水泥土搅拌桩复合地基桩土应力比的解析算法

赵春风^1,2，李永刚^1,2，钱涛^1,2

(1. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海，200092；

2. 同济大学 地下建筑与工程系，上海，200092)

摘要：为了分析路堤荷载作用下水泥土桩复合地基桩土应力比问题，提出改进的单元体位移模型。通过假设路堤填土的竖向位移模式和土工格栅的变形方程，分别推导路堤填土的竖向应力以及土工格栅作用于桩顶的拉应力;根据桩顶处竖向受力平衡，求得桩顶应力；通过假定地基土满足Winkler地基模型，求得桩间土应力，从而得到桩、土应力比的计算公式。通过与实测工程结果比较，证实了该公式的合理性，这对路堤下复合地基设计具有一定的参考价值。

关键词：路堤荷载；土工格栅；水泥土搅拌桩；复合地基；桩土应力比

中图分类号：TU472.3          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)06-2390-06

Analytical calculation of pile-soil stress ratio of cement-soil mixed pile composite foundation

ZHAO Chun-feng^1,2, LI Yong-gang^1,2, QIAN Tao^1,2

(1. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering, Ministry of Education,

Tongji University, Shanghai 200092, China;

2. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract: An advanced unit model was put forward to analyze the pile-soil stress ratio of cement-soil pile foundation under embankment load. Based on the assumed vertical displacement of embankment fill and the assumed deformation formula of geogrid, the vertical stress of embankment fill and the tensile stress of geogrid on the top of pile were deduced. According to the balance of vertical loading on the top of pile, the vertical stress of the top of pile was established. The vertical stress of surrounding soil was derived by assuming that surrounding soil conformed to Winkler model, and the calculation formula of pile-soil stress ratio was established.The rationality of formula is confirmed by comparison with the measured data, and it has reference value to the design of composite foundation under embankment.

Key words: embankment load; geogrid; cement-soil pile; composite foundation; pile-soil stress ratio

桩土应力比是桩顶应力和桩间土平均应力之比，是复合地基稳定性验算和地基承载力计算的重要指标。桩土应力比研究主要有现场试验研究及理论研究等方面。现场试验研究方面，马时冬^[1]对水泥土桩复合地基桩土应力比进行了现场测试研究，发现桩土应力比随荷载的增大而增大，在荷载不变的情况下基本不变。冯瑞玲等^[2]实测了悬浮式和支承式粉喷桩复合地基的桩土应力比，发现在相同荷载条件下，支承式复合地基桩体和土体承担的压力均大于悬浮式复合地基中的相应值，而且2种形式复合地基的桩土应力比基本上都集中在3~8。李国维等^[3]对柔性基础下复合地基桩土应力比进行了现场试验研究，发现粉喷桩复合地基桩土应力比实测值为1.1~1.75。在理论研究方面，秦然等^[4-5]选取常用的双曲线函数来表征地基土的荷载-沉降曲线，推导出桩土应力比的解析式；但汉成等^[6]从单元变形模式出发，综合考虑桩土负摩擦阻力、桩体上刺变形，将土层按等沉面位置分为上、下2层，采用简化和收敛的方法，推导出带垫层的CFG桩复合地基桩土应力比计算公式。以上几种方法均是以复合地基为研究对象，忽视了路堤填土对复合地基的影响，这与实际情况不符。宋修广等^[7]通过实测的水泥土搅拌桩复合地基桩土应力比，分析了影响桩土应力比的主要因素，并且提出了桩土应力比改进计算公式。李海芳等^[8]通过假定桩间土竖向位移模式，推导出桩土应力比计算公式。该方法同样以复合地基为研究对象，未考虑路堤填土的影响，而且假定桩土界面处变形协调，不符合于实际情况。刘吉福^[9]考虑了路堤填土对桩土应力比的影响，根据填土竖向受力平衡条件，获得了桩土应力比表达式，但该方法尚未考虑同一水平路堤填土的竖向位移具有非同步性，与实际情况不符。吕文志等^[10]将柔性基础、垫层、复合地基、下卧层土体四者作为一个共同作用的系统，考虑系统4部分界面上的应力与变形协调，推导出柔性基础下桩土应力比的计算公式。该方法只适用于刚性桩复合地基，并不适用于柔性桩复合地基。赵明华等^[11]利用最小势能原理，推导出路堤荷载下复合地基桩、土应力比计算解析表达式。在此，本文作者根据路堤荷载的特性，将填土-复合地基作为一个共同作用的系统，通过假设路堤填土的竖向位移模式、土工格栅的变形方程以及地基土满足Winkler地基模型，分别推导出桩顶应力以及桩间土应力，并进一步求得桩、土应力比的计算公式。

