时可以避免驱动冗余下产生内应力的情况，结构冗余机构更容易完成一些特殊要求的运动^[13-15]。本文作者提出2R(R)/S-2RS并联机构是以3-RS并联机构为设计主体，通过在单支链中添加冗余驱动分支以得到结构冗余并联机构。对于冗余运动支链单元利用闭环回路方程待定系数方法的方法进行求解。同时，利用雅克比矩阵，通过对比与3-RS机构运动学性能，显示冗余驱动对机构运动学性能的改善效果。以并联机构应用于机床加工中的圆弧形轨迹为例，对机构进行运动仿真，结果为并联机构进一步应用于机床的设计和制造提供一种方案。

1  机构描述及自由度计算

1.1  机构结构描述

图1所示为新型2R(R)/S-2RS冗余并联机构的模型简图，P表示驱动关节，其余表示被动关节，(R)表示复合转动副。支链1~3分别与定平台利用转动副相连，并与动平台利用球副相连，支链1中2个驱动杆件利用转动副相连，各支链成圆周对称布置。图1中A_i，B和D点表示各支链转动副的中心点，各支链球副的中心点用S_i表示，分别建立固定坐标系Oxyz和动坐标系Puvw。支链1中各转动副轴线与x轴平行，两坐标系中心点分别与定平台和动平台中心点重合。

图1  新型2R(R)/S-2RS并联机构模型简图

Fig. 1  Schematic description of 2R(R)/S-2RS parallel mechanism

1.2  机构整体与动平台自由度计算

设机构初始位型为动平台平行于定平台，在图1所示的坐标系下，支链1中各转动副中心点坐标可记为

支链1中转动副轴线方向与y轴方向平行，由螺旋理论^[16-17]可得，则支链1中各个运动副的关节运动螺旋可表示为

         (1)

则支链1中运动螺旋系可记为

       (2)

经计算可得支链1末端约束螺旋：

         (3)

式中：表示沿y轴方向并过支链1的球副中心点的约束力。

同理可得支链2和支链3的约束螺旋为：

   (4)

    (5)

由式(3)~(5)，各支链对动平台分别提供1个约束力，约束力的方向与对应各支链中转动副的轴线平行，且通过对应各支链的球副中心点。由于机构初始位置为两平台，互相平行，因此，各力线矢为共面关系。由于3个不汇交且共面的力线矢为线性无关，根据螺旋理论，动平台被约束的运动为平行于x和y轴的移动与绕z轴方向的转动。由此可得，机构动平台的自由度为绕x和y轴轴线方向的转动，平行于z轴的移动。

对于含多支链结构的并联机构，可通过下述修正的G-K公式计算得到其整体自由度：

          (6)

其中：M为机构整体自由度个数；d为机构阶数，d=6-λ；λ为机构公共约束个数；n为机构构件数之和；g为机构运动副数之和；f_i为运动副i具有的自由度个数；v为机构减去公共约束数目后的冗余约束个数。

支链1中，分别对$₁和$₃以及$₂和$₄求反螺旋后，可得到2个反螺旋系中，3组反螺旋相同，支链1具有冗余约束的数目为3，即式(6)中v=3。利用式(6)可得出：

          (7)

因此，机构整体的自由度等于4，动平台独立自由度数为3，故新型2R(R)/S-2RS机构为结构冗余并联机构。

2  机构运动学

新型2R(R)/S-2RS并联机构结构简图如图2所示，设转动副D的中心点到坐标原点O长度为l，到转动副A₁的中心长度为l₅，分别设驱动杆A₁B，BD，A₂S₂和A₃S₃长为l₁，l₂，l₄和l₆，杆BS₁长为l₃，设驱动杆与定平台夹角分别为q_i (i=1,2,3)，驱动杆BD与定平台夹角为h，杆BS₁与水平面夹角，动平台顶点到动坐标系原点距离为r。

图2  新型2R(R)/S-2RS并联机构结构简图

Fig. 2  Schematic diagram of 2R(R)/S-2RS parallel mechanism

采用Z-Y-X型欧拉变换对动平台姿态进行表达^[13]，给定a，和g，则动平台的姿态可描述矩阵形式记为

            (8)

设各支链球副中心点S_i在定坐标系和动坐标系下坐标向量分别为s_i和s_Pi，有

                (9)

式中：p=(x,y,z)^T表示p点在固定坐标系下的位置矢量。

机构3条支链为圆周对称布置形式，各支链分别只能运动在，和平面内，各球副中心点满足下述关系：

             (10)

由此可得，动平台各运动参数耦合关系为

(11)

通过式(11)，给定参数(z,a ,b)^T后，动平台位姿参数(x, y, z,a ,b ,g)^T便可确定。

2.1  位置逆解

设转动副中心点A_i，B和D的坐标向量分别为a_i，b和d，球副中心点S₁坐标向量可表示为s₁= [r(cosα×cosβ+sinα)+r/2(cos2α)(cosβ-1),0,-r×cosαsinβ]^T。在支链1中，已知D点坐标向量为d=[l,0,0]^T，A₁点坐标向量a₁=[l₁+l₅,0,0]^T，那么B点坐标可通过杆长A₁B和BD的约束方程求得：

