基于风险价值理论的多用户类弹性需求随机分配

况爱武，黄中祥

(长沙理工大学 交通运输工程学院，湖南 长沙，410004)

摘 要：

路网出行路径选择行为，基于均匀分布的路段容量分析降级路网中路段和路径出行时间的随机变化，依据时间价值将出行者划分为多个用户类，假定不同的用户类对出行时间可靠度有不同的需求，同时出行者能根据以往的出行经验获取路径出行时间的可变性并依据出行时间预算做出路径选择决策。以此为基础建立全局需求弹性下基于出行时间预算的多用户类随机交通分配变分不等式模型，设计求解模型的启发式算法。小型测试路网的数值分析结果表明：该模型能合理反映容量降级程度、出行时间可靠度需求及出行者感知误差对路径流量和全局需求的影响。

关键词：

随机路网；出行时间可靠性；风险价值；出行时间预算；多用户类；弹性需求；随机分配；

中图分类号：U491          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)12-5139-08

Stochastic traffic assignment with multiple user classes and elastic demand based on value at risk theory

KUANG Aiwu, HUANG Zhongxiang

(School of Traffic and Transportation Engineering,Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China)

Abstract: In order to describe travelers’ route choice behaviors in a stochastic road network more rationally, a stochastic traffic assignment model with multiple user classes and global elastic demands was presented. In the model, the link and route travel time distributions were analyzed assuming that link capacity follows a uniform distribution; the travelers were differentiated into several classes by their own value of time that follows a certain probability distribution. The model was established as a variational inequality problem based on the assumption that travelers acquire the variability of route travel times based on past experiences and make their route choice considering the travel time budget, which could be determined by the travel time reliability requirement of each user class. A heuristic solution algorithm for solving the model was given and some numerical studies on a simple test network were carried out to demonstrate the practicality of the model. The results show that the proposed model can reflect the impacts of the degradation degree of link capacity, the requirement of travel time reliability and the perception error of traveler on route traffic flow patterns and global demands.

Key words: stochastic network; travel time reliability; value at risk; travel time budget; multiple user classes; elastic demand; stochastic assignment

交通网络流量分配作为道路交通规划的重要内容，一直吸引着国内外众多学者的研究，如Wardrop提出的用户均衡配流原则(user equilibrium，UE)和Daganzo等提出的随机用户均衡配流准则(stochastic user equilibrium，SUE)在交通规划实践中均得到了广泛应用^[1]。然而，传统配流模型通常以平均阻抗(时间、费用或二者的组合)作为路径选择准则，很少考虑道路用户对待风险的态度。事实上，受交通系统供需不确定性影响，出行者在出行过程中面临多种风险，并集中表现为路段出行时间是随机变化的^[2-4]。面对出行时间的随机变动，道路用户往往无法预先获知实际出行时间，如果根据以往出行经验并基于平均出行时间来安排行程计划，则有可能迟到或早到。为此，出行者对出行路径不仅要求有较短的出行时间，同时还期望有较高的出行时间可靠性^[5]。出行时间可靠性是指对于给定的一个起讫点对(origin-destination，OD)，出行者能够在规定时间内完成出行的概率^[6]。导致出行时间不可靠的重要因素是交通系统的不确定性，包括供给的不确定和需求的不确定两方面。对实际路网，受地震、洪水、恐怖袭击等大型灾害或交通拥堵、路段维护、违章停车等小型交通事件影响，路段容量往往是随机的^[7]；另一方面，交通需求作为个体出行决策的集计体现，尽管具有一定的规律性，但受出发时刻、气候条件、拥堵状况、本源或派生需求等因素影响，在本质上也是随时空随机变化的^[8]。目前，国内外在随机路网交通分配模型和求解算法方面已开展了大量研究。Abdel-Aty等^[9]等通过调查表明出行时间和出行时间可靠性是出行者选择通勤路径所考虑的前两位因素；Lam等^[10]的研究发现通勤者认为出行时间可靠性价值要高于出行时间价值；Lo等^[2]从路段容量的随机变化入手，采用约束机会建模方法定义并建立了路径出行时间预算模型，进而研究了风险中立和风险规避两类出行者并存路网的均衡问题；Siu等^[11]进一步推广了Lo的模型，通过把出行者划分为通勤者和非通勤者两类，较全面地考察了供给面和需求面均不确定路网的均衡问题；Shao等^[12]假定需求服从正态分布，考察了随机需求驱动下基于有效出行时间的交通分配问题；陈建林等^[13]从出行时间和出行时间可靠性出发定义了广义出行费用，并研究了基于广义费用的多类用户交通分配问题。上述研究成果极大地丰富了不确定路网均衡分析理论，但仍存在部分缺陷或不足：(1) 现有研究多局限于随机网络确定性用户均衡层面，未进一步在随机路网中将随机分配和Wardrop均衡统一起来，很难获得符合实际的交通分配结果。(2) 现有研究很少考虑弹性需求问题，一般来说，当网络中2个节点间的拥挤程度增加时，部分用户可能改变其出行计划，如更改出发时刻、变更出行方式或出行目的地，甚至取消出行，因此，要想准确描述出行者与随机路网的交互作用，就必须考虑弹性需求。(3) 现有研究对出行者群体的划分过于简单，通常将出行者划分为风险倾向型、风险中立型和风险规避型3类，未更多地考虑出行者对路网的熟悉程度(与出行者的信息获取能力相关，如有诱导系统的用户能获得更多的实时交通信息^[14])及其社会经济特性(如出行者的时间价值，通常时间价值高的出行者对出行时间可靠性更加敏感^[15])，为此，有必要对出行者群体进一步细分。基于上述考虑，本文作者研究了随机路网随机型交通分配问题，利用风险价值理论将出行时间和出行时间可靠性统一起来，构建了一种考虑出行时间可靠性的多用户类弹性需求随机配流模型，设计了一个启发式算法来求解该模型，最后用算例展示了该模型的特性。

