二期恒载对大跨度斜拉桥车桥耦合振动的影响
郭文华1, 2，陈代海1，李整1
(1. 中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075；
2. 中南大学 高速铁路建造技术国家工程实验室，湖南 长沙，410075)
摘要：用多刚体模拟车辆，梁格法简化桥面板，以等效质量的形式施加二期恒载。基于车辆、桥梁空间振动模型，建立桥梁—轻轨车—汽车耦合系统的空间振动方程。采用直接积分法求解此方程，并编制相应程序。以某大跨度斜拉桥方案为例，计算其自振特性，进行大跨度斜拉桥—轻轨车—汽车耦合系统的车桥振动分析，并讨论二期恒载对自振频率和车桥耦合振动响应的影响。研究结果表明：二期恒载会使桥梁结构的自振频率减小，对桥梁结构的位移响应影响较小，但对加速度响应影响明显。
关键词：
中图分类号：U441.3 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2011)08-2423-07
Influence of secondary dead load on vehicle-bridge coupling vibration of long-span cable-stayed bridges
GUO Wen-hua1, 2, CHEN Dai-hai1, LI Zheng1
(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;
2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Central South University, Changsha 410075, China)
Abstract: The vehicle was modeled by rigid dynamics method, the bridge deck was simplified by grillage method, and the secondary dead load was taken into account in the form of equivalent quality. Based on the spatial vibration analysis models of vehicle and bridge, the equation of the bridge-monorail train-vehicle system was established. The equation was solved by direct integral method, and a program was compiled. A long-span cable-stayed bridge was taken as an example, the dynamic characteristics of the bridge were calculated, the coupling vibration responses of long-span cable-stayed bridge-monorail train-vehicle system were analyzed, and the influence of second dead loads on the natural vibration frequencies of the bridge and the vibration response of the vehicle-bridge coupling system was discussed. The results show that the secondary dead loads can reduce the vibration frequencies of the bridge, though it hardly affects the displacement of the bridge, it has significant influence on the acceleration.
Key words: secondary dead load; cable-stayed bridge; dynamic characteristic; vehicle-bridge coupling vibration
