浮置板轨道上轮对相互影响系数的求解
马龙祥，刘维宁，李克飞
(北京交通大学 土木建筑工程学院，北京，100044)
摘要：为建立车辆-浮置板轨道的频域动力耦合模型，提出一种求解移动荷载状态激振下浮置板轨道结构上轮对相互影响系数的计算方法。该方法将对应于浮置板轨道上移动点的影响系数化为含有移动谐振荷载引起钢轨上定点频域响应的积分表达式，并以浮置板轨道的频域快速数值算法计算该定点频域响应。在此基础上，再通过数值积分方法计算影响系数的积分表达式，从而得到浮置板轨道上的轮对相互影响系数。通过该算法，对浮置板轨道上轮对相互影响系数进行探讨，得到其基本性质。算例表明：该方法能很好地反映浮置板轨道的结构特点和动力性能，可用于建立车辆-浮置板轨道的频域动力耦合模型，因而，具有较为重要的理论价值和应用价值。
关键词：浮置板轨道；轮对相互影响系数；轨道振动；移动荷载状态激振；频域快速数值算法；钢轨数学模态
中图分类号：U213.2 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2013)12-5068-07
Calculation method of wheelsets’interaction coefficient on floating slab track
MA Longxiang, LIU Weining, LI Kefei
(School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)
Abstract: In order to establish vehicle-floating slab track(FST) coupling model in the frequency domain, a calculation method of wheelsets’ interaction coefficient on FST structure under moving excitation is proposed. With the method, the interaction coefficient corresponding to a moving point on FST is expressed to be an integration expression containing the response of a fixed point on rail in the frequency domain caused by a harmonic moving load, and the response of the fixed point on rail is solved through fast numerical algorithm in the frequency domain. Based on this, the integration expression of wheelsets’ interaction coefficient can be calculated through numerical integral and the wheelsets’ interaction coefficient can be finally obtained. Through the calculation method, the wheelsets’ interaction coefficient on FST is discussed, and its basic characteristic is obtained. Calculation examples also show that the method can well reflect the structure characteristic and dynamic characteristic of FST, and can be well used in the vehicle-FST coupling model in the frequency domain. Thus, it has important theoretical and practical value.
Key words: floating slab track; wheelsets’ interaction coefficient; track vibration; moving excitation; fast numerical algorithm in frequency domain; rail mathematical mode
