成排侧开圆孔受弯构件的应力简化和刚度等效

 周朝阳, 郑坤龙, 李 明

(中南大学 土木建筑学院, 湖南 长沙, 410075)

摘要: 对侧向成排开设圆孔的矩形截面受弯构件的平面进行有限元分析, 发现各截面应变分布不符合经典的平截面假定, 但对于截面纵向伸缩或一段构件长度上的平均应变, 平截面假定仍然适用; 邻孔之间的中央实心截面(墩心截面)上弯曲正应力分布不满足线性关系, 其高度中部存在近零应力区段, 而其上、 下两部分的应力接近于线性分布。 在此基础上, 提出基于位移有限元解按经典梁刚度定义计算开孔梁等效抗弯刚度的方法, 得到相应的刚度折减系数表; 提出墩心截面应力分布三折线简化假定, 建立相应的截面弯矩—边缘应力—受力区高度关系式, 并根据数值分析结果拟合得到受力区高度与孔径、 孔距的相关方程。 计算结果表明, 该应力计算近似方法简便、 实用, 计算精度较高。

关键词: 蜂窝梁; 管式空心板; 弯曲应力; 弯曲刚度

中图分类号:TU375 文献标识码:A 文章编号: 1672-7207(2005)06-1089-05

Simplification of longitudinal stresses calculation and equivalence

of flexural stiffness for members with lateral circle perforations

ZHOU Chao-yang, ZHENG Kun-long, LI Ming

(School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract: Finite element analyses are made for flexural members with rectangular sections and lateral circle perforations in line. The results indicate the longitudinal strain distribution at any section isn′t in accordance with the traditional assumption of plane sections remaining plane. As to the average strains over a length of the member, however, the traditional assumption is still applicable. The normal stresses at mid-pier sections between adjacent holes are not proportional to their distances to the mid-height point of section. A new method is proposed to calculate the equivalent flexural stiffness, and tri-linear distribution is suggested for approximate calculation of the bending stresses at mid-pier sections. The relationship is accordingly established among bending moment, edge stress of the section and depth of the linearly stressed district. The depth of the stressed district is expressed as a function of diameter and space of the holes. The calculated results show that the stress calculation of the mid-pier sections is simple and practical, and that the calculated precision is high.

Key words: castellated beam; tubular voided slab; bending stress; flexural stiffness

在材料力学中, 对于发生纯弯曲变形的匀质弹性梁, 有2个假定: 平截面假定; 纵向纤维间无正应力。 故在梁的正截面上, 纵向应力和应变沿截面高度呈线性规律变化。 但是, 当梁沿中性轴侧向开设成排的孔洞时, 由于孔洞破坏了结构纵向的连续性, 截面应力、 应变分布变得十分复杂^[1-7]。 为了确定这种应力、 应变分布规律, 本文作者以开设圆孔的矩形截面受弯构件为研究对象, 以有限元分析结果为基础对其进行研究。

1 有限元分析

取纯弯悬臂梁为分析对象, 如图1所示, 其截面轮廓尺寸(宽×高)为0.02 m×0.4 m, 自由端施加一弯矩, 其值M=4 kN·m。 设侧向圆孔的直径和净间距为d和s, 并把相邻2孔之间的部分叫做墩, 则通过其中心点的截面(例如图1中I—I截面)为墩心截面。 为了考察孔洞参数的影响, 采用ANSYS软件对不同的孔径和孔距组合情形(见表1)进行有限元分析, 取2维8节点平面应力单元, 材料为C30级混凝土, 弹性模量E=3×10¹⁰ N/m²。

图 1   侧向开孔纯弯悬臂梁简图

Fig. 1   Diagram of cantilever beam with lateral circle perforations under pure bending

2 墩心截面应力分布的三折线简化

经过有限元分析所得到的墩心截面边缘应力见表1, 部分墩心截面的应力分布见图2。 由图2可见, 孔径对一定弯矩作用下墩心截面水平正应力的分布和大小影响较显著, 而孔距的影响较小。 此外, 因为开孔, 截面高度中点上、 下形成一个应力很小的区段(称为近零应力区), 孔径越大, 则该区段越长, 与此相应, 截面上、 下边缘应力越大, 说明应力趋于集中。 但在该区段以上和以下部分, 应力分布基本呈直线, 由于孔洞居截面高度的中间, 上、 下两部分应力大小相等、 方向相反。

表 1   墩心截面的孔径和孔距组合及相应的边缘应力(kPa)

Table 1   The edge stresses for various combinations of diameter and space of holes at mid-pier section

