中南大学学报(自然科学版)

DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.09.016

基于弹塑性压力中性层偏移的棒材二辊矫直回弹模型

马自勇¹，马立峰^{1, 2}，黄庆学¹，马立东¹，楚志兵¹，黄志权¹

(1. 太原科技大学 山西省冶金设备设计理论与技术重点实验室，山西 太原，030024；

2. 吉林大学 超塑性与塑性研究所，吉林 长春，130000)

摘 要：

形工艺特点和弹塑性压力中性层偏移理论，确定应力中性层的位置；在考虑中性层偏移和材料硬化的条件下，结合二辊矫直理论和矫直变形应力-应变关系，提出新的双线性矫直拟合方法；在此基础上利用微元法对棒料内部的金属进行弹塑性变形分析，给出新弯矩比公式的同时，提出中性层偏移半径比的概念；最后，结合纯弯回弹理论建立棒料矫直挠度回弹数学模型，并就中性层偏移对棒料矫直回弹影响进行实验分析和验证。实验结果表明：回弹理论计算值与实验数据吻合较好，其最大相对误差为6.45%，明显低于忽略中性层偏移时的相对误差31.65%，证明了理论分析的正确性和模型的有效性。

关键词：

棒材矫直；中性层偏移半径比；回弹模型；实验分析；

中图分类号：TG386.3+1          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)09-3020-11

Neutral layer offset rebound model based on elastic-plastic pressure

MA Ziyong¹, MA Lifeng^{1, 2}, HUANG Qingxue¹, MA Lidong¹, CHU Zhibing¹, HUANG Zhiquan¹

(1. Metallurgical Equipment Design Theory and Technology Key Laboratory of Shanxi Province,

Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China;

2. Superplasticity & Plasticity Institute, Jilin University, Changchun130000, China)

Abstract: The location of stress neutral layer was determined considering the process characteristics of two-roll straightening and the neutral layer offset theory of elastic-plastic pressure. Considering the neutral layer offset and material hardening conditions, the new bilinear fitting method which was combined with two-roll straightening theory and stress-strain was proposed. On the basis of fitting method and neutral layer offset, the elastic-plastic deformation of element was analyzed, the formula of new moment ratio was given, and a new concept of neutral layer offset radius ratio was also put forward. Finally, the calculation model of bar straightening springback deflection combined with the pure bending springback theory was established, and then the influence of neutral layer offset rebound to accuracy of two-roll straightening was analyzed and verified by experiments. The results show that theoretical data are in good agreement with experimental data; the maximum relative error is 6.45%, which is lower than 31.65% when the neutral layer offset is ignored. The validity of theoretical analysis and model is proved.

Key words: bar straightening; neutral layer offset radius ratio; springback model; experimental analysis

随着石油、船舶、汽车等制造行业的飞速发展，对高强度合金钢棒材的需求量和质量要求日益提高，其中直线度要求达到1 mm/m，甚至小于0.5 mm/m，否则后续加工中材料的去除量非常大，损耗严重，成本急剧增加，因此，对棒料矫后直线度的要求十分严格。二辊矫直作为棒料精整的最后一道工序，是保证棒料矫后直线度指标的关键技术。二辊矫直是一个复杂的弹塑性变形过程^[1]，存在部分弹性变形，在卸载后弹性变形会立即恢复原态，出现回弹现象。回弹的结果使得棒料的残余曲率发生严重变化，降低棒料的直线度，得到的棒料矫后直线度大于1 mm/m。由矫直曲率比公式^[2]可知，无论是板料还是管棒材的矫直均是利用回弹来实现的。回弹量决定了矫直辊辊形的设计和工艺参数的制定，回弹量的预测精度也通过反弯量来影响棒料的残余挠度，最终得到高质量的矫直棒料，因此，准确有效地预测回弹是获得稳定的高精度棒料的基础。对于回弹问题，诸多学者进行了大量的研究^[3-14]，但在预测棒料回弹量时都未考虑中性层偏移对回弹的影响，得到的回弹计算模型精度不高。官英平等^[15]研究表明，在一定相对圆角半径下，中性层内移对板料弯曲回弹的相对误差可达70%以上。相对于纯弯曲中性层偏移计算，运用本文的弹塑性压力中性层偏移理论计算精度至少提高了3.46倍。因此，本文作者基于棒料二辊矫直变形特点和弹塑性压力中性层偏移理论，结合材料硬化规律和棒料弹塑性变形的力学关系，推导出棒料矫直过程中的挠度回弹计算模型，提出中性层偏移半径比的概念，分析了中性层偏移对回弹计算精度的影响，为后续深入研究高强度合金钢棒材矫直机理和矫直辊辊型优化设计与工艺模型的建立提供数据基础。

