具有丢包的短时延网络控制系统的建模与分析
樊卫华，谢蓉华，陈庆伟
(南京理工大学 自动化学院，江苏 南京，210094)
摘 要：
在丢包和短时延的网路控制系统的建模与稳定性分析问题。针对传感器节点为时间驱动、控制器节点与执行器节点为事件驱动的短时延网络控制系统，将丢包的影响等效为时变的状态时延，从而将该系统建模为一类具有时变时滞的离散线性切换系统。进而，利用Lyapunov函数与线性矩阵不等式方法，给出依赖于连续丢包次数上界的闭环系统渐近稳定的充分条件。数值算例结果表明该法是有效的。
关键词：
中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2011)S1-0406-05
Modeling and design of networked control system with short time delay and packets dropout
FAN Wei-hua, XIE Rong-hua, CHEN Qing-wei
(Automation School, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)
Abstract: The modeling and analysis of a class of networked control systems (NCS) with short delay and packets dropout were researched. Aimed at a short time delay networked control system with time-driven sensor node, event-driven controller node and actuator node, the packets dropout was equivalent to the time varying state delay in effect, then the NCS was modeled as a discrete switched linear system with time varying delay. Based on the model, with Lyapunov function and linear matrix inequality, the stability condition dependent on the upper bound of continuous packets dropout times was given subject to the asymptotic stability. An example was given to validate these methods.
Key words: networked control systems; time delay; data packet dropout; asymptotic stability
网络控制系统(NCS)是指通过网络构成闭环的控制系统，是控制系统的发展方向。网络的介入，使得系统的连接数大大减少，易于扩展与维护，提高了系统的可靠性和灵活性；同时，网络诱导时延和数据包丢失等问题给控制系统的分析与设计带来挑战，因而受到了众多研究人员的关注[1-6]。
网络诱导时延和数据包丢失是网络控制系统研究不可回避的问题，且往往同时存在。文献[3]针对网络时延和连续丢包有界的情形，将系统等效为具有时变时滞的系统，进而利用Lvapunov-Krasovskii泛函和线性矩阵不等式方法，给出NCS状态反馈次优和最优H∞控制律的设计方法；但未考虑连续丢包结束后控制量跳变的影响。文献[4]针对网络化感应电机控制系统，引入了状态观测器补偿时延影响，同时设计了模糊速度控制器，并给出了系统稳定的时延与丢包的上界。文献[5]将丢包过程建模为有限状态的马尔可夫过程，利用Lyapunov稳定性理论，给出了保持系统均方稳定且满足H∞性能的控制器存在的充分条件及控制器设计方法；但关于丢包过程的假设有待验证。文献[2]针对固定时延和随机丢包的情形，将系统建模为一类切换系统，提出了基于状态反馈的鲁棒控制器设计方法；但其未考虑分数时延对系统结构参数的影响。
网络诱导时延包含了节点竞争数据包发送权的时间、数据在网络上传输的时间及节点计算和数据打包的时间。节点竞争发送权的时间是最主要的因素，其余可忽略。另外，根据控制系统的需求，当新采样周期到来时旧数据仍未被发送，节点往往主动丢弃旧数据；因此，多数网络控制系统可视为具有丢包的短时延系统。本文作者针对此类网络控制系统，将系统建模为时变时滞离散切换系统；利用Lyapunov稳定理论和线性矩阵不等式方法，给出了依赖于连续丢包上界的稳定充分条件；最后，采用数例仿真验证该方法的有效性。
1 问题描述
考虑如图1所示的网络控制系统。有关网络与系统的假设条件如下：
假设1：传感器节点为时间驱动，采样周期为T，控制器节点与执行器节点为事件驱动；
假设2：传感器节点和控制器节点的数据均采用单包传输方式，且数据包长度相同；
假设3：网络诱导时延
，0＜τ(k)＜T
其中：传感器到控制器之间的时延为τsc(k)，控制器到执行器之间的时延为τca(k)。
假设4：网络传输中存在数据包丢失现象，且连续丢包的次数存在上界
；
假设5：系统状态完全可测。
图1 网络控制系统结构示意图
Fig.1 Structure of Networked control systems
设被控对象为连续线性时不变的，其状态方程描述如下：
(1)
其中：