1  路堤荷载下桩土应力比分析

1.1  计算模型

由于路堤宽度一般比较大，为简化模型，取由路中心单桩与其等效处理面积范围内土体形成的同心圆柱体作为单元体进行分析。单桩等效处理直径2b=1.05s(对三角形布桩，s为桩间距)，或2b=1.13s (对正方形布桩)，如图1所示(以三角形布桩为例)。

简化以后的路堤填土-复合地基模型如图2所示(其中，h为路堤填土高度)。将桩体上方填土简化为直径为2a的圆柱体(内土柱)，将桩间土上方填土简化为外直径为2b的圆筒体(外土柱)，由对称性原理可知，单元体外边界剪应力为0 Pa。

图1  典型单元体示意图

Fig.1  Sketch of a typical element

图2  路堤填土-复合地基简化模型图

Fig.2  Simplified model of embankment-composite foundation

在路堤荷载作用下，由于桩体模量远大于桩间土模量，桩间土沉降大于桩顶的沉降量，造成路堤填土外土柱相对于内土柱有向下滑动的趋势，从而使得外土柱对内土柱有向下的拖曳力。随着距离桩顶增加。这种向下滑动的趋势逐渐减弱，拖曳力逐渐变小，随着距离桩顶高度增大到h_e时，这种下滑趋势最终消失，内土柱和外土柱的沉降相等，该平面就是路堤填土中的均匀沉降面，即“等沉面”。

1.2  基本假设

(1) 路堤填土、桩体和土体为各向同性线弹性体。

(2) 内、外土柱只产生竖向位移，忽略径向位移。

(3) 假定内、外土柱之间摩阻力与其相对位移成线弹性关系，且摩阻力满足Berrum摩擦力公式τ_esa=β₁f_ek_eσ_ep。其中：β₁为摩擦力发挥水平系数，本文取β₁=1；f_e=tanf_e，为内、外土柱之间的摩擦因数；f_e为路堤填土的内摩擦角；k_e=1-sinf_e，为侧向土压力系数；σ_ep为路堤填土内土柱中的竖向应力。

(4) 假定路堤填土竖向位移模式为：

   (1)

其中：w_ep和w_es分别为路堤填土内、外土柱的竖向位移；α为内土柱半径；β为待定参数；r为计算点到内土柱中心线的距离；g(z)和f(z)为待定函数。

(5) 地基土满足Winkler地基模型。

1.3  g(z)和f(z)的求解

1.3.1  g(z)的确定

由于不考虑路堤填土的径向位移，因此，由式(1)对r求偏导数，可得外土柱土单元的剪应变和剪应力分别为：

    (2)

      (3)

式中：G为路堤填土剪切模量；E_es为路堤填土外土柱变形模量；μ_es为路堤填土泊松比。

对于任意的z，当r=b时，τ_es=0，由式(3)可得：

         (4)

根据式(4)求得唯一的β。

当r=a时，由式(3)可以求得内、外土柱之间侧摩阻力τ_esa为：

τ_esa=Ag(z)               (5)