1  出行时间随机性分析及出行者路径选择准则

1.1  路段出行时间分布

考虑交通网络G=(N,A)，其中N为节点集，A为路段集。假定交通系统的随机性由供给的不确定驱动，用C_a表示路段a的容量，路段容量因受不确定因素的影响而发生随机扰动，本文将其视为随机变量。为简化问题和方便表述，假定各路段容量服从均匀分布，进一步设均匀分布的上界为路段a的设计容量c_a^d，下界为系统条件最恶化时路段a的容量，同时假定容量下界为设计容量的q_a倍(0≤q_a≤1)，系数q_a反映了系统条件恶化时路段容量的利用率。要确定路段出行时间，首先应明确路段走行时间函数，本文选用BPR函数(bureau of public roads)作为路段特性函数：

，       (1)

式中：x_a为路段a上的流量；t_a⁰和T_a分别为路段a的自由流出行时间(确定性参数)及流量为x_a时的出行时间；α和β为BPR函数的参数(确定性参数)。

假定路段容量C_a的随机变化与该路段上的流量x_a相互独立^[2]，同时已知自由流出行时间为确定性参数(满足E(t_a⁰)=t_a⁰和Var(t_a⁰)=0)。由于路段容量随机变化，因此路段出行时间T_a也是随机变量，其均值和方差可表示为：

，          (2)

，       (3)

对服从均匀分布的路段容量随机变量C_a，可推导出路段出行时间T_a的均值E(T_a)和方差Var(T_a)(仅考虑β≠1的最一般情况)如下：

，  (4)

，                    (5)

1.2  路径出行时间分布

假定路段出行时间之间相互独立，则路径出行时间由路段出行时间累加获得：

，，           (6)

式中：W为OD对的集合；R_w为OD对w之间的路径集合；T_k^w为OD对w之间路径k的出行时间(随机变量)；δ_a,_k^w为路段/路径关联变量，如果路段a位于OD对w之间的第k条路径上，其取值为1，否则取值为0。

对一个特定的OD对，其中任一条路径均包含多条路段，根据中心极限定理，不论路段出行时间服从何种分布，路径出行时间将服从正态分布^[2]，其均值和方差分别为：

，，         (7)

，，，             (8)

式中：t_k^w为OD对w之间路径k的平均出行时间；s_t,_k^w为OD对w之间路径k的出行时间标准差。

结合路段出行时间的均值和方差可获得路径出行时间分布的均值和标准差分别为：

，，                (9)

 (10)