1  棒料矫直挠度回弹模型的建立

1.1  基本假设

1) 变形前后棒料的横截面仍保持为平面，垂直于棒材轴线，且截面不发生畸变，截面上应变为线性分布。

2) 棒料是连续均质的弹塑性体，且弹性变形为线性，符合Hooke定律并认为塑性流动符合经典弹塑性理论的卸载规律。

3) 棒料在矫直过程中忽略截面的变形，并认为应变中性层与应力中性层重合。

4) 满足塑性变形体积不变原则, 并且拉压变形部分金属的硬化规律相同，即应力-应变关系一致。

矫直过程中，棒材旋转前进受凸辊压弯，并在压弯处产生塑性压缩(下阴影部分)与拉伸(上阴影部分)变形，如图1所示。在弹塑性变形区外层，切向应变为拉应变，切向应力为拉应力；变形区内层，切向应变为压应变，切向应力为压应力^[16]。由假设3)知径向应变；同时各纤维间压应力可以忽略不计，因此，棒材矫直过程应力-应变状态如图2所示。

图1  棒材矫直弹塑性变形区域

Fig. 1  Elasric-plasric deformation region of bar straightening

图2  棒材矫直变形区应力-应变示意图

Fig. 2  Diagram of bar straightening stress and strain in deformation zone

1.2  基于弹塑性压力的中性层偏移分析

1.2.1  中性层偏移几何应变分析

进入矫直工序前，棒料在长度范围内基本都存在径向任意方位的弯曲，其弯曲程度各不同，但它们都会在矫直辊中央段统一为相同方位的弯曲，呈现扁担弯形态，为了便于理论分析，一般将初始弯曲简化为扁担形式的弯曲。现假设微元体ABCD起初为拉伸状态，则矫直反弯后该位置处于压缩状态，如图2所示。由于被矫直的棒料原始弯曲程度不大，可认为棒料中性层与几何中心轴是重合的，则棒料中性层处金属纤维原始长度l₀为

                (1)

式中：R₀为初始弯曲半径；为微元体初始弯曲角；

微元体ABCD处金属纤维初始长度为

               (2)

式中：r₀为微元体初始弯曲半径。

棒材微元体被反弯后中性层长度l_w为

                (3)

其中：为反弯后中性层半径；为矫直反弯角。此时微元体ABCD处的金属纤维长度为

                (4)

式中：r为微元体所处位置半径。

因此微元体在切线方向的真应变为

             (5)

棒材在反弯前后中性层的长度不变，即

                (6)

最终

             (7)

式中：R_w为反弯半径。

1.2.2  中性层偏移塑性变形应力-应变分析

由增量理论^[17]

         (8)

可得到塑性变形应力关系：

                 (9)

式中：和分别为微元体切线方向和径向的应力。

由塑性体积不变条件得：，则塑性区等效应力为

      (10)

塑性区等效应变为

      (11)

塑性变形拉伸区切向应力分布函数^[18]为

      (12)

压缩区切向应力分布函数为

      (13)

式中：v为中性层偏移量；为材料屈服极限；为矫直弯曲形成的弹性芯半径；为硬化系数；z为截面纵向纤维至中性层距离。

半空间集中力的应力示意图如图3所示，取为加载区S内表面上一点，而A(x, y, z)为固体内的任意点^[19]，则距离为

       (14)

定义势函数H ₁为

         (15)

式中：。则

     (16)

       (17)

z方向应力函数为

           (18)

边界条件为

当集中力P垂直作用在表面原点上时，，并且

定义的势函数可简化为

              (19)

凸辊对棒材施加的矫直压力P与塑性区径向应力的关系为

            (20)