斜拉桥随着跨径的增大，结构趋于轻薄长细化，二期恒载与主梁自重的比值增大，其对结构的影响愈加明显。特别是在车辆荷载作用下，属于轻型柔性体系的大跨度斜拉桥的动力敏感性更加显著。桥梁自重的增加意味着车辆的重量在整个车桥系统中所占比重减小，这势必会减弱车辆对桥梁的冲击作用。二期恒载对大跨度斜拉桥车桥耦合振动的影响应引起我们的重视。目前，国内外许多学者对大跨度斜拉桥的车桥耦合振动进行了研究[1-6]，有关不同因素对车桥振动影响的文献也不少[7-13]。李小珍等[5-7]分析了大跨度公铁两用斜拉桥车桥振动响应，讨论了不同主梁竖曲线车桥动力响应的影响；Yau等[8] 对斜拉桥的车桥振动进行了减振分析；向俊等[9]研究了货物列车编组对列车-桥梁系统空间振动的影响；万信华等[10]研究了由非平整桥面引起大跨斜拉桥车桥耦合振动响应。然而，对于二期恒载对大跨度斜拉桥车桥耦合振动的影响问题至今很少有人进行详细的研究。在此，本文作者根据车桥耦合系统振动分析理论及编制的计算程序，采用轻轨车和汽车空间振动模型，以某公轨两用斜拉桥方案为研究对象，对拉索、主桁和桥塔分别采用空间杆单元和空间梁单元模拟，用梁格法离散桥面板，计算了轻轨车和汽车同时通过该桥时的车桥耦合空间振动响应，探讨二期恒载对大跨度斜拉桥车桥耦合振动响应的影响。
1 车桥分析模型
1.1 机车车辆模型
车辆动力学模型采用二系弹簧多刚体多自由度的机车车辆计算模型，假定车体和转向架都是刚体，不考虑车辆纵向振动的影响，每节车辆由车体、前后转向架3个刚体组成，车体与前后转向架各考虑其侧摆、浮沉、侧滚、点头和摇头5个自由度[14]，模型可参考文献[14]。
1.2 汽车模型
公路汽车采用由弹簧、阻尼器相连的多刚体模型，弹簧均为线性的，阻尼按黏性阻尼计算，汽车的车轮与桥面竖向密贴，将随机桥面粗糙度作为激励输入。汽车车身具有浮沉、点头和侧滚3个自由度，4个车轮分别具有1个浮沉自由度，每辆汽车总共有7个自由度[15]，模型可参考文献[15]。
1.3 路面粗糙度和轨道不平顺模型
在选定功率谱密度函数之后，运用Monte Carlo随机模拟方法，通过谱呈现的方法来模拟桥面粗糙度和轨道不平顺[14]。
(1)
式中：r(x)为不同位置处的桥面粗糙度或轨道不平顺；
为功率谱密度函数；θk为[0，2π]内的均匀分布的幅角；
为在给定的谱密度间隔内的第k个空间频率。其中：
(2)
(3)
式中：N为最大空间频率
和最小空间频率
之间的间隔总数。
1.4 桥梁模型
1.4.1 桥梁简介
某公轨两用斜拉桥方案的跨径布置为222.5 m+445 m+190.5 m，双塔单索面，上层为4车道公路，下层为双线轻轨，主梁采用倒梯形断面的钢桁梁，桁架为三角形桁架，桁宽13 m，桁高12 m，节间长16 m。钢筋混凝土桥塔，塔高163.6 m，每个塔有9对索与主梁相连，构成扇形索面。图1所示为全桥有限元模型。二期恒载包括桥面铺装、栏杆、检修道、电缆支架和轨道结构等，主桥二期恒载约为201 kN/m。钢桁梁(指除索和塔之外的钢结构部分)自重约为173.8 kN/m，二期恒载与钢桁梁自重的比值为1.16。
图1 全桥有限元模型
Fig.1 Finite element model of bridge
1.4.2 计算模型
采用空间有限元法对桥梁结构的真实情况进行离散。按照梁格法的基本思路，将桥面板的刚度通过改变纵横梁截面形状的方式计入到纵横梁中，为了避免重复考虑桥面板的质量，需要将改变截面后的横梁或纵梁的质量进行折减，从而，桥面可简化成由弦杆、纵梁、横梁、横隔梁组成的梁格体系。桁架主梁的各部分杆件，包括上下弦杆、腹杆和桥塔采用空间梁单元来模拟，斜拉索离散成空间杆单元，由于自重垂曲引起的非线性效应，采用按Ernst 公式对其弹性模量进行修正的方法加以考虑。当考虑桥面二期恒载时，则将其转化为质量点施加于相应节点上。全桥节点数共计4 735个，单元数共计7 319个。
2 车桥分析方法
由于桥梁多采用弹性连续体模拟，故可用常规有限元法首先得到桥梁自身的质量矩阵Mb、刚度矩阵Kb和阻尼矩阵Cb，而轻轨车、汽车多采用弹簧、阻尼相连的多刚体模型，易于单独计算作用在运行于桥梁上的车辆的惯性力、阻尼力、弹性力及相应虚功。
以汽车的多刚体模型为例，质量可分为两类。第一类质量位于刚体上，刚体一般有独立的车辆自由度；第二类质量位于接触点上，接触点不具有独立的自由度，一般由桥梁自由度和相关路面粗糙度确定。计算全部第一类质量的惯性力所作虚功，提取相应质量系数，直接形成汽车质量子矩阵Mv。计算全部第二类质量的惯性力所作虚功，提取相应质量系数，可直接形成由汽车惯性力引起的附加桥梁质量子矩阵Mbbv；提取相应荷载系数，可直接形成由汽车惯性力引起的对桥梁的附加荷载子列阵Pbvr1。弹簧也可分为2类：第一类弹簧连接两个刚体，两端产生的相对位移仅与车辆自由度相关；第二类弹簧一端连接刚体，一端位于接触点处，它两端产生的相对位移不仅与车辆自由度相关，还与桥梁自由度和路面粗糙度有关。计算全部第一类弹簧的弹性力所作虚功，提取相应刚度系数，直接形成汽车刚度子矩阵Kv。计算全部第二类弹簧的弹性力所作虚功，提取相应刚度系数，可直接形成附加的汽车刚度子矩阵Kv1、车桥耦合刚度矩阵Kbv1和Kvb1以及附加的桥梁刚度子矩阵Kbbv1；提取相应荷载系数，可直接形成对桥梁的附加荷载列阵Pbvr2和对汽车的附加荷载列阵Pvr2。相应阻尼矩阵的形成可用类似于刚度矩阵形成的方法。汽车的轮重作为外荷载引起对桥梁的附加荷载列阵Pbvg。同理，与轻轨车相关的矩阵亦可求得。
将车与桥梁视为一个整体系统，根据Guo等[15-16]提出的一种易于计算机实施的全计算化原理，将单独桥梁振动方程直接扩充为桥梁—轻轨车—汽车耦合系统的振动方程：
