各向异性矩形板弯曲的一般解析解

 杨端生¹, 黄 炎², 王 锋²

(1. 长沙理工大学 桥梁与结构工程学院, 湖南 长沙, 410076;

2. 国防科技大学 航天技术与工程系, 湖南 长沙, 410073)

摘要: 建立了各向异性矩形板弯曲的横向位移函数偏微分方程的一般解。 可以求解任意边界条件下承受任意载荷作用的弯曲问题。 一般解中的积分常数可由边界条件来决定。 沿每个边有2个边界条件: 挠度(或等效剪力)、 斜度(或弯矩)应分别等于沿边界的已给值。 采用该解析法对四边自由四角支承的承受均布载荷或集中载荷的方板进行了计算, 给出了精确的解。

关键词: 各向异性; 矩形板; 弯曲; 载荷; 边界条件

中图分类号:O343.9 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)05-0899-05

A general analytical solution of anisotropic rectangular plates in bending

YANG Duan-sheng¹, HUANG Yan², WANG Feng²

(1. Institute of Bridge and Structure Engineering, Changsha University of Technology, Changsha 410076, China;

2. Department of Astronautics and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract: A general solution of partial differential equation for transverse displacement function of anisotropic rectangular plates in bending was established in this paper. It can be used to solve the bending problem for arbitrary loading with whatever boundaries. The integral constants in general solution can be determined by boundary conditions. Along each edge there are two edge conditions: deflection or equivalent shearing force, slope or bending moments should be equal to the given value along the edges respectively. A square plate with four edges free, supported at four corners, and loaded uniformly distributed or concentrated are calculated by this general analytical method, which gives the accurate solution.

Key words: anisotropic; rectangular plate; bending; loading; boundary conditions

   对称迭层复合材料板为各向异性板, 可以用各种解析的或能量的方法来求解矩形板的弯曲问题。 J.E.Ashton^[1]采用梁振型函数的Ritz法, J.M.Whitney^[2]采用双正弦级数的Green法, B.C.Wu^[3]等采用影响函数分离点法, 程耿东等^[4]采用有限元法, L.P.Liang^[5]采用边界积分法, G.Akhra等^[6]采用有限条法, J.Padovan^[7]采用复级数法, 张承宗等^[8]采用复级数和推广的代数多项式^[9]的解析解法求解了这一问题, P.H.Wen等^[10-13]用多种数值方法对各向异性板进行了动力研究。 这些解都属于对某种边界或个别载荷的求解。 本文作者采用复级数解法并利用双正弦级数解法^[14]求得各向异性板弯曲微分方程的一般解析解, 从而解决适用于任意边界条件下承受任意载荷的弯曲问题。

1 微分方程的解

各向异性矩形板(如图1所示)弯曲挠度函数的微分方程为^[15]

式中: w为板的挠度; D₁₁, D₁₂, D₁₆, D₂₂, D₂₆和D₆₆为弯扭刚度系数; q为单位面积载荷。

图 1   板的坐标系

Fig. 1   Coordinates of plate

式(1)的齐次解可取为

w=e^iαxe^iα′y或w=e^{-iαxeiα′y}。

将上式代入(1)式并令q=0, 可得

D₁₁α⁴+4D₁₆α³α′+2(D₁₂+2D₆₆)α²α^′2+4D₂₆αα^′3+D₂₂α^′4=0。

上式α′的解为α₁₁±iα₂₂和α₂₁±iα₂₂, 故有

w=e^±i(αx+α₁₁^y)e^±α₁₂^y和w=e^±i(αx+α₂₁^y)e^±α₂₂^y。

上式也可用等价的三角函数和双曲线函数表示为

w=[Asin(αx+α₁₁y)+Bcos(αx+α₁₁y)]·(Csinhα₁₂y+Dcoshα₁₂y)+[Esin(αx+α₂₁y)+Fcos(αx+α₂₁y)]·(Gsinhα₂₂y+Hcoshα₂₂y)。(2)

同样, 如取w=e^iβye^iβ′x或w=e^{-iβye-iβ′x}还可求得和(2)式相似的另一类解。 此外还有代数多项式解。 一般地, 板角点的弯矩不会是最大值, 根据能量原理, 对研究一块板的问题, 不考虑板角点的弯矩不会影响板的内力和变形, 因而可取

w₁=a₀₀(a-x)(b-y)+a₀₁(a-x)y+a₁₀x(b-y)+a₁₁xy。(3)