图3  半空间集中力的应力示意图

Fig. 3  Stress diagram of half space concentration

1.2.3  基于弹塑性压力的中性层位置确定

棒材矫直过程中在弹性区与塑性区的分界面上有，即

        (21)

同时，

      (22)

联立消去r得：

         (23)

由于理论推导过程中使用半空间假设，与棒材在凸辊上的接触情况有差异，因此，使用修正系数，得

             (24)

式中：，，为与材料有关的系数；d为棒材直径；为屈服极限；B为塑性硬化系数；n为硬化指数；修正系数与材料性能及弯曲程度有关，由大量模拟实验回归拟合确定。

1.3  内弯矩M分析

棒材矫直过程中应力-应变分布如图4所示。

图4  棒材矫直应力-应变图

Fig. 4  Stress-train diagram of bar straightening

棒材断面的任意高度z处的断面宽度，棒材半径为R，矫直弯曲形成的弹性芯半径为，此截面的弯矩M为

          (25)

将式(25)化简得

    (26)

其弯矩比表达式为

        (27)

式中：；；；；；；；弹性极限弯矩；弹区比; 中性层偏移半径比。

1.4  回弹模型推导

将纯弯曲情形所得到的弯矩-曲率关系应用于横向载荷作用下的弯曲^[20]。根据基本假设2)，肖景荣等^[21]研究表明：材料弯曲后的卸载过程可以认为是在塑性弯曲相反的方向对被弯曲材料施加一个假想的弹性弯矩，并使其产生完全的弹性弯曲变形的过程，与M相等，即。

由于棒材在进入矫直机前存在一定的原始挠度，根据平面假设知，棒材截面z处有初始应变

                 (28)

式中：为棒材微段的初始曲率；z为截面纵向纤维至中性层距离。此应变为初始当量应变^[22]。

棒材微段弯曲过程示意图如图5所示。根据基本假设1)和初始当量应变定义，棒材微段截面上任意点的弹性弯曲应变、加载后应变及卸载后残余应变分别为

              (29)

               (30)

              (31)

式中：为弹性弯矩加载时棒材微段中心轴曲率；为加载后棒材微段中性层曲率；为卸载后棒材微段中性层曲率，同时规定，，与方向一致时符号相同，方向相反时符号相反。由截面的弯矩平衡可得

       (32)

式中：E为弹性模量；I为棒材断面对y轴的惯性矩。

在加载和卸载过程中，

              (33)

将式(29)~(31)代入式(33)可得：

            (34)

联立式(32)和(34)及，可得棒材微段的残余曲率方程为

              (35)

图5  棒材微段弯曲过程示意图

Fig. 5  Bending process diagram of bar micro-segment

因此，棒材矫直回弹挠度计算模型为

  (36)

式中：L为三点弯曲中两端点间的距离。

2  棒材矫直回弹挠度实验

2.1  实验路线及目的

在WAW1000万能试验机进行拉伸试验，得到40Cr和42CrMo合金钢2种棒材的室温拉伸应力-应变曲线，利用Origin软件对所得曲线进行线性拟合，为挠度回弹计算模型构建提供参数支持。弯曲试验在10 t液压式压力试验机上进行，通过测量棒材跨中反弯和回弹后的挠度值来验证挠度回弹计算模型的准确性。

2.2  室温单向拉伸实验

通过拉伸实验可以获得材料的屈服强度、伸长率和抗拉强度等参数，这些参数是影响棒材回弹的重要因素。本文以40Cr和42CrMo棒材为例进行拉伸实验，得到其应力-应变曲线如图6所示。

传统双线性拟合都是将屈服极限到最大抗拉强度之间的数据进行拟合，对于存在屈服平台的材料来说，拟合精度很差，如图6所示；而从矫直原理考虑，当弯曲条材弹塑性变形深度达到全断面高度的80%后不产生裂纹时，任何金属条材都可以得到矫直^[23]，因此，棒料矫直变形最大应变为5，为弹性极限应变。利用Origin对40Cr和42CrMo的拉伸实验数据进行函数拟合，其中拟合的数据取自屈服点至5之间，拟合发现：40Cr和42CrMo进入塑性变形后，采用新线性拟合的校正决定系数分别为0.936 1和0.983 7，拟合效果较好，因此，线性硬化关系能描述40Cr和42CrMo棒材的应力-应变关系。2种材料线性拟合结果见表1。

