DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.07.004
高频磁场下铝基复合材料熔体中颗粒相的受力与迁移行为模拟
王宏明，瞿长晨，李桂荣，李沛思，范晓建
(江苏大学 材料科学与工程学院, 江苏 镇江，212013)
摘要：根据电磁学的基本原理，采用数值模拟方法计算得出金属熔体表面的磁感应强度，导出电磁体积力与表面磁感应强度，颗粒迁移速度与电磁体积力以及颗粒迁移偏移角度与电磁体积力的关系表达式。研究结果表明：颗粒相迁移行为的影响因素包括电流强度和频率、颗粒粒径等；高度对电磁体积力的有效作用范围为20~100 mm，并在80 m处取得最大值，增大电流，颗粒沿高度方向分布更均匀。
关键词：高频磁场；铝基复合材料；颗粒相；迁移
中图分类号：TG249.6；TG244.3 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2016)07-2205-08
Simulation on force and movement behavior of particles in aluminum matrix composite melt under high-frequency magnetic field
WANG Hongming, QU Changchen, LI Guirong, LI Peisi, FAN Xiaojian
(School of Materials Science and Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)
Abstract: According to the basic principles of electromagnetic, the magnetic flux density on the surface of the metal melt was calculated through numerical simulation method. The relational expression of the electromagnetic body force and the magnetic flux density was deduced. Furthermore, the relational expressions of the velocity of particle migration, the angle of the particle migration offset and the electromagnetic body force were deduced. The results show that the main influential factors of particle migration behavior include the current intensity, frequency and particle size. The effect of the height on electromagnetic body forces is from 20 mm to 100 mm. Especially the electromagnetic body force reaches the maximum value at 80 mm. With the increase of the current intensity, the distribution of particles along the height direction becomes more uniform.
Key words: high frequency magnetic field; aluminum matrix composites; particle phase; migration
颗粒增强铝基复合材料具有密度小、强度高、高温性能好以及耐磨性、热稳定性和低膨胀系数优良等优点，具有广阔的应用前景。铝基复合材料中增强相的分布对材料的凝固组织及其性能具有重要影响，控制复合材料凝固过程中颗粒相的迁移行为成为该类复合材料制备的关键问题之一。为了研究控制颗粒相的分布， 王春江等[1-2]研究了强磁场下金属凝固过程中第二相的迁移行为，证明洛伦兹力是促进第二相在基体中均匀分布的重要因素。郭庆涛等[3-5]提出了高频磁场电磁净化技术中电磁体积力的数学模型，并分析了熔体内部电磁体积力的分布规律。然而，对高频磁场下金属熔体凝固过程中颗粒相的迁移规律的研究仍未完善。本文作者用模拟方法分析高频磁场下影响颗粒相迁移行为的因素及作用规律。
1 物理模型与参数
利用ANSYS有限元分析软件计算结晶器内合金熔体表面的磁感应强度。圆坯结晶器的内径为76 mm，外径为92 mm，计算长度为110 mm。结晶器壁上有6条均匀分布的1 mm宽竖直切缝，切缝长度为90 mm，螺线管的半径为50 mm，长度为67 mm；合金熔体和空气的相对磁导率为1，结晶器、合金熔体和空气的电阻率的分别为1×10-8，2.83×10-8和1×1020Ω·m。由于计算区域的对称性，可取整个区域的1/6作为实际计算区域，建立如图1所示物理模型[6]，并通过建立圆柱坐标系(r，
，z)表示空间的位置点。
高频磁场激励电流为正弦交流电，电流密度变化范围为5×106~5×107 A/m2，频率为5~20 kHz。合金熔体的密度为2.37 t/m3，三氧化二铝的密度为3.9 t/m3，真空磁导率