近年来，随着对城市轨道交通运行引起环境振动关注的增加，浮置板轨道由于其良好的减振性能成为了研究的热点[1-9]。然而，要完善地分析评价浮置板轨道的动力特性及减振性能，必须建立车辆-浮置板轨道的耦合动力学模型。目前，对车辆-轨道耦合动力问题的研究，主要有时域法[10-12]及频域法[13-14]。其中频域法虽在轮轨接触弹簧线性简化下建立，但在处理随机不平顺及对高频轮轨相互作用有关的分析中具有明显优越性，在一般轨道结构与车辆的耦合中也得到了较多应用[13-14]。然而，频域法应用于浮置板轨道与车辆的耦合中却很少见于报道。为了建立频域内的车辆-浮置板轨道耦合动力学模型，对频域车轨耦合的关键问题—轨道结构上的轮对相互影响系数的求解进行研究。在定点荷载状态激振(车辆与轨道均保持不动，而使一条代表轮轨表面不平顺的激励带以列车运行速度反向通过轮轨接触界面)及移动荷载状态激振(实际地由车轮在具有不平顺的轨道结构上向前移动而引发激励)2种系统激励模型[15]的选择上，选择更符合实际的移动荷载状态激振。
1 浮置板轨道模型及轮对相互影响系数函数的引入
本文将浮置板轨道视为周期性轨道结构，这里的“周期”指浮置板轨道的构造及特性以浮置板板长为周期重复排列。由轨道结构的对称性，仅取单根钢轨及其对应的轨道结构建立模型。具体地，将钢轨简化为离散点支撑在一系列有限长浮置板上的无限长欧拉梁，将有限长浮置板简化为点支撑在固定基础上的欧拉梁并忽略不同块浮置板之间的间隙，将钢轨垫片和隔振器简化为离散的弹簧阻尼元件，将坐标原点O取在浮置板某一间断点处，建立以浮置板板长为周期的周期无限浮置板轨道模型，见图1。钢轨的抗弯模量为ErIr，线密度为mr；钢轨垫片刚度为kr，阻尼为cr，间距为dr，并且每块浮置板上有Nr个钢轨垫片，在板上对称布置；浮置板长为L，抗弯模量为EsIs，线密度为ms，浮置板下隔振器刚度为ks，阻尼为cs，间距为ds，并且每块浮置板下有Ns个隔振器，在板下对称布置；同时钢轨和浮置板在固定坐标系下的位移响应分别表示为ur和us，在移动坐标系下的位移响应分别表示为ur′和us′，且均以竖直向下为正方向。其中，下标r代表钢轨及其下垫片，下标s代表浮置板及其下隔振器。
由于车辆在轨道不平顺激励下通过轮对作用到钢轨上的力可以写成一系列简谐荷载的叠加[13]。因此，轨道结构上轮对相互影响系数求解的实质就是求解单位移动谐振荷载作用下，与荷载距离始终保持一些特定常数(与车辆的各轴间距相对应)位置处的轨道响应。考虑激振角频率为ωl的轮轨力对应的轨道结构上的轮对相互影响系数，设初始时刻荷载位置位于坐标原点、速度为v的单位移动谐振荷载
作用于浮置板上(初始时刻荷载相位并不影响轮对相互影响系数，这里直接将初始时刻荷载相位设为0，即荷载初始时刻取峰值)，并引入一随荷载同速移动的移动坐标x′=x-vt，见图1。于是，在移动坐标系下，移动坐标为x′点(图1中的“拾振点”)钢轨时域内的稳态响应可以近似设为：
(1)
其中：
为移动荷载引起的移动坐标为x′点t时刻的钢轨位移；
即为移动坐标下对应激振频率ωl的轮对相互影响系数函数，也称作轨道结构的柔度函数。
从式(1)可知：列车以速度v行驶时，对于列车轴分布下激振频率为ωl的移动力群，轨道结构上的轮对相互影响系数矩阵为：
(2)
其中：dij=xi-xj为列车第i轴和第j轴间的距离；xi和xj分别为列车第i轴和第j轴初始时刻在固定坐标系下的坐标；mw为列车总轴数。
图1 周期无限浮置板轨道力学模型及轮对相互影响系数函数
Fig. 1 Mechanical model of periodic-infinite floating slab track and wheelsets’ interaction coefficient function
2 轮对相互影响系数(函数)的求解
2.1 轮对相互影响系数(函数)与固定坐标系下响应的关系
由式(1)及固定坐标与移动坐标的转化关系可知，固定坐标为x点钢轨时域内的响应可以写为：
(3)
令：
(4)
将式(4)代入式(3)，并对式(3)进行连续傅里叶变换，有：
(5)
其中：ω为圆频率；符号“
”代表频域内的物理量。
对
进行逆傅里叶变换可得到
，有：
(6)
由式(4)注意到：
(7)
因此，由式(6)和式(7)有：
(8)
需要说明的是，由于
，
同样表示轮对的相互影响系数(函数)，而式(8)则给出了轮对相互影响系数(函数) 与固定坐标系下钢轨响应
的积分关系。
2.2 固定坐标系下钢轨响应的频域快速数值算法
由式(8)可以看到，要求解轮对的影响系数，需先求得单位移动谐振荷载作用下钢轨上固定点的响应。下面提出浮置板轨道的频域快速数值算法，并以此来计算。
当周期浮置板轨道受到速度为v的竖向移动谐振荷载(初始时刻位于固定坐标原点)作用时，轨道结构钢轨上任一点x产生的竖向位移响应可由广义Duhamel积分的形式写为[14]：
(9)
其中：