非齐次方程(1)的特解可取双正弦级数解, 令

例如均布载荷q=q₀为常数或集中载荷P作用在x=a₁和y=b₁的点应有

B_nm=4q₀(1-cosmπ)(1-cosnπ)/(mnπ²)(6)

B_mn=4Psinαa₁sinβb₁/(ab)(7)

2 一般解的建立

为使求解满足各种边界和载荷的最简单而容易的一般解, 建议取下列形式:

式中: l=1, 2。 关于一般解的说明和各向同性板是相同的, 可参看文献[14]。

3 算例和分析

以四边自由的矩形板为例, 当四角支承并受均布载荷或集中力作用时, 边界条件为

(M_x)_x=0=0, (M_y)_y=0=0,(M_x)_x=α=0, (M_y)_y-b=0;(9)

(V_x)_x=0=0, (V_y)_y=0=0, (V_x)_x=a=0,(V_y)_y=b=0。(10)

(w)_(0,0)=0, (w)_(a,0)=0, (w)_(0,b)=0,(w)_(a,b)=0。(11)

式中: 弯矩M_x和等效剪力V_x分别为

由(13)式可得

a₀₀=a₁₀=a₀₁=a₁₁=0。(14)

当集中力作用在板的中心时, 由(7)式可得

利用变形对称条件可使求解大大简化。 根据中心对称条件^[8]当载荷和边界均与板的中心为对称时, 两对边的边界条件是相同的, 即边界条件(9)和(10)的后二式为不必要, 且

A_lm=B_lm, C_ln=D_ln

将式(3)和(4)代入式(8), 且注意到式(5)、 (6)和(15), 然后代入(9)和(10)的第一式, 并将其中的非正弦函数展成正弦级数(参看文献[16]), 根据正交性可得

在式(16)和(17)中, k和γ分别相当于n和β,

设板为对称迭层角铺设板45°/-45°/-45°/45°, 容易求得D₁₁=D₂₂, D₁₆=D₂₆且D₁₂+2D₆₆>D₁₁, 故应有

式中: λ=4D₁₆/D₁₁; u=2(D₁₂+2D₆₆)/D₁₁。 若将β或γ代替α, 则β_l1和β_l2或γ_l1和γ_l2相当于α_l2和α_l2。

对于方板a=b, 还可得出挠度对称于对角线x=y和x+y=a。 而其余的边界条件也不必要, 且C_ln=A_ln, 故由(16)和(17)式即可求得A_lm。

取泊松比v₁=0.25, 杨氏模量G₁₂/E₂=0.5, 当矩形板材料为玻璃环氧时, E₁/E₂=3, D₁₁=0.1374E₂h³, D₁₂/D₁₁=0.3935, λ=0.929, u=2.955; 当矩形板材料为石墨环氧时, E₁/E₂=40, D₁₁=0.9076E₂h³, D₁₂/D₁₁=0.9082, λ=2.6898, u=5.54077。 取m和n的项数为4~24, 求得板中点的挠度如表1所示, 可以看出, 收敛性很好。 当m和n各取24项时求得沿对角线x=y和x+y=a的挠度如表2所示, 挠曲面图形如图2所示, 可以看出w(0, 0)小于w(a, 0), 这是沿对角线x=y的弯曲刚度大于沿x+y=a的缘故。

表 1   中点挠度的收敛性

Table 1   Convergence of deflections at centre

图 2   自由边和四角支承的板的挠曲面图形

Fig. 2   Deflection shape of plate with free edges supported at four corners

   此外还计算了-45°/45°/45°/-45°的方板, 仅D₁₆和D₂₆变为负数。 沿对角线x=y和x+y=a各点的挠度分别变成沿对角线x+y=a和x=y各点的值, 这是因为这种方板恰好是以对角线为主轴的正交异性板。 这一结果与文献[4]中的结果是一致的。

表 2   自由边和四角支承的板沿对角线的挠度

Table 2   Deflections along diagonal of plate with free edges and supported at four corners