×10-7 H/m，熔体的磁化率为1.05×10-6 H/m，熔体的动力学黏度
4.5 mPa·s，熔体的磁导率×10-7 H/m，熔体的电导率为4.132 2×10-6 S/m。
网格划分采用的是ANSYS自带的网格划分工具MeshTool，在计算区域自动生成网格，如图2所示。考虑高频磁场在结晶器壁及熔体内出现集肤效应，在集肤层内至少要划分2层单元以确保计算精度，根据
计算集肤深度
[7](其中，ω为角频率)。
设定边界条件：1) 在模型的对称面上设定磁力线平行边界条件；2) 在线圈直径5倍处设定远场边界；3) 对结晶器分瓣体和熔体分别设定开路及短路导体条件。
图1 物理模型示意图
Fig. 1 Schematic of physical modal
图2 模型的网格划分
Fig. 2 Meshes of model
2 数学模型的建立
2.1 电磁场数学模型
根据Maxwell方程组[8]，熔体凝固过程中电磁场计算的控制方程为：
(1)
(2)
(3)
(4)
式中：
(5)
H为磁场强度；B为磁感应强度；J为电流密度；E为电场强度；
为拉普拉斯算子。
在一定频率下，对于垂直入射导体表面的电磁波，Maxwell方程可以表示为：
(6)
(7)
(8)
由于高频磁场在金属溶液内存在集肤效应，电磁场在金属中按指数规律衰减，金属熔体内的磁感应强度[4]为
(9)
式中：B0为熔体表面处的有效磁感应强度；x为熔体内任一点距离熔体表面的距离；f为电磁场频率。
设通电螺线管的半径为R，长度为L，单位长度的匝数为n，通电电流为I，螺线管(直角坐标系)放 置[9]如图3所示。由于螺线管具有对称性，故只需计算xOz平面内的磁场分布，且x和z分量分别是径向和轴向分量。
图3 螺线管位置
Fig. 3 Location of solenoid
在xOz平面内任取1点P(x0，0，z0)，在z轴上z点处取厚度为dz的环，则该环的电流为
nldz，并在该环上点B(
, z)处取电流元
[9]为
(10)
电流元到点P的位置矢量r为
(11)
根据比萨定律[10]可得电流元在点P(x0，0，z0)产生的磁感应强度dB：
(12)
其中：
。根据定积分的微元法[11-12]可分别计算磁感应强度B在xOz平面上的3个分量。令
，得：
(13)
(14)
(15)
对于螺线管轴线上的点
，则有
，分别代入式(13)和(15)得：
(16)
(17)
将式(16)和(17)代入式(9)得
(18)
2.2 颗粒相受力数学模型
对含有颗粒相的金属熔体中施加高频磁场时，由于高频磁场与感应电流相互作用时会产生电磁力，且电磁力只在导电性良好的熔体中产生，在导电性差的颗粒相中并不产生，因此，颗粒相就受到与电磁力方向相反的电磁挤压力。假设金属熔体的流动速度很小，则电磁场在导电率不同的颗粒相中产生的电磁挤压力可由LEENOV和KOLIN公式[13]计算得出：
(19)
由于非金属颗粒相的电导率趋于0 S/m，则式(19)可变为
(20)
式中：Fp为电磁挤压力；
为金属熔体电导率；
为颗粒相电导率；dp为颗粒相直径；F为电磁体积力。根据麦克斯韦方程组可得出熔体所受的电磁体积力[4]为
(21)
在理想的长直螺线管内，磁感应强度[4]为：
(22)
(23)
将式(22)代入式(23)，可以得到径向的电磁体积 力[4]公式：
(24)
将铝基复合材料熔体置于高频磁场B中，此时熔体中的颗粒相受到的力包括重力Fg、阿基米德浮力Ff、电磁挤压力Fp、黏滞阻力Fv，将这些力分解在竖直方向和水平方向，由于螺线管具有对称性，故只需计算xOz平面内熔体中颗粒相的迁移行为。颗粒相在高频磁场中受力如图4所示。综合在x和z轴上的合力
，
，若其合力Fx和Fz不等于0，则熔体中的颗粒相会在合力的作用下发生运动，颗粒相会对周围的熔体产生挤压和黏滞作用，因此，磁场内运动的颗粒相的受力可表示如下。
图4 高频磁场下颗粒迁移行为示意图
Fig. 4 Principle of particle migration behavior with high frequency magnetic field
在x轴上，
(25)
在z轴上，
(26)
2.3 颗粒相运动数学模型
根据牛顿定律，颗粒相在高频磁场下水平方向的力学微分方程[14]为
(27)
其中：
[15]，为颗粒在水平方向
上受到的合力；m为颗粒质量。在x轴上，式(27)可写为
(28)
在短时间内，假设电磁力保持不变，根据分离变量法[14]，可求解(28)式，得到迁移速度的解析解：
(29)
同样，在z轴上，颗粒迁移速度的解析解为
(30)
假设熔体的初始状态是静止的，即有vx=0，vz=0，当合力F≠0时，颗粒相在合力F的作用下开始加速运动，随着颗粒相运动速度的增加，运动阻力逐渐增大，其所受合力逐渐减小；当阻力增大到与动力相等即合力F=0 时，颗粒相的速度达到平衡速度，系统达到平衡；此时，颗粒相的速度vx和vz可根据式(30)推导得到：
(31)
(32)
通过计算颗粒在受力平衡时其速度的方向确定颗粒的迁移方向。颗粒的速度方向可用下式表示：
(33)
其中：
为颗粒速度方向与水平方向所成的夹角。将式(31)和(32)代入式(32)，得
(34)
3 计算结果及分析
3.1 不同电磁参数下熔体表面磁感应强度的分析
图5所示为不同电流频率下，熔体表面内磁感应强度沿结晶器分瓣体中心高度分布。从图5可看出：在熔体内部磁感应强度随电流密度的增大而增大；在熔体底部到顶部，磁感应强度先增大后减小，且在距离熔体顶部5 mm处，磁感应强度达到最大值；电流频率越高，熔体内磁感应强度越大，当频率增大到10 kHz后，磁感应强度的增大趋势趋于缓慢。