分别为被控对象的状态向量、输入向量和输出向量，A，B，C为适当维数的常系数矩阵。
针对数据包丢失情形，分下列2种情况讨论。
情况1：传感器节点和控制器节点的数据均成功传输。
此时，执行器节点的数据能够得到更新。由于网络诱导时延的存在，有
(2)
其中：
为上一采样周期末的控制量，
。
由此，可得此时网络控制系统的离散时间模型：
(3)
其中：
。
情况2：传感器节点或/和控制器节点的数据没有成功传输。
此时，执行器节点的数据无法得到更新，保持原有数据不变。
u(t)=u(k-1), kT＜t≤(k+1)T (4)
由此，可得此时网络控制系统的离散时间模型：
(5)
其中：
。
考察u(k-1)，若某周期执行器成功更新控制量，则
，否则
，其中
为上次成功更新的控制量。因而，可统一描述：
其中：d=1, 2, …。由假设4，d≤。
故网络控制系统的离散时间模型可写为
情形1：
(6)
情形2：
(7)
由此可见：存在丢包的短时延网络控制系统可视为如式(6)和(7)所示的切换系统。
考虑采用如式(8)所示的状态反馈控制律，
(8)
代入式(6)和(7)，可得：
情形1：
(9)
情形2：
(10)
2 稳定性分析
首先给出本文所用到的引理。
引理1(Schur补)：给定常数矩阵A，P，Q，其中P=PT＞0，Q=QT，则ATPA-Q＜0成立，当且仅当
＜0或者
＜0。
引理2：对于如式(11)所示的离散切换系统，其中i=1, 2, …, m。
(11)
若存在一个标量函数V(x(k))，V(0)=0，且对于状态空间中的一切非零点，V(x(k))满足以下条件：
(1) V(x(k))＞0；
(2) ΔV(x(k))＜0，
(3)当||x(k)||→∞时，V(x(k))→∞，
则系统(11)是渐近稳定的。
引理3: 对于任意适当维数的向量a，b和矩阵N，
X，Y，Z，其中X，Z为对称阵，若
≥0，则
-2aTNb≤
(12)
定理1：对于给定的控制器增益K，如果存在对称正定阵P和Q，对称矩阵Xi和Zi以及矩阵Yi，使得以下矩阵不等式成立，则闭环系统(9)和(10)是渐近稳定的：
＜0 (13)
≥0 (14)
其中：
表示矩阵的对称部分；i=1，2。
,
,
,
。
证明：为方便计算，可将式(9)和(10)统一写为
(15)
由式(15)可得：
代入式(15)，可得：
(16)
取Lyapunov函数：
其中：
,
,
。
显然，V(k)＞0，当||x(k)||→∞时，V(k)→∞。
令
，
将式(16)代入，可得：
(17)
由引理3，可得：
≤
由式(16)与(17)可得：
因此，
同理可得：
因此，
(18)
同理可得：
ΔV2≤
(19)
ΔV3≤
(20)
由式(18)～(20)，可得：
ΔV(k)≤
其中：
(21)
式中：
由Schur补引理可知，Θ＜0等价于式(14)。
由引理2可知，当式(13)和(14)成立时，闭环系统渐近稳定。[证毕]
注1：当
均为已知参数矩阵，式(13)和(14)为线性矩阵不等式(LMI)，可利用MATLAB的LMI工具箱求解，以判断系统的稳定性。
注2：式(13)中的参数内含连续丢包的次数，故本定理的条件是依赖于丢包和时延的，保守性较弱。
3 数值算例
考虑被控对象的状态方程描述为：
设采样周期T=1 s，网络诱导时延τ=0.5，连续丢包的次数上界
，系统的初始状态为x(0)=
K=[-3.75, -11.5]。
根据本文作者提出的方法，可得系统离散时间模型如式(9)和(10)所示，其中：
。
根据定理1的方法，求解矩阵不等式(14)和(15)，可得：
由此，可判定系统是渐近稳定的。
4 结论
针对一类具有丢包的短时延网络控制系统，将系统建模为具有不确定参数的切换系统，利用Lyapunov稳定理论与线性矩阵不等式，给出了闭环系统渐近稳定的充分条件。仿真结果表明：该法是有效的。该法放宽了假设条件，更符合实际情况。同时，结果仅依赖于连续丢包次数的上界，且引入了自由变量，减弱了结论的保守性。当然，控制器设计方法的研究将是进一步要展开的工作。
参考文献：
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XIE De-xiao, HAN Xiao-dong, HUANG He, et al. H∞ state feedback control for networked control system with time-delay and packet dropout[J]. Control and Decision, 2009, 24(4): 587-592, 597.
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(编辑 杨兵)
收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15
基金项目：国家自然基金资助项目(61074023，60974023)；江苏省博士后基金资助项目(1001003B)
通信作者：樊卫华(1975-)，男，江苏海门人，博士，副教授，从事网络控制系统方面研究；电话：13951821238；E-mail: fanweihua@mail.njust.edu.cn
摘要：研究一类同时存在丢包和短时延的网路控制系统的建模与稳定性分析问题。针对传感器节点为时间驱动、控制器节点与执行器节点为事件驱动的短时延网络控制系统，将丢包的影响等效为时变的状态时延，从而将该系统建模为一类具有时变时滞的离散线性切换系统。进而，利用Lyapunov函数与线性矩阵不等式方法，给出依赖于连续丢包次数上界的闭环系统渐近稳定的充分条件。数值算例结果表明该法是有效的。
