自由梁两端受阶跃载荷时的塑性动力响应完全解

 董 军^{1, 2},刘旭红³,姚顺忠⁴

(1. 北京建筑工程学院 土木工程系, 北京,100044;
2. 中南大学 地学与环境工程学院,湖南 长沙,410083;
3. 北京大学 力学与工程科学系, 北京,100871;
4. 西南林学院 交通机械与土木工程学院, 云南 昆明,650224)

摘要: 采用刚塑性模型分析自由梁在两端点受到集中阶跃载荷作用时的小变形动力响应,给出了不同载荷组合下梁的变形模式,构造了其动力响应完全解,并讨论了塑性耗散在输入结构的能量中所占的比例。与自由梁单点受强动荷载作用不同,梁的变形模式取决于两端点阶跃载荷的某组合函数的值。结果结果表明:只要存在塑性耗散,耗散的能量就占外载输入能量的1/3。
关键词: 阶跃载荷; 塑性动力响应; 变形模式; 塑性耗散
中图分类号:O347.1 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)01-0154-04

Dynamic Behavior of a Rigid and Perfectly Plastic Free-free
Beam Subjected to Step-loading at Both Free Ends

DONG Jun^1,2, LIU Xu-hong³, YAO Shun-zhong⁴

(1. Department of Civil Engineering, Beijing Institute of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044, China;
2. School of Geoscience and Environmental Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;
3. Department of Mechanics and Science, Peking University, Beijing 100871, China;
4. College of Communication, Machinery and Civil Engineering, Southwest Forestry University, Kunming 650224, China)

Abstract: Studies on plastic dynamic response of a free-free beam subjected to impulsive loads are a kind of key subjects in aeronautics fields. The small-deflection response of a free-free beam subjected to concentrated step-loading at both free ends is examined, and the material of the beam is assumed to be rigid and perfectly plastic. The deformation mechanisms under different combinations of the magnitudes of the two step-loadings are given and the complete solutions for the dynamic response are constructed, whose plastic dissipation is also discussed. Different from the previous analysis for free-free beam subjected to single point dynamic load, the deformation mechanisms here depend on the values of the combination function of the two step-loading. The results show that the plastic dissipation will be 1/3 of the input energy when plastic deformation occurs.
Key words: step-loading; dynamic plastic response; deformation mechanism; plastic dissipation 

基于刚塑性材料模型为理想刚塑性材料模型的假定,一些研究者对空间自由梁受横向强动载荷作用的塑性动力响应进行了研究^[1-6]。如E. H. LEE等研究了自由梁在中点受到不同强度的阶跃作用时的变形机构^[1],其结果被广泛用于研究关于自由梁的冲击问题^[4,5]。但这些研究考虑的大多是自由梁在对称点受冲击的情况。T. X. YU等将问题扩展到对非对称点受冲击情况的研究^[6],研究了自由梁在一端点受冲击的动力响应^[7],分析了自由梁在任意点受阶跃载荷作用的动力响应完全解,找出了最难及最易发生破坏的撞击点位置^[8];刘旭红等分析了自由梁在中点受到撞击及受集中质量2点撞击的刚塑性动力响应^[9,10];T. U. AHMED等考虑了自由梁在两对称点受到等质量、等速度的质量块的撞击问题,并计入弹性效应、应变硬化效应及接触效应,用有限元程序计算得到了梁的瞬态位移图及能量的分配情况^[11]。在此,作者从理论上研究自由梁在两端点同时受到阶跃载荷(即突然施加并保持不变的载荷)作用时的动力响应问题,以得到自由梁在两端点受到强动载荷作用时可能发生的破坏模式。所采用的基本假设如下:

a. 材料为理想刚塑性,且与应变率无关,即塑性极限弯矩为常数;

b. 研究对象为细长均匀的矩形截面自由梁,不考虑剪力对屈服的影响;

c. 梁的变形很小,且仅考虑响应的初始阶段。

1 分 析

1.1 刚体运动

当梁的两端作用较小的阶跃载荷P₁=P₁(t)和P₂=P₂(t)时,梁作刚体运动,如图1所示。梁的运动可以分为两部分,即刚体的平动及转动。考虑到惯性力,由达朗贝尔原理可求出:

图 1   自由梁两端受阶跃载荷作用
Fig. 1   A free-free beam subjected to
impulsive loads at both ends

其中:w[DD(-*2]··[DD)]为A点的加速度;θ[DD(-*4]··[DD)]为梁的角加速度。从而梁上距A点任意距离x处的弯矩为:

上述方程的根为

这里不妨假设P₁>P₂,注意到:

不合题意,应舍去。再看x₀₂,一方面,有

另一方面,有

s即为塑性铰的位置,则梁的弯矩在

处达到极值,M_max=M(s)。将s的表达式代入并整理得:

令最大弯矩M_max=M_p,则有

f(P₁,P₂)=Mp/(2L)。

并定义P_r≡M_p/(2L),为一阶跃荷载的临界值,则当两阶跃载荷满足f(P₁,P₂)〈P_r时,梁只有刚体运动。
1.2 单铰模式

当两阶跃载荷满足f(P₁,P₂)=P_r时,梁在中间1/3区域内的H点处达到塑性极限弯矩,形成塑性铰。通过(4)式可以得到无量纲塑性铰的位置s/L与两载荷比P₁/P₂的关系,如图2所示。对于P₂=0的极限情况,由(4)式及f(P₁,P₂)=P_r分别得出,这一结果与文献[5]中关于自由梁一个端点处作用阶跃载荷的分析结果相吻合。

用w₁和w₂分别表示A点和B点在阶跃荷载P₁和P₂作用下沿力方向的位移,则w[DD(-*2]·[DD)]₁和w[DD(-*2]·[DD)]₂分别表示A点和B点的速度, w[DD(-*2]··[DD)]₁和w[DD(-*2]··[DD)]₂分别表示A点和B点的加速度。单铰模式的变形机构如图3所示。AH段内任意点的速度为:

相应的加速度为:

图 2   中载时塑性铰的位置s/L与荷载比
P₁/P₂的关系
Fig. 2   Relationship between the plastic hinges
and the ratio of loads P₁/P₂ while
a free-free beam subjected to middle step-loading

图 3   中载时梁的变形机构
Fig. 3   Deformation mechanisms under
middle step-loading

从而,AH段的运动方程为:

同理,HB段的运动方程为:

而对于f(P₁,P₂)>P_r时的高载情况,由(5)式可得出M_max>M_p,这违反了梁的屈服准则。因此,单铰模式不再适用,必须寻找新的响应模式。
1.3  双铰模式

对于f(P₁,P₂)>P_r时的高载情况,梁内不可能只有1个塑性铰。假定梁的响应模式是在梁内有2点H₁和H₂处形成塑性铰,变形机构如图4所示。以下证明这样的响应模式就是对应于高载f(P₁,P₂)>P_r后的完全解的响应模式。

P₁和P₂为阶跃载荷,因此,H₁和H₂为两驻定铰。由于H₁和H₂处的截面只有弯矩而无剪力,故H₁和H₂段保持静止,其中任一截面上的弯矩都是M_p。现在只需证明在AH₁段内,M(x)〈M_p。AH₁段内任一点的速度为:

则相应的加速度表达式为:

从而,AH₁段的运动方程为:

同理,H₂B段的运动方程为:

AH₁段内任一点处的剪力为:

其中:0〈x〈x₁。这说明AH₁段内剪力Q(x)随着x的增加而单调下降,而Q(0)=P₁, Q(x₁)=1,故在0〈x〈x₁内弯矩无极值点,|M(x)|〈Mp。同理,在H₂B段内也有类似的结论。

综上所述,图4所示的变形机构处处不违反屈服条件,这是高载时的变形机构。由运动方程可求出P₁=3Mp/x₁。可见,当P₁→∞时,x₁→0;同理,当P₂→∞时,x₂→0。即随着载荷的增大,2个铰的位置分别向两端点靠近。

对于两端点所受阶跃载荷完全相同的情况,经同样的分析可知:当载荷较小时,梁只作刚体平动;当P₁=P₂=P=2Mp/L时,梁的中点将出现1个塑性铰;而当P>2Mp/L后,梁上出现2个塑性铰,且塑性铰随着载荷的增加而分别向两端点靠近。

2 能量耗散的计算

对于f(P₁,P₂)〈Pr的情况,自由梁上没有塑性铰,所有的输入能量都转化为梁刚体运动(包括平动和转动)的动能。而当f(P₁,P₂)≥Pr后,就有一部分输入能量用于成为塑性铰处消耗的塑性功。由于梁的两端点的加速度均为常量,由文献[6]中的方法可求得塑性铰处消耗的能量E_h占载荷输入的能量E_in的比例。

对于单铰模式,由(7)式和(8)式知:

P₁/Mp=3/s,P₂/Mp=3/(2-s),

对于双铰模式,由(9)式及(10)式知,P₁/Mp=3/x₁,P₂/Mp=3/x₁,故

由以上分析可见,只要有塑性铰出现,无论是单铰模式还是双铰模式,塑性耗散能量占输入能量的比例保持为1/3。

3 结 论

a.运用刚塑性模型分析自由梁在两端点受到集中阶跃载荷作用时的小变形动力响应,可以通过不同载荷组合下梁的变形模式,构造其动力响应的完全解。

b.只要存在塑性耗散,耗散的能量就占外载输入能量的1/3。该结果对于自由梁多点受冲击载荷作用的塑性动力响应问题的进一步研究具有参考价值。

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收稿日期:2004-06-15

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10272011);北京建筑工程学院博士科研启动基金资助项目

作者简介:董 军(1967-), 男, 山东济南人, 博士后, 教授, 从事力学与土木及地质工程的教学与科研工作

论文联系人: 董 军, 男, 博士,教授;电话:010-86282362(O); E-mail: jdongcg@263.net