基于黏结-滑移效应的钢筋混凝土梁裂缝宽度数值计算
陆春华1, 2，金伟良1，蒋遨宇1，陈驹1
(1. 浙江大学 结构工程研究所，浙江 杭州，310058；
2. 江苏大学 土木工程系，江苏 镇江，212013)
摘要：基于黏结-滑移理论对钢筋混凝土受弯构件裂缝宽度的计算进行说明，指出采用数值计算方法进行分析的必要性。在综合考虑钢筋与混凝土间的黏结-滑移效应、裂缝间混凝土拉伸硬化效应以及材料非线性本构关系等问题的基础上，建立钢筋混凝土梁构件裂缝宽度计算的数值模型。以8根HRB500级高强钢筋混凝土梁受弯开裂试验为例，将试验结果、规范公式计算结果以及数值模型预测结果进行对比分析。研究结果表明：试验梁短期最大裂缝宽度的模型预测结果与试验结果较符合，两者比值的均值为1.098，变异系数为0.146 5；而规范公式计算值则普遍大于试验值，需要进行适当修正。取等间距开裂的模型梁进行算例分析，得出平均裂缝宽度预测值与规范公式的计算值较吻合，进一步验证了该数值计算模型是一种有效的、准确的裂缝宽度分析方法。
关键词：
中图分类号：TU375 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2011)05-1399-07
Numerical analysis for crack width of reinforced concrete beam with bond-slip effect
LU Chun-hua1, 2, JIN Wei-liang1, JIANG Ao-yu1, CHEN Ju1
(1. Institute of Structural Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;
2. Department of Civil Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)
Abstract: The element principle of bond-slip relation in calculating structural crack width was briefly introduced, and the necessity to adopt numerical analysis was pointed out. Then, a numerical model for analyzing the crack width of reinforced concrete (RC) beams was built, which took bond-slip relationship between concrete and steel bar, tension- stiffening effect of concrete and nonlinear constitutive relationships of materials into account. Based on the experimental results of eight RC beams with 500 MPa steel bars, a comparison between model predictions, test observations and formula calculations was made. The outcome indicates that the predicted results agree well with the test values and the mean and coefficient of variation of their ratios are 1.098 and 0.146 5, respectively. And the calculations are greater than test values and should be modified. Based on analytical example, it can be concluded that the numerical model agrees with code formula in the calculation of mean crack width and it is practical in predicting crack width for RC beams.
Key words: reinforced concrete; flexural specimen; bond-slip effect; crack width; numerical model
