an序列伪随机多频信号数学分析及实现
何继善，佟铁钢，柳建新
(中南大学 信息物理工程学院，湖南 长沙，410083)
摘 要：利用-1, 0, 1这3个元素的3元数加法群自封闭加法的编码原理，建立将多种频率信号合成、编码的an序列伪随机多频信号。以2n系列伪随机多频信号的时域表达式为基础，构建可用数字逻辑实现的二进制序列，利用复杂可编程逻辑器件(CPLD)及其软件实现伪随机多频信号的发射波形。研究结果表明：其波形既具有某种随机波形的特征，又能事先设定，可重复产生；其序列主频率信号强度基本相等并不随频率增大而减弱，频点在对数坐标系上等间距，分布合理。
关键词：an序列；伪随机多频信号；时频分析；复杂可编程逻辑器件(CPLD)
中图分类号：P631 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2009)06-1666-06
Mathematical analysis and realization of an sequence pseudo-random multi-frequencies signal
HE Ji-shan, TONG Tie-gang, LIU Jian-xin
(School of Info-physics and Geometrics Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)
Abstract: an sequence pseudo-random multi-frequencies signal is the sequence of synthesis and code of multi-kind frequencies signal using the code principle of self-given addition, i.e., the addition group of three elements that are -1, 0 and 1. Based on time domain expression of 2n sequence pseudo-random multi-frequency signal, the binary system sequence realized by numeral logic was formed, and complex programmable logic device (CPLD) and its soft were used to realize pseudo-random multi-frequencies signal’s transmitting wave. Signal’s transmitting wave not only takes on the characteristic of certain random wave, but also can be set in advance and created repeatedly. Its signal amplitudes of the main frequencies are basically equal, the amplitudes won’t be weakened when the frequency increases, and the interval between the adjoining main frequencies is even and reasonable in logarithmical coordinate.
Key words: an sequence; pseudo-random multi-frequency signal; time-frequency analysis; complex programmable logic device (CPLD)
20世纪50年代初期是频率域电法被提出并得到迅速发展时期。Wait[1]进行了变频激电法的实验，其提出的变频法引起了勘查地球物理界的广泛关注。与时间域激电法相比，变频法所需的供电电流较小，装备轻便以及抗干扰能力强。20世纪70年代Zonge等[2]提出了奇次谐波法。采用该方法可获得若干个频率的地电响应，不需变频就能获得不同频率的地下信 息。我国何继善[3]提出了双频激电法。与变频法相比，双频激电法不需要改变频率，具有装备轻便、工效高、观测精度高、抗干扰能力强等优点；与奇次谐波法相比，它的2个频率成分强度相等，克服了谐波次数越高其信号越小的缺点。为了区分激电矿致异常与非矿致异常，20世纪90年代初期，何继善在双频激电法的基础上提出了伪随机多频信号方案[4-6]。采用an序列伪随机信号电法，由于其底数a和指数n可以人为选择，故an序列伪随机电法完全克服了奇次谐波法频率分布不合理、不能有效增加探测深度和地下信息的缺点，频率范围宽，几乎能够全频域覆盖，各主频信号振幅基本相等，其强度不随频率增大而减弱，相邻频率间隔在对数坐标上均匀分布，分布合理，覆盖的频率范围宽，是一种新型频率域电法[7-8]。