2.3  弯曲实验

采用棒材弯曲回弹测试对棒材挠度进行测试，测试方案如图7所示，百分表用于测定棒材跨中的位移。

40Cr压下量分别为10，15，20和30 mm；42CrMo压下量分别为10，15和20 mm。每次压下速度为10 mm/min，压下动作完毕后，用百分表测量跨中位移3次并记录取平均值，测量记录完成就开始卸载，卸载速度为100 mm/min。

图6  应力-应变关系曲线

Fig. 6  Relationship curves of stress-strain

表1  不同材质的力学性能

Table 1  Mechanical property of different material parameters

图7  挠度测量示意图

Fig. 7  Diagram of deflection measurement

对棒材进行弯曲试验，载荷-位移曲线如图8所示，在开始的弹性阶段，载荷和位移呈明显的线性变化关系。随着载荷的增加，棒材跨中位移不断增加，当载荷增大到18 kN左右时，棒材开始屈服，之后棒材跨中位移的增加速度迅速增大，而载荷的增加速度则减缓。当位移增加至30 mm和20 mm时，开始卸载。将实验所得数据整理计算即可得到棒材弯曲的回弹值，结果见表2。

图8  载荷-位移曲线

Fig. 8  Load-displacement curves

3  结果分析与讨论

3.1  中性层偏移对回弹的影响

二辊矫直过程中性层偏移会改变棒材截面应力-应变的状态，从而改变棒材内弯矩的计算，最终影响回弹和棒材的矫后直线度。40Cr和42CrMo的曲线如图9所示。

表2  基于试验所测得的回弹值

Table 2  Springback measured by test

图9  棒材的曲线

Fig. 9  curves of bars

曲线表现的是棒材弹塑性变形段某一截面在不同弯曲程度时的弯矩变化规律；曲线表现的是棒材弹塑性变形段某一截面在不同弯曲程度时中性层的偏移情况。由图9可知：在弹区比≥0.7时，中性层偏移值较小且对弯矩比的影响也较小，最大相对误差约为7.4%，这是因为此时棒材塑性变形深度值小，中性层偏移现象不明显。棒材弹塑性变形深度达到50%即可实现矫直^[24]，同时，由矫直原理可知，当棒材弹塑性变形深度达到80%后不产生裂纹，则任何金属可以矫直，因此，棒材矫直所需要施加的弹区比为0.2~0.5，在此范围内中性层偏移对弯矩比的影响较大，40Cr与42CrMo最小相对误差分别达12.65%和11.76%，见表3；中性层偏移对棒材回弹的影响也较大，随着弯曲程度增大，回弹值的误差增大，在=0.1时，40Cr与42CrMo相对误差分别为41.59%和18.48%，如图10所示。

从图10可见：在弹区比≥0.7且考虑材料硬化时，中性层偏移对棒材的回弹挠度影响较小，最大相对误差均在7.5%左右，而在矫直所需弹区比=0.2~0.5时，对棒材的回弹挠度影响较大，随着弹区比的减小而增大。这是因为中性层偏移是由塑性变形导致，弹区比越小，棒材弯曲程度越大，棒材塑性变形层深度越大，中性层偏移也愈加明显，最终对回弹挠度的影响也愈大。

3.2  材料的力学性能对回弹的影响

实验所用的是材料分别是40Cr和42CrMo，它们的力学性能参数见表1，图12所示为2种棒材弯曲回弹后的形状。

图12所示为不同材料的挠度与弹区比关系曲线。从图12可知：在考虑材料硬化条件下，考虑中性层偏移的棒材矫直挠度回弹计算理论值与实验值基本一致。它们随着弹区比增大而减小，其中，42CrMo理论值与实验值的相对误差很小，在2.12%~3.63%范围内；而40Cr理论值与实验值相对误差为3.22%~ 6.45%，这主要是由于双线性拟合模型更接近42CrMo的应力-应变曲线，40Cr的应力-应变存在屈服平台，与42CrMo相比，其双线性硬化拟合精度较低。同时，从图12可以看出：42CrMo回弹挠度比40Cr棒材的大，这说明金属材料性能对回弹挠度影响较大。这是因为在相同的弹区比时，屈服强度高的42CrMo弯曲所需要的力矩大，最终卸载后回弹弯矩也大^[25]，因此42CrMo棒材回弹挠度比40Cr的大。