3.2 不同电磁参数下熔体内电磁体积力的分析
图6所示为不同电流强度和不同频率下颗粒所受电磁体积力沿径向和高度方向分布，其中，图6(a)所示为电流频率为10 kHz，在不同电流下粒径为10 μm的颗粒在距结晶器底部80 mm平面内不同位置所受
图5 不同电磁参数下熔体表面磁感应强度沿高度的分布规律
Fig. 5 Distribution law of magnetic flux density along height direction with different electromagnetic parameters
图6 不同电流密度下颗粒所受电磁体积力沿径向和高度方向的分布规律
Fig. 6 Distribution law of electromagnetic body force along height and radius direction with different intensities of current
的电磁力沿径向分布图。从图6(a)可知：随着电流密度增大，所产生的电磁力也随之相应增大，且在电流密度增大到107 A/m2后，电磁力的增加幅度急剧增大；随着与熔体表面的距离增大，电磁体积力呈指数降低；当与金属熔体侧表面的距离增大到5 mm后，电磁力的下降趋势开始趋于缓慢。图6(b)所示为电流密度为5×107 A/m2，频率为10 kHz时，粒径为10 μm颗粒在距熔体表面内不同距离所受电磁体积力沿高度方向分布。由图6(b)可知：电磁体积力的有效作用范围为20~100 mm，且电磁体积力随高度增加而先增大后减小，在80 mm处取得最大值。
3.3 颗粒相迁移行为分析
3.3.1 颗粒相迁移速度
图7所示为在电流频率为10 kHz、不同电流下，距结晶器底部80 mm平面内不同位置处粒径为10 μm颗粒相迁移速度曲线。由图7可知：增加电流密度会增大颗粒迁移速度；距熔体表面距离x越大，颗粒迁移速度越小，经过约0.000 06 s后，不同位置处颗粒的迁移速度趋于平衡速度vx。
图8所示为不同粒径颗粒相在电流密度为5×107 A/m2、电流频率为10 kHz时，距结晶器底部80 mm平面内不同位置处迁移速度的曲线。由图8可知：颗粒粒径越大，熔体中颗粒的迁移速度越大，且达到平衡速度所需时间越长。
3.3.2 颗粒相的迁移方向
图9所示为电流频率为10 kHz、不同电流密度下，熔体内部不同位置处颗粒在竖直方向和水平方向的速度之比即
。由图9可知：熔体自上向下，颗粒在竖直方向和水平方向的速度之比是先减小后增大；增大电流密度会减小颗粒在竖直和水平方向的速度之比，则颗粒迁移方向向下偏移程度就减小，进而导致颗粒沿高度方向分布更均匀。
图7 不同电流强度下颗粒迁移速度沿径向的变化规律
Fig. 7 Distribution law of velocity of particle migration along radius direction with different intensities of current
图8 不同颗粒粒径下颗粒迁移速度沿径向的变化规律
Fig. 8 Distribution law of velocity of particle migration along radius direction with different particle sizes
图9 不同电流强度下颗粒迁移方向偏移角度沿高度方向的变化规律
Fig. 9 Distribution law of angle of particle migration offset along height direction with different intensities of current
4 结论
1) 在高频磁场下，熔体中电磁体积力在高度方向上有效作用范围为20~100 mm，且随高度增加电磁体积力而先增大后减小，并在80 mm处取得最大值。电磁体积力自表面向内部呈指数衰减。
2) 通过控制颗粒相在熔体中的迁移速度来实现其分布。影响颗粒迁移速度的因素包括电流强度和频率、颗粒相的粒径等。增大电流密度、颗粒粒径可增大颗粒迁移速度。在电流密度为5×107 A/m2、频率为10 kHz时，粒径为30 μm的颗粒在距熔体表面0.5 mm处，其迁移速度可达到7.51 mm/s。
3) 在高频磁场下，熔体自上向下，颗粒迁移方向向下偏移程度先减小后增大。增大电流密度，颗粒迁移方向向下偏移程度减小，当电流密度达5×107 A/m2时，距熔体底部30~90 mm范围内，颗粒几乎不发生偏移，颗粒沿高度方向分布更均匀。
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(编辑 陈灿华)
收稿日期：2015-07-18；修回日期：2015-09-22
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51371091，51174099)；江苏省自然科学基金资助项目(BK2011533) (Projects(51371091, 51174099) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(BK2011533) supported by the Natural Science Foundation of Jiangsu Province)
通信作者：王宏明，副教授，硕士生导师，从事金属基复合材料研究；E-mail: ujswang@sina.com