图 2   墩心截面的正应力分布

Fig. 2   Normal stresses at mid-pier section between adjacent holes

由于墩心截面中部的近零应力区段上应力很小, 且靠近中性轴, 故形成的力偶很小, 忽略其对截面弯矩的贡献, 并将其上、 下两段的应力近似按线性分布考虑, 得三折线应力计算简图, 如图3所示。 由图3可得, 截面弯矩M与边缘应力σ_b和受力区段高度ξ_h的关系为:

可见, 近零应力区段的长度与孔径d和孔距s有关, 因此, 受力区高度也是d和s的函数。 为了探讨其相互关系, 引入无量纲参数δ和η。 其中: , 即圆孔直径d与梁截面高度h之比, 简称径高比;, 即圆孔净距s与梁高h之比, 简称距高比。

图 3   墩心截面应力计算简图

Fig. 3   Simplified distribution of stresses of mid-pier section

对应于不同δ和η组合的σ_b可通过有限元分析得到(见表2), 将σ_b代入式(2), 可求出相应的ξ。 绘出ξ随δ和η的变化曲线, 如图4所示。

根据图4显示的变化趋势, 可以拟合出ξ与δ和η的相关方程:

表 2   墩心截面相对受力区高度ξ

Table 2   The depth of the stressed district at mid-pier section between adjacent holes

图 4   受弯构件相对受力区高度ξ随径高比δ和距高比η的变化

Fig. 4   Relationship between ξ and δ and η of flexural stiffness

这样, 对一给定孔径和间距的受弯构件, 就可以通过式(3)求得墩心截面的受力区高度, 进而根据式(1)得到已知弯矩作用下的截面边缘应力。 为了验证双直线简化计算方法的合理性和可行性, 将该简化计算的结果与有限元分析结果进行对比, 结果见表1。 可以看出, 2种结果较吻合。

3 构件抗弯刚度的平均化等效

墩心截面的应变分布与应力分布形状相似, 其他截面的应变分布同样不满足经典的平截面假定, 例如在过圆孔中心的截面上, 孔边缘处纵向应变最大。 因此, 材料力学的既有公式不能用于描述某个具体截面的抗弯刚度, 事实上, 从式(1)可以看出, 侧向开孔梁实心矩形截面的惯性矩不等于bh³/12。

然而, I—I截面各点的纵向位移呈现线性分布(见图5)。 由于这种纵向位移实际上就是该截面到固定端这一段构件长度的伸缩量, 沿截面高度线性分布的伸缩量体现出线性分布的平均应变, 因此, 对成排侧开圆孔的矩形截面受弯构件, 平均应变仍可采用平截面假定。 根据这一结论, 把距固定端x处截面的上、 下边缘水平位移记为u_上(伸长时)、 u_下(缩短时), 则长度为x的纯弯段之上、 下边缘纤维的平均应变为u_上/x(拉时)和u_下/x(压时), 该梁段截面平均曲率φ=(u_上-u_下)/(xh), 由刚度定义B=M/φ即可求出平均等效刚度。 此刚度与相应未开孔截面刚度Ebh³/12之比称为刚度折减系数, 记为k, 计算结果见表3。

表 3   梁截面抗弯刚度折减系数k

Table 3   k for various combinations of diameter and space of beam section

图 5   Ⅰ-Ⅰ截面各点纵向位移

Fig. 5   Longitudinal displacement at section Ⅰ-Ⅰ

4 结 论

a. 对成排侧开圆孔的矩形截面受弯构件进行平面有限元分析, 结果表明, 各截面应变分布不符合经典的平截面假定, 但一段构件长度上截面的平均应变仍呈线性分布。

b. 邻孔之间的墩心实心截面上弯曲正应力分布不符合线性关系, 其高度中部存在近零应力区段, 而其上、 下两部分的应力接近于线性分布。

c. 对成排开孔梁墩心截面提出三折线应力分布简化假定, 建立了相应的截面弯矩—边缘应力—受力区高度关系式。 墩心截面受力区高度与圆孔直径和间距有关。

d. 该近似方法用于求算墩心截面的受力区高度和已知弯矩作用下的应力, 简单方便, 计算精度较高, 满足工程应用要求。

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收稿日期:2005-01-10

基金项目: 湖南省建设厅科研基金资助项目(2003-2005)

作者简介: 周朝阳(1964-), 男, 湖南衡阳人, 教授, 博士, 博士生导师, 从事工程结构研究

论文联系人: 周朝阳, 男, 教授, 博士; 电话: 0731-2656678(O); E-mail: cyzhou@mail.csu.edu.cn