引起混凝土开裂的原因很多，我国现行《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2002)[1](以下简称“规范GB 50010”)主要针对荷载作用下由拉力和弯矩引起的构件横向裂缝，是一种最常见的宏观裂缝；规范 GB 50010提出了具体的裂缝控制要求，并作为正常使用极限状态验算内容之一。对于该类裂缝宽度的计算理论，目前主要有以下3种[2]：黏结-滑移理论、无滑移理论和综合裂缝理论。其中，黏结-滑移理论最为经典，应用最广。基于黏结-滑移理论，国内外学者对受力裂缝的计算方法进行了一定的理论分析。Creazza等[3]假定钢筋与混凝土间的黏结应力与滑移关系符合线性关系，并忽略裂缝间混凝土的拉伸硬化效应后得到了裂缝宽度计算公式的解析解；Kwak等[4]假定裂缝间混凝土与钢筋的应变可用n次多项式函数来描述，由此据滑移量来计算裂缝宽度；Oh等[5]假定黏结应力与滑移关系符合幂函数关系，在考虑材料线性本构关系的基础上推导出了裂缝宽度计算的理论公式。然而，以上研究都采用了一定假设和简化处理，如果要综合考虑黏结-滑移效应的复杂关系、混凝土的拉伸硬化效应以及材料的非线性本构关系时，很难直接从黏 结-滑移理论得到裂缝宽度计算的解析解；此时，采用数值计算方法对裂缝宽度进行分析便是一种有效的途径[6-7]。与此同时，随着对混凝土结构耐久性要求的提高、保护层厚度的增大以及普通高强钢筋(强度500 MPa及以上)的逐步推广应用[8]，按我国规范GB 50010计算的最大裂缝宽度会出现明显增大[9]，值得进一步试验研究和理论分析验证。鉴于此，本文作者以黏结-滑移理论为的基础，建立了受弯梁构件裂缝宽度计算的数值模型；结合配置HRB500级钢筋混凝土梁的受弯试验，对试验结果、规范公式计算结果以及数值模型预测结果进行对比分析，验证了数值模型的可行性和准确性，相关结果可为规范公式的修订提供参考。
1 黏结-滑移理论简介
黏结-滑移理论一直被公认为“经典”的裂缝计算理论，并被广泛地应用。如欧洲规范EN1992-1-1: 2004[10]，CEB-FIP Model Code 1990[11]以及我国规范GB 50010中验算裂缝宽度的计算公式都是基于黏结-滑移理论建立的。理论认为当第一条(批)裂缝出现后(见图1(a)，图中：lcr为裂缝间距；τb为黏结应力；T为拉力)，裂缝处的混凝土将向两边回缩，使混凝土和钢筋之间产生黏结应力。一方面，通过黏结应力的作用，钢筋的拉力将部分传给混凝土；另一方面，由于受拉钢筋应变与混凝土应变存在差异，两者间将产生相对滑移(见图1(b))。此时，某一位置x处的滑移量s(x)可表示为[4]：
(1)
式中：lt表示黏结传递长度；εs(x)和εct(x)分别表示传递长度lt内某x位置处钢筋与混凝土应变。
在初始开裂阶段(裂缝间距lcr较大，一般lcr＞2lt)，两裂缝间有一定区域的混凝土和钢筋应变相等，该区域不存在黏结应力τb和滑移(见图1(c))；随着外部荷载的增大，经过一定的传递长度可使该区域混凝土的拉应力达到抗拉强度，此时第2条(批)裂缝出现了。当所有的裂缝间距均小于2lt后，裂缝开展便达到稳定状态。
图1 钢筋与混凝土间黏结与滑移
Fig.1 Bond-slip between concrete and steel
根据黏结-滑移理论，某一裂缝的开展宽度w应该等于该裂缝左右两侧滑移量之和，即：
(2)
通过钢筋、混凝土材料的受力平衡分析，在式(1)的基础上，可得到以下描述黏结应力τb(x)与滑移s(x)关系的微分方程[4-5]：
(3)
式中：
为弹模比，
；ρ为纵筋配筋率，ρ=As/Act；As和Act分别为纵向钢筋面积和受拉混凝土面积；μd为纵向钢筋的圆周长度。
给定黏结应力-滑移关系，在一定边界条件下，可以据式(3)求得黏结应力的具体解函数，再通过力平衡关系求得钢筋和混凝土的应力分布，进而求得相应的裂缝宽度w。但是，通过这种方法计算裂缝宽度存在以下不足之处[4]：
(1) 计算过程要经过2次积分，若黏结滑移关系比较复杂，则相应的解也很复杂；
(2) 钢筋和混凝土的本构关系为非线性关系时，确定钢筋和混凝土应变则较为繁琐；
(3) 计算得到的最大黏结应力与试验结果一般相差较大。因此，结合黏结-滑移理论对受力裂缝宽度问题进行数值分析计算是很有必要的。
2 数值计算模型的建立
2.1 模型定义
以钢筋混凝土矩形受弯梁构件为例，根据裂缝开展位置将整根梁划分为若干个母单元lcr,i；再将母单元等分为n个子单元，如图2(a)所示。图2(a)中，M表示弯矩。根据平截面假定，可得截面应变如图2(b)所示。图2(b)中，b为宽度；h为高度；uc(x)为受压砼变形；uct(x)为受拉砼变形；us(x)为钢筋变形；dt表示受拉混凝土应力传递有效高度，可按下式[6]计算。
dt=c+8d (4)
式中：c为纵向受拉钢筋的保护层厚度；d为纵筋的 直径。
图2 数值计算模型图
Fig.2 Model for numerical calculation