表3  中性层偏移对弯矩的影响

Table 3  Impact of neutral layer offset on moment

图10  回弹挠度与弹区比的关系

Fig. 10  Relationship between of deflection and elastic region value

图11  弯曲回弹后形状

Fig. 11  Shape of bending and springback

图12  不同材料的挠度与弹区比关系曲线

Fig. 12  Relation curve of deflection and elastic region value in different materials

3.3  曲率κ对回弹的影响

挠度与曲率关系曲线如图13所示。从图13可以看出：随着曲率κ的增大，棒材回弹挠度越大；这是因为曲率κ增大，反弯半径就越小，棒材弯曲程度愈大，进而回弹挠度增大。同时，2种材料的回弹挠度理论值与实验值基本一致，40Cr与42CrMo最大相对误差分别为6.45%和3.63%，低于不考虑中性层偏移时的31.65%和9.91%，表明式(30)计算精度较高。

图13  挠度与曲率关系曲线

Fig. 13  Curve of deflection and curvature

4  结论

1) 建立了棒材矫直回弹挠度计算模型，可对高精度棒材二辊矫直过程中回弹挠度进行计算和分析。实验证明了该模型的正确性，对提高棒材矫直精度及完善其弯曲弹塑性变形理论提供了理论参考。

2) 基于二辊矫直变形特点和矫直理论，得到棒材矫直所需要的最大应变不超过5的结论，提出了在应变至5之间进行拟合的新双线性矫直拟合方法。与传统的拟合方法相比，40Cr与42CrMo的拟合校正决定系数由0.833 1和0.946 5提高到0.936 1和0.983 7，拟合精度分别提高了10.30%和3.72%。

3) 棒材回弹挠度不仅与矫直过程棒材受力状态、材料力学性能和曲率有关，还与棒材同矫直辊的接触位置有关。棒材回弹挠度随着中性层偏移值、材料屈服强度和曲率增大而增大。40Cr与42CrMo 2种棒材最大相对误差分别为6.45%和3.63%，低于不考虑中性层偏移和材料硬化时的31.65%和9.91%。

4) 对于矫直过程弹区比≥0.7的棒材，中性层偏移对回弹影响很小，工程分析时可忽略；但是对矫直过程弹区比必须满足的0.2~0.5范围内的棒材，中性层偏移量对回弹的影响较大，分析时不可忽略。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2015-05-14；修回日期：2015-09-19

基金项目(Foundation item)：国家重点基础研究发展规划(973计划)项目(2012CB722800)：中国博士后科学基金资助项目(2012M520677)：国家自然科学基金资助项目(51105264，51404160)：山西省科技攻关项目(20130321010-03) (Project(2012CB722800) supported by the National Basic Research Development Program (973 Program) of China; Project(2012M520677) supported by the National Science Foundation for Post-doctoral Scientists of China; Projects(51105264, 51404160) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(20130321010-03) supported by the Ministry of Major Science & Technology of Shanxi Province)

通信作者：马立峰，教授，从事轧钢工艺与设备研究；E-mail: malifengfqh@163.com

摘要：基于二辊矫直变形工艺特点和弹塑性压力中性层偏移理论，确定应力中性层的位置；在考虑中性层偏移和材料硬化的条件下，结合二辊矫直理论和矫直变形应力-应变关系，提出新的双线性矫直拟合方法；在此基础上利用微元法对棒料内部的金属进行弹塑性变形分析，给出新弯矩比公式的同时，提出中性层偏移半径比的概念；最后，结合纯弯回弹理论建立棒料矫直挠度回弹数学模型，并就中性层偏移对棒料矫直回弹影响进行实验分析和验证。实验结果表明：回弹理论计算值与实验数据吻合较好，其最大相对误差为6.45%，明显低于忽略中性层偏移时的相对误差31.65%，证明了理论分析的正确性和模型的有效性。