其中：。

根据假设(3)和式(5)可以得出：

            (6)

1.3.2  f(z)的确定

当r=a时，由式(1)可得出：

         (7)

由式(7)可知：f(z)等于内、外土柱界面处的相对位移。根据假设(3)可得出f(z)与摩阻力之间成线弹性关系：

         (8)

式中：k_i为路堤填土抗剪刚度。

1.4  桩土应力比公式推导

取路堤填土内土柱中心线与路堤填土顶面交点为坐标原点，z轴向下为正，从内土柱中取厚度为dz的薄层作为研究对象，其受力情况见图3。由内土柱单元竖向受力平衡可得：

 (9)

式中：γ_e为路堤填土重度。

图3  内土柱竖向受力平衡

Fig.3  Balance of vertical loading on inside soil column

由式(9)可得：

          (10)

将τ_esa=f_ek_eσ_ep代入(10)得：

     (11)

式中：h_e为等沉面高度。根据文献[12]，等沉面高度为1.4~1.6倍桩净间距。文献[13]指出等沉面高度约为1.6倍桩净间距，本文取等沉面高度为1.6倍桩净间距。

由式(11)两端积分可得：

      (12)

将σ_ep代入式(6)和(8)可得g(z)和f(z)分别为：

     (13)

     (14)

将式(13)和(14)代入式(1)可得：

      (15)

根据Jones等^[14]的研究，土工格栅在上部荷载的作用下，下凹形状可视为悬链线，当变形较小时，可以用二次抛物线来模拟，如图4所示。假设土工格栅变形曲线方程为：

s(r)=Er²              (16)

式中：E为待定系数。

图4  土工格栅变形曲线

Fig.4  Curve of geogrid deformation

由图4可知：当r=b时，s(r)=s_max。将其代入式(16)可得：

E=s_max/b²              (17)

由路堤填土与土工格栅接触面处位移连续条件得：

(18)

将式(18)计算所得的s_max代入公式(17)即可得到E。土工格栅下方桩顶受力如图5所示，由其竖向受力平衡可得：

σ_p=σ_ep|_z=h+2Tsin θ          (19)

式中：σ_p为加筋层下方桩顶反力；T为格栅对桩顶的拉应力；θ的含义如图4所示，且有

          (20)

图5  桩顶竖向受力平衡

Fig.5  Balance of vertical loading on the top of pile

假设土工格栅在正常工作情况下的应变为ε，通过试验测得其拉伸模量E_g，则其在桩体边缘处的拉应力为：

T=εE_g                (21)

土工格栅的应变ε可由下式求得：

              (22)

式中：b′为土工格栅在上部荷载作用下被拉伸后的长度。根据土工格栅下凹曲线的方程，利用曲线积分求弧长公式，求得土工格栅被拉伸以后的长度为：

      (23)

将b′代入式(22)即可得到土工格栅的应变ε，然后代入式(21)，即可得到土工格栅作用于桩顶的拉应力。

将式(12)，(20)和(21)代入式(19)即可求得桩顶应力σ_p。

由于地基土符合Winkler地基模型，因此，土工格栅下方桩间土应力σ_s为

σ_s=ks(r)               (24)

式中：k为地基基床系数。根据文献[15]，本文取k=6E_s；E_s为地基土压缩模量。

将(16)和(17)代入式(24)可得：

            (25)

因此，桩顶平面处桩土应力比为：

         (26)

2  工程实例

工程数据引自文献[9]。该工程为广州—佛山高速公路扩建工程试验段(K7+916.568~K8+160)，主要土层分布为素填土(1.3~2.9 m)、淤泥(3.2~5.9 m)和亚黏土(3.3 m)。采用喷粉桩复合地基，粉喷桩直径500 mm，正三角形布桩，桩长为7~8 m；在A和B 2个断面设置50 cm厚的砂性土垫层，在C断面设置50 cm厚的碎石垫层，同时在垫层中设置两层土工格栅，在A和C 2个断面处桩间距为1.2 m,在B断面处为1.0 m，填土高度为6.5 m，f_e=30°，μ_es=0.3，E_ep=E_es=10 MPa，γ_e=19.8 kN/m³，k_i=6×10⁵ kN/m³，E_s=2 MPa，E_g=6 MPa。利用本文推导所得公式，计算填土完毕且沉降趋于稳定时的桩、土应力比，见表1。