2.2 子单元控制方程
对于每个子单元，可建立如下平衡方程(5)~(7)。其中，式(7)为钢筋微元的平衡方程。
(5)
(6)
(7)
式中：Ac为受压区混凝土面积，Ac=dc×b，dc为受压区混凝土高度；At为受拉混凝土有效面积，At=dt×b；k为纵向受拉钢筋的层数；hs为钢筋重心到截面形心轴的距离；M(x)为截面外加弯矩；τb(x)为钢筋与混凝土间的黏结应力。
根据钢筋与混凝土间的黏结-滑移关系表达式(1)，可建立如下变形协调方程：
(8)
在求解上述平衡方程和协调方程时，需要确定混凝土、钢筋以及两者间黏结-滑移的本构关系。这里，混凝土的本构关系
采用CEB-FIP 1990[11]建议的模型；钢筋的本构关系
由钢筋拉伸试验确定；黏结滑移本构关系
采用CEB-FIP 1990中给出的黏结-滑移曲线(见图3)，具体如下式 所示：
，0≤s≤s1 (9a)
，s1≤s≤s2 (9b)
，s2≤s≤s3 (9c)
，s≥s3 (9d)
对于无约束、黏结性能良好的混凝土构件，式(9a)~(9d)中相关参数取值如下：
；
；
=0.4；s1，s2和s3分别为0.6，0.6和1.0 mm；其中fck为混凝土圆柱体(直径×高度为150 mm×
图3 黏结-滑移本构关系[11]
Fig.3 Bond-slip relationship[11]
300 mm)抗压强度标准值(MPa)，当强度等级≤C50时，fck=0.8 fcu,k[11]。
3 单元的数值求解
3.1 母单元的边界条件
由计算模型可知：母单元的边界有开裂截面和梁端截面2种情况。在裂缝开展截面，由于受拉区混凝土不参与工作，拉力全部由钢筋承担，此时，平衡方程(5)和(6)可以简化，进而可求得裂缝截面处的钢筋应力σs,0和σs,n(滑移量s0和sn是未知的)，可作为开裂截面的边界条件。对于梁端截面，可考虑混凝土完好，钢筋与相邻混凝土之间无相对滑移，故可取滑移量s0或sn等于0为边界条件。
3.2 子单元的迭代求解
控制方程(5)~(8)的求解涉及不同截面中和轴位置的确定、材料本构关系的非线性分析等问题，这里采用文献[6-7]建议的迭代算法进行求解。将母单元lcr,i等分为n=100个子单元Δx，假定各子单元范围内黏结应力τb均匀分布。则结合微分方程(7)和(8)，对于第i次迭代，若j截面处的变量值已知，则由有限差分法可得到j+1截面处的变量表达式为：
(10)
(11)
再根据母单元边界条件，可以给出子单元迭代求解的收敛判断方法。以两端为开裂截面的母单元为例，其收敛控制方程如下式所示，相应的迭代过程及裂缝计算的流程图如图4所示。
(12)
图4 单元迭代计算流程图
Fig.4 Flowchart of numerical solution
4 试验研究与模型验证
4.1 试验简介
以保护层厚度、钢筋配筋率以及钢筋直径为主要参数，设计制作了8根HRB500级钢筋混凝土梁；受压构造钢筋均采用直径10 mm的HPB235级钢筋(计算时可不考虑受压钢筋影响)，试件构造见图5。试验梁混凝土设计强度等级均为C30，试件参数和材料力
图5 试件构造图
Fig.5 Specimen configuration
学性能见表1。表1中，
为150 mm立方体混凝土抗压强度实测值；而轴心抗压强度
按
计算，轴心抗拉强度
按0.309()0.55计算。混凝土和钢筋的弹性模量按Ec=3.15×104 N/mm2和Es=2.0×105 N/mm2计算。
试验采用四点受弯，通过分配梁在跨中形成1 m的纯弯段。按《混凝土结构试验方法标准》(GB 50152— 92)分多级加载至正常使用状态短期试验荷载，此时，跨中弯矩M与极限弯矩
的比在0.6~0.7之间(是按混凝土实测强度和钢筋屈服强度计算得到的理论极限弯矩)。试验测得了各级荷载作用下的裂缝宽度(包括梁底和钢筋水平位置处)和裂缝间距等结果。
4.2 规范公式计算
对于梁表面纵向受拉钢筋水平位置处的裂缝，规范GB 50010给出的短期最大裂缝宽度的计算公式为：
(13)
式中：
为短期裂缝宽度扩大系数，对受弯构件取为
1.66；
为裂缝间混凝土应变对裂缝宽度的影响系数，取为0.85。
4.3 数值模型验证
根据试验梁的裂缝分布情况将整根梁划分为若干个母单元，建立相应的数值计算模型，并通过MATLAB语言进行编程实现。当荷载水平M/在0.45~0.70之间时，在各级荷载步作用下(对L2-A和L2-C梁测读2个荷载步，对其余梁测读3个荷载步)，试验梁的短期最大裂缝宽度试验值、模型预测值以及规范公式计算值的比较如图6所示。
从图6可以看出：数值模型预测值与试验值较符合，而规范公式的计算值则偏大，尤其是L1和L2梁。经计算，模型预测值与试验值比值的均值为1.098，变异系数为0.146 5；而公式计算值与试验值比值的均值为1.244，变异系数为0.169 9。可见：对于正常使用状态下500级高强钢筋混凝土梁，数值模型能较准确地分析和计算梁的短期最大裂缝宽度；而按规范公式计算的短期最大裂缝宽度需要除以1.2的系数进行适当修正。