1.3  出行者路径选择准则

在不确定路网中，路段出行时间的随机变化对出行者是一种潜在风险，如何对风险进行管理是出行者安排行程计划的重要内容。自1996年Jorion^[16]提出风险价值理论(value at risk，Var)以来，应用Var开展风险度量已广泛应用于金融、电力等领域，Var本质上是指某个置信度下的分位数。类似地，Var理论也可以应用于随机路网出行路径选择领域，以出行时间可靠度需求作为置信度，用满足出行时间可靠度需求下的最短出行时间作为风险度量指标，出行者以该风险度量指标作为路径选择准则，为与现有研究保持一致，本文也称该风险度量指标为出行时间预算。

根据前述分析，在随机供给路网中，路径出行时间服从正态分布。因此，只要指定置信度水平，出行时间预算就可以很方便地计算出来。用r表示出行时间可靠度需求，b_k^w表示OD对w之间路径k的出行时间预算，那么根据Var理论有：

，，     (11)

式中：为OD对w之间路径k上出行时间的概率密度函数。

由于路径出行时间T_k^w服从正态分布，式(11)易于求解，可知b_k^w=t_k^w+s_t,_k^w×F^-1(r)，其中F(·)为标准正态分布的分布函数。

2  出行者风险取向及多用户类型

一般来说，不同出行者对出行过程中的风险持不同态度，假定所有出行者具有完全一致的出行时间可靠度需求不太合理。本文依据时间价值对道路用户进行分类^[17]，具有较高时间价值的用户类对出行时间可靠度的需求更高，隶属同一用户类的出行者其出行时间可靠度需求一致。用Q_w表示OD对w之间的总需求，用f(τ)表示时间价值的概率密度函数，进一步假定f(τ)对各个OD对一致，用t ^max表示用户的最大时间价值。对出行者群体依据时间价值的大小等间距地划分为M类，对每一用户类，其时间价值区间为：

，                      (12)

式中：t ⁰ =0，t ^M=t ^max。

进一步用F(τ)表示出行者时间价值的概率分布函数，那么，OD对w之间第m类用户的需求q_w,_m由下式决定：

，，m=1, 2, …, M                (13)

第m类用户的平均时间价值h^m由下式计算：

，                 (14)

通常，出行者尤其是通勤者都是风险规避型的，他们往往会在路径出行时间均值的基础上增加一个正的安全边际，其出行时间可靠度需求在0.5以上。为此，本文设定第m类用户的出行时间可靠度需求ρ_m如下式所示：

，     (15)

有必要指出，式(15)仅仅是一种建模方法，当然也可以采用其他形式的出行时间可靠度需求计算公式或依据实地调查来标定不同用户类的出行时间可靠度需求。根据Yang等^[18]的研究，道路用户的出行时间价值可采用如下式所示的对数正态分布：

，0＜τ＜∞                  (16)

式中：μ和κ为出行时间价值对数正态分布的参数，分别对应到ln τ的均值和标准差。

3  随机用户均衡条件和VI建模

在随机路网中，由于路网的复杂性和交通状况的随机性，出行者对网络拥挤程度和各路径所需走行时间的掌握不充分，对路径出行时间预算的估计也存在感知误差。为此，本文引入路径感知出行时间预算的概念，定义OD对w之间路径k上第m类出行者的感知出行时间预算为：

，，，     (17)

，，，     (18)

式中：和分别为OD对w之间路径k上第m类出行者的感知出行时间预算和实际出行时间预算；为第m类出行者对OD对w之间路径k的出行时间预算的感知误差。假定，表明出行者对路径感知出行时间预算的期望等于实际的路径出行时间预算，即满足。

假定每类出行者均以随机方式选择路径，又进一步假定各类出行者对路径出行时间预算的感知误差是均值为零的独立同Gumbel分布随机变量。根据离散选择理论，OD对w之间第m类出行者选择路径k的概率服从如下的logit公式：

，，，      (19)

式中：非负参数q_m刻画了不同用户类的出行者对路径出行时间预算感知的不确定性。

对于第m类出行者，其随机用户均衡条件可表示为：

，，，      (20)

式中：为OD对w之间路径k上第m类出行者的路径流均值。

对实际道路网络，OD需求通常具有一定的上界，同时还易受网络运行状况的影响，为反映该现象，假定OD对w之间的总需求Q_w是关于OD对w之间期望最小感知出行时间预算B_w的严格单调递减函数：