由表1可以看出：A和 C断面计算所得的桩土应力比与实测值基本一致，相对误差分别为9.5%和4.0%；A和 C断面计算值均大于实测值。其原因可能是理论计算值是复合地基桩土应力比的最终值，而实测值是复合地基工后某一时刻(未达到最终值)的桩土应力比；B断面的计算值与实测值相差较大，其原因可能是理论计算中地基土压缩模量取值偏大。总的来说，通过该工程实例，验证了本文推导所得的计算公式具有适用性和正确性。

表1  实测、计算桩土应力比n

Table 1  Pile-soil stress ratio of measured data and calculation

3  结论

(1) 由于复合地基中桩与桩间土压缩模量相差较大，在路堤荷载作用下，桩与桩间土发生差异沉降，从而引起路堤填土中应力分布发生变化，传递到桩与桩间土上的荷载也发生了变化。

(2) 分析了路堤荷载作用下水泥土桩复合地基的工作机理，通过假定路堤填土的竖向位移模式，推导出桩、土应力比的计算公式；通过与实测工程数据比较，证实了该公式的合理性，对路堤下复合地基设计具有一定的参考价值。

(3) 在路堤荷载作用下，不但置换率对桩土应力比有影响，而且路堤填土的高度、填土的内摩擦角、填土的重度、地基土模量、土工格栅的拉伸模量等因素对桩土应力比也有影响。

参考文献：

[1] 马时冬. 水泥搅拌桩复合地基桩土应力比测试研究[J]. 土木工程学报, 2002, 35(2): 48-51.
MA Shi-dong. Test on pile-soil stress ratio of composite foundation with cement-soil pile[J]. China Civil Engineering Journal, 2002, 35(2): 48-51.

[2] 冯瑞玲, 谢永利, 杨晓华. 尹中高速公路粉喷桩复合地基桩土应力比现场试验研究[J]. 岩石力学与工程学报, 2005, 24(22): 4190-4196.
FENG Rui-ling, XIE Yong-li, YANG Xiao-hua. Field testing study on stress ratio of pile to soil in composite ground of dry jet mixing piles at Yinjiazhuang—Zhongchuan expressway[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2005, 24(22): 4190-4196.

[3] 李国维, 杨涛. 柔性基础下复合地基桩土应力比现场试验研究[J]. 岩土力学, 2005, 26(2): 265-269.
LI Guo-wei, YANG Tao. Field experimental study on pile soil stress ratio of composite foundation under flexible foundation[J]. Rock and Soil Mechanics, 2005, 26(2): 265-269.

[4] 秦然, 陈征宙, 董平. 水泥土桩复合地基桩土应力比的一种解析算法[J]. 岩土力学, 2001, 22(1): 96-98.
QIN Ran, CHEN Zheng-zhou, DONG Ping. Analytical calculation on pile-soil stress ratio of cement-soil foundation[J]. Rock and Soil Mechanics, 2001, 22(1): 96-98.

[5] 郑俊杰, 黄海松. 水泥土桩复合地基桩土应力比的解析算法[J]. 岩土力学, 2005, 26(9): 1432-1436.
ZHENG Jun-jie, HUANG Hai-song. Analytical solution of pile-soil stress ratio of soil-cement pile composite foundation[J]. Rock and Soil Mechanics, 2005, 26(9): 1432-1436.