表1 试件参数和混凝土力学性能
Table 1 Parameters and concrete mechanical properties of specimen
图6 短期最大裂缝宽度比较
Fig.6 Comparisons of short-term maximum crack width
表2所示为L1-C梁在第12级荷载水平作用下(M/=0.619)钢筋水平位置处各条裂缝的预测宽度和试验宽度的比较。由表2可知：梁纯弯段内较宽裂缝(2~8号裂缝)的预测值与试验值较吻合，两者比值的均值为1.103，变异系数为0.122 3；而对于纯弯段外较细小的斜裂缝，则相对偏差较大，这说明黏结-滑移理论不适用斜裂缝宽度的计算。按照规范的裂缝控制要求，梁内较宽的裂缝往往为主要研究对象；对于这些裂缝，数值模型的预测精度是能满足要求的。
表2 L1-C梁第12荷载步下各裂缝宽度预测值与试验值对比
Table 2 Comparison of crack width of specimen L1-C calculated at load step 12 with test results
5 算例应用分析
为了进一步说明数值模型的应用效果，对配置不同强度等级钢筋的混凝土梁构件进行裂缝宽度分析。规范GB 50010规定，当截面高度大于300 mm时，应沿梁全长设置箍筋；对于这类构件，试验研究[12-14]和统计分析[15]均表明：构件的裂缝间距明显受箍筋位置影响；在梁纯弯段内，裂缝发生位置与箍筋位置基本一致，即裂缝间距为箍筋间距。因此，在模型实际应用时，将梁纯弯段内的裂缝间距取为箍筋间距；并设箍筋间距为单一值，则裂缝间距即为平均裂缝间距，且各条裂缝宽度相等，均为平均裂缝宽度。此时，规范式(13)需要进行适当调整，将平均裂缝间距取为箍筋间距sv，且无需考虑短期裂缝宽度扩大系数，即：
(14)
在构件参数的选取上，取计算跨度l0=5.6 m的简支梁，截面宽度×高度为250 mm×500 mm；当裂缝间距一定时，保护层厚度对裂缝宽度的影响不大，统一取为30 mm；混凝土强度等级取为C30。以钢筋配筋率、钢筋强度等级以及箍筋间距为参数，对四点受弯(梁纯弯段长度为2.8 m)的简支梁进行开裂分析；当跨中弯矩M达到0.65时，认为构件达到正常使用极限状态。经计算，不同情况下裂缝宽度的模型预测值与理论计算值间的关系如图7所示。
图7 数值模型应用结果对比分析
Fig.7 Comparative analysis of model’s predictions with calculated results
从图7可以看出：当箍筋间距分别取为100，150和200 mm时，对于配置3根和4根直径为20 mm的HRB335，HRB400和HRB500钢筋混凝土模型梁，裂缝宽度数值预测结果与按式(14)的计算结果较符合；当箍筋间距增大到300 mm时，模型预测结果则偏小。考虑到实际配箍梁，裂缝间距通常在100~200 mm范围内，此时，预测值与计算值比值的均值为1.050，变异系数为0.06。可见：模型的应用效果是非常理想的。同时，从另一方面也可以看出：我国规范公式中关于平均裂缝宽度的计算方法是可行的，是建立在黏结-滑移理论基础上的。
6 结论
(1) 以黏结-滑移理论为基础，综合考虑裂缝间受拉区混凝土拉伸硬化效应的影响，建立了钢筋混凝土梁构件受力裂缝宽度计算的数值模型，并通过MATLAB语言进行编程实现，为混凝土结构受力裂缝计算提供了一种有效的分析方法。
(2) 以8根HRB500级高强钢筋混凝土梁受弯开裂试验为依据，对数值模型的准确性进行了验证。结果表明，模型预测结果与试验结果较符合，相关数值计算模型在分析受力裂缝方面是可行的，预测精度较高；而规范公式计算值则普遍大于试验值，需要进行适当修正。
(3) 对于等间距开裂的试验梁，数值计算模型的裂缝宽度预测结果与规范公式中平均裂缝宽度的计算结果较吻合，说明规范公式也是基于黏结-滑移理论建立的，两者间有较好的相关性。
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收稿日期：2010-03-29；修回日期：2010-06-30
基金项目：国家科技支撑计划项目(2006BAJ03A02)；国家自然科学青年基金资助项目(50908103)
通信作者：陈驹(1978-)，男，浙江杭州人，博士，讲师，从事混凝土结构工程研究；电话：0571-88208719；E-mail: cecj@zju.edu.cn
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