4 结 论

建立了各向异性矩形板弯曲问题的一般解, 可用于求解任意边界在各种载荷作用下的弯曲问题。 求解的步骤是:

a. 给出四边及四角的边界条件;

b. 用(5)式计算A_mn;

c. 将(3)式代入各边界条件并将非正弦函数展开成正弦级数来求解积分常数, 进而可求得挠度和弯矩;

d. 当边界和载荷与板的中心对称时, 一半积分常数是相等的, 而一半边界条件可以不使用;

e. 对正方形板, 当材料、 边界和载荷与板的对角线亦为对称时, 则其余一半积分常数亦相等, 而一半边界条件亦可以不用。

f. 如欲求角点的弯矩, 必须补充全部代数多项式解和四个角点角两边的斜度或弯矩等于已给值的角点条件。 利用本文方法所得的解为精确解, 理论分析简单, 计算方法容易和便于实际应用。 该方法亦可以用作组合板的问题, 但此时角点的弯矩可能是最大值, 因此每块板的一般解中必须增加另外8个代数多项式来确定每块板角点两边的弯矩。

参考文献:

[1]Ashton J E. Analysis of anisotropic plates II[J]. Journal of Composite Material, 1969, 3(7): 470-479.

[2]Whitey J M. Analysis of anisotropic rectangular[J]. AIAA Journal, 1972, 10: 1344-1345.

[3]Wu B C, Altiero M J. A new numerical method for the analysis of anisotropic thin-plate bending problems[J]. Computer Method of Applied Mechanics in Engineering, 1981, 25(3): 343-353.

[4]程耿东. 关于复合材料方板对称性的讨论[J]. 力学与实践, 1985, 7(6): 35-38.

CHENG Geng-dong. Discussion on symmetry of composite square plates[J]. Mechanics and Practice, 1985, 7(6): 35-38.

[5]Liang L P. A series boundary integration method for the bending analysis of anisotropic plates[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 1990, 11(8): 697-703.

[6]Akhra G, Chaung M S, Li W. Static and vibration analysis of anisotropic composites by finite strip method[J]. International Journal of Solids and Structures, 1993, 30(22): 319-337.

[7]Padoran J. An exact solution for bending fields in anisotropic balanced ply laminated plate strips[J]. Applied Mechanics, 1974, 4(1): 294-296.

[8]张承宗, 杨光松. 各向异性板结构横向弯曲一般解析解[J]. 力学学报, 1996, 28(4): 429-440.

ZHANG Cheng-zong , YANG Guang-song. General analytic solutions for transverse bending problem of anisotropic plate structures[J]. Acta Mech Sinica, 1996, 28(4): 429-440.

[9]Kalmanok A C. Strctrue mechanics of plates[M]. Moscow: Architecture Press, 1950.

[10]Wen P H, Aliabadi M H, Young A. Boundary element method for dynamic plate bending problems[J]. International Journal of Solids and Structures, 2000, 37(37): 5177-5188.

[11]Shupikow A N, Ugrimov S V. Vibration of multilayer plates under the effect of impulse loads[J]. International Journal of Solids and Structures, 1999, 36(22): 3391-3402.

[12]Abrate S, Perry M. Free vibration of composite plates and identification of elastic properties[J]. Shock and Vibration Dig, 2000, 32(1): 46.

[13]Cheung Y K, Zhou D. Vibration analysis of symmetrically laminated rectangular plates[J]. Computers and Structures, 2001, 79(1): 33-41.

[14]Huang Y. A general solution of rectangular thin plates in bending[J]. Appl Math Mech, 1987, 8(8): 725-732.

[15]Jones R M. Mechanics of Composite Materials[M]. New York: McGraw-Hill, 1975.

[16]黄炎. 弹性薄板理论[M]. 长沙: 国防科技大学出版社, 1992.

HUANG Yan. Theory of Elastic Thin Plates[M]. Changsha: Press of National University of Defence Technology, 1992.

收稿日期:2004-12-14

基金项目: 国家自然科学基金资助项目(19872072)

作者简介: 杨端生(1957-), 男, 湖南永州人, 教授, 从事力学研究

论文联系人: 杨端生, 男, 教授; 电话: 0731-2290375(H); E-mail: ydsyj@163.com

 [A1]