(4)
式中：vb，
和
分别为桥梁节点的位移、速度和加速度列阵；
，
和
分别为汽车的位移、速度和加速度列阵；
，
和
分别为轻轨车的位移、速度和加速度列阵。
当车辆运行于桥梁上，上述桥梁—轻轨车—汽车耦合系统的运动方程为一组变系数的二阶微分方程。需要注意的是，随着车辆位置的变化，并不是所有的子矩阵都是随时间变化的，如：Mb，Mv，Mm，Kb，Kv，Kv1，Km，Km1，Cb，Cv，Cv1，Cm和Cm1。在编制计算程序时，这些子矩阵可专门储存起来，以便随时调用。而有些子矩阵(Mbbv，Mbbm，Kbbv1，Kbbm1，Kbv1，Kvb1，Kbm1，Kmb1，Cbbv1，Cbbm1，Cbv1，Cvb1，Cbm1和Cmb1)及所有的荷载子列阵都是时变的，它们需根据每一步不同的车辆运行位置来重新形成，并叠加到相应的位置。
采用直接积分法[17-18]求解式(4)，可同时得到桥梁、轻轨车和汽车的空间动力响应。根据上述原理，用Fortran语言编制了桥梁—轻轨车—汽车耦合系统动力分析软件BTVIP(Bridge Train Vehicle Interaction Program)。
3 计算结果与分析
3.1 桥梁自振特性计算与分析
基于上述有限元模型，采用编制的桥梁动力分析程序对该斜拉桥在是否施加二期恒载的情况下的自振特性进行分析。桥梁前5阶自振频率的计算结果如表1所示，前2阶振型如图2~3所示。
从计算结果可以看出：一阶侧弯的振型先于一阶竖弯出现，说明桥梁的面外刚度要弱于面内刚度；由于钢桁梁与主塔之间采用了刚度系数很大的弹性连接，因此，没有出现频率较低的体系纵飘振型；将两种模型的计算结果进行对比后发现，如施加二期恒载，结构的自振频率下降幅度较大，说明二期恒载对结构体系本身影响明显。
3.2 车桥耦合振动计算与分析
进行车桥耦合振动计算时，每线轻轨车辆采用6节车编组，计算速度取为60 km/h。考虑到重型车辆对桥梁的动力作用影响相对较大，因此，特选用20辆重型汽车为1个车列，车辆采用10 m等间距，计算速度取60 km/h。具体计算时主要考虑如下工况：单线轻轨在左侧轨道运行+双线汽车同向在左行车道1和2上运行(距离桥梁中线较远处为车道1)。上述中的“左”表示从南岸往北岸方向时桥梁中线的左侧。为分析二期恒载对车桥系统动力响应的影响，选取了7种桥梁模型进行计算，模型的不同之处在于施加的二期恒载，模型中分别在主梁上施加了0，0.5，0.8，1.0，1.2，1.5和2倍的二期恒载，相应的二期恒载与钢桁梁自重的比值为0，0.58，0.93，1.16，1.39，1.73和2.31。
表1 桥梁前5阶自振频率与振型特点比较
Table 1 Dynamic characteristics of bridge
图2 第1阶振型图
Fig.2 First-order vibration mode diagram
图3 第2阶振型图
Fig.3 Second-order vibration mode diagram
根据上述轻轨车、汽车和桥梁空间分析模型，按指定工况开展了车桥耦合系统动力响应计算。桥梁上选取A，B，C和A′ 4个不同位置给出桥梁振动响应。从南岸往北岸方向看，A和A′点分别为中跨跨中左侧和右侧下弦节点处，B和C点分别为中跨跨中左侧上弦节点处和边跨跨中左侧下弦节点处。轻轨车中选第一节车体给出振动响应，汽车中选取左行车道1上第1辆汽车的车体给出振动响应。车桥振动空间响应最大值见表2。中跨跨中左侧上弦节点B的位移、加速度时程以及第1节轻轨车和左行车道1上的第1辆汽车的车体竖向加速度时程如图4~7所示。
表2 车桥系统振动响应最大值比较
Table 2 Maximum vibration responses of vehicle-bridge system
图4 中跨跨中左侧上弦节点B的位移时程曲线
Fig.4 Time history cures of node B’s displacement at left upper chord in middle span of bridge
从B点的位移时程(见图4)可以看出：横向位移和竖向位移相比，横向位移的动力冲击系数要大，说明桥梁的面外刚度要小于面内刚度，这一结论与自振特性分析所得结论是一致的。但无论是竖向位移还是横向位移，二者的振动幅度都不大，表明该桥的整体竖向和横向刚度都较大。
对比表2中的数值可以发现：二期恒载对桥梁结构的位移响应影响较小(见图4)，对其加速度响应影响明显(见图5)；但它对车辆的加速度响音影响不明显(见图6~7)。图8所示为不同节点的竖向加速度最大值随二恒与主梁自重的比值的变化。图8显示：随着二期恒载与主梁自重的比值的增大，桥梁结构的加速度响应最大值并未一直减小。
图5 中跨跨中左侧上弦节点B的加速度时程
Fig.5 Time history cures of node B’s acceleration at left upper chord in middle span of bridge