           (12)

利用BS₁杆长约束关系可建立方程为

           (13)

由式(13)可得出机构各驱动杆长与动平台位姿的关系式：

    (14)

式中：；。

式(14)中含有l₁和l₂ 2个未知驱动值，确定其中一个未知量，进而求出另外一个驱动值。

支链2中，A₂点坐标向量表示为，球副中心点S₂定坐标系中的坐标向量可记为s₂。利用A₂S₂杆长约束关系可建立方程为

          (15)

在定坐标系下A₂点坐标、S₂点坐标均为已知，驱动杆长l₄可通过式(15)直接求得。同理，支链3中驱动杆长l₆可通过同样的方法求得。

2.2  速度映射及雅可比矩阵

对于结构冗余机构，在给定3个输出值以后，由于机构存在4个驱动值，支链1有无穷多组输入值配置方式。在求解雅可比矩阵时，需对支链1中的其中一个输入进行给定。同2.1节给定l₂为定值，设各驱动值的速度矩阵为，动平台速度矩阵为，驱动值速度与动平台速度之间关系可表示为

              (16)

对式(13)和式(15)以及支链3同于支链2形式的约束方程分别对时间t进行求导，可得

        (17)

对式(17)中驱动值和动平台运动参数的方程组进行整理，q和x的系数矩阵A和B可分别表示为

；

式中：r₁₁，r₂₂，r₃₃和a_ij分别为关于机构结构参数以及z，a和的函数；i =1, 2, 3；j=1, 2, 3。

对式(16)进行变形：

             (18)

              (19)

式中：J为雅可比矩阵。给定机构动平台的速度参数后，通过式(18)可求得此时驱动值的速度。

3  性能评价

3.1  工作空间分析

工作空间范围主要是由机构的运动关节转角范围和结构参数限制。为了验证由3-RS机构^[18]通过添加冗余驱动所形成的新型2R(R)/S-2RS机构在性能方面得到提升，本节给出两机构在相同结构参数和约束条件下的可达工作空间范围。设定l=20，l₃=70，l₅=10，r=10，单位均为mm。设定3-RS机构支链1中的驱动杆为A₁S₁，在求解工作空间时，令A₁S₁为l₁，支链2和支链3与冗余驱动机构相同。给定尺度约束条件为：，，，，单位均为mm；关节的约束条件为：，，，， ，，，，单位均为(°)。上述杆长和转角参数表示如图2所示。图3所示为两机构在给定约束条件下工作空间的对比。从图3可以看出：新型2R(R)/S-2RS并联机构的工作空间在相同约束条件下比3-RS的工作空间范围更大。

3.2  静刚度分析

将在第2.3节所得矩阵J代入式(18)，以微分形式进行变形^[19]：

                (20)

图3  新型2R(R)/S-2RS并联机构与3-RS并联机构工作空间对比

Fig. 3  Workspace comparison of 2R(R)/S-2RS and 3-RS parallel mechanisms

其中：△X表示末端构件所产生的微位移。定义末端构件的力旋量：

                (21)

可得：

                (22)

式中：k为等效的弹簧系数，这里取k=1 000 N/mm^[20]。

给定新型2R(R)/S-2RS并联机构同一尺度参数下的位型，此时，在计算新型2R(R)/S-2RS并联机构刚度时，设定l₂=20 mm，分别选取两机构工作空间在z=60 mm的截面。当动平台转动时，a和b会发生变化，刚度矩阵的特征值也会改变，刚度矩阵中的变量参数为a和b。图4所示为新型2R(R)/S-2RS机构与3-RS在相同约束条件下的刚度矩阵的最小特征值E取值情况。

由图5可知：刚度矩阵的最小特征值在中心点处最大，由中心点向周围逐渐减小。其中，在z=60 mm相同截面处，新型2R(R)/S-2RS机构刚度矩阵的特征值取值范围要明显大于3-RS机构特征值的取值范围。所以在机构支链添加了冗余驱动后，机构静刚度性能得到了提升，从而提高机构在执行如加工任务的精度。

3.3  灵巧性分析

机构灵巧性通常基于雅可比矩阵计算，而条件数可通过谱范数进行计算^[19]，定义如下：

              (23)

式中：

图4  动平台沿x, y方向移动与转角α, β的关系

Fig. 4 Relation of translational motion along x, y and α, β rotation angle of moving platform

图5  相同约束条件下机构刚度性能对比

Fig. 5 Stiffness performance comparison of both mechanisms under the same constraint condition

               (24)

对式(24)方程两边取平方得：

             (25)

矩阵J^TJ最大的奇异值即为矩阵J的谱范数，表示为。同理，矩阵J^TJ最小奇异值的倒数为J^-1的谱范数，表示为，则

                (26)

选取两机构工作空间在z=60 mm的截面，求解机构在此约束条件下的条件数取值。图6所示为两机构在截面z=60 mm时，雅克比矩阵的条件数取值随着a 和b 取值变化的情况。