，  (21)

式中：D_w(·)为OD对w的需求函数，本文采用指数型需求函数；为需求上限(潜在需求)；是一个正比例参数，用于反映需求对出行时间预算的弹性。

根据离散选择理论和弱大数定律，OD对w之间第m类用户及所有用户的期望最小感知出行时间预算可分别表示为：

，，          (22)

，  (23)

当各用户类的需求给定后，基于出行时间预算的多用户类随机均衡交通分配模型的解等价于寻找一个路径流向量f ^*∈Y，使得下述变分不等式(variational inequality, VI)成立：

，              (24)

式中：上标*的变量用于表示变分不等式问题的解；Y为路径流的可行解空间，由下述约束决定：

，，   (25)

，，， (26)

，，    (27)

，      (28)

容易证明上述VI模型的解会等价于多用户类随机均衡条件(19)和(20)^[19]。应当指出的是，在全局需求弹性下，尚无法找到一个等价的VI模型，企图将网络均衡条件(19)和(20)和全局弹性需求函数(21)统一起来。然而，在路段走行时间函数连续且严格单调递增以及需求函数严格单调递减的假定下，VI模型(24)解的存在性和唯一性可以得到保证^[20]。

4  模型求解算法

本节设计一个启发式算法来求解全局需求弹性下的多用户类随机交通分配模型，算法包括2重循环，其中外层循环用于确定总需求，内层循环用于求解多用户类随机分配。考虑到在随机供给路网中，路径出行时间预算不具备可加性，为此采用路径算法来求解VI模型(24)。在算法设计中，假定路径集是提前指定的，流量更新策略采用MSA方法(method of successive averages)。算法的基本步骤如下：

Step 0：初始化。设定初始需求(如潜在需求)，令外层循环迭代数n=0。

Step 1：外层循环。根据出行者的VOT分布用公式(13)确定各类出行者的需求。

Step 2：内层循环。在给定的各用户类需求下确定路径流分布。

Step 2.1：初始化。设迭代精度为ε₁，令迭代次数k=0，对各OD对预先指定路径集合或利用列生成算法生成基本路径集合，对各用户类初始化路径流向量

，进而计算总的路径流向量。

Step 2.2：更新出行时间预算。利用计算各路径出行时间的均值和标准差，更新各用户类的路径出行时间预算向量。

Step 2.3：找方向。基于更新的路径出行时间预算对各用户类执行一次网络随机加载(如采用dial算法)，获得辅助路径流向量和。

Step 2.4：更新路径流。用MSA方法更新路径流为。

Step 2.5：收敛检验。如果误差满足迭代精度ε₁，则转入Step 2.6；否则令k = k+1，返回Step 2.2。

Step 2.6：输出各用户类的出行时间预算向量，用式(23)计算。

Step 3：更新全局需求。利用需求函数更新总的需求，。

Step 4：如果对各个OD对均有成立，则停止，其中ε₂是预先确定的精度要求；否则，令n=n+1，返回Step 1。

5  算例

算例网络如图1所示，线上数字为路段编号。假定只有1个OD对，从节点1到节点6，共有3条路径连接OD对Q₁₆，路径1(路段1→2→5)；路径2(路段1→4→7)；路径3(路段3→6→7)。假定路段容量服从均匀分布，各路段的特性，包括路段自由流时间、路段设计容量和路段容量利用率系数如表1所示。

图1  算例网络

Fig. 1  Example network

表1  路段特性参数

Table 1  Parameters of link characteristics

设OD对Q₁₆的潜在需求为4 500 辆/h，需求函数的参数φ₁₆=0.002。取出行者的最大时间价值为τ^max=250 元/h，时间价值的均值为50 元/h、标准差为35元/h，在上述参数下，时间价值超过250元/h的需求被截尾了，但其所占的比例仅为0.209%，可以近似忽略不计。进一步假定网络中共有4类出行者，每类出行者对路网的熟悉程度参数分别设为θ₁=0.1，θ₂=0.2，θ₃=0.5，θ₄=1.0，BPR路段阻抗函数的参数取α=0.15，β=4，迭代精度ε₁=1×10^-6，ε₂=1×10^-2。