为钢轨上任一点x在移动荷载作用下时刻t的竖向位移；
为时刻τ时，在钢轨vτ位置作用竖向的单位脉冲荷载引起钢轨上任一点x时刻t的竖向的位移响应，即脉冲响应函数。
对于周期为L的周期结构，脉冲响应函数具有性质：
(10)
式(10)的物理意义为：单位脉冲荷载作用在周期结构上，将脉冲激励点与响应拾振点同时移动周期的整数倍距离后，拾振点处的响应在移动前后是相同的。
利用式(9)和式(10)，可得：
(11)
对式(11)进行连续傅里叶变换，有：
(12)
式(12)即为匀速移动谐振荷载作用下周期浮置板轨道结构响应所具有的性质。由式(12)可将移动谐振荷载下浮置板轨道钢轨频域内的响应设为：
(13)
其中：
为未知常数；
。实际计算中可取有限项，即取：
(14)
其中：N足够大，使结果合理收敛；
可以认为是引入的移动谐振荷载下钢轨的数学模态(后文直接称作钢轨模态)，那么式(14)中共计计算了2N+1阶钢轨模态。
此时在求解图1所示的移动速度为v，初始时刻位于坐标原点的单位力作用下引起轨道响应的问题时，由于轨道结构的周期性，可以由式(14)的级数表达式表达钢轨的响应。在此基础上可以将轨道动力响应问题的求解放在一块浮置板长度范围的轨道结构之内进行，不妨将这个关键的“解决问题所取的研究段”取为模型整体坐标x=0到x=L范围内的这块浮置板所对应的轨道结构，见图2。在所取研究段范围内，钢轨及浮置板频域内的动力控制方程为：
(15)
(16)
其中：xri及xsj分别为该范围板上第j个钢轨垫片及板下第j个隔振器的坐标；
；
；
为Dirac函数。
一般意义下，把所取研究段范围当作隔离体从无限轨道结构中取出后，要求解该范围内的振动响应，还应引入该范围的边界条件，此刻有：
(17)
(18)
式(17)为该范围钢轨上的位移和力的周期边界条件，它是由式(12)引入的，j=0，1，2，3分别对应钢轨上的位移、转角、弯矩与剪力(弯矩与剪力此时约去了系数)；式(18)为浮置板上两自由端处弯矩剪力为0的边界条件。当浮置板位移响应采用自由梁模态叠加表达时，式(18)自动满足，可不再考虑；当钢轨位移响应采用式(14)的级数表达时，式(17)自动满足，可不再考虑。
图2 浮置板轨道受到单位移动谐振荷载作用及解决问题所取的研究段
Fig. 2 Floating slab track subjected to an unit harmonic moving load and track section picked out for researching
选取NMS个广义坐标
，将浮置板频域内的响应用自由梁的模态叠加表示，有：
(19)
其中：
为自由梁正交函数系，具体表达式为
式中：
和
为常数，它们的取值可参见文献[10]；浮置板的模态数NMS根据分析频率选取，具体使得NMS阶模态的频率大于最高分析频率。
由于 (式(14))，构造
，
，并将式(15)两边同乘
；同时将式(16)两边同乘
，然后对两式在[0，L]上积分，由正交性及Dirac函数的性质有：
(20)
(21)
又由于：
(22)
(23)
(24)
将式(22)，(23)和(24)代入式(20)和(21)中，整理可得：
(25)
其中：
；A，P分别为组建成的2N+NMS+1阶已知方阵和(2N+NM+1)×1阶已知向量。注意到：
可知：
在任一角频率ω下，解式(25)可得钢轨频域位移级数表达的系数及当前所研究范围内该块浮置板频域位移的模态坐标。将解得的钢轨频域位移级数表达的系数代入式(14)即可求得。
2.3 轮对相互影响系数(函数)的求解
式(8)已经给出了轮对相互影响系数(函数) 与固定坐标系下钢轨响应的积分关系，且2.2节给出了在一些离散点ω的求解方法，因此可用数值方法计算式(8)以得到轮对相互影响系数(函数)，有：
(26)
其中：a1=0.5，aM=0.5，aj=1(j为其他)；
为钢轨x点处由激振频率为
的单位谐振荷载引起的对应角频率
的位移，可按2.2节的方法求解。
为离散采样频率点的间隔，为等间距的采样频率点。对式(26)，应保证计算频率范围
涵盖响应显著的频率范围，以保证计算的准确性，此外计算频率间隔应取得较小，以保证计算的精度。
3 计算分析
本文浮置板轨道的计算参数见表1。其中钢轨和浮置板损耗因子
和
是用以体现钢轨及浮置板的材料阻尼，在模型计算中仅需用
及
替换
及
。本文分析频率为0~100 Hz。在进行式(26)的数值积分时，取
，
，
，采样频率数共计1 001个，此时能保证计算结果的精度。