图6 第1节轻轨车车体竖向加速度时程
Fig.6 Time history cure of vertical acceleration of first monorail train’s body
图7 第1辆汽车车体竖向加速度时程
Fig.7 Time history cure of vertical acceleration of first vehicle’s body
图8 不同节点的竖向加速度最大值随二恒与主梁自重比值的变化
Fig.8 Variations maximum vertical acceleration of different nodes with ratio of second dead load to main beam weight
4 结论
对于大跨度斜拉桥，由于二期恒载在总恒载中所占比例较大，考虑二期恒载质量的影响后，结构的自振频率将明显减小。车桥振动计算结果表明：二期恒载质量对桥梁结构的位移响应影响较小，但对其加速度响应影响明显。随着二期恒载质量所占比例的增大，桥梁结构的加速度响应开始减小，但超过一定比值后，其加速度响应又可能增大。因此，仅用桥梁自振频率来分析结构的动力刚度是不全面的。另外，适当的二期恒载质量会减小车桥系统的动力响应。
参考文献：
[1] 郭文华, 郭向荣, 曾庆元. 京沪高速铁路南京长江大桥斜拉桥方案车桥系统振动分析[J]. 土木工程学报, 1999, 32(3): 23-27.
GUO Wen-hua, GUO Xiang-rong, ZENG Qing-yuan. Vibration analysis of train-bridge system for cable-stayed bridge scheme of Nanjing Yangtze Bridge on Beijing—Shanghai high speed railway[J]. China Civil Engineering Journal, 1999, 32(3): 23-27.
[2] 赵永刚, 盛洪飞, 陈明非. 大跨度斜拉桥车-桥耦合振动分析的数值解法[J]. 公路工程, 2009, 34(1): 143-146.
ZHAO Yong-gang, SHENG Hong-fei, CHEN Ming-fei. Numerical method based on vehicle-bridge coupling vibration analysis of large span cable-stayed bridges[J]. Highway Engineering, 2009, 34(1): 143-146.
[3] Bruno D, Greco F, Lonetti P. Dynamic impact analysis of long span cable-stayed bridges under moving loads[J]. Engineering Structures, 2008, 30(4): 1160-1177.
[4] 王贵春, 潘家英, 张欣. 大跨度铁路斜拉桥车桥耦合振动非线性分析[J]. 应用力学学报, 2008, 25(3): 524-528.
WANG Gui-chun, PAN Jia-ying, ZHANG Xin. Nonlinear analysis of vehicle-bridge coupled vibration of railway cable-stayed bridges with long span[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2008, 25(3): 524-528.
[5] 李小珍, 强士中. 大跨度公铁两用斜拉桥车桥动力分析[J]. 振动与冲击, 2003, 22(1): 6-9.
LI Xiao-zhen, QIANG Shi-zhong. Vehicle-bridge dynamic analysis for long-span highway and railway bi-purpose cable-stayed bridge[J]. Journal of Vibration and Shock, 2003, 22(1): 6-9.
[6] 李小珍, 蔡婧, 强士中. 芜湖长江大桥斜拉桥的车桥耦合振动分析[J]. 铁道学报, 2001, 23(2): 70-74.
LI Xiao-zhen, CAI Jing, QIANG Shi-zhong. Coupling vibration analysis of main span on Wuhu Yangtze-River bridge[J]. Journal of the China Railway Society, 2001, 23(2): 70-74.
[7] 李小珍, 喻璐, 强士中. 不同主梁竖曲线下大跨度斜拉桥的车桥耦合振动分析[J]. 振动与冲击, 2003, 22(2): 43-46.