[6] 但汉成, 李亮, 赵炼恒, 等. CFG桩复合地基桩土应力比计算[J]. 中国铁道科学, 2008, 29(5): 7-12.
DAN Han-cheng, LI Liang, ZHAO Lian-heng, et al. Calculation and influence factors analysis on pile-soil stress ratio of CFG pile composite foundation[J]. China Railway Science, 2008, 29(5): 7-12.

[7] 宋修广, 宋文义, 苏公灿. 水泥搅拌桩桩土应力比研究[J]. 山东大学学报: 工学版, 2003, 33(4): 467-469.
SONG Xiu-guang, SONG Wen-yi, SU Gong-can. On pile-soil stress ratio of dry jet mixing pile(DJMP)[J]. Journal of Shandong University: Engineering Science, 2003, 33(4): 467-469.

[8] 李海芳, 温晓贵, 龚晓南. 路堤荷载下复合地基加固区压缩量的解析算法[J]. 土木工程学报, 2005, 38(3): 77-80.
LI Hai-fang, WEN Xiao-gui, GONG Xiao-nan. Analytical function for compressive deformation of stablized layer in composite foundation under load of embankment[J]. China Civil Engineering Journal, 2005, 38(3): 77-80.

[9] 刘吉福. 路堤下复合地基桩、土应力比分析[J]. 岩石力学与工程学报, 2003, 22(4): 674-677.
LIU Ji-fu. Analysis of pile-soil stress ratio for composite foundation under embankment[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2003, 22(4): 674-677.

[10] 吕文志, 俞建霖, 龚晓南. 柔性基础下桩体复合地基的解析法[J]. 岩石力学与工程学报, 2010, 29(2): 401-408.
LV Wen-zhi, YU Jian-lin, GONG Xiao-nan. Analytical method for pile composite ground under flexible foundation[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2010, 29(2): 401-408.

[11] 赵明华, 邓岳保, 杨明辉. 路堤荷载作用下碎石桩复合地基桩土应力比计算及试验研究[J]. 岩土力学, 2009, 30(9): 2621-2628.
ZHAO Ming-hua, DENG Yue-bao, YANG Ming-hui. Calculation and model test for pile-soil stress ratio of gravel pile composite foundation under embankment load[J]. Rock and Soil Mechanics, 2009, 30(9): 2621-2628.

[12] 曹卫平, 陈仁朋, 陈云敏. 桩承式加筋路堤土拱效应试验研究[J]. 岩土工程学报, 2007, 29 (3): 436-441.
CAO Wei-ping, CHEN Ren-peng, CHEN Yun-min. Experimental investigation on soil arching in piled reinforced embankments[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2007, 29(3): 436-441.

[13] 曹卫平. 桩承式路堤平面土拱等沉面高度影响因素分析[J]. 路基工程, 2009, 147(6): 48-50.
CAO Wei-ping. Analysis of influence factors on equal settlement plane height in piled reinforced embankments[J]. Subgrade Engineering, 2009, 147(6): 48-50.

[14] Jones C J F P, Lawson C R, Ayres D J. Geotextile reinforced piled embankments[C]//Hoedt D, ed. Geotextile Geomenbrance and Related Products. Balkema, Rotterdam, ISBN90: 155-160.

[15] 周宏磊, 张在明. 基床系数的试验方法与取值[J]. 工程勘察, 2004, 32(2): 11-15.
ZHOU Hong-lei, ZHANG Zai-ming. Testing method and values of coefficient of subgrade reaction[J]. Geotechnical Investigation & Surveying, 2004, 32(2): 11-15.

(编辑 陈灿华)

收稿日期：2011-06-12；修回日期：2011-08-22

基金项目：上海市重点学科建设项目(B308)；浙江省交通运输厅资助项目(2010H35)

通信作者：李永刚(1981-)，男，甘肃通渭县人，博士研究生，从事软基处理方面的研究；电话：13661932873；E-mail：liyonggang1981@sohu.com