在当前参数下，对浮置板这个自由梁的模态频率(前两阶模态分别为竖直平移及转动，对应频率均为0 Hz；其余阶模态频率的计算可参见文献[6])进行分析，取浮置板的前20阶模态进行计算，此时最高阶模态频率为242.95 Hz，已能保证结果的准确性。图3为对移动谐振荷载作用下钢轨上定点频域响应计算中钢轨计算模态数的收敛分析。图3所示仅以荷载频率50 Hz为例，是在浮置板计算模态数取20、不同钢轨计算模态数下，60 km/h和50 Hz的单位移动谐振荷载引起的轨道钢轨上某点的位移响应频谱。从图3可以看出：对应于荷载频率50 Hz，钢轨计算模态数取2×20+1=41时频谱响应的显著频段已几乎与更大的计算模态数时重合，此时仅需取41阶钢轨模态就能得到准确的位移响应。因此，在本文方法下，当钢轨计算模态数足够大时，固定坐标系下钢轨位移响应收敛，结果准确可信，这确保了求解轨道上轮对相互影响系数的准确性。本文以下计算中取2×40+1=81阶钢轨模态，以保证轮对相互影响系数计算的准确性。
表1 浮置板轨道参数
Table 1 Parameters of floating slab track
图3 钢轨计算模态数对钢轨响应的影响(荷载频率50 Hz)
Fig. 3 Influence of calculated rail mode number on rail response (load frequency 50 Hz)
图4所示为速度60 km/h 的激振荷载对应的轮对相互影响系数函数在特定x′下(或在特定x下，以下以进行表述)的模值与激振频率的关系。图4中x′分别取0 m和19 m(北京地铁车辆全长)，它们分别表征了列车某轮对作用下对自身位置及对前一车辆相同位置轮对处钢轨位移的影响。从图4可以看出：某轮对对其他不同轮对影响显著的激振频段会有所不同：轮对对自身的影响在频率8 Hz附近较为显著，而对前一车辆相同位置轮对处的影响在频段7~25 Hz较为显著；此外，在大部分频段轮对相互影响系数函数的模值随x′的增大而下降，即轮对对距离越远的其他轮对处的影响越小。
图4 
的模值与激振频率的关系
Fig. 4 Relations of Modulus of and excitation frequency
图5所示为速度60 km/h 的激振荷载对应的轮对相互影响系数函数在取一些特定值时的模值与距离x′的关系。从图5可以看出：(1) 并不严格关于x′偶对称，这是因为荷载自身的移动方向造就了问题的不对称。这说明轨道结构上两轮对之间，后轮引起前轮处轨道的位移(后轮对前轮的影响)与前轮引起后轮轨道处的位移(前轮对后轮的影响)不是完全相同的；(2) 不同激振频率下，轮对对自身位置或接近自身位置处(移动的位置)钢轨的位移响应影响最大(大部分激振频率时轮对在自身位置x′=0 m处取得相互影响系数的最大值)，对更远距离x′处的钢轨位移响应影响较小，且总体趋势是，对越远距离处钢轨位移响应的影响越小。这也说明了轮对对距离越远的其他轮对的影响总体趋势是越小的；(3) 浮置板板长对轮对间的相互影响系数具有重要的影响：当激振频率达到一定值时，随距离增加，会大致呈现出阶梯衰减的规律，而这个阶梯长度恰好为浮置板板长(30 m)。这是因为距离x′每增加30 m，对应的“拾振点”与荷载激励点之间就会多一块不连续的浮置板，导致振动响应的传递出现一定程度的削弱。轮对相互影响系数的这一性质，充分反映了浮置板轨道的结构特点。
图5 的模值与距离的关系
Fig. 5 Relationship between modulus of and distance
4 结论
(1) 浮置板轨道上轮对对其他不同轮对影响显著的激振频段有所不同，且轮对对距离越远的其他轮对的影响总体趋势是越小的。
(2) 由于荷载自身移动方向造就了问题的不对称性，轮对相互影响系数函数并不是严格关于距离偶对称的。这表明轨道结构上两轮对之间，后轮引起前轮处轨道的位移(后轮对前轮的影响)与前轮引起后轮轨道处的位移(前轮对后轮的影响)不是完全相同的。
(3) 由于浮置板轨道结构的特殊性，浮置板的板长对轮对间的相互影响系数具有重要的影响。
算例及以上的结论表明，本文的方法能很好地反映浮置板轨道的结构特点和动力性能，可用于建立车辆-浮置板轨道的频域动力耦合模型，因而，具有较为重要的理论价值和应用价值。
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(编辑 陈爱华)
收稿日期：2013-02-11；修回日期：2013-05-23
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51278043，51008017)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2012JBM082)
通信作者：马龙祥(1988-)，男，四川成都人，博士研究生，从事车轨耦合模型及城市轨道交通环境振动等方面的研究；电话：13426335062；E-mail：lxma_njtu@163.com