图6  相同约束条件下机构灵巧性能对比

Fig. 6  Dexterity performance comparison of both mechanisms under the same constraint condition

从图6可知：新型2R(R)/S-2RS并联机构的条件数最小值为1.358 2，最大值为24.864 5，总体取值较小，且条件数最小值小于3-RS条件数最小值。同时，对比图6(a)和图6(b)可以看出：在支链1中添加冗余驱动后，条件数值低值区域面积增大，即可用工作空间范围较原有机构显著增加。

为综合对比3-RS机构与2R(R)/S-2RS机构各项性能，此处进一步计算了工作空间的点数、刚度最小特征值均值和条件数均值。其中，机构可达工作空间利用机构在约束条件下所搜索到的点数进行计算，各尺度和关节参数搜索步长单位为1，工作空间点数记为N；刚度最小特征值均值为机构在上述输出范围内各点刚度特征值的平均值，记为δ；条件数均值为机构在上述输出范围内各点条件数的平均值，记为τ。表1所示为两机构在相同结构参数下各项性能的综合对比情况。

表1  3-RS机构与2R(R)/S-2RS机构的综合性能对比

Table 1  Comprehensive comparison of 3-RS mechanism and 2R(R)/S-2RS mechanism

从表1可知：在3-RS机构添加冗余驱动支链后，其工作空间点数N、刚度最小特征值均值δ和条件数均值τ较初始机构均增加了约2倍，从而机构的整体性能得到提升。

4  运动实验仿真

4.1  任务路径规划

为证明设计可行性及机构实现应用的能力，本节对机构模型应用于机床圆弧形加工轨迹进行连续运动轨迹规划仿真研究。首先，机构由P₁点进行加速运动至P₂点，再由P₂点减速运动至P₃点速度为0 mm/s。然后，机构末端平台由P₃点沿圆弧轨迹加速运动至P₄点，再沿圆弧返回至P₁点速度为0 mm/s，如图7所示。

根据各运动段给定条件，采用加速度方程为二次多项式，则动平台在x、y方向的加速度可表示为

          (27)

式中：j=1, 2, 3。

机构末端的速度v_ij(t)方程与位移s_ij(t)方程可对式(27)通过进行2次积分得到，j=x, y。根据各段给定要求和各运动参数在不同弧段需要满足关系，通过给定a_ij(t)，v_ij(t)和s_ij(t)方程中时间和位移参数，可求解出各方程表达式。

4.2  数值实验验证

图4所示为机构动平台中心点x, y方向位移对应的转动范围。采用MATLAB软件对机构刀具实现工业中常见的圆弧轨迹进行仿真，将动平台中心点作为刀具位置，设定圆弧形轨迹半径为r₁=4 mm，完成路径所用周期时间为8 s，仿真时间定为16 s，步长设为500。在1个周期内，前4 s动平台中心点从P₁点先加速后减速运动到P₃点，后4 s从P₃点返回到P₁点。通过式(14)和式(15)可计算得到动平台中心点运动轨迹所对应的各驱动杆长的变化，图8所示为所得各驱动值的变化曲线。

图7  仿真运动轨迹

Fig. 7  Motion trajectory of simulation

图8  仿真所得各驱动杆长变化曲线

Fig. 8  Simulation curves of driving length changes

由图8可知：机构采用高次加速度函数完成了连续圆弧轨迹运动，并由图4中x和y方向移动与转动耦合关系，可知在选取圆弧形轨迹半径为r₁=4 mm时对应较大的转角范围，仿真所得到的各驱动杆长曲线连续平稳，且未出现尖点等突变。证明所设计机构具有实现连续运动和机构应用于局部加工零部件调姿的能力。

5  结论

1) 为提高并联机构整体性能，在传统3-RS机构的支链中添加冗余驱动分支，提出了一种新型2R(R)/S-2RS冗余并联机构。根据螺旋理论求解机构末端自由度为3，而得到机构整体的自由度等于4，所提出机构存在冗余约束，证明了新型2R(R)/S-2RS机构为结构冗余并联机构。

2) 对机构进行了静刚度和灵巧性能的运动学性能评价，并利用解耦特性条件得到了机构伴随运动的关系，对比了非冗余机构在相同约束条件下的运动性能，证明3-RS机构在添加冗余驱动所形成的2R(R)/S-2RS机构的性能得到了提升。

3) 为检验新型2R(R)/S-2RS冗余并联机构的可操纵性，以圆弧加工轨迹为仿真实例，对机构工作空间内进行了轨迹仿真。得到的各驱动变化曲线连续平稳，且未出现尖点等突变，证明机构可实现连续运动，并可应用于航空零件等加工。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2018-03-26；修回日期：2018-05-08

基金项目(Foundation item)：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2018YJS140)；国家自然科学基金资助项目(51475035) (Project(2018YJS140) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities; Project(51475035) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：郭盛，博士，教授，从事机器人学、并联机构学研究；E-mail: shguo@bjtu.edu.cn