LI Xiao-zhen, YU Lu, QIANG Shi-zhong. Vehicle-bridge interaction of long-span cable-stayed bridges with various vertical girder curves[J]. Journal of Vibration and Shock, 2003, 22(2): 43-46.
[8] Yau J D, Yang Y B. Vibration reduction for cable-stayed bridges traveled by high-speed trains[J]. Finite Elements in Analysis and Design, 2002, 40: 341-359.
[9] 向俊, 孔凡兵, 曾庆元. 货物列车编组对列车-桥梁系统空间振动的影响[J]. 中南大学学报: 自然科学版, 2007, 38(2): 345-350.
XIANG Jun, KONG Fan-bing, ZENG Qing-yuan. Influence of freight train formation on spatial vibration of train-bridge system[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2007, 38(2): 345-350.
[10] 万信华, 胡晓燕, 郝行舟, 等. 非平整桥面引起大跨斜拉桥车桥耦合振动响应研究[J]. 振动与冲击, 2007, 26(2): 66-71.
WAN Xin-hua, HU Xiao-yan, Hao Xing-zhou, et al. Vehicle-bridge coupling vibration responses of long-span cable-stayed bridges due to irregular pavement[J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(2): 66-71.
[11] 韩艳, 夏禾, 郭薇薇. 斜拉桥在地震与列车荷载同时作用下的动力响应分析[J]. 工程力学, 2006, 23(1): 93-98.
HAN Yan, XIA He, GUO Wei-wei. Dynamic response of cable-stayed bridge to running trains and earthquakes[J]. Engineering Mechanics, 2006, 23(1): 93-98.
[12] 张楠, 夏禾, 郭薇薇, 等. 京沪高速铁路南京大胜关长江大桥风-车-桥耦合振动分析[J]. 中国铁道科学, 2009, 30(1): 41-48.
ZHANG Nan, XIA He, GUO Wei-wei, et al. Analysis on the wind-vehicle-bridge coupling vibration for Nanjing Dashengguan Yangtze River Bridge of Beijing—Shanghai high-speed railway[J]. China Railway Science, 2009, 30(1): 41-48.
[13] 谭长建, 祝兵. 地震作用下高速列车与桥梁耦合振动分析[J]. 振动与冲击, 2009, 28(1): 4-8.
TAN Chang-jian, ZHU Bing. Coupled vibration analysis of high speed train and bridge subjected to seismic excitation[J]. Journal of Vibration and Shock, 2009, 28(1): 4-8.
[14] 司学通, 郭文华. 跨座式轻轨车与汽车同时作用下的公轨两用特大桥梁动力响应及行车舒适性研究[D]. 长沙: 中南大学土木建筑学院, 2007: 15-35.
SI Xue-tong, GUO Wen-hua. Riding comfort and dynamic responses analysis for long-span highway and railway bi-purpose bridge traveled by monorail trains and vehicles[D]. Changsha: Central South University. School of Civil Engineering and Architecture, 2007: 15-35.
[15] GUO Wen-hua. Dynamic analysis of coupled road vehicle and long span cable-stayed bridge systems under cross winds[D]. Hong Kong: The Hong Kong Polytechnic University. Department of Civil and Structural Engineering, 2003: 3-17.
[16] Guo W H, Xu Y L. Fully computerized approach to study cable-stayed bridge-vehicle interaction[J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 248(4): 745-761.
[17] 曾庆元, 郭向荣. 列车桥梁时变系统振动分析理论与应用[M]. 北京: 中国铁道出版社, 1999: 87-89.
ZENG Qing-yuan, GUO Xiang-rong. Theory and application of train-bridge time-variant system vibration analysis[M]. Beijing: China Railway Press, 1999: 87-89.
[18] Bathe K J, Wilson E L. 有限元分析中的数值方法[M]. 林公豫, 罗恩, 译. 北京: 科学出版社, 1985: 319-323.
BATHE K J, WILSON E L. Numerical methods in finite element analysis[M]. LIN Gong-yu, LUO En, trans. Beijing: Science Press, 1985: 319-323.
(编辑 陈爱华)
收稿日期：2010-08-28；修回日期：2010-11-16
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51078356)；铁道部科技研究开发计划重大项目(2008G031-17)
通信作者：郭文华(1969-)，男，湖南常德人，教授，博士生导师，从事桥梁结构振动与稳定、风工程研究；电话：13973160678；E-mail：whguo@126.com