1 an伪随机多频信号编码原理
an序列伪随机多频信号电法(包括激电法和电磁法)，根据an序列伪随机多频信号编码的数学原理，用-1，0，1这3个码元分别表示电流-I0，0和I0，将n个不同频率的电流组合为含有n个主要频率成分的合成电流，同时供入地下，1次观测可以从地下提取n个不同频率的响应。采用an序列伪随机激电法，1次能够提取n个频率的振幅谱和相位谱(或者实分量和虚分量)，构成较完整的振幅谱和相位谱(或实谱和虚谱)，为分辨异常性质提供依据[9]。
1.1 编码分析
序列an中，底数a的取值范围是除1以外的正数，指数n原则上可以取任何实数。目前，常用的是a=2，n为整数的2n序列伪随机信号。2n序列伪随机多频信号编码示意图见图1。
图1 t=0.5 s时伪随机多频信号编码示意图
Fig.1 Sketch map of pseudo-random multi-frequencies signal code when t=0.5 s
当n=3时，含有3个主频的23序列伪随机信号的全周期编码为：
{1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, -1}；
当n=5时，含有5个主频的25序列伪随机信号的半周期编码为：
{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, -1, -1, -1}。
而当n为偶数，如n=4时，其编码由-1，0和1这3个码元组成，24序列伪随机信号的编码为：
{1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, -1, 1, 0, 0, -1, 0, -1, -1, -1}。
1.2 计算方法
伪随机多频信号的时间波形可由周期性的方波波形给出。
例如，伪随机三频信号f3在1个周期内可以写为f3=3, -1, 1, -3。系数由正负相间的数字组成，其中每个数字的绝对值表示时间的长度(方波信号只有+1和-1即高电平、低电平共2个值)，若该数字为正数，则表示此信号为高电平，而若该数字为负数，则表示此信号为低电平。例如，f3中的“3”表示具有3个长度单元的高电平，而-3则表示具有3个长度单元的低电平。可见，在1个周期内，具有8个时间单元和4个区段。
伪随机五频信号的时间波形可写为：f5=7, -1, 3, -1, 1, -3, 3, -1, 1, -3, 3, -1, 1, -3, 1, -7。在1个周期内，具有32个时间单元和12区段。
分析以上n(n=3, 5, 7, …)频伪随机信号，可以发现如下规律：fn的第2个1/4周期由fn-2组成；fn的第2个1/8周期由fn-2的第1个1/2周期组成；fn的第2个1/16周期由fn-2的第1个1/4周期组成；…；fn的前2个元素为：2(n+1)/2-1, -1。按照该规律，将5频、7频和9频信号分解为下述形式：
(全周期)；
(全周期)；
。
按照这种递推关系，可以利用计算机求出11频、13频和15频的时间波形。
同理，当n为偶数时，可得下面递推关系：
(全周期);
(全周期)；
。
分析以上n (n=2, 4, 6, …)频伪随机信号，可以发现如下规律：fn的第2个1/4周期由fn-2组成；fn的第2个1/8周期由fn-2的第1个1/2周期组成；fn的第2个1/16周期由fn-2的第1个1/4周期组成。按照这种递推关系，可以利用计算机很方便地求出8频、10频和12频的时间波形。
2 an伪随机多频信号时频分析
2.1 时域分析
将伪随机信号作为周期信号进行分析，将伪随机n频波分解成若干分段连续函数的叠加。当n的取值不是无穷大时，可以对伪随机n频波进行傅里叶级数分解，得到2n系列伪随机信号波形解析式。
当n为奇数时，用p(2, n, t)表示伪随机n频波，在周期
内可以表示为：
式(1)表明，伪随机n频波振幅的绝对值不变，每个小区间的长度为T/2n的整数倍。
伪随机三频波在周期内有4个区间，表达式为：
伪随机五频波在
内有6个区间，表达 式为：
伪随机三频波和五频波的时间域波形见图2和 图3，伪随机四频波的时间域波形见图4。
图2 伪随机三频波(A=1, t=1 s)时域波形
Fig.2 Time domain wave of pseudo-random three frequencies when A=1 and t=1 s
图3 伪随机五频波(A=1, t=1 s)时域波形