在上述参数下，运用本文建立的模型和算法求解算例网络，发现算法能较快地收敛到平衡状态，计算结果如表2所示。

从计算结果可以发现：在随机供给路网中，由于对出行时间可靠度的需求不一致，不同的用户类对于同一路径的出行时间预算不相同；同时，同一用户类对不同路径的预算时间也不相同。此外，全局需求也会随网络拥堵状况实时变化。本文所构建的模型能有效反映出行者的路径选择特性及其与路网状况的交互作用。

考察路段容量的降级程度对路网交通流分布及全局需求的影响，为简化分析，假定各路段容量的利用率系数取值一致。图2所示为不同路段容量利用率系数下的全局需求和第1类用户对路径3的出行时间预算。由图2可以看出：随着路段容量的下降，全局需求逐渐减少，出行者为保证一定的可靠度要求所需的预算时间随之急剧增加，表明路网的不确定性对出行者的出行决策会造成较大影响。

下面假定不同用户类的出行时间可靠度需求不采用式(15)确定，考察在不同的可靠度需求及感知误差参数组合下全局需求的变化。共设置了2套情景：第1套情景固定出行者的感知误差参数，调整可靠度需求；第2套情景则与之相反。不同情境下的参数设置如表3所示，全局需求的计算结果如图3所示。从图3可以看出：道路用户对出行时间可靠度需求的提高对全局交通需求的影响较小，而感知误差参数对需求的影响非常明显，随着出行者对路网出行时间预算感知误差的减小(参数q增大)，出行者对路网状况的掌握将更加全面，选择出行时间较短路径的出行者数量不断增加，并导致OD对期望最小感知出行时间预算的增加和全局OD需求的减少。图2和3从一个侧面反映了疏解交通拥堵的双重策略，一方面要避免路段的降级，使现有网络能容纳既定的交通需求；另一方面，要大力发展先进的出行信息系统，从提高出行者对随机路网的认知程度来达到削减无效交通需求的目的。

图2  不同路段容量利用率系数下的需求与预算时间

Fig. 2  Global demand and time budget with different link capacity utilization coefficient

表2  均衡状态下的路径流量、各类用户的出行时间预算及需求

Table 2  Equilibrium route flow, route travel time budget and OD demand of each user class

表3  不同情景下的参数取值

Table 3  Parameters of different scenarios

图3  不同可靠度需求及感知误差参数下的全局需求

Fig. 3  Global demand with different travel time reliability requirements and perception error coefficients

6  结论

(1) 通过分析不确定路网路径出行时间的随机变化，基于风险价值理论定义了基于出行时间预算的路径选择准则，以时间价值作为用户类划分准则建立的多用户类随机分配模型能提高需求预测的精细化程度，并为城市综合交通规划提供决策支持。

(2) 在随机供给作用下，随着道路用户出行时间可靠度需求的提高，其预算时间增加，对应的出行需求下降；在一定的可靠度需求下，伴随路网降级程度的加剧，全局交通需求显著下降。

(3) 与出行时间可靠度需求相比较，实时交通信息的发布能减少出行者对随机路网的感知误差，在大幅降低全局需求的同时达到缓解交通拥堵的目的。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2013-02-13；修回日期：2013-05-04

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51208064，51078044)；湖南省自然科学基金资助项目(10JJ6074)；湖南省教育厅科研项目(11B004)

通信作者：黄中祥(1965-)，男，湖南汨罗人，教授，博士生导师，从事交通运输规划等研究；电话：0731-85258575；E-mail：mehzx@126.com

摘要：为合理刻画随机路网出行路径选择行为，基于均匀分布的路段容量分析降级路网中路段和路径出行时间的随机变化，依据时间价值将出行者划分为多个用户类，假定不同的用户类对出行时间可靠度有不同的需求，同时出行者能根据以往的出行经验获取路径出行时间的可变性并依据出行时间预算做出路径选择决策。以此为基础建立全局需求弹性下基于出行时间预算的多用户类随机交通分配变分不等式模型，设计求解模型的启发式算法。小型测试路网的数值分析结果表明：该模型能合理反映容量降级程度、出行时间可靠度需求及出行者感知误差对路径流量和全局需求的影响。