Fig.3 Time domain wave of pseudo-random five frequencies when A=1 and t=1 s
当n为偶数时，用p(2, n, t)表示伪随机n频波，在周期内可以表示为：
图4 伪随机四频波(A=1, t=1 s)时域波形
Fig.4 Time domain wave of pseudo-random four frequencies when A=1, t=1 s
式(4)表明，伪随机n频波振幅的绝对值不变，每个小区间的长度为T/2n的整数倍。
伪随机四频波在周期内有6个区间，表达式为：
通过对式(1)~(5)及图2~4进行分析，发现伪随机n频波是奇函数，只要求出它在半个周期内的表达式，就可以知道它在整个周期上的表达式。对于伪随机n频波，n的取值越大，波形中的间断点就越多。例如，伪随机双频波、三频波、四频波、五频波、七频波、九频波的间断点分别为3，4，10，12，40和140个。
2.2 频域分析
由以上分析可知，时间信号fn是关于原点的奇函数，因此，可按Fourier正弦级数展开：
利用式(8)可以计算出伪随机多频信号的频谱。计算结果表明：对于三频信号，只有当k=1, 2, 4时，bk才有较大值，其他值相对很小，从而只有3个可观的频率，这就是三频的真正含义，其频谱见图5。
图5 伪随机三频波(A=1, t=1 s)频谱
Fig.5 Spectrum of pseudo-random three frequencies wave when A=1 and t=1 s
对于五频信号，只有当k=1, 2, 4, 8, 16时，bk才有较大值，其他值很小，从而只有5个可观的频率，其频谱见图6。
图6 伪随机五频波(A=1, t=1 s)频谱
Fig.6 Spectrum of pseudo-random five frequencies wave when A=1 and t=1 s
通过对三频波和五频波的频谱计算可以发现(见图5和图6)：伪随机多频信号波形振幅的主要能量集中在数个主频上，并在对数坐标上均匀分布。
3 an伪随机多频信号在CPLD上实现
以2n系列伪随机信号的时域表达式为基础，构建可用数字逻辑实现的二进制序列，用硬件描述语言VHDL的状态机生成所需波形。选择时钟源，通过分频，获得分频系数分别为2.000，1.681，1.438，1.188共4个起始频率，以这4个频率的时钟分别激励生成波形的状态机，便可得到密频比的伪随机信号[10-14]。
下面以五频波为例，说明用硬件产生伪随机波形的过程。1个周期的五频波波形及二进制编码见图7。
图7 1个周期的五频波波形及2进制编码
Fig.7 Wave of five frequencies in one period and the binary system code
在VHDL硬件描述语言中，用有限状态机设计(FSM)可以产生任意波形。根据式(2)，以其最小区间长度T/25(T为周期)为单位对波形进行状态编码(1表示导通，0表示截止)，得到如图7所示的供电主回路电桥正向和反向导通的2个控制编码序列。这2个控制编码序列是互补的，因而，只要产生其中1个编码序列，求反后就可得到另一个编码序列。
以正向导通控制编码序列为例。该二进制序列的长度为32位，也就是说，在状态机中，需定义32个状态。通过对波形编码，三频波有8个状态，五频波有32个状态，七频波有128个状态，n频波就有2n个状态。在一定频率的时钟激励下，状态机按时序完成状态转换，并输出对应的二进制编码，从而产生相应的伪随机波形。
4 结 论
a. 利用-1，0，1这3个元素的3元数加法群自封闭加法编码原理，通过对an伪随机多频信号的时间域波形进行编码分析，使得杂乱无章的伪随机信号编码建立一种有规律可循的数学递推关系，便于在计算机上获取编码，分析断点。
b. 利用Fourier变换对2n伪随机多频信号的频率域进行分析，发现其振幅的主要能量集中在数个主频上，相邻频率间隔在对数坐标上均匀分布，分布合理，而且以2n进制递增，覆盖的频率范围宽。
c. 利用VHDL硬件描述语言，以2n伪随机多频信号在时间域上的表达式为基础，构建了产生伪随机多频波的二进制序列。2n伪随机多频信号随着n的不同，在时间域上具有不同的波形，为实现伪随机多频电法提供了依据。
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收稿日期：2008-11-28；修回日期：2009-03-16
基金项目：国家高技术研究发展计划(“863”计划)项目(863-820-03004)；国家自然科学基金资助项目(60672042)
通信作者：佟铁钢(1975-)，男，辽宁锦州人，博士研究生，从事电法与电磁法观测理论及正、反演研究；电话：0731-88796159；E-mail: tongtiegang@mail.csu.edu.cn
